j) El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta a euros y se vende por b euros.

Transcripción

1 TEMA 5: ALGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS El álgebra es la parte de las matemáticas en la que se utilizan letras para epresar números de valor desconocido. Es un lenguaje que facilita mucho los procesos matemáticos. La base de este lenguaje es asignar una letra para cada número desconocido, generalmente utilizamos la letra. Veamos unos ejemplos Un número cualquiera La suma de dos números La mitad de un número El opuesto de un número El inverso de un número La quinta parte de un número más el cuádruple de otro La mitad de la suma de dos números El cuadrado de un número menos su tercera parte 1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes epresiones: a) Un número par. b) Un número impar. c) Un múltiplo de 7. d) Dos números enteros consecutivos. e) Dos números que se diferencian en dos unidades f) El producto de un número con su consecutivo. g) Dos múltiplos de tres consecutivos. h) El 5% de un número. i) Lo que cuestan c metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros. j) El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta a euros y se vende por b euros. k) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan p euros.. Si la edad de Sara es de años, epresa en lenguaje algebraico las edades de: La hermana mayor, Rosa, que le lleva años a Sara. La madre de Sara que la tuvo a los 5 años. El padre de Sara que cuadriplica su edad.

2 . Indica mediante epresiones algebraicas el área y el perímetro de los rectángulos señalados en la siguiente figura:. En un aparcamiento hay coches de color blanco, de color rojo y de color negro. El número de coches de color rojo es el doble del de color blanco más 1 y el de color negro el triple del de color blanco menos 5. Con estos datos completa la siguiente tabla: MONOMIO Un monomio es un producto indicado de números y letras. 1a b Grado de un monomio. Es el número de letras que tiene. Para calcularlo se suman los eponentes. El grado de y es.. El grado de 5 es.. El grado de 5 es.. Valor numérico de un monomio. Es el valor del monomio cuando las letras se sustituyen por valores previamente asignados. El valor numérico de - y para - e y es Monomios semejantes. Son aquellos que tienen la misma parte literal. Monomios semejantes a 5a b son 5. Completa el siguiente cuadro: MONOMIO -9y 1ab 1 /5 ab COEFICIENTE 9 1/5 PARTE LITERAL GRADO X yz ab

3 6. Calcula el valor numérico: a) de y si e y- b) de 1/ a b si a/ y b-1/5 OPERACIONES CON MONOMIOS Suma y resta. Para sumar o restar monomios éstos tienen que ser semejantes, y se hace sumando ( o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal. y -1y +y Multiplicación y división. Para multiplicar (o dividir)monomios se multiplican (o se dividen)los coeficientes y las partes literales, aplicando las propiedades de las potencias. y ( 5 y ) ( 6 5 ) ( 7 y 5 y ) Potencia de un monomio. Para calcular la potencia de un monomio se eleva el coeficiente y la parte literal aplicando las propiedades de las potencias. y 7. Calcula el resultado de: a) ab 7ab + 6ba 8ab b) 1 a b a b + ab + 7a b 8. Calcula el resultado de: a) ( 5a b ) ( a b ) 7 b) ( 1 y) ( y) b) c) ( y ) ( y) ( y) c) d) ( y z) ( 5 y) 8 1a b c e) 5 a b POLINOMIOS Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios. A los monomios que forman el polinomio se les llama términos. Para calcular los términos de un polinomio hemos de simplificarlo antes. Si un polinomio tiene dos términos se llama Si un polinomio tiene tres términos se llama + es un 5t +7t -8t es un

4 Grado de un polinomio. Es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. El grado de es El grado de y- y +7 es Valor numérico de un polinomio. Es el resultado de sustituir las letras de un polinomio por números previamente asignados. El grado de y+y -5+1 para e y- es.. OPERACIONES CON POLINOMIOS Opuesto de un polinomio. Es el polinomio que resulta al cambiar el signo de todos sus términos. Si A() su opuesto será A().. Suma. Operaremos los términos semejantes de cada polinomio. Si A() y B() A() + B() Resta. Lo mismo que la suma pero calculando previamente el opuesto del polinomio sustraendo. Si A() y B() A() B() Producto de un polinomio por un número. Se multiplica el número por cada uno de los términos del polinomio. Si A() A() Producto de un polinomio por un monomio. Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Si B() B() Producto de dos polinomios. Se multiplica cada término de un polinomio por todos los del otro polinomio. ( -5).(. +5-6) 9. Sean los polinomios: A() ; B() - + +; C() + +5 y D() +. Calcula: a) A() - B() + C() b) A() + B().C()

5 c) D(). B() PRODUCTOS NOTABLES Son los siguientes: (a + b) (a b) (a +b). (a b) Vamos a demostrar cada una de estas tres fórmulas: (a + b) (a b) (a +b). (a b) 10. Desarrolla los siguientes productos notables: a) (+) b) ( - 7) c) (+6).(-6) 6) d) (-y) e) (5-/). (5+/) f) ( -y ) 11. Opera y simplifica: a). (+5) b)(+5) ( + 6) c) (5+) (5+).(5-) EXTRACCIÓN DE FACTOR COMÚN Se trata de etraer todos los factores que están en todos los términos del polinomio. y + 6y 1y a b -1ab 6 +9a 5 b.. 9-6y+1z

