Efecto de la Carga Dinámica en la Estabilidad de Tensión. Tesis de Maestría presentada por. Felipe Valencia Arroyave. Ante la

Transcripción

1 Efecto de la Carga Dnámca en la Establdad de Tensón Tess de Maestría presentada por Felpe Valenca Arroyave Ante la Facultad de Ingenería y Arqutectura De la Unversdad Naconal de Colomba Sede Manzales Como requsto para optar al grado de Maestro en Ingenería Automatzacón Industral Drectora Rosa Elvra Correa Gutérrez Unversdad Naconal de Colomba, Sede Medellín Codrector Juan Manuel Ramírez Arredondo Centro de Investgacón y Estudos Avanzados, Guadalajara, Méxco Manzales, Dcembre de 2008.

2 Tabla de Contendos Lsta de Fguras...4 Lsta de Tablas...6 Notacón...7 Agradecmentos... Resumen...2 Abstract...3 Introduccón Estado del Arte en el Modelmento de la Carga Introduccón Problemas Reportados en la Lteratura Modelamento de la Carga Análss de Establdad de Sstemas de Potenca Sstemas de Montoreo y Operacón Solucones Reportadas en la Lteratura Modelamento de la Carga Análss de Sstemas Eléctrcos de Potenca Sstemas de Montoreo y Operacón Resumen Modelamento de Sstemas Dnámcos Introduccón Sstemas de Hamlton Sstemas Dspatvos de Hamlton de Puertos Controlados Realzacón Dspatva de Hamlton de Sstemas Eléctrcos de Potenca Realzacón Dspatva de Hamlton Tenendo en Cuenta Demanda de Potenca Actva y Reactva Constante Realzacón Dspatva de Hamlton Tenendo en Cuenta el Comportamento Dnámco de la Carga Resumen Establdad de Sstemas de Potenca Introduccón Análss de Bfurcacones en Sstemas Eléctrcos de Potenca Establdad Total en Sstemas Eléctrcos de Potenca Resumen Caso de Estudo...54

3 5. Introduccón Caso de Estudo Resultados Resumen Conclusones y Trabajo Futuro Conclusones Trabajo Futuro Bblografía...73 Anexos...78 Anexo : Parámetros de los modelos de smulacón...78 Anexo 2: Publcacones...8

4 Lsta de Fguras Fgura. Trabajos prevos para determnar el efecto de la caga en la establdad de sstemas de potenca...5 Fgura 2. Áreas de trabajo en el modelamento de la carga...8 Fgura 3. Clasfcacón de los problemas y solucones reportadas en la lteratura en el modelamento de carga...29 Fgura 4. Tendencas y paradgmas en el modelamento de sstemas dnámcos...32 Fgura 5. Clasfcacón de los sstemas de Hamlton...33 Fgura 6. Respuesta dnámca de la carga ante una perturbacón tpo escalón en el voltaje de almentacón...40 Fgura 7. Herramentas para el análss de establdad de sstemas dnámcos 53 Fgura 8. Dagrama esquemátco del sstema eléctrco de potenca de prueba 54 Fgura 9. Dagrama de bloques del regulador automátco de voltaje empleado en este trabajo Fgura 0. Dagrama de bloques del regulador de velocdad empleado en este trabajo...57 Fgura. Crcuto equvalente empleado para el modelamento de los transformadores...57 Fgura. Trayectora del voltaje en el nodo que almenta la carga dnámca cerca del límte de establdad del sstema de prueba...60 Fgura 2. Comportamento del voltaje en el nodo de carga 2 (ver fgura 8)...6

5 Fgura 3. Comportamento del voltaje en el nodo de carga 3 (ver fgura 8)...6 Fgura 4. Trayectora del voltaje de almentacón de la carga dnámca respecto al valor propo asocado al comportamento dnámco de esta carga (arrba). Comportamento del valor propo a medda que la demanda de potenca reactva ncrementa (abajo) Fgura 5. Comportamento del voltaje de almentacón (arrba) y de la potenca reactva demandada (abajo) en el nodo de carga 2 (ver fgura 8)...63 Fgura 6. Comportamento del voltaje de almentacón (arrba) y de la potenca reactva demandada (abajo) en el nodo de carga 3 (ver fgura 8)...64 Fgura 7. Voltaje en las termnales (arrba) y corrente de línea (centro) de la undad de generacón, cerca del punto de nestabldad del nodo que almenta la carga dnámca...65 Fgura 8. Comportamento de la potenca mecánca (arrba), el voltaje y la corrente de campo (centro y abajo respectvamente) del generador respecto al comportamento del valor propo asocado a la trayectora del voltaje que almenta la carga dnámca Fgura 9. Comportamento de la potenca mecánca (arrba), el voltaje y la corrente de campo (centro y abajo respectvamente) del generador 2 respecto al comportamento del valor propo asocado a la trayectora del voltaje que almenta la carga dnámca Fgura 20. Comportamento de la potenca mecánca (arrba), el voltaje y la corrente de campo (centro y abajo respectvamente) del generador 3 respecto al comportamento del valor propo asocado a la trayectora del voltaje que almenta la carga dnámca....68

6 Lsta de Tablas Tabla. Parámetros del regulador automátco de voltaje y del sstema de desconexón por sobreexctacón de las undades de generacón...78 Tabla 2. Parámetros del regulador de velocdad...78 Tabla 3. Parámetros de las undades de generacón...78 Tabla 4. Parámetros de las líneas de transmsón...79 Tabla 5. Paámetros de los transformadores elevadores...79 Tabla 6. Parámetros de los transformadores reductores...80 Tabla 7. Parámetros del modelo dnámco de carga...80 Tabla 8. Parámetros de las cargas estátcas...80

7 Notacón δ : Ángulo del rotor del -esmo generador [rad]. ω : Velocdad del rotor del -esmo generador [rad/seg]. ω 0 : 2π f 0 [rad/seg]. E ' q : Voltaje transtoro nterno en el eje de cuadratura del -esmo generador [pu]. E f d : Voltaje de campo del -esmo generador [pu] (entrada de control). P m : Potenca mecánca del -esmo generador [pu] (entrada de control). P e : Potenca actva generada por el -esmo generador [pu]. Q e : Potenca reactva generada por el -esmo generador [pu]. V : Voltaje en termnales del -esmo generador [pu]. θ : Ángulo del voltaje en termnales del -esmo generador [rad]. V k : Voltaje en el k-esmo nodo de carga [pu]. γ k : Ángulo del voltaje en el k-esmo nodo de carga [rad]. x ' d : Reactanca transtora en eje drecto del -esmo generador [pu]. x d : Reactanca en eje drecto del -esmo generador [pu]. M : Coefcente de nerca del -esmo generador [s]. D : Constante de amortguamento [pu]. ' τ d 0 : Constante de tempo transtora en eje drecto y en crcuto aberto del - esmo generador [s]. j B : Susceptanca de la línea de transmsón que conecta el nodo con el nodo j

8 P d k : Potenca actva demandada en el k-esmo nodo de carga [pu]. Q d : Potenca reactva demandada en el k-esmo nodo de carga [pu]. k E k : Energía cnétca. E p : Energía potencal. r v qs : Voltaje en cuadratura sobre los devanados del estator de las undades de generacón [pu]. r v ds : Voltaje en eje drecto sobre los devanados del estator de las undades de generacón [pu]. r v 0s : Voltaje de secuenca cero sobre los devanados del estator de las undades de generacón [pu]. v r kq : Voltaje sobre el prmer devanado amortguador del rotor en cuadratura de las undades de generacón [pu]. v r kq2 : Voltaje sobre el segundo devanado amortguador del rotor en cuadratura de las undades de generacón [pu]. v r fd : Voltaje sobre el devanado de campo de las undades de generacón [pu]. r v kd : Voltaje sobre el devanado amortguador en eje drecto de las undades de generacón [pu]. r s : Resstenca del devanado del estator de las undades de generacón [pu]. r kq : Resstenca del prmer devanado en cuadratura de las undades de generacón [pu]. r kq2 : Resstenca del segundo devanado en cuadratura de las undades de generacón [pu]. r fd : Resstenca del devanado de campo de las undades de generacón [pu]. r qs : Corrente en cuadratura que crcula por los devanados del estator de las undades de generacón [pu].

9 r ds : Corrente en eje drecto que crcula por los devanados del estator de las undades de generacón [pu]. r 0s : Corrente de secuenca cero que crcula por los devanados del estator de las undades de generacón [pu]. r kq : Corrente en cuadratura que crcula por el prmer devanado amortguador del rotor de las undades de generacón [pu]. r kq2 : Corrente en cuadratura que crcula por el segundo devanado amortguador del rotor de las undades de generacón [pu]. r fd : Corrente que crcula por al devanado de campo de las undades de generacón [pu]. r kd : Corrente que crcula por el devanado amortguador en eje drecto de las undades de generacón [pu]. r ψ qs : Flujo en cuadratura que atravesa los devanados del estator de las undades de generacón [pu]. r ψ ds : Flujo en eje drecto que atravesa los devanados del estator de las undades de generacón [pu]. r ψ 0s : Flujo de secuenca cero que atravesa los devanados del estator de las undades de generacón [pu]. ψ r kq : Flujo que atravesa el prmer devanado amortguador del rotor en cuadratura de las undades de generacón [pu]. ψ r kq2 : Flujo que atravesa el segundo devanado amortguador del rotor en cuadratura de las undades de generacón [pu]. r ψ fd : Flujo que atravesa el devanado de campo de las undades de generacón [pu]. r ψ kd : Flujo que atravesa el devanado amortguador del rotor en eje drecto de las undades de generacón [pu]. γ : Constante de propagacón de la onda de voltaje en las líneas de transmsón. Z c : Impedanca característca de las líneas de transmsón.

10 d : Longtud de la línea de transmsón [Km]. jω : Representacón en térmnos de la frecuenca del operador de Laplace s. V s : Voltaje al nco del tramo de línea modelado [pu]. I s : Corrente al nco del tramo de línea modelado [pu]. V R : Voltaje al fnal del tramo de línea modelado [pu]. I R : Corrente al fnal del tramo de línea modelado [pu]. R : Resstenca de las líneas de transmsón [ Ω / km ] L : Inductanca de las líneas de transmsón [ H / km] C : Capactanca de las líneas de transmsón [ F / km ] G : Conductanca de las líneas de transmsón [ Ω / km ]

11 Agradecmentos Agradezco a: La profesora Rosa E. Correa Gutérrez por la dreccón de la tess. Al profesor Juan Manuel Ramírez Arredondo, por todo el apoyo brndado durante m pasantía en el Centro de Investgacón y Estudos Avanzados del IPN, undad Guadalajara, y por la oportundad que me do para trabajar nuevamente con él en febrero y marzo del presente año. Al profesor Jaro José Espnosa Ovedo por su dsposcón y ayuda durante la realzacón de este trabajo, y por abrrme una nueva puerta para segur adelante con m carrera de nvestgador. Al profesor Gullermo Mesa Betancur por mostrarme que la nvestgacón no es un camno espnoso, sno que todo depende del equpo de trabajo con que uno cuente para hacer las cosas. A Hernán Darío Escobar Álvarez, Andrea Mesa Múnera y demás ntegrantes de la ERE Internaconal, por su apoyo constante en las decsones tomadas día a día desde que nos conocemos. Fnalmente agradezco especalmente a m Madre, m Hermana y demás ntegrantes de m famla porque sn su apoyo este trabajo no habría sdo posble.

12 Resumen En este trabajo se propone una nueva realzacón dspatva de Hamlton para modelar sstemas eléctrcos de potenca. Lo novedoso de esta realzacón es que tene en cuenta el comportamento dnámco de la carga. Para lograr esto se comenzó por dentfcar los problemas y solucones reportadas en la lteratura en lo referente al modelado de la carga, ya que esto ayudó a dentfcar un modelo apropado para representar el comportamento dnámco de la carga. Lo que se busca con esta nueva realzacón es tener un modelo de los sstemas eléctrcos de potenca multmáquna que permta determnar cuál es el efecto del comportamento dnámco de la carga en la establdad del sstema. Como resultado de hacer esta realzacón, se obtuvo una nueva metodología para el análss de establdad de sstemas eléctrcos de potenca. Lo novedoso de esta metodología es que se basa en la aplcacón de los conceptos de establdad de sstemas dnámcos de la teoría de control a los sstemas eléctrcos de potenca. Además es una metodología general, es decr, es ndependente de la topología del sstema eléctrco de potenca. La metodología encontrada en este trabajo se basa en el análss de bfurcacones del sstema eléctrco de potenca multmáquna modelado como un sstema de Hamlton. Al hacer esto se encontraron condcones que delmtan la regón de establdad de los sstemas eléctrcos de potenca cuando almentan cargas que presentan un comportamento dnámco cuando se perturba el voltaje que la almenta. Esta metodología fue aplcada a un sstema eléctrco de potenca multmáquna general y los resultados obtendos fueron valdados medante smulacón numérca obtenéndose los resultados esperados. Se utlzó como sstema de prueba el sstema de la Western Systems Coordnatng Councl, que posee nueve nodos, entre ellos tres de generacón y tres de carga.

