Métodos integrales en la teoría de la capa límite 1

Transcripción

1 Métoos itgrals la toría la caa límit.- trocció as cacios la caa límit itgraas la ircció ormal a la ar a lgar a cacios ircials oriarias rscto a la variabl. Estas cacios so las cacios itgrals la caa límit. E llas aarc itgrals rscto a la variabl y las magits lias y combiacios llas. Para trmiar stas itgrals bríamos sstitir llas las vraras istribcios la magits lias la caa límit, y s caso las cacios itgrals s satisaría actamt. Si os cottamos co a solció aroimaa las cacios, omos lgir ara las magits lia s cios trmiaas rscto a y las q aarc úmro cios arbitrarias, tato mayor cato mayor sa la aroimació q s sa obtr. Para trmiar stas cios s iso las cacios orma itgral jto co las coicios cotoro q las magits lias b cmlir la ar y ra la caa límit. Estas coicios o sr sicits or lo q tambié s iso las coicios aicioals obtias obligar a q s cmla las cacios ircials y las obtias al rivar stas co rscto a y la ar y l iiito. My a mo s so q ara a y iita y h ( ) ya s alcaa la vlocia trior. E st caso h ( ) s a las cios q trmia (, y ).- Ecacios itgrals ara a caa límit biimsioal stacioaria y comrsibl as cacios cotiia, catia movimito y rgía ara l movimito stacioario biimsioal y comrsibl a caa límit so las aas a cotiació, ( ρ ) ( ρ v ) + y, () ( ρ ) ( ρ v ) + ρ y + µ y y, () ( o ρ ho ) ( ρ v h ) + y k y T y + µ y y. () E la cació la catia movimito s ha sstitio l grait rsios or s qivalt ρ ( ). a mayor art st caítlo scrito origialmt or l Prosor y Acaémico D. Grgorio Millá Barbai.

2 Si itgramos trasvrsalmt la cació () tmos, ρ y + ( ρv ) ( ρv ), (4.) y ao q v y, la cació atrior toma la orma, ρ y ( ρv ), (4.) q rrsta la masa lio q stá trao la caa límit. Hacio lo mismo co la cació () la catia movimito s ti, y v v y ρ + ρ ρ ρ µ µ + H G y K J H G ( ) ( ) y K J, (5.) o ( ρv ) or sr la la vlocia la ar y µ b yg or sr b g srciabls los ctos viscosos ra la caa límit. El térmio µ y τ rrsta l sro la ar y l térmio ( ρv ) ( ρ v ), q acro co la cació (4.) toma la orma, q tambié scribirs como, v ( ρ ) ρ y, (5.) v ( ρ ) ρ y ρ y ρ y. (5.) + H G K J Por lo tato, sstityo (5.) (5.) s ti, ρ ( ) y + ( ρ ρ H G K J ) y τ. (5.4) Tio cta q l ssor slaamito δ * movimito stá aos or, y l catia δ * ρ ρ ; ρ y ρ y, (6) la cació (5.4) toma la orma, * ( ρ ) + ρ δ τ. (7.) a cació atrior scribirs la orma altrativa, ρ + ( + H ) + C, (7.) ρ

3 o h δ* / s l omiao actor orma y C τ / ρ s l coicit ricció. tra orma altrativa la cació (7.) s, + ( M + H ) C, (7.) o M s l úmro Mach la corrit trior. Para la obtció (7.) b trs cta q, ( ρ ) ρ ( ) ( ρ ) M. ρ as ormas la cació catia movimito aas (7) so la omiaa cació itgral Kármà. Procio co la cació la rgía moo aálogo al la catia movimito s obti, ρ h o y + ( ρ vh o ) q, (8.) o q [ k( T y) ] y s l ljo calor la ar. El térmio µ ( y) la ar s cro orq la vlocia s la allí, y l iiito tambié s cro orq los ctos viscosos so srciabls. Por último, l térmio, ( ρvh o ) h o ( ρv ) h o ρ y ρ h o y, (8.) ya q ra la caa límit, la cació la rgía roorcioa h. Sstityo l valor (8.) (8.) s obti la orma itgral la cació la rgía, ρ ( h h ) y q o o a cació (8.) tambié scribirs la orma, o, M h + + ( M ) St Mh h o P, ρ ρ M h h o o h h QP. (8.) P Q (8.4) y, (9) h la talía a la tmratra la ar y S t l úmro Stato, iio ya co atrioria la orma, S t q. () ρ ( h h ) o