6 EJERCICIOS 1. Llamando a un número cualquiera, escribe una epresión algebraica para cada uno de los siguientes enunciados: a) El triple de. b) La mitad de su anterior. c) El resultado de sumarle tres unidades. d)la mitad de un número tres unidades mayor que. e) El triple del número que resulta de sumar a cinco unidades. f ) Un número cinco unidades mayor que el triple de.. Escribe la epresión del término enésimo en cada una de estas series: a) an? b) bn? c) cn? d) dn? 1. El término enésimo de una serie viene dado por esta epresión: a n n Calcula los términos a 5, a 9 y a 15. Sol: 7; 1;. Llamando al sueldo mensual de un trabajador, epresa algebraicamente: a) El valor de una paga etraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo. b) Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga etraordinaria. c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas etras: en verano y en Navidad. 5. Traduce a una igualdad algebraica cada uno de estos enunciados: a) Si aumentas un número,, en 15 unidades y divides entre dos el resultado, obtienes el triple de dicho número. b) Si triplicas la edad de Jorge,, y al resultado le sumas 5 años, obtienes la edad de su padre, que tenía años cuando nació Jorge. 6. Copia y completa las siguiente tabla: 7. Opera. a) + 8 b) 7a 5a c) 6a + 6a d) 15 9 e) + f ) 10a a g) a + 7a h) 5 i) 9 + j) 9a 9a 8. Reduce. a) + y + 5 b)a + 5a c) 7 a 5 d) + 7 e) f ) a 6 a + 7 g) 8a 6 a 1 h) Quita paréntesis y reduce. a) ( ) b) + ( + ) c) (5 1) ( + 1) d)(7 ) + (1 6) e) (1 ) (1 5) f) ( ) ( 1) g) ( 1) + 5 ( ) h)( ) + ( ) (5 7) Sol: a) b) 5+ c) - d) - e) f) + g) + h) Opera y reduce: a) 5 b) 6 c) d) 1 e) 6 f h) m) MONOMIOS 5 8 a 6 8 i) 5 j) 15 5 k) ( ) ( ) l) ( 0 ) 1 1 ( ) n) ( ) ñ) o) 5 Sol: a) 10 b) c) 1 d) e) f) g) 5 h) i) 15 j) k) 6 6 l) - m) - 6 n) -1/5 ñ) / o) 9/ 11. Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios: a) b) c) d) y abc COEFICIENTE 1 7 PARTE LITERAL a b GRADO ) g)

7 1. Reduce. a) b) c) d) Quita paréntesis y reduce. a) ( 5 + 6) + ( 8) b) (6 + 5) ( + ) c) (9 5 + ) (7 7) d)( 1) (5 + ) + ( ) Sol: a) - - b) -+ c) -+9 d) Considera los polinomios siguientes: A 6 + B + 1 C + 5 Calcula: a) A + B b)a + B + C c) A B d)b C e) A + B C f ) A B C Sol: a) b) c) d) e) f) Opera: a) ( + + ) b) ( ) ( 5 1) c) ( 6 1) d) (5 + + ) e) ( ) ( + + ) Sol: a) b) c) d) e) Reduce. a) ( 1) + ( + ) b) 5( ) ( + 1) c) ( 1) ( + 5) d)( 5 + ) ( + + 1) e) 6( + ) 5( + ) Sol: a) 9+ b) -1 c) d) e) Multiplica. a) ( 1) ( ) b) ( ) ( 5) c) ( + ) ( ) d) ( + 1) ( + + 1) e) ( 1) ( + ) f) ( + ) ( ) g) ( ) ( 5 + ) Sol: a) 5 + b) c) d) e) f) g) Calcula. a) ( + 1) ( ) b) ( 1) ( + ) c) ( ) ( + ) d)( + ) ( + 1) Sol: a) + b) c) d) Opera a) ( + 1) ( + ) b) ( + 1) ( + 5) c) ( ) ( + 7) d)( + 5) ( 1) Sol: a a b) c) d) Reduce. a) ( + 1) ( + ) ( + 1) b) ( 5) ( + ) + ( + ) c) ( ) ( + 1) ( + 5) ( ) d)( + ) ( 5) (6 10 1) Sol: a) b) c) d) 1. Realiza las divisiones siguientes: a) (8 6) : b)(0 5) : 5 c) ( ) : d)( 8) : e) ( + 6) : f ) (1 + 9) : Sol: a) b) 1 c) 1 d) e) + f ) +. Etrae factor común en cada uno de los siguientes polinomios: a) + y + z b) 5y + z c) a + a d) a 6b e) + y + 6z f) g) 9a + 6a + a h) a 5a + a. Calcula sin hacer la multiplicación, utilizando las fórmulas de los productos notables. a) ( + ) b) ( + a) c) ( ) d)(a 6) e) ( + 1) f) (5 a) g) ( 5) ( + 5) h)( 5) ( + 5). Descompón en factores. a) b) 9 c) d) e) f ) + + 1

8 AUTOEVALUACIÓN 1. Traduce al lenguaje algebraico: a) El triple de un número más tres unidades. b) La suma de dos números consecutivos. c) El doble de un número más su quinta parte. d) La mitad de un número más el cuadrado de otro número.. Completa la tabla siguiente: MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO 5 1a b y a 7 9 bc. Opera y reduce: a) b) 6 ( 5a b ) ( 7a b ) 5 7 ( 8 y ) ( y ) c) 5 ( a b c ) d) a 7a + b + 6a 9b Dados los polinomios P ( ) 1 6 6, Q( ) y R ( ) 6 calcula: P ( ) Q( ) R( ) 5. Siendo Q() el polinomio del ejercicio calcula: Q ( ) ( ) 6. Etrae factor común: a + 6b Desarrolla las siguientes identidades notables: ( + 7) ( + ) ( ) 8. Opera y reduce: ( ) ( ) ( ) 9. Opera y reduce: ( ) ( ) ( )