Perspectiva inversa para Ray Tracing

Transcripción

1 erspectva nversa para Ray Tracng efncón de la cámara José ortés areo, Abrl 7 a cámara vrtual suele defnrse en funcón de un conunto de parámetros ntutvos: Observador unto Focal: unto de Mra: stanca Focal: m a, b, c m, ym, zm Esto establece el plano de proyeccón nfnto. ara defnr una ventana dentro de este plano, la forma más senclla es especfcar sus dmensones, suponer que está centrada en el punto nterseccón del plano con la línea - m y que sus bordes superor e nferor son paralelos al plano. m Sn embargo, esta dmensones no son nada ntutvas y no tenen una correspondenca con las de una cámara real, por lo que se prefere generalmente especfcar los ángulos de apertura orzontal y vertcal y, a partr de ellos, calcular las meddas de la ventana: V tg y son las sem-longtudes de la ventana uede suponerse, además, que el aspect rato de la ventana es 3:4, con lo cual ¾ on estas convencones, la ventana en el plano de proyeccón queda defnda medante el únco parámetro H, ángulo de apertura orzontal, que debe tomarse en torno a 5º, apromadamente la apertura de campo del oo umano. Resumo, una cámara vrtual estándar, orentada vertcalmente esto sgnfca que los bordes superor e nferor de la ventana son paralelos al plano y tal que el aspect rato de la ventana sea 3:4, se defne medante 4 datos: Observador: unto de Mra: stanca Focal: tg H a, b, c m m, ym, zm Apertura orzontal: Nótese que los 3 prmeros datos srven para especfcar el plano de proyeccón para el cual bastarían 4 números, pero no son ntutvos, mentras que el 4º dato defne la ventana con los supuestos menconados. V H

2 Sstema de referenca de la cámara Tanto para perspectva drecta como nversa es convenente defnr un sstema de referenca en la cámara SR. Esto permte que los puntos del plano de proyeccón, que están en R 3, puedan especfcarse medante sólo coordenadas, tal y como los vería el observador. omenzamos por obtener la dreccón de mra, que defne el vector normal al plano de proyeccón: m m u, v, w on esto, el orgen del SR es el punto: a u, b v, c w on el supuesto de que la cámara está orentada vertcalmente, el Ee orzontal local es la recta orzontal conta en el plano de proyeccón y pasando por :, y, z t v, u, on esto, el vector untaro correspondente al Ee local es: u v v, u, w v, u, podría ser el opuesto, pero ya veremos que tene los sgnos correctos. El vector untaro del Ee local será naturalmente: w uw, vw, w, dado que la tercera componente de es postva, su orentacón aca arrba es correcta, lo cual mplca que tambén lo eran los sgnos en. ara erspectva recta, es convenente consderar un tercer Ee Z local, que sería: Z u, v, w El sstema de referenca sería evógro ara Ray Tracng erspectva Inversa, basta con los ees locales, unto con el orgen del sstema de referenca.

3 Ray Tracng: Barrdo de la ventana de la cámara Una vez defnda la cámara y establecdo un sstema de referenca local, cualquer punto de la ventana queda especfcado medante sus coordenadas en el SR Q α, β de las cuales obtenemos nmedatamente sus coordenadas respecto al Sstema del Mundo: Q α β Q α β Sólo queda precsar la rella de barrdo, es decr, la resolucón de la magen que se obtrá. S famos una resolucón de n pels en orzontal y n y pels en vertcal se supone que n y ¾ n, el paso de rella, esto es, el anco y alto de cada pel de cámara es: n n y El Sstema de Referenca de una magen btmap se stúa abtualmente con orgen en el etremo superor zquerdo de la magen con las abscsas ncrementando de zquerda a dereca y las ordenadas de arrba abao, con lo que es convenente realzar el barrdo de la rella de acuerdo con este sstema de referenca. Q Q Q Q Q 3, Q n n Q n Q Q n Q Q n y Q n, n y Q n y Q n n y e esta forma, denomnando Q a los nodos de la rella, el pel, de la cámara tene por vértces los nodos Q Q, Q, Q, ver Fgura. Es nmedato comprobar que un nodo genérco Q tene como coordenadas locales: Q, con lo cual, sus coordenadas globales son: Q

