UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Modelos Probit y Tobit aplicados al estudio de la oferta laboral de los trabajadores secundarios en el Perú

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. DE. ESTADÍSTICA Modelos Probit y Tobit aplicados al estudio de la oferta laboral de los trabajadores secundarios en el Perú Capítulo 3. Modelo Probit MONOGRAFÍA Para optar el Título de Licenciado en Estadística AUTOR Edgard Abanto Millones LIMA PERÚ 003

2 CAPÍTULO III MODELO PROBIT 3.1 INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior se mostró el modelo de probabilidad lineal, que es una aplicación sencilla del modelo de regresión lineal múltiple a una variable dependiente binaria. La cualidad discreta de y no significa en sí que los modelos lineales sean inadecuados, pero como vimos, el modelo de probabilidad lineal tiene ciertos inconvenientes. Las dos desventajas más importantes que presenta son que las probabilidades ajustadas pueden ser menores a cero o mayores que uno y que el efecto marginal de cualquier variable explicativa es constante. Sin embargo, se presentó de manera general algunos modelos tales como el Logit y el Probit, que salvan las deficiencias del Modelo de Probabilidad Lineal (MPL), la desventaja es que la interpretación de sus resultados no es tan sencilla. 3. FORMULACIÓN DEL MODELO PROBIT En el MPL, suponemos que la probabilidad de respuesta es lineal en el conjunto de parámetros â; para evitar las limitaciones del MPL, se considera una clase especial de modelos de respuesta binaria de la forma: P( y =1 = F(â 0 + â 1 x 1 + â x +...+â n x n )=F (â (3.1)

3 Donde F es una función que asume valores que se hallan estrictamente entre cero y uno 0<F(â <1, para todos los número reales. Esto asegura que todas las probabilidades de respuestas estimadas se hallen estrictamente entre cero y uno. En este capítulo se analizará el modelo Probit el cual será la base para el problema planteado al inicio de trabajo. Donde F es la función de distribución acumulada normal estándar, que se expresa como una integral: β ' x 1 1 P( y = 1) = F ( β ' = exp( t ) dt = φ( t) dt (3.) π y β ' x 1 φ ( t) = (π) exp( t ) La función F en (3.) es creciente. F(t) 0 cuando t - y F(t) 1 cuando t. La función Probit se presenta en la gráfica Nº. Gráfico Nº Función Probit P( y = 1) = F ( β ' X ) = β ' x 1 1 exp( t π ) dt = β ' x φ( t) dt

4 3..1 Modelo de Variables Latentes Los Modelos de Respuesta Binaria (MRB) pueden ser desarrollados usando una variable latente la cual satisface las suposiciones del modelo lineal clásico. En los MRB se supone que hay una variable no observada y * que toma valores continuos tal que para aquellos valores mayores a un valor a, y = 1 y para aquellas valores de y * menores que a, y =0. En otras palabras los MRB aparecen con frecuencia como modelos con función índice la cual es el resultado de una elección discreta en base a una regresión subyacente. Siguiendo con nuestro problema planteado en el capítulo I, es decir, la decisión del trabajador secundario de participar en el mercado laboral, el individuo hace un cálculo entre la cantidad de consumo y ocio que pueden comprar dadas las restricciones impuestas por el ingreso familiar disponible, el ingreso no laboral y laboral, y con el beneficio que podría generar otra decisión. Puesto que la cantidad de consumo evidentemente no es observable, ajustamos la diferencia entre el consumo y el beneficio de otra decisión con una variable no observable y* que cumple y * = â x + å (3.3) Supongamos que la distribución del error å es normal con media cero y varianza uno. No observamos el beneficio neto de decidir participar en la oferta laboral, sólo si ésta se hace o no. Por lo tanto, nuestra observación es

5 y =1 si y * > a y =0 si y * a Con esta formulación, â x recibe el nombre de función índice, donde a es el umbral o punto de corte. La conexión entre la variable latente y * y la observada y es mostrada en la figura Nº 3 para el modelo 3.3. En la figura y * esta en el eje vertical, con un umbral ô=0 indicado por la línea horizontal punteada. La distribución de y * muestra una curva acampanada, cuando y * es mayor que ô, indicado por la región sombreada, se observa y =1. Como vemos el modelo no puede ser estimado con MCO, por ello usamos la estimación por Máxima Verosimilitud que requiere conocer la distribución de los errores. Para el modelo Probit asumimos que el error sigue una distribución normal con media 0 y varianza 1, la hipótesis de que el umbral es cero puede facilitar los cálculos, sin embargo puede tomar cualquier valor. Gráfico Nº 3 La distribución de y* dado x en la Distribución de Respuesta Binaria