13 Abstract In ths work t s proposed a new dsspatve Hamlton realzaton to model electrc power systems. Ths realzaton s new because take nto account dynamc load behavor. To make t possble, t was began to dentfyng lterature reported problems and solutons n load modelng, to select an accurate dynamc load model. The new dsspatve Hamlton realzaton helped to establsh how affects dynamc load behavor system s stablty. As a result, a new methodology to power system s stablty analyss was obtaned. Ths methodology s new because s based n the applcaton of dynamc systems analyss concepts, of the control theory, to stablty analyss of power systems. Moreover s a general methodology,.e., the methodology s ndependent of system s topology. The methodology found wth ths work s based n the bfurcaton analyss of power systems modeled as Hamlton systems. Ths let to fnd stablty boundary condtons of power system s that feed dynamc loads. The methodology was appled to analyze a generc power system and the results were valdated through numerc smulaton, wth good results. As benchmark system t was used the Western Systems Coordnatng Councl nne bus power system.

14 Introduccón En la actualdad los sstemas eléctrcos de potenca se encuentran forzados a trabajar cada vez más cerca de sus límtes de establdad debdo al ncremento en la demanda, las dfcultades en la expansón de las redes de sumnstro eléctrco y al ncremento en los ntercambos de energía entre países con fnes económcos [9]. Esta nueva condcón de operacón de las redes de transporte de energía ha generado la necesdad de analzar el comportamento de los sstemas eléctrcos de potenca cuando estos son perturbados, con el fn de determnar márgenes de establdad. Sn embargo, para que las conclusones obtendas de los análss permtan tomar decsones acertadas en la planeacón y operacón de los sstemas de potenca, se requere conocer el comportamento dnámco de todos los elementos que los componen [2], [34], [42]. Por tal motvo, los nvestgadores han realzado esfuerzos en el modelado de los dspostvos nvolucrados en la generacón, transmsón y dstrbucón de potenca. Aunque se ha prestado poca atencón al modelado de la carga, llegando al punto en que es un área en la que hay muchas ncertdumbres [2], [2], [37], [3], [23], [35]. Tales ncertdumbres han dfcultado la determnacón del efecto del comportamento de la carga en la establdad de los sstemas de potenca [2], [2], [20], [22], [34], [36]. Un resultado de lo expuesto anterormente es que no se cuenta con metodologías de análss de establdad de sstemas eléctrcos de potenca que consderen el efecto dnámco de sus componentes, en especal la carga. Esto se ve reflejado en los trabajos prevos realzados con el fn de determnar el efecto del comportamento de la carga en la establdad de los sstemas de potenca. Ellos se han orentado en dos vías:. Establdad de estado estable: llamada así porque se basa en la exstenca de un punto de equlbro y el análss de establdad alrededor de este punto. 2. Establdad dnámca: llamada así porque se basa en el análss de la evolucón de las trayectoras del sstema a partr de una condcón ncal dada. En la prmera vía, la carga se ha representado por su característca de demanda de potenca, tanto actva como reactva, constante y se ha tomado como uno de los parámetros del sstema, permtendo construr las característcas P V y Q V de dferentes tpos de sstemas para determnar sus límtes de establdad [0], [45] y obtener ndcadores que permten predecr qué tan cerca se encuentra el sstema de su margen de establdad [6]. Además, partendo del teorema de Thevenn, se ha relaconado la mpedanca del sstema con la de la carga para determnar el punto de máxma transferenca de potenca. 4

15 En la segunda vía, dferentes elementos que conforman la carga en los sstemas de potenca se han modelado de forma dnámca y medante smulacón numérca se ha determnado cual es su efecto en la establdad de los sstemas de potenca [46]. Tambén se han hecho esfuerzos para aplcar la teoría de sstemas no lneales a los sstemas de potenca, especalmente la teoría de bfurcacones, y herramentas de ntelgenca artfcal para determnar los márgenes de establdad [5], [5]. En la fgura se presenta un mapa conceptual que resume de lo expuesto anterormente, en azul se muestran las áreas en que este trabajo hace énfass. Efecto de la Carga en la Establdad de Sstemas de Potenca Establdad De Estado Estaconaro Establdad Dnámca Curvas PV-QV (0), (45) Indcadores de Establdad (6) Relacón Carga-Sstema (7), (6), (28) Efecto de elementos Indvduales de la Carga (46) Teoría de sstemas No-Lneales (5), (5) Indcadores usando Intelgenca Artfcal (3), (32) Fgura. Trabajos prevos para determnar el efecto de la caga en la establdad de sstemas de potenca Como solucón, en esta tess de maestría se propuso modelar los sstemas eléctrcos de potenca como sstemas de múltples partículas que nteractúan entre sí, utlzando la formulacón de los sstemas de Hamlton, con lo cual se obtuvo una forma de cuantfcar su regón de establdad. Adconalmente se obtuvo una nueva metodología para el análss de sstemas eléctrcos de potenca como sstemas dnámcos y una aproxmacón matemátca para descrbr regones donde estos sstemas son estables ante perturbacones basada en el teorema de establdad total presentado por Hahn en [5]. Este documento se encuentra organzado de la sguente forma: En el prmer capítulo se presenta el estado del arte en el modelamento de la carga, en partcular se presentan problemas y solucones reportadas en la lteratura. En el segundo capítulo se hace una ntroduccón al modelamento de sstemas dnámcos, se presenta el concepto de modelamento medante funcones de energía y se hace una aplcacón al modelado de sstemas 5

16 de potenca consderando tanto demanda de potenca constante como comportamento dnámco en la demanda de potenca. En el tercer capítulo se muestran algunas herramentas para el análss de sstemas de potenca modelados medante funcones de energía, en partcular análss de bfurcacones y aplcacón del teorema de establdad total presentado por Hahn en [5]. En el cuarto capítulo se muestran los resultados de las smulacones hechas para valdar los resultados encontrados en los capítulos anterores. En el qunto capítulo se dan a conocer las conclusones de este trabajo y los trabaos futuros. 6

17 2 Estado del Arte en el Modelmento de la Carga 2. Introduccón El modelamento de la carga en los sstemas eléctrcos de potenca es una necesdad para realzar dferentes estudos del comportamento del sstema ya que la carga es uno de los elementos prncpales en el análss de sstemas eléctrcos de potenca, debdo a que ella determna la transferenca de potenca entre los dferentes puntos de la red y a que los resultados del análss de los sstemas de potenca dependen de las característcas de la carga, especalmente el análss de establdad de tensón [2], [43], [35].. Dada la gran mportanca del modelado de la carga, hacer una revsón bblográfca y realzar el estado del arte de los modelos de carga es de vtal mportanca al realzar trabajaos orentados al análss de sstemas eléctrcos de potenca ya que este trabajo faclta la seleccón de un modelo adecuado para el estudo que se está realzando. Luego de hacer la revsón bblográfca, se han encontrado dos tendencas defndas para modelar la carga:. modelamento fenomenológco: medante la agregacón por componentes se modela el efecto agregado de todos los elementos que conforman la carga en un momento dado. 2. modelamento empírco: medante las técncas de dentfcacón de sstemas y a partr de datos expermentales se modela el comportamento agregado de los elementos que conforman la carga. Ambas alternatvas son vables dependendo de la complejdad del sstema y de la nformacón con que se cuente, sn embargo la mayoría de los modelos que se encuentran reportados en la lteratura son de base empírca ya que los modelos de base fenomenológca requeren de una mayor cantdad de nformacón (esto se mostrará en las sguentes seccones de este capítulo). Tanto los modelos fenomenológcos como lo empírcos encontrados en la lteratura pueden ser clasfcados como dnámcos y estátcos, dependendo s la relacón entre las varables es de tpo dferencal o no. Esta clasfcacón es la que más nfluye en el tpo de análss que se hace de los sstemas de potenca, en los resultados que se obtenen y en las decsones para la planeacón y operacón de los sstemas de potenca (esto tambén se mostrará en las sguentes seccones de este capítulo). En la fgura 2 se presentan los modelos de carga que se encuentran en la lteratura, en azul se resaltan las áreas trabajadas al realzar este trabajo. 7

18 Modelos de Carga Modelos Estátcos Modelos Dnámcos Exponencal Polnomal No Lneal Lneal Recuperacón Exponencal Lnealzados Intelgenca Artfcal Funcones De Transferenca Fgura 2. Áreas de trabajo en el modelamento de la carga A pesar de los grandes esfuerzos que se han hecho para obtener un modelo de carga que representa su comportamento de forma adecuada, aún este es un campo aberto para nvestgar pues los modelos con que se cuenta en su mayoría sólo son váldos en las condcones en las que fueron formulados o no representan el comportamento de algunos de sus componentes, especalmente en el caso de cargas que presentan dnámcas dscretas. En las sguentes seccones de este capítulo se presentan los problemas y solucones planteados en la lteratura en el modelamento de la carga. Allí se presentan tanto ventajas como desventajas de los modelos actuales (dnámcos y estátcos, fenomenológcos y empírcos). 2.2 Problemas Reportados en la Lteratura Como se menconaba anterormente, a pesar de las nvestgacones y la dedcacón de los nvestgadores al modelamento de la carga aún no se cuenta con un modelo que represente el efecto agregado de todos sus componentes, vsto desde un nvel de transmsón. Esto de debe prncpalmente a la gran cantdad y la dversdad de elementos que conforman la carga en este nvel, aspecto que dfculta el modelamento, como tal, de la carga. Como consecuenca de esto se generan problemas en los resultados de los análss de los sstemas eléctrcos de potenca y a su vez su planeacón y la operacón. A contnuacón se presentan los problemas encontrados en las áreas de modelamento, análss de establdad y sstemas de montoreo y operacón que están asocados a la representacón de la carga. 8

19 2.2. Modelamento de la Carga. Se ha prestado mucha atencón al modelamento de los dspostvos que ntervenen en al generacón, transmsón y dstrbucón de la energía eléctrca, pero muy poca al modelamento de las cargas, hasta tal punto que contnúa sendo un área con muchas ncertdumbres [2], [3], [2], [23], [35], [37],. 2. El modelamento precso de la carga sgue sendo una tarea dfícl debdo a los sguentes factores [], [2], [8], [9], [3], [8], [2], [29], [34], [37], [4], [50]: a. Gran número de dspostvos nvolucrados y una gran dversdad entre ellos. b. Propedad y ubcacón de las cargas en las nstalacones de los usuaros las hacen nasequbles. c. Cambo de la composcón de la carga durante el día, la semana, el mes, el clma y en general en el tempo. d. Falta nformacón precsa sobre la composcón de la carga. e. Incertdumbre en la característca de muchos componentes de la carga, partcularmente ante varacones grandes de frecuenca y voltaje 3. La representacón precsa de la carga requere que se tenga en cuenta el efecto combnado de todos los elementos que la componen en un momento dado [], [2], [4]. 4. El comportamento de la carga es dnámco por naturaleza [], [35]. 5. Un modelo que capture muy ben el comportamento dnámco durante una perturbacón especí.ca no necesaramente lo hará para otro tpo de perturbacones. Un modelo de carga debe estar en capacdad de representar el comportamento de ella ante un conjunto de perturbacones [8]. 6. Se requere de una gran cantdad de datos de entrada y salda para ajustar los parámetros de las redes neuronales [8]. 7. Se han tendo problemas para la modelacón de la carga usando redes neuronales debdo a dfcultades con los parámetros de aprendzaje, lenttud en la convergenca, fallas en el entrenamento debdo a la convergenca a mínmos locales, y dfcultades en determnar una estructura (número de capas, número de neuronas por capa, funcones de actvacón, entre otros) [2]. 8. Las redes neuronales artfcales son sensbles al cambo en las condcones de cargabldad del sstema [8]. 9

20 9. Las redes neuronales artfcales deben ser entrenadas con datos obtendos de varacones de voltaje y frecuenca por fuera de sus valores normales de operacón para poder capturar la dnámca de la carga [23]. 0. Para la seleccón de la estructura de un modelo se requere de conocmento a pror del sstema y de la composcón de la carga. Este conocmento generalmente no se encuentra dsponble [2], [9], [37].. Se requere de modelos que explque en comportamento no lneal de la carga cuando en el sstema se presentan grandes perturbacones. Además se necesta caracterzar el comportamento de la carga ante bajos voltajes y sus esquemas de desconexón por bajo voltaje [9], [8]. 2. Mejorar la modelacón dnámca de la carga es necesaro no sólo por ser un elemento mportante del sstema y ser dnámco por naturaleza, sno porque un modelo napropado de carga afecta la modelacón de otros elementos del sstema menos valorados (como los PSS y otros sstemas de control) [8]. 3. El modelado de carga por agregacón de componentes es mpráctco para representar su comportamento dnámco excepto en los casos que se conozca la composcón de la carga con un alto grado de confabldad [], [2], [8], [4]. 4. El modelado de la carga a partr de medcones en campo está sujeto a las pruebas que se hagan en el nodo que se quere modelar o a la nformacón que se pueda obtener de los equpos de montoreo del sstema [], [2], [8], [43]. 5. Los modelos de carga basados en medcones no deben ser aplcados a nodos dferentes a aquellos en los que se realzaron las meddas debdo a que los componentes de la carga son dferentes en cada nodo. Además, para tener en cuanta cambos de composcón en la carga se requeren medcones contnuas y no es práctco tener en cuenta una ampla varacón en el voltaje y la frecuenca [29], [4]. 6. Los modelos de carga tradconales son de parámetros constantes y esto solo es certo bajo unas condcones de operacón dadas [29]. 7. Los modelos de carga propuestos no conservan la topología del sstema orgnal y algunos no tenen en cuenta la separacón exstente entre las cargas (el efecto de la red de transmsón) [29]. 8. Una consderable atencón se ha prestado a la modelacón de la carga tanto ndvdual como compuesta en los nveles de dstrbucón, sn embargo hay que segur hacendo esfuerzos para mejorar los modelos de carga del nvel de transmsón. Esto requere una mejor representacón de la respuesta agregada de la carga de los nveles de 20