4 En una mplementacón básca de Ray Tracng, los rayos se lanzan a través del centro de cada pel de la cámara. ara el pel, con n -, n y - ya sabemos que sus vértces son los nodos Q Q, Q, Q, con lo que su centro es: Q Q, or tanto, para el pel, el rayo que se lanza tene por orgen el observador y por dreccón: Este vector no está normalzado y abrá que dvdr por su norma para que lo esté. Fnalmente, s es la dreccón normalzada, la ecuacón del rayo es:, y, z t t > En resumen, un esquema para un lanzador de rayos básco sería el sguente: atos ncales parámetros de la cámara Observador unto de Mra st. Focal Apertura orz. Resolucón a, b, c m m, ym, zm H n, n. 75n y reproceso: Obtener:,,,,,, roceso for ; n y - ; for ; n - ; -.5*elta* -.5*elta* N/norm* # reccón normalzada # Hallar la nterseccón del rayo con la escena # Hallar el color del punto de nterseccón # Asgnar ese color al pel, Nota:,,, tenen 3 componentes, por lo que las operacones artmétcas que se efectúen con ellos deperán del lenguae de programacón utlzado y, posblemente, deberán ser realzadas componente a componente.

5 Actualzacón ncremental del rayo En el esquema anteror, el cálculo del centro del pel varable requere, en el meor de los casos, 4 operacones artmétcas la 3ª componente de es nula y el de la dreccón varable, 3 más, lo que da un total de 7 operacones para la obtencón del rayo aparte la normalzacón del vector dreccón. on una resolucón de 86 esto supone más de 8 mllones de operacones sólo para el cálculo de los rayos ndepentemente de que para cada rayo abrá que calcular la nterseccón con toda la escena. Una forma de aorrar operacones en el cálculo de la dreccón consste en acerlo de forma ncremental. En efecto, dentro de una msma lera de pels es decr, para un msmo valor de constante: dado que: e donde fnalmente: Epresón que permte calcular la dreccón del rayo correspondente al pel, en funcón de la del pel,, con sólo sumas la 3ª componente de es nula. uando se camba de lera; esto es, cuando se aumenta en una undad el valor de, para el er pel,,, no se dspone de la dreccón del pel anteror de la msma lera ; pero en este caso se puede tambén actualzar la dreccón en funcón de la últma calculada, correspondente al pel n -, o, lo que es meor pues conlleva menos operacones, obtenerla en funcón de la dreccón en el pel,, que debríamos mantener almacenada: e, gual que antes: on lo cual:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

6 El pseudocódgo que se presentó antes puede meorarse bastante con estas actualzacones ncrementales de los vectores dreccón, con lo que aora quedaría así: atos ncales parámetros de la cámara: os msmos que antes reproceso: Obtener:,,,,,, Obtener: roceso # reccón del rayo ncal for ; n y - ; # reccón para el pel, for ; n - ; N/norm* # reccón normalzada # Hallar la nterseccón del rayo con la escena # Hallar el color del punto de nterseccón # Asgnar ese color al pel, elta* # Actualzacón de la dreccón en la lera - elta* # Actualzacón al cambar de lera En el bucle nteror, sólo se emplean operacones artmétcas para actualzar la dreccón del rayo, dado que el vector elta* se supone precalculado y su 3ª componente es. ara una resolucón de 86 tríamos menos de mllón de operacones para el cálculo de los sucesvos vectores dreccón, frente a los más de 8 mllones de antes. Meorando el algortmo: una apromacón a Antalasng on muy pequeño coste añaddo pueden lanzarse los rayos, no ya a través de los centros de cada pel, sno a través de los nodos de la rella. Esto supone un lgero ncremento en el número de rayos: N y y y n n n n n n como asta aora teníamos n n y rayos, el ncremento es de n n y que, para una resolucón de 86, supone.4 rayos más a añadr a los 48. que lanzaríamos con el algortmo básco. Este una clara ventaa en proceder así, ya que entonces para cada pel, emos calculado un color en cada uno de sus vértces y no sólo en su centro como en el algortmo básco. e esta forma, para asgnar un color al pel, smplemente promedamos los colores obtos en sus 4 vértces, lo que supone una práctca apromacón a la resolucón del problema de Alasng efecto escalera o dente de serra, que ocurre sempre que el color de un pel se calcule sólo en funcón de los datos de un únco punto nfntesmal del pel.