4 .- Solció la cació itgral Kármà E lo q sig os limitarmos a movimitos lamiars stacioarios lios icomrsibls, co lo cal la cació a rsolvr s la (7.) co M, + ( + H ) C. () Para trmiar los ssors y coicit ricció s csario sor os rils vlocias, q o so arbitrarios ya q b cmlir a sri coicios obtias las cotoro y las cacios ircials articlariaas la ar y l bor trior la caa límit. Así, la ció aroimaa (, y) b cmlir, y, las coició ahrcia, (, ) ; (.) jto co la coició obtia hacr q s cmla la cació ircial la ar, y y ; (.) q ti cta l grait tro rsios. Amás, rivao scsivamt co rscto a y la cació catia catia movimito y articlariáola y s obti, y 4 4 y y R S y T ; M M H G y U QP V W y ; (.) (.4) Por otro lao, l bor la caa límit [ y h ( ) ] la vlocia b coiciir co la la trior y los ctos viscosos b sr srciabls, s cir, (, h ) ; (.) y H G y K J H G y K J H G y K J. (.) y h y h y h y h El ril vlocias s lig la orma, (, y) ( ) (, y) ( ) ( η) ara y h(), ara y > h(); (4.) (4.) o η y h( ) sio h a las cios a trmiar. Esta ció, jto co las q aarc la iició la ció ( ) η, s trmia miat la cació ircial (), las iicios los ssors

5 slaamito, δ *, y catia movimito,, aos or las cacios (6) y co las coicios () y () q sa csarias..- Métoo Pohlhas E l métoo Pohlhas s lig a cártica ara ( η ), hacio q s cmla las coicios (.) y (.) y, jto co la coició (.) y las os rimras las coicios (.) y h ( ), sto roorcioa, ( η) ( η) + Λ ( η), (5.) co 4 ( η) η η + η ; ( η) η( η), (5.) 6 sio Λ arámtro roorcioal al grait rsios, Λ h. (5.) bsérvs q Λ s arámtro q mi la rlació tr l timo isió a través la caa límit, h, y l timo q s csario srar ara q la vlocia a artícla cambi como cosccia l grait rsios, /( ). Placa laa a áglo ataq lo Si somos lo l grait rsios (caa límit sobr a laca laa) s ti Λ, moo q, 4 ( η) ( η) η η + η, (6) y or lo tato l ssor slaamito s rc a, h j (7.) * 4 δ η h η + η η η, mitras q l catia movimito qa, h η (7.) h ( η η + η ) ( η + η η ) η, 5 A s v, l coicit ricció toma la orma, C, (8) h y or lo tato, la cació () toma la orma, 7 h 5, (9) h

6 ya q al sr l grait rsios lo, s costat. a itgració la cació atrior, co la coició h (la caa límit s iicia l bor la laca) roorcioa, h , 7 () o bi, h R, () o R s l úmro Ryols basao la vlocia trior y la istacia. Ua v q s cooc h, s trmia los ssors slaamito [cació (7.)] y catia movimito [cació (7.)], así como l coicit ricció [cació (8)], obtiéos, δ * h. 75, (.) R 7 h R, (.) C 685 Ṙ. (.) Si s comara stos rsltaos co los obtios miat la solció acta Blasis l rror s l or l %. Caa límit co grait rsios Cao l grait rsios o s lo, Λ, covi mltilicar la cació () or, moo q rscribirs la orma, ( λ ) ( λ ) T λ ( + H ), () o, λ H G K J 7 Λ Λ Λ h y las cios T ( λ ) y H( λ ) stá aas or, T ( λ ) Λ K J + K J C Λ Λ 7 Λ Λ + h ,, (4.) (4.) a solció Blasis roorcioa: δ *. 7 R ; C. 664 R.