21 subtransmsón y dstrbucón, así como de sus compensadores y de sus transformadores de almentacón (generalmente LTC), puesto que estos nveles son nobservables desde el nvel de transmsón. Esto es de vtal mportanca en el análss de establdad de tensón donde las cargas juegan un rol mportante, es más, donde la restauracón o recuperacón de carga es una de las fuerzas que lleva a la nestabldad de tensón [46]. 9. Modelos genércos de carga han sdo propuestos pero su uso para representar el efecto agregado de los nveles de subtransmsón y dstrbucón es cuestonable, es más estos modelos nvolucran dnámcas contnuas en el tempo y no tenen en cuenta dnámcas dscretas como las del LTC. Además su enfoque ha sdo en la potenca de entrada al nodo así que este modelo no puede ser fáclmente actualzado s se presentan cambos nternos como varacones en la demanda o en el nvel de compensacón en el sstema de dstrbucón [46]. 20. El uso de polnomos o funcones trgonométrcas para modelar el comportamento dnámco de la carga puede tener potencales errores [37]. 2. Es mposble contar con un modelo de carga detallado que contenga todos los dspostvos que demandan energía en un momento dado []. 22. Muchos de los modelos propuestos en la lteratura, y sus parámetros, fueron construdos y aplcados en sstemas o estudos partculares [4]. 23. El efecto de la potenca reactva en una subestacón queda subestmado s se consdera que la potenca reactva medda es la potenca consumda por la carga [43]. 24. Debdo a la complejdad de las cargas modernas, los modelos paramétrcos son ncapaces de capturar con precsón los fenómenos asocados a la potenca, el voltaje y la frecuenca smultáneamente [23]. 25. Los modelos P Q de carga no deben ser empleados para modelar nodos en los que exsten cargas compuestas (dferentes tpos de carga almentados por un msmo nodo del sstema) [23]. 26. La característca de la carga afecta el comportamento dnámco de los sstemas de potenca [0]. 27. El modelamento de la carga requere la estmacón adecuada de su composcón, de la combnacón de modelos de dferentes dspostvos para tener un modelo de carga manejable, todo esto sujeto a la dfcultad en la toma de medcones en campo [0]. 2

22 28. Es muy smple hacer modelos de elementos ndvduales que componen la carga (motores, calentadores, lámparas, entre otros), pero determnar la composcón exacta de la carga es una tarea dfícl puesto que camba constantemente (depende del uso que los usuaros hacen del sstema de potenca, el clma y otros factores) [0]. 29. S se tenen modelos smples de los dferentes dspostvos que componen la carga y estos son matemátcamente dferentes (en forma o estructura), el modelo compuesto es exagerada mente complejo y requere de grandes esfuerzos para reducr el modelo a algunas expresones más manejables [0]. 30. Los componentes de la carga operan usualmente a voltajes dferentes esto dfculta hacer modelos por agregacón [0]. 3. A menos que se tenga una gran varedad en los componentes de la carga y que haya sdo analzada la composcón con algún grado de detalle, no se podrán nterpretar los resultados obtendos con el.n de extrapolarlos a otras condcones [0]. 32. No se puede escapar a la necesdad de relaconar el comportamento de la carga en los nodos del sstema con el comportamento de los dspostvos que la componen [0] Análss de Establdad de Sstemas de Potenca. El modelado apropado de las característcas de la carga es mportante para el análss de los sstemas de potenca, en partcular para el fenómeno de nestabldad de tensón [2], [35], [43]. 2. Muchos estudos han demostrado que la representacón de la carga tene un gran mpacto en los resultados obtendos en el análss de sstemas de potenca [], [2], [8], [8], [2], [34], [37], [40], [4], [42], [43]. 3. Para el análss de establdad de voltaje no se recomenda el uso de modelos estátcos. Además, estudos de casos reales han enfatzado en la necesdad de contar con modelos dnámcos de carga más precsos [8], [2], [4]. 4. La establdad de voltaje está estrechamente lgada a la establdad de la carga y las magntudes de los voltajes dependen drectamente de las fluctuacones de la carga y de la respuesta de la carga ante varacones en el voltaje [], [40]. 5. La deteccón del fenómeno de nestabldad de voltaje es prncpalmente dependente de las relacones exactas entre la potenca y el voltaje y la potenca reactva y el voltaje [], [40]. 22

23 6. La dependenca del voltaje y la frecuenca de la carga afecta en gran medda el comportamento dnámco del sstema de potenca, ncluyendo su repuesta ante perturbacones de pequeña señal, la establdad transtora, la establdad de largo plazo, el amortguamento de osclacones y la establdad de voltaje [8], [29]. 7. Los modelos estátcos de carga son adecuados para algunos análss dnámcos de los sstemas de potenca pero no para todos. Por tal motvo se requere contar con un modelo dnámco de carga que sea precso [9]. 8. Usualmente la carga se representa como una constante, sn embargo esta representacón es nadecuada para algunos estudos como estudos dnámcos del sstema o estudos de colapso de voltaje [35], [42]. 9. Para hacer análss de establdad en línea en los sstemas de potenca se requere montorear y modelar la carga en tempo real [2]. 0. El problema de establdad de voltaje es dnámco por naturaleza y en algunos aspectos no puede ser predcho usando modelos estátcos de carga [].. Excepto casos especales, el problema de establdad en los sstemas de potenca se ha tomado como el problema de mantener las undades de generacón trabajando en conjunto, así se han dedcado la mayoría de los esfuerzos en representar las undades de generacón y la carga ha sdo tomada como un factor que afecta las mpedancas de transmsón [0] Sstemas de Montoreo y Operacón. Modelos nadecuados de carga llevan a que el sstema opere en puntos cercanos al colapso o a la separacón (operacón en slas por ncapacdad de transmtr potenca a todas las áreas del sstema) [9], [42]. 2. Se requeren de modelos de carga más precsos para tener cálculos más aproxmados de los límtes de operacón de los sstemas de potenca [9]. 3. Equpos dsponbles para la recoleccón de la nformacón a veces son nasequbles o la nformacón que reportan no es útl con propóstos de análss [2]. 4. La crecente demanda de energía eléctrca y la falta de recursos (fnanceros y materas prmas para la generacón de energía) son algunas de las razones por las cuales se ha forzado la nfraestructura de 23

24 los sstemas de potenca a trabajar en regmenes de cargabldad altos [8], [43]. 5. El conocmento/nformacón de los parámetros de la carga facltan la planeacón de la operacón del sstema, la predccón o prospeccón acertada de dferentes escenaros y proveen accones de control adecuadas que se deben tener para prevenr un comportamento ndeseado en el sstema de potenca [29], [4], [43]. 6. El comportamento de los sstemas de potenca no solo depende de la carga sno tambén de las mpedancas que las separan, ya que tanto la carga como las mpedancas de la red afectan el flujo de potenca en el sstema de potenca [29]. 7. Exste una gran dfcultad para separar los cambos debdos a varacones en la frecuenca y varacones asocadas al cambo de tensón que acompaña las varacones de frecuenca, esto dfculta la determnacón del efecto de los cambos de frecuenca en el comportamento de la carga [3]. 8. Es muy dfícl hacer cambos de voltaje superores a ± 0% para dentfcar el comportamento de la carga [0]. 9. Hacer cambos perceptbles en la frecuenca es práctcamente mposble, excepto en el caso especal de una carga aslada [0]. 2.3 Solucones Reportadas en la Lteratura En la seccón anteror se presentaron los problemas que actualmente presentan los modelos de carga. Como se pudo ver estos problemas están clasfcados en las áreas de modelamento, análss de sstemas de potenca y montoreo y operacón, luego como es de esperarse, las nvestgacones en el modelamento de la carga tambén se encuentran drgdas a estas msmas áreas. Esto ha permtdo dar solucones a algunos de los problemas que se presentaron en la seccón anteror. A contnuacón se presentan las solucones reportadas en la lteratura y que se relaconan con la representacón de la carga. 24

25 2.3. Modelamento de la Carga. Modelar la carga es un tema que está adqurendo cada vez más mportanca debdo a que los sstemas de potenca están sendo operados más y más en estado de estrés [8], [0], [8], [43]. 2. Exactamente qué se ncluye y qué no en la carga depende de qué está y qué no está representado en el modelo del sstema [2]. 3. S un dspostvo o componente debe ser modelado en detalle o no depende de que tanto la respuesta de este componente afecta las excursones típcas del voltaje y la frecuenca en el estudo que se está realzando [2]. 4. Se han caracterzacón algunas de las cargas que más mpacto tenen en el comportamento del sstema de potenca [2]. 5. Toma de datos del sstema durante dferentes horas del día, dferentes horas de la semana, y dferentes estacones del año, y así poder caracterzar la carga del sstema y modelarla adecuadamente [4]. 6. Como no se cuenta con la medcón de potenca de cada carga sno con la de todas las cargas conectadas a un nodo del sstema, se consderan las cargas como una carga compuesta por todos aquellos dspostvos que se encuentran conectados al nodo en un momento dado [23]. 7. Modelos estátcos para dferentes tpos de carga y valores de sus parámetros [], [40]. 8. Uso de herramentas de ntelgenca artfcal para modelar el comportamento dnámco de la carga [], [2], [8], [8], [23], [34], [37], [50]. 9. El comportamento dnámco de la carga es posble representarlo medante una red neuronal artfcal de tres capas. Es más, está demostrado que una red de tres capas puede modelar cualquer funcón contnua no-lneal [37]. 0. Modelos de carga a partr de medcones obtendas en campo o medante la agregacón por componentes. La prmera se fundamenta en tomar medcones de potenca actva y reactva bajo condcones cambantes de voltaje y frecuenca, e dentfcar los parámetros de un modelo de carga prevamente selecconado. El segundo método se basa en el desarrollo analítco de un modelo agregado de carga a partr de los modelos y parámetros de los modelos ndvduales da los dspostvos prncpales que conforman la carga [2], [8], [9], [0], [23], [29], [4], [42]. 25

26 . La aproxmacón por componentes permte tener una estructura para el modelo de carga mentras que las medcones en campo permten dentfcar sus parámetros de acuerdo al comportamento real de la carga [9]. 2. Modelos de carga estátcos, dnámcos o híbrdos (combnacón de estátcos y dnámcos), en los que la parte dnámca está representada por funcones de transferenca de segundo y tercer orden. Ambos tpos de modelos fueron obtendos a partr de medcones hechas en campo [], [9], [8]. 3. Se ha encontrado que los modelos estátcos de carga son adecuados para la modelacón de cargas resdencales o comercales, pero para las cargas ndustrales se requeren modelos dnámcos [], [8]. 4. Las máqunas de aprendzaje proveen un nuevo camno para el modelado de sstemas a partr de datos obtendos en campo, en partcular para el modelado de grandes sstemas complejos ndustrales como por ejemplo los sstemas de potenca [50]. 5. Modelo de dnámco de carga con recuperacón exponencal como alternatva para predecr el comportamento de la carga tanto en estado estable como ante perturbacones en el voltaje de almentacón [34]. 6. El comportamento de la carga puede ser predcho estudando los cambos en su requermento de potenca actva y reactva debdos a cambos en el voltaje y la frecuenca del sstema, tambén analítcamente o expermentalmente usando regstradores []. 7. Aproxmacones estadístcas para selecconar una muestra lmtada en número de cargas dnámcas, y así determnar las estadístcas sobre algunos parámetros y modelar el comportamento agregado de algunas cargas dnámcas []. 8. S se conoce la composcón de la carga y los parámetros de los dspostvos que la componen, es posble encontrar parámetros equvalentes medante la agregacón por componentes [4]. 9. La mejor forma de determnar los parámetros de la carga es la dentfcacón paramétrca usando expermentos de campo para cada caso [4]. 20. Uso de los resultados reportados en la lteratura para cálculo prevos y análss comparatvo de resultados [4]. 2. Con la caracterzacón de la carga durante toda la estacón es posble modelar el comportamento de carga de toda la estacón, no hace falta encontrar parámetros para cada día [4]. 26