6 La probabilidad del suceso y=1 es: Prob ( y = 1) = Prob ( y * > 0) = Prob (â x + å > 0) = Prob (å > - â x ) Si la distribución es simétrica, como la distribución normal, Prob ( y = 1) =Prob ( y * > 0) = Prob (å < â x ) = F (â De este modo se obtiene un modelo estructural para la probabilidad.

7 3.3 ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD DEL MODELO PROBIT Todos los modelos de elección binaria, excepto el modelo de probabilidad lineal, se estiman habitualmente por el método de Máxima VerosimilItud. Cada observación se considera como realización individual de una variable aleatoria con distribución Bernoulli (es decir binomial con n=1). La probabilidad conjunta, o función de verosimilitud, de un modelo con probabilidad de éxito F(â y observaciones independientes es Pr ob( Y = y, Y = y,..., Y 1 1 = y ) = (1 F ( ' ) F ( ' n n β y i = 0 y i = 1 Podemos re escribir esta fórmula como β (3.4) n y [ F( ' x )] i [ 1 F( ' x )] L = β i= 0 1 yi β (3.5) Esta es la función de verosimilitud para una muestra de n observaciones. Tomando logaritmos obtenemos: [ y ln ( ' ) + (1 ) ln(1 ( ' ] i F xi yi F β xi ln L = )) β (3.6) Las condiciones de primer orden del problema de maximización requieren que ln L = β n i= 1 yi f ( β' + (1 yi) F( β' (1 f ( β' = 0 ( ' )) x F β x (3.7)

8 A menos que se utilice el modelo de probabilidad lineal, las ecuaciones contenidas en (3.7) serán no lineales y habrán de resolverse con métodos numéricos. Para los MRB, los estimadores de máximo verosimilitud son obtenidos igualando la primera derivada (o gradiente) a 0 y haciendo uso del álgebra. Sin embargo, en los modelos no lineales es raramente posible encontrar la solución usando álgebra. En consecuencia, se usa los métodos numéricos para encontrar estimadores que maximicen la función de verosimilitud. Los métodos numéricos empiezan con un supuesto de los valores e iterando para mejorar la suposición. Uno de los métodos más utilizados es el conocido método del tanteo. El método de tanteo (Scoring) usa la información de la matriz de información, las estimaciones Probit se obtienen como resultado de varias etapas: β ˆ 1( f + = βf + I βf ) l β 1 (3.8) f donde los subíndices indican el número de iteraciones necesarias para hallar la solución. El proceso se detiene cuando la diferencia entre f + 1 suficiente a cero. β y f β se acerca lo Iˆ ( β ) es una estimación de la matriz de información de Fisher (matriz cuadrada f y simétrica del negativo de las derivadas de segundo orden del logaritmo de la función de verosimilitud, por lo que la máxima verosimilitud logarítmica es globalmente cóncava ) evaluada en el último supuesto. Métodos de Econometría. J. Johnston Una de las características del modelo probit (o logit) es que las funciones máximo de verosimilitud son globalmente cóncavas. Así pues, no resulta necesario que el programa de optimización se preocupe por la discriminación entre máximos locales y máximos globales. Se trata de encontrar aquellos valores de los parámetros que maximizan el logaritmo de la función de verosimilitud que serán, a su vez, los máximos locales y globales.

9 Î( â) = lnl - E ( ) (3.9) â â' Esta matriz es definida negativa sea cual sea el valor de â. Superado el problema de la naturaleza no lineal de la maximización, en condiciones optimas los estimadores MV son consistentes, asintóticamente normales y eficientes. Además de estimar los parámetros â, los métodos numéricos proporcionan estimaciones de la matriz de la covarianza asintótica Cov (â), que es usada para estimar los test estadísticos. La teoría de máxima verosimilitud muestra que la matriz varianza covarianza asintótica es, menos la inversa de la matriz que se utilice para estimar el Hessiano esperado. Lo más habitual es utilizar el Hessiano observado, puesto que éste es el que se utiliza, generalmente, en las iteraciones. Cov (â) = ˆ I 1( β ), f donde: -1 ln L -1 Î ( â f ) = - E ( ) â â' (3.10) Con los estimadores calculados, podemos considerar la interpretación del Modelo de Respuesta Binaria Interpretación del cambio parcial en P(y=1/