7 δ H ( λ ) * Λ 7 Λ Λ Estas cios stá aas la Tabla a cotiació.. (4.) λ Λ( λ ) T ( λ ) H ( λ ) ( λ ) λ Λ( λ ) T ( λ ) H ( λ ) ( λ ) Tabla.- cios Λ( λ ), T ( λ ), H ( λ ) y ( λ ) la solció Polhas. bsérvs q l ssor catia movimito stá ao or, 7 Λ Λ ( + Λ ) ( Λ ) η, (5.) h y l slaamito or, * δ h ( Λ Λ ) η. (5.) Tégas cta q l coicit ricció, C Λ + y, (6) h 6 H G y s ala cao Λ (λ. 567 ), q s l valor corrsoit al srimito la caa límit. Amás scribirs la orma, C Λ Λ 7 Λ Λ + h K J + K J, (7) a cació () csita a coició iicial, q sr l valor h, δ *, o Λ l to iicial itgració. Si hay to rmaso,, o sa iita, la cació () os iica q ara tr rivaa iita st to, s csario q ( λ ), lo q imlica λ. 77 (Λ 7. 5 ), y como cosccia llo l ssor catia movimito l to rmaso s, tormaso. 77 ( ) to rmaso,

8 y acro co (7), l coicit ricció l to rmaso s, H G C K J., to rmaso A vcs la solció s mltiorm; s caso, sólo la solció corrsoit a Λ (o bi. 567 λ. 948 ) s ísicamt corrcta. El límit irior corrso al srimito, como ya s vio atriormt, mitras q or cima l srior, algú to itrior a la caa límit la vlocia s srior a la trior ( vlocity ovrshoot ), lo q o ti stio caas límits icomrsibls...- Métoo Thwaits-oitsiaskii D acro co l métoo Pohlhas la ció ( λ ) s sólo ció l arámtro λ, ro sto l grao lgio l oliomio q trmia l ril vlocias, ya q si s lig oliomio mayor or aarcría a cia aicioal co. Para comrobar sto Thwaits rrstó l valor ció λ ara toas las solcios actas méricas o aalíticas, las cacios la caa límit. Como ra srar, cotró q toos los tos coocios caía my aroimaamt la misma crva. Pro, amás, cotró q ( λ ) ra, my aroimaamt, a rcta, o a. 45 y b 6. ( λ) a b λ, (8) Co ( λ) a b λ la cació () toma la orma, ( λ ) a b λ, (9) y itgrars ara aros, ( ) λ a + b b C. () o Si o s to rmaso, la costat C b sr cro ara vitar ssor catia movimito iiito l to rmaso. Si o s ( ), la costat C tambié s la. Por lo tato, Thwaits mostró q ( ) s rcir co mcha aroimació (± % ), ara toas las caa límits lamiars, miat la rsió,

9 λ ( λ ) H ( λ ) T ( λ ) Tabla - cios ( λ), H ( λ ) y T ( λ ) tablaas or Thwaits Ua v q () s cooc, () s obti λ, s cir, y co λ coocio, las tablacios las cios H ( λ ) y T ( λ ) (Tabla ), s obti * δ H ( λ ) y C ( ) T ( λ ). El to srimito sgú l métoo Thwaits vi ao or λ. 8, q corrso a T ( λ ). Est métoo ric l srimito co a rcisió mcho mayor q l Pohlhas. E la igra s a la rlació Λ( λ ) corrsoit a la solció Pohlhas, y la igra s a las cios T ( λ ), H ( λ ) y ( λ ) corrsoits a las solcios Pohlhas y Thwaits ( ) λ, () () ( l ) Solció Pohlhas igra.- ció Λ( λ ) la solció Pohlhas. l