27 22. La potenca reactva sumnstrada por los sstemas de compensacón puede ser cuantfcada a partr de las medcones de potenca actva y reactva en las subestacones, comparando el consumo de potenca los días de semana con los días de fn de semana y ferados [43] Análss de Sstemas Eléctrcos de Potenca. Las constantes de tempo de las cargas dnámcas se encuentran alrededor de los 70ms, aunque dependen de la severdad de la perturbacón en la red. Para análss de establdad de tensón, las constantes de tempo están alrededor de los 70ms, tenendo en cuenta que las perturbacones en este caso son severas [43]. 2. La IEEE ha recomendado algunos modelos para representar la carga que pueden ser empleados en smulacón dnámca y cálculo de flujos de potenca. Además se propone que se obtene una mejora en la fdeldad del modelado usando los modelos exstentes ncluyendo los modelos dnámcos [8], [50]. 3. El modelamento basado en medcones de campo permte tener nformacón en línea del comportamento de la carga, y faclta la ntegracón con sstemas de análss y control [9]. 4. Para la smulacón de sstemas de potenca hay una gran varedad de posbles modelos de carga, cada uno de ellos dfere de los demás en su explcdad, complejdad, precsón, domno en el que están defndos, tratabldad, y algunos otros aspectos más [8], [34], [50]. 5. Los motores de nduccón son la carga más pelgrosa en la nestabldad de de voltaje de estado estable, usando el crtero para determnar el dv máxmo punto de cargabldad de un sstema y su proxmdad al colapso [40]. 6. Exste una técnca para dentfcar en que nodos el efecto dnámco de la carga es sgnfcatvo y en cuales no [8]. 7. El modelo ZIP es sufcente para hacer análss de establdad de tensón en sstemas eléctrcos de potenca [2]. 8. Uso de modelos dnámcos de carga para análss del sstema de potenca ante pequeñas y grandes perturbacones [4]. 27

28 2.3.3 Sstemas de Montoreo y Operacón. Uso de modelos estátcos de carga para determnar las condcones de estado estable del sstema []. 2. Mejoras en los sstemas de adquscón de datos y en los regstradores del sstema de potenca [2]. 3. Utlzar equpos regstradores que permtan capturar datos antes, durante y después de una perturbacón en el sstema y así tener la nformacón necesara para estudar la respuesta dnámca de la carga ante perturbacones en el sstema [9], [43]. 4. El modelado precso de la carga permte dseñar los sstemas de potenca de forma más económca debdo a que se evtar cálculos erróneos y mala operacón del sstema basada en límtes de operacón mprecsos [29]. 5. Modelar el comportamento dnámco de la carga de forma aproxmada permte tener un mejor cálculo de los sstemas de control y los límtes de establdad en los sstemas eléctrcos de potenca [2]. 6. El uso de modelos dnámcos en la operacón de los sstemas de potenca trae grandes ventajas, como poder capturar la dnámca del sstema de potenca, en partcular la dnámca de la carga, cuando el voltaje en el nodo de almentacón camba, y poder operar el sstema más cerca de sus límtes de establdad aprovechando así la nfraestructura con que se cuenta [35]. 7. Determnar la composcón de la carga es de gran mportanca para saber la condcón de cargabldad en la que está trabajando el sstema de potenca [0]. 2.4 Resumen En este capítulo se presentó el estado del arte en el modelamento de carga en sstemas eléctrcos de potenca. Esta revsón bblográfca será de gran utldad en este capítulo para la seleccón del modelo de carga que se va a emplear para representar el comportamento dnámco de la carga cuando se formule el modelo del sstema eléctrco de potenca en el sguente capítulo. En las fgura 3 se presenta un cuadro resumen de los problemas y solucones reportadas en la lteratura asocadas al modelamento de la carga. En azul se resaltan las áreas en las que se trabajó al realzar este trabajo. 28

29 Problemas Y Solucones Modelamento Carga Análss SEP Sstemas Montoreo- Operacón Comportamento Agregado Resultados Dependen Modelo Carga Herramentas Identfcacón Parámetros Carga Fgura 3. Clasfcacón de los problemas y solucones reportadas en la lteratura en el modelamento de carga. 29

30 3 Modelamento de Sstemas Dnámcos 3. Introduccón En su gran mayoría, el trabajo de ngenería está relaconado con modelar matemátcamente el objeto estudado, esto puede ser aprecado claramente en el anteror capítulo en el que se presentan dferentes alternatvas para descrbr matemátcamente el comportamento de la carga. Por tanto, es de gran mportanca manejar el arte de construr representacones matemátcas de procesos reales. Para ello se requeren dos conocmentos báscos [28]:. Conocmento experto: se relacona con el funconamento y las propedades del proceso a modelar. 2. Conocmento de ngenería: se relacona con saber cómo el conocmento experto puede ser usado para la construccón de modelos útles del proceso real. En térmnos generales, el modelado de sstemas reales puede hacerse de forma estátca o dnámca, sendo los modelos dnámcos los más generales (el modelo dnámco de un proceso contene a todos los modelos estátcos del msmo proceso). Para el modelado dnámco de sstemas exsten dos varantes [28]:. Modelamento fenomenológco: se basa en que el comportamento de un sstema real obedece a certas leyes físcas que pueden ser usadas para hacer una representacón matemátca de los fenómenos asocados al comportamento del sstema. La lmtacón que tene es que sólo es váldo cuando se conocen las leyes físcas que rgen el comportamento del sstema. 2. Identfcacón de sstemas: se basa en la observacón del sstema con el fn de abstraer las propedades asocadas a su comportamento y con base en esta abstraccón construr una representacón matemátca. Aunque en la práctca ambas formas de modelar están poco asocadas, ambas están altamente relaconadas porque las leyes físcas no son más que la dentfcacón de los fenómenos naturales (entendendo dentfcacón como se defnó anterormente). Las formas de modelar anterormente presentadas son las más comunes en el modelamento de sstemas y procesos en ngenería, sn embargo no es la únca, en cencas como la astronomía y la físca se encuentra una nueva opcón para el modelado de sstemas dnámcos. En estas áreas del 30

31 conocmento los sstemas se analzan a partr del comportamento de su energía. Esta forma de modelar consste en relaconar las varables de estado con las varacones espacales y/o temporales de la energía del sstema y las exctacones externas. Esto faclta dstngur las fuerzas conservatvas, establzantes y desestablzantes que actúan en el sstema, y a su vez permte descrbr el comportamento del sstema como la nteraccón entre estas fuerzas [38] y las fuerzas externas. El modelamento de sstemas dnámcos medante el comportamento de su energía, al gual que el modelamento en ngenería presentado anterormente, tene dos paradgmas [3]:. Mecánca de Lagrange: basado en los prncpos varaconales y su generalzacón en un contexto relatvsta. Esta formulacón de la mecánca está centrada en que exsten prncpos varaconales más allá de las leyes de balance de fuerzas proporconado por la ley de Newton F = ma. 2. Mecánca de Hamlton: basado drectamente en el concepto de energía. Esta formulacón de la mecánca se encuentra muy cerca de la mecánca cuántca. Permte modelar sstemas de múltples partículas que nteractúan entre sí con muy buena aproxmacón, por tal motvo se ha comenzado a emplear para el modelado de sstemas de gran escala, como sstemas eléctrcos de potenca. En la fgura 4 se muestra un cuadro resumen con las tendencas en el modelado de sstemas dnámcos presentadas anterormente y sus paradgmas. En azul se resaltan la tendenca y el paradgma que se empleó para la realzacón de este trabajo. Partendo de las defncones anterores, en este capítulo se modeló de forma fenomenológca un sstema eléctrco de potenca multmáquna. A partr de este modelo se hzo la representacón de este sstema en térmnos de la dstrbucón espacal de su energía cuando se consdera la demanda constante y cuando se tene en cuenta el comportamento dnámco de la carga. En este últmo caso se tuvo en cuenta el trabajo presentado en el capítulo anteror para la seleccón de un modelo adecuado para representar el comportamento dnámco de la carga. 3

32 Modelamento De Sstemas Dnámcos Modelamento Tradconal Modelamento Medante Funcones De Energía Fenomenológco Identfcacón Euler-Lagrange Contexto Relatvsta Hamlton Mecánca Cuántca Fgura 4. Tendencas y paradgmas en el modelamento de sstemas dnámcos 3.2 Sstemas de Hamlton Como ya se menconó, el paradgma del modelado de sstemas dnámcos como sstemas de Hamlton parte del concepto de energía. Con esta formulacón lo que se busca es relaconar la velocdad del sstema, q, y el cambo en los momentos, p, con la varacón espacal en la energía y con las fuerzas externas que actúan sobre el sstema, τ. La forma canónca de esta formulacón está dada por las ecuacones 2. y 2.2 (la deduccón de las ecuacones de Hamlton y la demostracón de su equvalenca con las ecuacones de Euler-Lagrange se presenta en [3]). H( p, q) q = p H( p, q) p = + τ q (2.) (2.2) Con H (). funcón escalar que modela el comportamento de toda la energía del sstema. Esta funcón es conocda como Funcón de Hamlton del Sstema. A partr de la forma canónca dada por las ecuacones 2. y 2.2, se dervan otras formulacones de los sstemas de Hamlton. En la fgura 5 una 32

33 clasfcacón de los sstemas de Hamlton, en azul se resalta el tpo de sstema de Hamlton que se empleó en la realzacón de este trabajo. Sstemas de Hamlton Forma Canónca Restrccones Algebracas Puertos Controlados Conservatvos Dspatvos Elem. Dsp. Lneales Fgura 5. Clasfcacón de los sstemas de Hamlton Elem. Dsp. No Lneales En la sguente seccón se presenta la descrpcón matemátca de los sstemas dspatvos de puertos controlados cuyos elementos dspatvos presentan un comportamento lneal. Esta descrpcón será empleada en seccones posterores para el modelamento de sstemas de potenca multmáquna. 3.3 Sstemas Dspatvos de Hamlton de Puertos Controlados En el análss de sstemas complejos se debe tener en cuenta las pérddas de energía, ellas juegan un papel muy mportante en el comportamento del sstema ya que pueden hacer que un sstema se vuelva nestable. Un caso en el que esto se ve reflejado es en los sstemas de potenca. En estos sstemas las lmtacones en el transporte de energía reactva hace que los voltajes tomen valores por fuera de los límtes permtdos y que en muchas ocasones el sstema colapse. Como se mostró en la seccón anteror, los sstemas de Hamlton abarcan sstemas en los que exsten elementos que dspan o consumen energía. Estos sstemas están defndos por un espaco de estados χ descrto por el conjunto J x R x, g x, H x x g x capturan la { ( ), ( ) ( ) ( )}, donde las matrces J( x ), R ( ) y ( ) estructura de nterconexón del sstema ( J( x ) modela las estructuras conservatvas del sstema, R ( x) modela las estructuras dspatvas del sstema, g( x) modela los puertos del sstema), y H (.: ) χ R es una funcón 33

34 ndependente de la estructura del sstema que representa toda la energía almacenada en él [48]. Las ecuacón 2.3 muestra la relacón entre los J x, R x, g x, H x. elementos del conjunto { ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) H x x = J( x) R( x) + g( x) u x T H( x) y = g ( x ) x (2.3) En este trabajo, el modelo de las estructuras dspatvas, R ( x) ecuacón 2.4., está dado por la u r = Sy (2.4) r Dónde S es una matrz smétrca semdefnda postva, u r y varables asocadas a los puertos en los que se dspa energía. y r son las De la anteror formulacón, ecuacones 2.3 y 2.4, se tene que exsten dos tpos de estructuras geométrcas que tenen un mportante rol en el comportamento de este tpo de sstemas:. Interconexones nternas: asocadas a la conservacón de la energía. 2. Estructuras dspatvas: asocadas a los elementos que dspan energía en el sstema. Además, de esta msma formulacón se dervan las sguentes propedades de los sstemas dspatvos de puertos controlados [48]:. Los sstemas dspatvos de puertos controlados son modulares: la nterconexón de sstemas de este tpo da como resultado otro sstema dspatvo de puteríos controlados con H ( x) = H ( x) número de sstemas nterconectados. 2. La matrz [ ( x) R( x) ] n =, donde n es el J contene toda la nformacón del sstema autónomo descrto por la ecuacón 2.5. ( ) ( ) x= J x R x ( ) H x x (2.5) En las sguentes seccones se utlzará la formulacón presentada anterormente, ecuacones 2.3 y 2.4, para modelar sstemas de potenca multmáquna, además en el próxmo capítulo se analzará la establdad del sstema autónomo descrto por la ecuacón

35 3.4 Realzacón Dspatva de Hamlton de Sstemas Eléctrcos de Potenca En las seccones anterores se presentó un tpo especal de sstemas de Hamlton: los sstemas dspatvos de Hamlton de puertos controlados. Estos sstemas pueden ser usados para modelar sstemas dnámcos conservatvos o dspatvos en térmnos del comportamento de su energía, facltando, en algunos casos, la aplcacón de dferentes herramentas su análss. Para modelar sstemas dnámcos como un sstema de puertos controlados se debe realzar una transformacón, llamada Realzacón Dspatva de Hamlton, o Realzacón de Hamlton en el caso de los sstemas conservatvos. Tal transformacón consste en encontrar los elementos del conjunto { J ( x), R( x), g( x), H ( x) }, a partr del modelo orgnal o ncal que se tenga del sstema dnámco. Para tal fn, el sstema debe ser expresado de forma afín con la entrada, ecuacón 2.6 en el caso de sstemas algebraco-dferencales como los sstemas eléctrcos de potenca. x = f ( x, z) + g( x, z) u 0 = σ ( xz, ) (2.6) n m s Donde x, u, z representan, respectvamente, las varables de estado, las entradas del sstema y las varables algebracas. Además, se asume que las funcones vectorales f (.), g (.) y σ (.) son suaves y de las dmensones adecuadas. Luego de tener el sstema expresado de esta forma, ecuacón 2.6, se deben encontrar las matrces J ( x, z) y R ( x, z), y la funcón de energía o funcón de H x, z, tal que se satsfagan las restrccones 2.7 y 2.8. Hamlton del sstema ( ) (, ) H x z f ( x, z) = J( x, z) R( x, z) x H( x, z) σ ( xz, ) = z (2.7) (2.8) Sendo H ( x, z) una funcón escalar contnua y dferencable, ( x z) antsmétrca y ( x z) J, una matrz R, una matrz semdefnda postva en un domno apropado. De la ecuacón 2.8 puede nferrse una propedad muy mportante de los sstemas de puertos controlados con restrccones algebracas: los cambos en la energía del sstema son ndependentes de los valores que tomen las restrccones algebracas a lo largo de las trayectoras del sstema [25]-[27]. 35