10 Los â s pueden ser usados para calcular el cambio parcial en la probabilidad de un evento. Dado Prob ( y = 1/ = F (â (3.11) Donde F es la función de distribución acumulada Ô de la distribución normal. La función de densidad es indicado como ƒ. El cambio parcial en la probabilidad, también llamado efecto marginal, es calculado tomando la derivada parcial de la ecuación (3.11) con respecto a x k. P( y = 1/ x k = F( β' x k = df( β' β' x dβ' x x k = f ( β' β k para el modelo probit P( y = 1/ x k = φ ( β' β k (3.1) El efecto marginal es la pendiente de la curva de probabilidad referente a x k, manteniendo a todas las otras variables constantes. El signo del efecto marginal es determinado por â k ya que ƒ(â es siempre positiva. La magnitud del cambio depende de la magnitud de â k y del valor de â x.

11 3.4 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LOS PARÁMETROS ESTIMADOS En los modelos lineales se utilizan generalmente las pruebas t, F y Ji cuadrado para probar diversidad de hipótesis, pero como nos encontramos en un mundo menos cómodo, es decir el de los modelos no lineales donde se necesitan otros métodos para probar hipótesis con los que se puedan evaluar estos modelos. De manera general se puede mencionar las conocidas pruebas de verosimilitud y de Wald que permite lograr este propósito. Lo interesante de observar es que asintoticamente (muestras grandes) las dos pruebas son equivalentes en cuanto a que la estadística de prueba asociada con cada una de estas pruebas sigue la distribución ji-cuadrado El Test de Wald Consideremos el contraste lineal de la forma: Râ =r donde â es el vector de parámetros, R es la matriz de constantes, y r es un vector de constantes. Así, (Râ - r ) indicará hasta que punto los estimadores no restringidos de Máxima Verosimilitud ajustan la hipótesis nula. Cuando el vector se acerque a cero la hipótesis nula tenderá a cumplirse; por otro lado los valores grandes tenderán a contradecirla. La hipótesis Ho : Râ =r puede ser testada con el estadístico Wald:

12 1 W= [ Rβˆ r][ ' RVar ˆ ( βˆ) R' ] [ Rβˆ r] (3.13) W esta distribuida como Ji cuadrada con grados de libertad igual al número de contrastes (numero de filas de R). El estadístico de Wald esta compuesta de dos componentes. Primero Rβˆ r hipótesis. Segundo el termino [ ar( ˆ) R' ] 1 que es la medida entre el estimador y el valor de la RV β refleja la variabilidad del estimador. ˆ Cuando W es mayor que el valor crítico indicado a un nivel de significancia se rechaza la hipótesis Ho Contraste de Bondad de Ajuste: Razón de Verosimilitud Como medida de bondad de ajuste realizado, puede utilizarse el porcentaje de individuos directamente el porcentaje de individuos que eligen la opción predicha por el modelo. Alternativamente, como medida más usual, puede utilizarse el ratio de verosimilitud, definido como : LR= - [ 1nLˆ r 1nLˆ ], Siendo Lˆ r y Lˆ las funciones de verosimilitud logarítmicas evaluadas en el estimador restringido y no restringido, respectivamente. Un contraste que se realiza con frecuencia, similar al contraste F de que todas las pendientes del modelo probit son cero. En este contraste, por tanto, no hay ninguna restricción para el término contraste.

13 La idea básica detrás de la prueba Razón de Verosimilitud es simple: si la(s) restricción(es) a priori son válidas, las funciones restringidas y no restringidas no deben ser diferentes, en cuyo caso LR debe ser cercano a cero. Pero si ese no es el caso, las funciones divergirán. Puesto que para las muestras grandes sabemos que LR sigue una distribución ji-cuadrado, podemos averiguar si la divergencia es estadísticamente significativa. Las hipótesis son: H 0 : El modelo ajustado es significativo H 1 : El modelo ajustado no es significativo Estadístico de prueba LR ~ X con n-k-1 grados de libertad donde: n: número de registros K: número de variables Decisión si LR < Xα,( n k 1) no rechazamos H 0, el modelo ajustado es significativo.