10 T (Pohlhas) T (Thwaits) H (Pohlhas) H (Thwaits) (Pohlhas) (Thwaits) l igra.- cios T ( λ ), H ( λ ) y ( λ ) las solcios Pohlhas y Thwaits oitsiaskii, or métoo irt cotró, tiliao las corrlacios, ( ) λ. 44, () T ( λ ) λ λ, H ( λ ) λ. (4) El valor λ ara l srimito coici rácticamt co l Thwaits. 4.- Caa límit térmica a bajas vlocias y tmratra ar costat. a cació (8.4) la rgía orma itgral os rmitiría obtr l ljo calor la ar, rsolviéola cojtamt co la catia movimito. E l caso q los ctos comrsibilia so srciabls y q la viscosia a cosirars costat (caso los líqios y rctmt los gass a bajos úmros Mach), la cació la rgía stá sacolaa la catia movimito y rsolvrs a v q s ha rslto la catia movimito. E l ssto q l úmro Mach la corrit trior s qño rt a la ia (M <<) y q la tmratra la ar s costat, la cació (8.4) toma la orma, o toma la orma, + St, (5)

11 M T T T T QP y, (6) or sr la rgía ciética srciabl rt a la térmica ( M <<). El úmro Stato S t toma la orma, S t q, (7) ρ c (T T ) sio T la tmratra costat la ar y T la tmratra trior a la caa límit, tambié costat. Si s tilia l métoo Pohlhas ara trmiar / ( η ), co η y / h, tambié tiliars l mismo métoo ara trmiar. T T T T ( η ), (8) co η y / h. Cao s va a trmiar hay q hacr la itgral (6) q toma la orma, M P T T y h ( η)[ ( η )] η, (9) T T M QP moo q la rlació /h s a ció l cocit los ssors la caa límit térmica y viscosa h / h. Por lo tato, la ció srá irt io q h / h sa mayor o mor q la ia, moo q l rocimito cálclo rslta sr tioso. a cació (5) scribirs la orma, + S t, q rslta sr, al igal q l métoo Thwaits, a ció la orma, m( Pr ) ( Pr ), (4) (4) o los coicits m y so cios l úmro Pratl P r 4. D acro co (4) y (4), l úmro Stato scribirs la orma, S t m ( ). M Q P (4) a solció la cació (4), al igal q la (9), s la orma, Para más talls véas rrcia [], ágia 6. 4 Véas rrcia [], ágia 8 y rrcia [5], ágias 8-85.

12 q sstitio (4) roorcioa, m, (4) Pr R St Pr R m m M ( ) ( ) M m P o s l úmro sslt, iio como, Q Q P, (44) q P R k ( T T ) S r t. (45) E l caso a laca laa, o s costat, la cació (44) roorcioa, r P m R /, (46) mitras q l to rmaso, o α, co α, s ti, P R /, (47) r m o R α st caso. as rlacios (46) y (47) obtrs irctamt la cació ircial (4). E cto, ara la laca laa s ti, q sstitio (4) roorcioa, m m R H G K J, / t r /, S m R P m R q coici co l valor ao (46). Para l caso l to rmaso, como, (4) b ocrrir q, α m q sstitio (4), roorcioa, m H G K J α m R, q coici co (47). P R S P R r t r m /, D acro co la rrcia [ 5],los coicits m y s aroimar or,.. 7 r r m. 44P ;. 5 6 P, (48)

13 q ara l caso l air (P r. 7 ) stos coicits val m. 676 y. 88. Co los valors m y aos (45) s obti rror mor l 4 % l rago úmros Pratl. 6 P r 5. E l caso l air (P r. 7 ), las rlacios (46) y (47) toma la orma, Placa laa:. 96 R (Solció acta:. 98 R ), / / Pto Rmaso:. 5 R (Solció acta:. 5 R ), las q l rror sta tro ±. 5 %. / / 5.- Rrcias [] Rosha,. (E.), amiar Boary ayrs, or Uiv. Prss, 96. [ ] oitsyaskii,.g., Mchaics o iqi a Gass, tratioal Sris o Moograhs i Aroatics a Astroatics, Prgamo Prss, 966. [ ] Schlichtig, H., Boary-ayr Thory, svth itio, McGraw-Hill Book Co., 979. [ 4] Yog, A.D., Boary ayrs, AAA Ecatio Sris, J.S. Prmiicki E., Amrica stitt o Aroatics a Astroatics, c., 989. [ 5] Whit,.M., Viscos li low, Mchaical Egirig Sris, McGraw-Hill c., 99.