36 Fnalmente, al encontrar las matrces J ( x, z) y ( x z) del sstema ( x z) R,, y la funcón de Hamlton H,, el sstema toma la forma descrta por la ecuacón 2.3 (ver seccón anteror). Luego de hacer una breve presentacón del procedmento para representar un sstema dnámco como un sstema dspatvo de puertos controlados, se aplcará este procedmento para representar sstemas de potenca multmáquna como sstemas dspatvos de puertos controlados. Para hacer esta aplcacón se tendrán en cuenta dos condcones: demanda de potenca actva y reactva constante en los nodos de carga, y carga con comportamento dnámco dependente del voltaje de almentacón Realzacón Dspatva de Hamlton Tenendo en Cuenta Demanda de Potenca Actva y Reactva Constante Consdere un sstema eléctrco de potenca de n máqunas y m cargas nterconectadas por líneas de transmsón sn pérddas. Sea el nodo n + el nodo de referenca del sstema. Adoptando como modelo de las undades de generacón el modelo en uno solo de sus ejes (modelo de tercer orden de los generadores sncróncos), y consderando que los nodos de carga tenen una demanda constante de potenca actva y reactva, el modelo del sstema eléctrco de potenca está dado por las ecuacones 2.9 y 2.0 [25], [27]. V r X 0 = δ ω0 ( ω ) 0 0 D P m ω = ( ω ) P e + 0 M M M E f ' E φ q 0 ' τd 0 ' EqVsen( ) n n m θ δ ' + BVVsen θ θ + B VVsen θ γ X j= k= n+ 2 d ( θ δ ) j ( ) ( ) j j j k k k 2 ' EqV cos n BV cos ' ' BVV j j θ θj BkVV k θ γk d X j k n 2 d = = + j n+ n+ m+ n m ( ) cos( ) ( ) ( ) P + B VVsen γ θ + B VVsen γ γ dk = k k k l= kl k l k l l k n+ n+ m+ 2 d cos k kk k k k k = l= l k kl k l k l ( ) ( ) Q B V B V V γ θ B V V sen γ γ (2.0) (2.9) 36

37 Donde P Q e e ( θ δ ) ' q ' X d E Vsen = V E V = X 2 ' d ( θ δ ) ' q cos ' Xd ' xd ' xd xd E ' ' q V ' ' xdtd 0 xdtd 0 φ = + cos( δ θ ) T T ' Sean x = [ x, x2,..., x n ], x = δ, ω, E q, T T z = [ θ, V ], z = [ γ, V ], [,,..., ] g lk k k D f ω 0 ( ω, ) ( ) Pe, M ω M φ =, g dag [ g,..., gn ] T z = z, z,..., z, z, z,..., z, g g2 gn ln+ 2 ln+ 3 ln+ m+ =, f f f2 f n =, T 0 0 g = 0 M 0 ' τdo y u = P, E, el modelo del sstema eléctrco de potenca (ecuacones 2.9 y m f T 2.0), puede escrbrse como un sstema de la forma 2.6. Esto mplca, según el procedmento prevamente presentado, que la realzacón dspatva de Hamlton es posble hacerla para este tpo de sstemas. Según el procedmento descrto anterormente, el segundo paso para encontrar la representacón de Hamlton de un sstema dnámco es encontrar las matrces J ( x, z) y R ( x, z), y la funcón de Hamlton del sstema H ( x, z), tales que el sstema pueda ser escrto medante las ecuacón 2.. T (, ) H x z x = J( x, z) R( x, z) + g( x, z) u x H( x, z) 0 = z (2.) Para lograr esto se hzo la transformacón que se muestra en las ecuacones 2.2 y 2.3 [25], [27]. v v k = lnv (2.2) = lnv (2.3) k Esta transformacón es posble hacerla porque el valor de los voltajes en los nodos de generacón y de carga es mayor que cero hasta que el sstema 37

38 colapsa. Con esta transformacón es posble demostrar que una funcón de Hamlton que satsface las restrccones 2.7 y 2.8 es Donde E ( x, z ) y (, ) k p (, ) = (, ) + (, ) H x z E x z E x z k E x z están defndas como en 2.4 y 2.5. E n = p ω ( ) 2 0M ω (2.4) k 2 = E e B B e n n+ m+ 2v 2vk p = ' kk 2 X = d 2 k n 2 = + n+ m+ n ' v Eqe cos Pd γ k k + Qd v k k ' k= n+ 2 = X d ( θ δ ) X n n+ n+ m+ d '2 v+ vk E cos ' ' q Bke = 2Xd ( X ) k n 2 d X d = = + k n+ m+ n+ m+ vk+ vl Be kl cos( γk γl ) k= n+ 2 k= n+ 2 ( θ γ ) (2.5) Luego la representacón de Hamlton de los sstemas eléctrcos de potenca multmáquna queda descrto por las ecuacón δ M 0 0 Pe D P m ω = 0 0M ( ) 0 2 ω ω + M M M 0 ' E ω f ' τ ' d 0 E q x d x d φ ' x ' ' d x d τ d 0 d 0 τ H( x, z) 0 = z (2.6) Sendo las matrces J ( x, z) y R ( x, z) 0 0 M J( X, Z) = 0 0 M

39 0 0 0 D RXZ (, ) = M ω0 ' Xd X d 0 0 ' τd 0 Nótese que J ( x, z) es una matrz antsmétrca y que ( x z) R, es una matrz smétrca semdefnda postva en la regón dónde D 0, luego la realzacón dspatva de Hamlton para los sstemas de potenca consderando la demanda de potenca actva y reactva en los nodos de carga está completa Realzacón Dspatva de Hamlton Tenendo en Cuenta el Comportamento Dnámco de la Carga Luego de representar los sstemas de potenca con demanda de potenca constante como sstemas de Hamlton, lo que se quere es extender este resultado al caso en que la carga presenta un comportamento dnámco, en partcular cuando la respuesta dnámca de la carga depende del comportamento del voltaje de almentacón. Esto en el capítulo sguente permtrá determnar cual es el efecto que la respuesta dnámca de la carga tene sobre la establdad de tensón en los sstemas de potenca. Partendo del estado del arte presentado con anterordad, se sabe que un modelo de carga que represente de forma adecuada su comportamento dnámco debe contar con tres característcas prmordales [39]:. Debe mostrar la dependenca del comportamento en estado estable de la carga, del comportamento del voltaje de almentacón. 2. Debe mostrar la dependenca del comportamento transtoro de la carga, del comportamento transtoro del voltaje de almentacón. 3. Debe mostrar la dependenca del comportamento total de la carga, ante perturbacones, de su constante de tempo. Estas condcones fueron nferdas luego varas nvestgacones orentadas a estudar la respuesta de la carga ante perturbacones, partcularmente perturbacones de gran señal [7]. Tales nvestgacones mostraron que la respuesta dnámca de la carga es como se muestra en la fgura 6. 39

40 Fgura 6. Respuesta dnámca de la carga ante una perturbacón tpo escalón en el voltaje de almentacón. Al hacer el estado del arte en el modelamento de la carga, se encontró que un modelo que reúne las tres condcones necesaras para representar el comportamento dnámco de la carga presentadas en [39] y ya mostradas en este trabajo, que representa el comportamento mostrado en la fgura 6 y que a su vez fue desarrollado para hace análss de sstemas de potenca es el propuesto por Hll en 993 [7]. Este modelo está descrto por las ecuacón 2.7. dpd dv τ p + Pd = Ps( V) + Kp( V) dt dt dqd dv τ q Qd Qs( V) Kq( V) dt + = + dt (2.7) En este modelo las funcones Ps ( V ) y s ( ) estado estable de la carga y su dependenca del voltaje, Kp ( V ) y Kq ( V ) Q V modelan el comportamento de modelan el comportamento transtoro de la carga y su dependenca del voltaje 40

41 y, τ p y τ q, son las constantes de tempo de la carga. La nteraccón entre estas funcones permte representar el comportamento mostrado en la fgura 6. Por otra parte, en la referenca [45] se demuestra que el comportamento dnámco de las prncpales cargas dnámcas en los sstemas eléctrcos de potenca (motores de nduccón, transformadores con cambadores de tomas y hornos de calefaccón y sstemas de refrgeracón), puede ser representado medante las ecuacones 8 y 9. Este es otro motvo por el que se selecconó este modelo de carga para realzar este trabajo. Partendo de las ecuacón 2.7, además tenendo en cuenta que el comportamento del voltaje en los dferentes nodos del sstema está estrechamente relaconado con la capacdad del sstema de transportar energía reactva, el voltaje en los nodos de carga puede representarse como un estado más del sstema medante la ecuacón 2.8. dq V = + Q Q ( V) K V dt d τ q d s q ( ) (2.8) Remplazando esta expresón en la ecuacón para el cálculo de la potenca actva, la ecuacón 2.7 queda expresada como la ecuacón 2.9. La expresón resultante nos permte relaconar el comportamento de la potenca actva con la demanda de potenca reactva. ( V) ( ) dp K dq τ + P = P ( V) + τ + Q Q ( V) d p d p d s q d s dt Kq V dt (2.9) S en las expresones 2.8 y 2.9 tomamos como térmno de perturbacón el asocado a la tasa de cambo de la potenca reactva demandada en los nodos dqd de carga, τ q, el comportamento nomnal del voltaje en los nodos de carga dt así como el de la demanda de potenca actva en estos nodos puede escrbrse como 2.20 y 2.2. V = Q Q V (2.20) K ( d s( )) ( V) Kp ( V) ( ) ( ( )) ( ) q dp τ + P = P V + Q Q V (2.2) d p d s d s dt Kq V Las ecuacones 2.20 y 2.2 permten el cálculo tanto de la potenca actva como del voltaje en los nodos de caga como funcón de la potenca reactva demandada. Esto será de gran mportanca en el capítulo sguente para encontrar una regón de establdad para sstemas eléctrcos de potenca multmáquna. Sn embargo para hacer uso de ellas e ntroducrlas en el modelo del sstema de potenca que se trabajó en el apartado anteror, ecuacones 2.9 4

42 y 2.0, es necesaro aplcarle a estas expresones la transformacón dada por las ecuacones 2.2 y 2.3. Al hacer esto, el comportamento del voltaje y la potenca actva demandada en los nodos de carga queda representado por 2.22 y q v ( e ) v ( d s( )) v e v = Q Q e (2.22) K v ( ) v ( e ) v ( ) dp K τ + P = P e + Q Q e (2.23) v ( ( )) d p p d s d s dt Kq e Introducendo las expresones 2.22 y 2.23 en el modelo del sstema de potenca, ecuacones 2.9 y 2.0, se obtene el modelo extenddo conformado por las ecuacones 2.24 y 2.25, sujeto al comportamento dnámco de la potenca actva demandada en los nodos de carga, ecuacón 2.2. ( ω ) ω0 0 0 δ 0 D ( ω ) 0 P 0 e ω M M M P m = ' E E ϕ f 0 q ' dq v d k k e τ v d 0 τ k qk v ( Qd -Q s ( e ) v ) dt k k k k k 0 0 q ( e ) k (2.24) Sean f ( ) ' v Eq e sen θ δ n+ v+ v n+ m+ j v+ vk ( ) ( ) ' + Be j sen θ θ j + Bke sen θ γ k X d j= k= n+ 2 j r e ( θ δ ) 0= cos θ θ + cos θ γ X n+ n+ m+ vk+ v vk+ vl Pd + B ( ) k ke sen γk θ + Bkle sen( γk γl ) = l= n+ 2 l k (2.25) 2v ' v Eq e cos n+ n m 2v v + v + + j v + v Be k ' ' Be j j Bk e k d X j k n 2 d = = + j g 0 e M M g g2 gn ln+ 2 ln+ 3 ln+ m+ 2 ( ) ( ) f = f, f,..., f, f, f,..., f sendo ω ( ω D, ) ( ω ) P, φ = T T vk vk, fl ( Qd -Q s ( e ) v ) k k k k qk e = k ( e ) ; 42

43 = [ ], donde g dag g,..., gn M g = 0 ' τ do 0 0 ; y b= 0,...,0 n+, bn+ 2,..., bn+ m+ con 0 [ 0 0 0] T dqd k =, bk =τ q, el modelo conformado por las expresones 2.24 y k dt 2.25 tene la forma de un sstema perturbado afín con la entrada descrta por las ecuacón T x = f xz + g xzu + b xz 0 = σ, (, ) (, ) (, ) ( xz) (2.26) Al gual que en el caso en que se consderó la demanda de potenca actva y reactva constante, en este caso el sstema de potenca se expresó como un sstema afín con la entrada, prmer paso para lograr una realzacón de Hamlton para un sstema dnámco según el procedmento que se mostró al nco de esta seccón. Esto nos ndca que la realzacón es posble y que el J x, z y paso a segur según este procedmento es encontrar las matrces ( ) R ( xz, ), y la funcón de Hamlton del sstema (, ) pueda ser escrto medante las ecuacón 2.. Tomando nuevamente como funcón de Hamlton Donde E ( x, z ) y (, ) k p H ( x, z) = E ( x, z) + E ( x z) k p, E x z están defndas como en 2.27 y n Ek = ω0 ω 2 = ' v n cos 2 n+ m+ n Eq e θ δ v p = ' d γ k k ' 2 = X d k= n+ 2 = Xd ' ( ) H x z, tales que el sstema M ( ) 2 (2.27) ( γ γ ) ( ) E e B P X θ γ n d n+ m+ n+ n+ m+ '2 2vk v+ vk E cos ' q B kke Bke k = 2X 2 d Xd Xd k= n+ 2 = k= n+ 2 n+ m+ n+ m+ k= n+ 2k= n+ 2 vk+ vl kl cos k l B e ( ) (2.28) La representacón del Hamlton del sstema eléctrco de potenca multmáquna tenendo en cuenta el comportamento dnámco de la carga está dada por las ecuacón

44 0 0 0 M δ Pe D 0 0 M ω0 ( ω ) ω 2 M Mω 0 ' τ = d 0 ' ' X ' Eq d X φ d Xd X d ' τ d 0 v Qd k k f ( Qd, v ) k k M P 0 m E f 0 ' τ dqd k d 0 τ qk dt 0 0 H( X, Z) 0 = Z (2.29) Donde f ( Q ) ( ) (, v = dag f n + 2 Q d, v,..., f n m 2 n 2 Q d n , v ) n+ m+ n+ m+ e f Q v = e. vk vk (, ) ( Q s ( )-Q v ) k dk k k d k k Qd k q ( e ) k k, con En este caso las matrces J( x, z ) y (, ) R xz están defndas como M J( X, Z) = M D M ω0 RXZ (, ) = ' Xd X d ' τd f Q, k ( d vk) Nótese que, al gual que en el caso en que se consderó la demanda de J x, z es antsmétrca y la potenca actva y reactva como constante, la matrz ( ) 44

45 matrz R ( xz, ) es smétrca y semdefnda postva en la regón defnda por D 0, f ( Qd, vk ) 0. Como exsten dos matrces J( x, z ) y R ( xz, ), y una funcón escalar H( x, z ), tales que el sstema pueda ser escrto medante las ecuacones 2 y 3, la realzacón dspatva de Hamlton para un sstema eléctrco de potenca multmáquna tenendo en cuenta el comportamento dnámco de la carga queda completa, sujeta a las restrccones prevamente menconadas. Dcha realzacón, ecuacón 2.29, será empleada en el próxmo capítulo para el análss de establdad de sstemas eléctrcos de potenca multmáquna que almentan cargas dnámcas. 3.5 Resumen En este capítulo se hzo una breve ntroduccón a los sstemas de Hamlton, se presentó una clasfcacón de ellos y se mostró la formulacón matemátca de la clase más general de los sstemas de Hamlton: los sstemas dspatvos de puertos controlados. De estos sstemas se trabajó con aquellos cuya parte dspatva tene un comportamento lneal. Esta formulacón fue aplcada al modelamento de sstemas eléctrcos de potenca multmáquna, tenéndose como resultado una nueva realzacón dspatva de Hamlton para este tpo de sstemas. Lo novedoso de esta realzacón radca en que se tuvo en cuenta el comportamento dnámco de la carga. Como resultado colateral se encontró que el comportamento dnámco de la carga ntroduce nuevas restrccones en el comportamento de los sstemas eléctrcos de potenca, en el sentdo de la formulacón de los sstemas dspatvos de Hamlton de puertos controlados, en comparacón con las realzacones reportadas en la lteratura en las que se consdera la demanda de potenca actva y reactva como constantes [25], [27]. Los resultados obtendos en este capítulo serán utlzados en el capítulo sguente como base para el análss de establdad de sstemas de potenca multmáquna. 45

46 4 Establdad de Sstemas de Potenca 4. Introduccón Hasta este punto, en este trabajo se han presentado los problemas y solucones reportados en la lteratura en el modelamento de la carga, se ha ntroducdo el concepto de modelamento hacendo énfass en el modelamento medante funcones de energía, especalmente en térmnos de la funcón de Hamlton. Partendo de esto se modeló un sstema eléctrco de potenca multmáquna como un sstema de Hamlton tenendo en cuneta demanda de potenca actva y reactva constante, y el comportamento dnámco de la carga, llagándose a conclur que el últmo caso es más restrctvo que el prmero. Todos estos resultados son la base para el desarrollo de este capítulo, ya que en él se presenta el análss de establdad de sstemas de potenca a partr de la realzacón de Hamlton tenendo en cuenta el comportamento dnámco de la carga. Para tal fn se comenzará con la defncón de establdad que será empleada a lo largo del captulo con el fn de evtar ambgüedad en la nterpretacón de los resultados y confusones al lector. En térmnos generales, se entende que un sstema es estable s al ser perturbado, su trayectora perturbada permanece cerca de su trayectora no perturbada [35]. La anteror defncón ha dado pe para que al analzar la establdad de un sstema dnámco el nvestgador tenga que hacerse tres preguntas fundamentales [6]:. Bajo qué condcones el sstema puede volverse nestable? 2. Qué posbles trayectoras pueden segur las varables de estado del sstema? 3. Es posble estmar la velocdad de cambo de las varables de estado del sstema como funcón de las perturbacones? Las respuestas de estas preguntas pueden llegar a ser útles para encontrar las herramentas adecuadas para el análss de establdad del sstema dnámco de nterés. Por ejemplo, en el caso de los sstemas de potenca, y tenendo en cuenta los resultados del capítulo anteror, es posble pensar que cuando las trayectoras del sstema se encuentren por fuera del domno de la realzacón dspatva de Hamlton es sstema se vuelve nestable, luego se necestan herramentas que permtan demostrar o refutar esta hpótess. Además de encontrar las herramentas adecuadas para el análss del sstema dnámco de nterés, estas preguntas tambén han ayudado a los nvestgadores 46

47 ha formular metodologías para el análss de establdad de sstemas dnámcos. Algunas de estas herramentas son:. Análss de bfurcacones: este análss permte encontrar puntos en los que las trayectoras del sstema dnámco presentan cambos cualtatvos. Este análss es amplamente usado para el análss de sstemas complejos debdo a que por su complejdad la mayoría de herramentas de análss no son aplcables e ncluso en algunos casos fallan. 2. Análss medante funcones de energía: este análss busca determnar la establdad de los puntos de equlbro del sstema dnámco medante el comportamento de la funcón de energía del sstema. La herramenta de análss más conocda es la teoría de Lyapunov [36], sn embargo en el análss de sstemas complejos se usan el teorema de Drchlet- Lagrange [3], las funcones de energía de Casmr [3], el método de los momentos [3] y el análss de pasvdad [38]. Estos últmos están orentados prncpalmente al análss de sstemas de Hamlton. 3. Teorema de la varedad central: el teorema de la varedad central es una extensón del análss de bfurcacones. Este teorema brnda una herramenta para el análss de establdad de sstemas dnámcos en la frontera de su domno, es decr cuando sus valores propos tenen parte real cero [4]. Sn embargo este teorema no es muy aplcado a sstemas complejos debdo a que mplca resolver un problema de smlar complejdad que encontrar sus trayectoras (resolver las ecuacones dferencales que modelan su comportamento). 4. Análss de establdad total: el análss de establdad total pretende establecer las condcones que se deben cumplr para que la establdad de los puntos de equlbro de un sstema perturbado y su sstema nomnal conservan las msmas característcas [5]. De las herramentas anterormente presentadas, se selecconaron el análss de bfurcacones y el análss de establdad total como herramentas para conclur sobre la establdad de sstemas de potenca modelados como sstemas de Hamlton (ecuacón 2.29). Estas herramentas fueron selecconadas porque permten hacer el análss de sstemas complejos y determnar regones de establdad para estos sstemas. En las sguentes seccones se muestra el análss de bfurcacones aplcado a sstemas eléctrcos de potenca multmáquna y una aproxmacón matemátca al concepto de establdad total aplcado a este tpo de sstemas. 4.2 Análss de Bfurcacones en Sstemas Eléctrcos de Potenca. Como se menconó en la ntroduccón de este capítulo, el análss de bfurcacones es una herramenta que permte nferr algunas característcas 47

48 cualtatvas del comportamento del sstema en la vecndad de sus puntos de equlbro. Se dce que un punto de equlbro es un punto de bfurcacón cuando en este punto hay un cambo cualtatvo en el comportamento del sstema, por ejemplo pasar de un comportamento estable a uno nestable, al varar el valor de uno o más parámetros del sstema. Esto ha hecho del análss de bfurcacones una de las herramentas más utlzadas para el análss de sstemas complejos, como sstemas de Hamlton. Como ya se mostró en el capítulo anteror los sstemas de potenca pueden ser representados medante la formulacón de los sstemas de Hamlton, luego el análss de bfurcacones es una gran herramenta analzar su comportamento. Para tal fn (análss de bfurcacones), se tomará como modelo del sstema de potenca el descrto por las ecuacón 2.29 (correspondente a la realzacón dspatva de Hamlton tenendo en cuenta el comportamento dnámco de la carga), ya que tambén nteresa determnar cómo afecta el comportamento dnámco de la carga la establdad del sstema de potenca. El sstema autónomo que descrbe el modelo selecconado para el sstema eléctrco de potenca está dado por la ecuacón 3.. (, ) x= [ J( x, z) R( x, z) ] H x z x (3.) Donde la matrz [ J ( x, z) R( x, z)] contene toda la nformacón del sstema dnámco, en este caso del sstema eléctrco de potenca. Calculando los valores propos de esta matrz es posble determnar en qué puntos el sstema presenta cambos cualtatvos en su comportamento y establecer las condcones que se deben cumplr para que el sstema sea estable. Al hacer esto se encuentra que los valores propos de la matrz [ J ( x, z) R( x, z)] están dados por las expresones 3.2 a 3.5 x x λ = (3.2) ' d d ' τ d0 2 k f Qdk, vk ( ) λ = (3.3) D D 4ω M λ = (3.4) ω0m D + D 4ω M λ = (3.5) ω0m Vale la pena aclarar que en el caso en que se consdera la demanda de potenca actva y reactva en los nodos de carga como constantes, el valor propo asocado al comportamento dnámco de la carga, ecuacón 3.3, no exste. Esto es mportante aclararlo porque allí se ve reflejado uno de los prncpales efectos de la respuesta dnámca de la carga, y es mponer 48

49 condcones adconales sobre el espaco de estados vable para que las trayectoras del sstema evoluconen sn que este se vuelva nestable. Analzando las expresones 3.2 a 3.5 se encuentra que exsten dos posbldades para que el sstema se vuelva nestable: la prmera es que la funcón que descrbe el comportamento del voltaje en los nodos de carga sea negatva, y la segunda es que el amortguamento del sstema sea postvo en alguna de las undades de generacón. Con esto en mente se analzó que pasa antes y después del punto en el que el sstema pasa de ser estable a nestable con el fn de determnar s exste un punto de bfurcacón. Los resultados obtendos se presentan a contnuacón:. S ( d k) f Q, v > 0 y D > 0 entonces el sstema es estable y sus trayectoras k se encuentran dentro del domno de la realzacón dspatva de Hamlton propuesta en este trabajo, ecuacón S ( d k) f Q, v = 0 y D > 0 el sstema se encuentra en una de las fronteras k del domno de la realzacón dspatva de Hamlton propuesta en este trabajo, ecuacón En este punto no se puede conclur acerca de la establdad del sstema debdo a que uno de sus valores propos es cero. 3. S ( d k) f Q, v < 0 y D > 0 las trayectoras del sstema están por fuera del k domno de la realzacón de Hamlton propuesta en este trabajo, ecuacón S ( d k) f Q, v > 0 y D = 0 el sstema se encuentra en otra d alas fronteras k del domno de la realzacón dspatva de Hamlton, ecuacón En este punto tampoco se puede conclur sobre la establdad del sstema porque exsten valores propos puramente magnaros. 5. S ( d k) f Q, v > 0 y D < 0 nuevamente las trayectoras del sstema se k encuentran por fuera del domno de la realzacón de Hamlton propuesta en este trabajo, ecuacón De los anterores resultados se puede conclur que cuando ( d k) f Q, v = 0 se presenta un punto de bfurcacón en la trayectora de los voltajes en los nodos de carga, específcamente en aquel en el que se da esta condcón, debdo a que en este punto se pasa de tener solucones estables para las trayectoras del sstema a no tener solucones, que es una característca de las bfurcacones tpo slla-nodo. Por otra parte cuando D = 0 ocurre algo smlar solo que en este caso las trayectoras del sstema tenden a caer en la cuenca de atraccón de órbtas peródcas o cclos límte, debdo a la presenca de valores propos puramente magnaros, antes de que las solucones del sstema salgan del domno de la realzacón dspatva de Hamlton propuesta en este trabajo en el capítulo anteror, ecuacón k 49

50 Además, de los resultados y las conclusones mostradas en esta seccón se puede conclur que la regón de establdad para sstemas eléctrcos de potenca que almentan cargas que presentan una respuesta dnámca como la mostrada en la fgura 6 (ver capítulo anteror), está dada por la nterseccón de todas las condcones que satsfacen que f ( Qd, v ) 0 k k > y D > 0. Se excluye el cero debdo a que en este punto el sstema puede volverse nestable dependendo del número de valores propos con parte real gual a cero (teorema de la varedad central [4]). Tambén se puede conclur que el comportamento dnámco de la carga ntroduce restrccones sobre el espaco vable para que las trayectoras del sstema evoluconen de forma estable. Por otra parte, del análss del comportamento del amortguamento de las undades de generacón del sstema, D, se refuerza la conclusón presentada en la referenca [30] en la que muestran que cuando el amortguamento de las undades de generacón es gual a cero se presenta un punto de bfurcacón. Esto se evdenca en que cuando el amortguamento es postvo el sstema es estable, cuando es gual a cero las trayectoras del sstema son atraídas por órbtas peródcas (los valores propos asocados al amortguamento que se hzo cero son puramente magnaros), y cuando el amortguamento es negatvo se generan órbtas peródcas nestables y comportamento osclatoro no amortguado asocados a valores propos complejos conjugados con parte real postva. Ya que se estableceron las condcones para que el sstema eléctrco de potenca multmáquna sea estable, en la sguente seccón se hará una aproxmacón matemátca al concepto de establdad total y se aplcara al sstema eléctrco de potenca modelado como un sstema de Hamlton. Esto con el fn de determnar las condcones dentro de la regón de establdad que se deben cumplr para que el sstema sea estable ante perturbacones. Por otra parte, se mostrará que cuando las trayectoras del sstema se encuentran por fuera del domno de la realzacón de Hamlton el sstema es nestable. 4.3 Establdad Total en Sstemas Eléctrcos de Potenca Como se mostró en la seccón anteror, la regón de establdad para sstemas de potenca que almentan cargas con respuesta dnámca ante perturbacones tpo escalón en el voltaje de almentacón, ver fgura 6, está dada por la nterseccón de todas las condcones que satsfacen que f ( Qd, v ) 0 k k > y D > 0. Sn embargo cuando el sstema es perturbado, cómo se puede garantzar que se conservan las msmas característcas de establdad. Para ello srve el análss de establdad total. El análss de establdad total se basa en la defncón de sstema totalmente estable que establece que dado un sstema autónomo de la forma 3.6 y uno 50

51 perturbado de la forma 3.7, el equlbro del sstema no perturbado es totalmente estable s para cada 0 δ ε tales que para x ε > exsten números postvos δ ( ε ) y ( ) < ε se satsfagan las restrccones 3.8 y 3.9 [5]. 2 (, ) x = f x t (3.6) (, ) (, ) x0 δ( ε ) (, ) ( ) x = f x t + g x t (3.7) < (3.8) g x t < δ ε (3.9) Como la aplcacón de esta defncón a los sstemas reales generalmente no es posble debdo a que se requere conocer las trayectoras del sstema, se han desarrollado algunos teoremas que medante la aplcacón de la teoría de Lyapunov facltan establecer s un punto de equlbro o una trayectora es totalmente estable o no. Uno de estos teoremas dce que s exste una funcón de Lyapunov (una funcón defnda postva cuyas dervadas son defndas V( x, t) negatvas), cuyas dervadas parcales se encuentran acotadas en una x regón G, entonces el sstema es totalmente estable [5]. El uso de este teorema para el análss de sstemas reales se dfculta debdo a que es necesaro encontrar una funcón de Lyapunov para el sstema. Sn embargo en sstemas que se puedan formular como un sstema de Hamlton la funcón de Lyapunov está dada, ya que es la msma funcón de Hamlton del sstema, por ello este análss puede ser aplcado a los sstemas eléctrcos de potenca. Recuerde que en el captulo anteror (Modelamento de Sstemas Dnámcos), se demostró que un sstema eléctrco de potenca multmáquna puede ser modelado como un sstema dspatvo de Hamlton de puertos controlados. Aplcando el análss de establdad total a sstemas eléctrcos de potenca multmáquna encontramos que tomando como funcón de Lyapunov la funcón de Hamlton del sstema, H( x, z) = Ek ( x, z) + Ep( x, z), con Ek ( xz, ) y Ep ( xz, ) defndas como 2.27 y 2.28 respectvamente, donde H( x, z ) > 0, entonces T ( ) ( ) 2 ( ) dh xz, H xz, H xz, = J( x, z) R( x, z) dt x x (, ) H x z Esta es una forma cuadrátca en. Excluyendo los puntos crítcos de x H( x, z) energía, 0, esta forma cuadrátca es defnda negatva en la regón x de establdad que se encontró medante el análss de bfurcacones, seccón 5

52 anteror, ya que en esta regón los valores propos de la matrz J( x, z) R( x, z) son menores que cero. Además, como el sstema es estable H( x, z) en esta regón, las dervadas parcales de la funcón de Lyapunov,, x están acotadas luego se cumplen todas las condcones del teorema de establdad total y se puede conclur que en la regón en la que se cumplen las restrccones de establdad encontradas medante el análss de bfurcacones y H( x, z) que además se satsface que H( x, z ) > 0 y que 0 los sstemas x eléctrcos de potenca multmáquna son totalmente estables sempre que las dqd k perturbacones estén acotadas, es decr que τq δ2 ( ε )(recuerde que el k k dt térmno asocado a las perturbacones en el modelo del sstema de potenca dqd k extenddo es τ q, ecuacones 26 y 27), y sus trayectoras convergen a la k dt regón defnda por x < ε. La exstenca de la regón de establdad total no garantza que en ella el desempeño del sstema sea el mejor, sn embargo defne una regón en la que las perturbacones no afectan sgnfcatvamente el comportamento del sstema. Además, el grado de deteroro en el desempeño del sstema y la magntud máxma para la norma de la perturbacón dependen del valor selecconado para ε. Se puede demostrar que los resultados anterormente presentados son equvalentes a los obtendos tomando como funcón canddata de Lyapunov 2 H ( x, z ), que es una funcón defnda postva que no necesta ser restrngda como la que se empleó para obtener los presentados en esta seccón. 4.4 Resumen En este capítulo se ntrodujo el concepto de establdad de sstemas dnámcos y se mostraron algunas herramentas desarrolladas a partr de su defncón para el análss de sstemas. En la fgura 7 se presenta un cuadro resumen con las herramentas de establdad menconadas anterormente. En esta fgura se resaltan en azul las herramentas utlzadas en la realzacón de este trabajo. Además se muestra la aplcacón del análss de bfurcacones y el análss de establdad total en sstemas eléctrcos de potenca modelados como sstemas de Hamlton. De la realzacón del análss de bfurcacones se obtuvo como resultado las característcas que se deben cumplr para que un sstema eléctrco de potenca que almenta cargas que responden dnámcamente ante perturbacones en el voltaje de almentacón sea estable. Del análss de 52

53 establdad total se obtuvo como resultado las condcones bajo las cuales los sstemas eléctrcos de potenca que almentan cargas con respuesta dnámca son totalmente estables. Análss De Establdad Bfurcacones Energía Varedad Central Establdad Total Cambos Cualtatvos Comportamento Funcón Hamlton Establdad Frontera Sstemas Perturbados Fgura 7. Herramentas para el análss de establdad de sstemas dnámcos Para obtener estos resultados se utlzó la representacón como un sstema de Hamlton del sstema de potenca multmáquna descrta por la ecuacón Al emplear este sstema se pudo conclur que el prncpal efecto del comportamento dnámco de la carga en la evolucón de las trayectoras de los sstemas eléctrcos de potenca es ntroducr nuevas condcones que delmtan o restrngen más el espaco de estados del sstema que en el caso en que se consdera la demanda de potenca actva y reactva en los nodos de carga como constante. Con estos análss se aporta una nueva metodología para el análss de sstemas eléctrcos de potenca como sstemas dnámcos, en partcular para el análss de establdad. 53

54 5 Caso de Estudo 5. Introduccón Luego de hacer el estado del arte en el modelamento de la carga y determnar cuales son los problemas y solucones en este campo, de modelar los sstemas eléctrcos de potenca multmáquna preservando su estructura o topología (sn hacer smplfcacones o utlzar equvalentes de la teoría de crcutos), de transformar los sstemas eléctrcos de potenca en sstemas dspatvos de Hamlton de puertos controlados y de analzar su establdad, ha llegado el momento de valdar los resultados obtendos en los capítulos prevos y corroborar las conclusones obtendas en ellos. Con este fn, se smuló un sstema eléctrco de prueba que tene nueve nodos, tres nodos de generacón y tres nodos de carga, dos estátcos modelados como mpedanca constante y uno dnámco modelado medante la ecuacón 2.7, conectados con una topología tpo anllo, smlar a la que se emplea en el sstema eléctrco colombano, como se muestra en la fgura 8. Fgura 8. Dagrama esquemátco del sstema eléctrco de potenca de prueba Para la smulacón se empleó el software Matlab Smulnk, y la rutna de ntegracón ode 23 stff/trapezodal. Esta rutna de ntegracón fue selecconada 54

55 luego de emplear otras rutnas de ntegracón tanto stff como no stff, tenéndose los mejores resultados en tempo de smulacón y resolucón de las gráfcas con la rutna selecconada. Lugeo de hacer una somera descrpcón del sstema de prueba, el software utlzado y la rutna de ntegracón empleada, en las sguentes seccones se descrbe el caso de estudo, los modelos empleados para cada elemento del sstema de prueba y las condcones ncales que se tomaron para la smulacón y la forma de hayarlas. Además se presentan los resultados obtendos en las smulacones y se hace una dscusón de ellos. 5.2 Caso de Estudo Como se menconó en la ntroduccón, para valdar los resultados encontrados con la realzacón de este trabajo, se empleó como sstema de prueba un sstema eléctrco de potenca de nueve nodos correspondente al sstema WSCC (Western Systems Coordnatng Councl) mostrado en la fgura 8. En este sstema se modelaron las undades de generacón, las líneas de transmsón, los transformadores y las cargas. Con fnes de smulacón, las undades de generacón fueron modeladas usando el modelo que resulta de aplcar la transformada de Park al modelo de la máquna en coordenadas naturales, tomando como marco de referenca el rotor. Este modelo esta descrto por las ecuacones 4. a 4.7. Se selecconó este modelo porque es más cercano al comportamento real de las undades de generacón, además porque utlzar modelos más cercanos a la realdad ayuda a ver que tan dependentes son los resultados obtendos en los capítulos anterores de las smplfcacones hechas para facltar el análss y la vabldad de mplementar estos resultados en sstemas reales. Además en la referenca [9] se demuestra que las undades de generacón modeladas de esta forma se pueden transformar en un sstema de Hamlton. v v = r + ωr d ψ ψ ω b ωb dt (4.) = r ωr d ψ ψ ω b ωb dt (4.2) d v0s = r s 0s + 0s ωb dt ψ (4.3) ' r ' ' r d ' r vkq = rkq kq+ kq ωb dt ψ (4.4) ' r ' ' r d ' r vkq2 = rkq 2kq2 + kq2 ω dt ψ (4.5) r r r r qs s qs ds qs r r r r ds s ds qs ds b 55

56 v v = r + d dt ψ (4.6) = r + d dt ψ (4.7) ' r ' ' r ' r fd fd fd fd ωb ' r ' ' r ' r kd kd kd kd ωb En este modelo, las comllas o prmas en algunas de las varables de este modelo ndcan que estas cantdades están referencadas, además el superíndce r denota que el marco de referenca es el rotor. Como parte del modelo de las undades de generacón se ncluyeron sus sstemas de control de voltaje (ncluyendo el regulador por sobre exctacón) y de velocdad. Ambos sstemas de control fueron tomados de la referenca []. En las fguras 9 y 0 se presentan los dagramas de bloques del regulador de tensón y de velocdad, respectvamente. Fgura 9. Dagrama de bloques del regulador automátco de voltaje empleado en este trabajo. 56

57 Fgura 0. Dagrama de bloques del regulador de velocdad empleado en este trabajo. Las líneas de transmsón fueron modeladas medante su representacón π. Se empleó una longtud de longtud 00 Km, dvdda en tramos de 0 Km para cada una de ellas. El modelo para cada tramo de la línea de transmsón está descrto por las ecuacón 4.8. Donde γ ( R jωl)( G jωc) ( γd) Z snh ( γd) cosh c I( x) V R = V ( x) snh ( γd) cosh ( γd) I R Z c = + +, y complejo ( j = ). Z c = ( R + jωl) ( G+ jωc) (4.8), sendo j el operador Los transformadores trfáscos fueron modelados a partr de transformadores monofáscos como el que se muestra en la fgura, tomando en el secundaro un solo devanado. Fgura. Crcuto equvalente empleado para el modelamento de los transformadores 57

58 Las cargas fueron modeladas usando el modelo dnámco propuesto por Hll en [7], ecuacón 2.7. En este modelo es necesaro defnr cuales funcones se van a emplear para el modelado de la respuesta transtora y de estado estable de la carga, además de determnar el valor de los dferentes parámetros que hacen parte del modelo. Al hacer el estado del arte presentado en prmer capítulo de este trabajo, se notó que en este modelo se ha empleado amplamente en la lteratura la estructura exponencal descrta por las ecuacones 4.9 y 4.0 para modelar el comportamento de la demanda de potenca actva y reactva en estaconaro, este resultado está reforzado en la referenca [32] dónde se afrma que comúnmente las funcones que representan el comportamento de estado estable de la carga son las msmas que las empleadas en el modelo exponencal de carga, por tal motvo en este trabajo se emplean las msmas funcones. s ( ) ( ) P V Q V s = C V α (4.9) p = C V β (4.0) Del estado del arte presentado en el prmer capítulo de este trabajo tambén se notó que exsten varas alternatvas para el modelado de la repuesta transtora de la carga. En este caso no se recomenda una en partcular, cada autor utlza una de las reportadas en la lteratura. Una de estas estructuras es la descrta por las ecuacones 4. y 4.2. Estas fueron propuestas por Hll en [7] y fueron empleadas por Valenca et al en la referenca [44] para desarrollar una herramenta de dentfcacón en línea de los parámetros del modelo dnámco de carga que estamos descrbendo, ecuacón 2.7. Por los motvos anterormente presentados y, como se había explcado anterormente, pensando en la posbldad de mplementar los resultados obtendos en este trabajo en un sstema real, se usaron estas funcones para modelar el comportamento transtoro de la carga. p ( ) ( ) q K V = k (4.) q p K V = k (4.2) Aplcando la transformacón defnda por las expresones 2.2 y 2.3 al modelo de carga conformado por las expresones 4.9 a 4.2, cuya estructura es la de las expresón 2.7, y remplazando en la expresones 2,22 y 2.23, se tene que el valor propo asocado al comportamento dnámco de la carga esta dado por la expresón 4.3 y la potenca actva demandada en los nodos de carga como funcón del voltaje y de potenca reactva demandada está descrta por la expresón 4.4. Con estas expresones se culmna el modelo de smulacón empleado para valdar las conclusones obtendas en el capítulo anteror sobre la establdad de los sstemas eléctrcos de potenca. q 58

59 v e v λ2 = ( Ce β q -Qd ) (4.3) Qk d dp k τ +P =C e + Q -C q βv ( d e ) d αv p p d q q dt kq (4.4) Luego de mostrar los modelos empleados para cada uno de los elementos que conforman el sstema eléctrco de potenca de prueba, se pasará a mostrar y dscutr los resultados de las smulacones. Los parámetros de las undades de generacón, los reguladores, los transformadores, las líneas de transmsón y las cargas están en el anexo. Como condcones ncales para las smulacones se tomaron 200 MW y 60 MVAR en cada uno de los nodos de carga. Con esta nformacón y tomando como referenca el nodo de generacón uno (ver fgura 8), se encontraron los demás valores ncales de las varables del sstema eléctrco de prueba al resolver el flujo de carga asocado a este sstema. Con este procedmento se encontró un punto de equlbro estable para el sstema. En este punto el sstema permanece durante dez segundos para mostrar que verdaderamente el punto de equlbro es estable y cumple las restrccones de establdad encontradas en el capítulo anteror. Luego se ntroduce una perturbacón al sstema. Esta perturbacón consste en un ncremente lneal en la demanda de potenca reactva en el nodo que almenta la carga dnámca. El ncremento se hace constantemente con una pendente de pu, en una base de 370 MVA, hasta que el sstema alcanza su máxmo punto de cargabldad y colapsa. Recuerde que tanto la trayectora del voltaje como la potenca actva demandada en el nodo que almenta la carga dnámca dependen de la demanda de potenca reactva en este nodo (la potenca reactva demandada es un parámetro del modelo del sstema eléctrco de potenca). Lo que se pretende al llevar el sstema a su máxmo punto de cargabldad es mostrar es que cuando la trayectora del voltaje en el nodo de carga que almenta una carga dnámca sale del domno de la realzacón dspatva de Hamlton descrta por la ecuacón 2.29, el sstema eléctrco de potenca se desestablza. En la sguente seccón se presentan los resultados de smulacón orentados a reforzar esta conclusón y los resultados obtendos al aplcar el análss de bfurcacones a los sstemas de potenca multmáquna modelados como sstemas de Hamlton de la forma Resultados Como se menconó en la seccón anteror, con el fn de valdar los resultados obtendos medante el análss de bfurcacones hecho en el capítulo anteror, 59

60 se smuló el sstema eléctrco de potenca de prueba que se muestra en la fgura 8. Cada elemento de este sstema se modeló como se descrbó anterormente. Como ya se mostró, la smulacón consstó en llevar al límte de establdad el sstema de prueba medante un ncremento lneal en la demanda de potenca reactva en el nodo que almenta la carga dnámca, que comenza a los dez segundos de smulacón. Al hacer la smulacón del sstema de prueba sguendo el procedmento ya descrto se encontró que, como se esperaba, el fenómeno de nestabldad aparece cuando el valor propo asocado al comportamento dnámco de la carga, ecuacón 4.3, toma un valor postvo. Esto se evdenca en la fgura. En la fgura se muestra que a medda que avanza la smulacón el voltaje en el nodo que almenta la carga dnámca va dsmnuyendo hasta que el fenómeno de nestabldad se presenta y el sstema colapsa. Esta dsmnucón en el voltaje se debe a la ncapacdad del sstema de transportar toda la energía reactva que se requere para suplr la demanda en este nodo y así mantener el nvel de voltaje dentro de los límtes seguros. Fgura. Trayectora del voltaje en el nodo que almenta la carga dnámca cerca del límte de establdad del sstema de prueba. Como se ve en la fgura, el fenómeno de nestabldad de tensón se presenta cuando el valor propo asocado al comportamento dnámco de la carga toma valor postvo. Pero el fenómeno de nestabldad no sólo se presenta en el nodo que almenta la carga dnámca, en los nodos que almentan cargas estátcas tambén se presenta el msmo fenómeno. En las fguras 2 y 3 se muestra como al tomar valor postvo el valor propo asocado al comportamento dnámco de la carga el voltaje en estos nodos tambén exhbe un comportamento nestable. 60

61 Fgura 2. Comportamento del voltaje en el nodo de carga 2 (ver fgura 8) Fgura 3. Comportamento del voltaje en el nodo de carga 3 (ver fgura 8) Los resultados anterormente presentados, fguras a 3, resultan nteresantes porque muestran que en los sstemas eléctrcos de potenca los fenómenos de nestabldad pueden transmtrse de un punto del sstema a otro. Esta característca es muy común en los sstemas de múltples partículas, en los que se habla de la velocdad de nfeccón en la red como la tasa a la que los elementos de la red se desestablzan luego de que uno de sus elementos lo hace. Además resulta nteresante que se transmta el fenómeno de nestabldad de un nodo de carga a otro tenendo en cuenta que los nodos de carga están modelados de forma dferente y que los nodos estátcos están modelados como mpedanca constante, que es el tpo de carga que menos le exge al sstema. Las gráfcas a 3 tambén confrman los resultados encontrados medante el análss de bfurcacones y refuerzan la conclusón que se había obtendo al hacer este análss que establece que cuando las trayectoras del sstema salen 6

62 del domno de la realzacón dspatva de Hamlton descrta por la ecuacón 2.29, el sstema presenta un comportamento nestable. En el caso de la trayectora del voltaje de almentacón de la carga dnámca esto se presenta cuando el valor propo asocado a esta trayectora, ecuacón 3.3 para el caso general y ecuacón 4.3 para el caso de estudo, toma un valor postvo ya que en este punto la matrz R ( xz, ) de la realzacón de Hamlton, ecuacón 2.29, deja de ser semdefnda postva. Los resultados anterormente presentados se muestran de forma más clara en la fgura 4. En esta fgura se muestra la evolucón de la trayectora del voltaje de almentacón de la carga dnámca con respecto a la evolucón del valor propo asocado al comportamento dnámco de la carga que almenta este nodo. En esta fgura, parte superor, el voltaje empeza con una magntud de pu y el valor propo tene un valor negatvo. A medda que la demanda de potenca reactva se ncrementa el voltaje comenza a decaer debdo a la ncapacdad del sstema de transportar la energía reactva demandada. Este suceso va acompañado por el ncremento en el valor del valor propo hasta que su valor decrece y luego crece de forma asntótca tomando un valor postvo e ndcando el colapso del sstema (este punto corresponde con el punto en el que la trayectora del voltaje decrece de forma asntótca a cero, fguras y 4). Fgura 4. Trayectora del voltaje de almentacón de la carga dnámca respecto al valor propo asocado al comportamento dnámco de esta carga (arrba). Comportamento del valor propo a medda que la demanda de potenca reactva ncrementa (abajo). En la fgura 4 parte nferor se muestra el comportamento del valor propo asocado a la trayectora del voltaje de almentacón de la carga dnámca a medda que se ncrementa la demanda de potenca reactva en este nodo. Allí se puede ver que el ncremento en la demanda de potenca reactva hace que el valor propo tome cada vez valores más cercanos a cero hasta que la 62

63 potenca toma un valor tal que el sstema colapsa. En este punto nuevamente se apreca que el valor propo toma un valor postvo. El comportamento descrto anterormente y mostrado en la fgura 4 tambén se presenta en los demás nodos de carga, sn embargo por la característca de la carga en estos nodos, mpedanca constante, el comportamento del voltaje del nodo y de la potenca reactva demandada es smlar. En el caso del voltaje se ve que, tanto en el nodo dos como en el nodo tres de carga (ver fgura 8), el valor ncal es pu, pero a medda que la demanda de potenca reactva en el nodo que almenta la carga dnámca aumenta el voltaje en estos nodos tambén decae hasta que el valor propo toma un valor postvo y el sstema colapsa. Como la demanda de potenca reactva en estos nodos depende del voltaje, al caer el valor del voltaje tambén cae la demanda de potenca reactva. Como consecuenca de esto el colapso en estos nodos de carga mplca cero transferenca de potenca tanto actva como reactva a estos puntos de la red, lo que en un sstema real mplcaría desabastecmento de energía eléctrca a algunas zonas de carga del sstema nterconectado. En las fguras 5 y 6 se muestran los resultados descrtos anterormente. Fgura 5. Comportamento del voltaje de almentacón (arrba) y de la potenca reactva demandada (abajo) en el nodo de carga 2 (ver fgura 8). 63

64 Fgura 6. Comportamento del voltaje de almentacón (arrba) y de la potenca reactva demandada (abajo) en el nodo de carga 3 (ver fgura 8). Los resultados mostrados en las fguras a 6 valdan los resultados obtendos al hacer el análss de bfurcacones del sstema eléctrco de potenca modelado como un sstema de Hamlton, ecuacón Además refuerza la conclusón con la que termnamos el anteror capítulo que establece que cuando una de las trayectoras del sstema eléctrco de potenca, en este caso la del voltaje que almenta la carga dnámca, se sale del domno de la realzacón de Hamlton de fnda por la ecuacón 2.29, el sstema exhbe un comportamento nestable. Tambén se obtuvo una conclusón adconal y es que el fenómeno de nestabldad puede afectar otros puntos del sstema, no necesaramente vecnos al punto nestable, gual a como pasa en los sstemas de múltples partículas que nteractúan entre sí. Esto le da a los sstemas eléctrcos de potenca una cualdad exclusva de los sstemas de Hamlton y es que en ellos pueden coexstr dnámcas estables e nestables en un momento dado. Esto es fácl de demostrar observando la evolucón del voltaje en los nodos de generacón. En estos nodos los recursos de energía reactva se encuentran lmtados sólo por la capacdad de las undades de generacón que lo almentan por tal motvo la únca forma de que estos nodos presenten nestabldad en voltaje es la ncapacdad de la undad de generacón de entregar la energía demandada, mentras que en los demás nodos la nestabldad puede llegar por lmtacones de la red para transportar la energía reactva demandada por el nodo. Este fenómeno se muestra en la fgura 7. 64

65 Fgura 7. Voltaje en las termnales (arrba) y corrente de línea (centro) de la undad de generacón, cerca del punto de nestabldad del nodo que almenta la carga dnámca. En la fgura 7 se muestra como a pesar de que el sstema se encuentra próxmo a la nestabldad la magntud y la frecuenca de la onda de voltaje en las termnales del generador no se han afectado. La dstorsón de estas característcas de la onda de voltaje sólo se presenta cuando el método numérco empleado para las smulacones dverge. Esto ocurre poco después de que el sstema alcanza su máxmo punto de cargabldad y colapsa. La característca anterormente descrta y mostrada en la fgura 7 hace que los sstemas de control de las undades de generacón no sean útles para prevenr el colapso del sstema en los nodos de carga, ya que los sstemas de control sólo responden a cambos locales, sn embargo s responderan a los problemas de nestabldad en los nodos que almentan cargas dnámcas la red no tendría la capacdad para transportar la energía necesara para evtar el colapso. En las fguras 8 a 20 se muestra la evolucón de las varables controladas en cada undad de generacón (potenca mecánca, voltaje y corrente de campo), respecto la evolucón del valor propo asocado al comportamento dnámco de la carga. En estas fguras se ve que a pesar de que el sstema evolucona haca el colapso, las accones de control son suaves debdo a que el fenómeno de nestabldad no afecta sgnfcatvamente los nodos de generacón. Esta condcón se mantene hasta que el sstema alcanza su máxmo punto de 65