4. Funciones básicas

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1 4. Fucos báscas Fucó Epocal Sa, dfmos la fucó pocal como: Por qué? (cos s (cos s 3 / 3 (cos / s / 3 ( s rduc a cuado s ral (cuado 0. ( s ua fucó tra (s aalítca todo puto. (3 Su drvada cocd co la fucó msma, como l caso d la pocal ral.

2 ( Vamos qu s ua fucó tra, s dcr aalítca para todo : Tmos: u(, cos ; v(, s cuas drvadas parcals so cotuas para todo (, u cos v u - s -v s dcr, cumpl las las ECR, para todo (,. (3 Su drvada s: d d u v cos s 3 Podríamos habr abordado la dfcó d la sgut mara: Rcordado qu la fucó pocal ral s dtrma por la cuacó dfrcal f'( f( co f(0, os prgutamos s st ua solucó aalítca a: f'( f( co f(. S la solucó st, cocdrá co cuado. df ( u v u v f (, u(0, v(0 0 d u v u(,, v(, Supogamos como solucos (sparacó d varabls: u(, p(, p(0 ; v(, q(, q(0 0 4

3 3 5 ( '( ( '( p q q p Todas las solucos so d la forma: co A B costats. Como: 0 (0, (, ( ; (0, (, ( q q v p p u Drvmos ambas cuacos rspcto a aplqumos CR: p u v q q v u p ( '( ( '( 0 ( ''( ( '( ''( ( '( ''( q p q p q p φ φ B A s cos q p q p p q s ( ; cos ( 0 (0 '(0 ; (0 '(0 f s cos ( 6 O b podríamos habr alcaado la dfcó a través d srs...

4 Propdads d la fucó pocal ( ( (s ( (cos [cos( [(cos cos cos s s( cos s s (cos s ] ] s 7 ( Rsolvamos : Igualado la part magara: s 0 ± ( 0,,... Igualado la part ral: cos cos (± 0. ± ( 0,,... E partcular 0. (3 ( - - Obsrvmos qu (4 (, co tro. Para 0, la gualdad s crta por dfcó. Para >, aplcamos w w duccó. Para < -, ( [( - ] (

5 9 (5 Obsrvmos qu 0. El rago d la fucó pocal s todo l plao w, cpto 0, C - {0}. (6 arg ± ( 0,,... (7 D modo qu s pródca co prodo 3 v Así qu podmos dvdr l plao badas pródcas ftas d acho. D modo qu la mag d cada bada lla la totaldad dl plao w (cpto w 0. La bada - < s doma rgó fudamtal o prcpal d u 5

6 f ( (cos s ( r, arcta( / ( R,φ φ c, d Las lías c d s trasforma los raos rspctvamt (a cpcó dl org. Las lía a b s trasforma los círculos d rado R a, b rspctvamt. Combado ambos hchos, obsrva como s trasforma l rctágulo. f( p( (cos s Esquma d color dpdt dl valor ral Domo Rago 6

7 f( p( (cos s Esquma d color dpdt dl valor magaro Domo Rago 3 Th compl potal maps th ft op strp boudd b th horotal ls through ± o-too oto th pla mus th gatv ral as. Th ls of costat ral part ar mappd to crcls, ad ls of costat magar part to ras from th org. I th amato w vw a rctagl th strp rathr tha th tr strp, so th rgo covrd s a aulus mus th gatv ral as. Th r boudar of th aulus s so clos to th org as to b barl vsbl. W also mak th strp a bt thr tha, so that th aulus dos ot qut clos up. 4 7

8 (cos s (

9 7 8 9

10 9 0 0

11

12 3 s cos cos s s (cos (8 Fórmula d Eulr Cuado s magaro puro ( 0: 4 ( ( ( ( φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ k k k k k k k k k f k k d df f f f f f f f f s cos ( s (cos cos s s cos ( ( ( ( ] ( [ ( ( ( s( cos( s cos s( cos( s cos s cos ( Cómo llgó Eulr a sta fórmula? (Srs d potcas...

13 (9 Th most rmarkabl fórmula math (Rchard Fma Obsrva qu para la fórmula d Eulr, cos s os proporcoa la sgut dtdad: 0 5 From Galuca Gor's wb st 6 3

14 (0 cos s (cos s ( > ( cos0.5 ( s 0.5 ( ( cos 0.5 s 0.5 Ejrcco: Hallar todas las solucos d 34 Solucó: Igualado módulos 5 l(5,609. Igualado parts ral magara: cos 3; s 4 cos 0,6; s 0,8 0,97 ±,609 (0,97 ± ( 0,,... 7 ( Las formas pocal trgoométrca Rcurda qu la forma polar para u úmro compljo s r r(cos s La fórmula d Eulr os dc qu cos s Forma pocal d u úmro compljo r 8 4

15 (3 La fucó pocal l cojugado r r / 4 / 4 Qué úmros compljos satsfac la prsó? El módulo s pud tomar cualqur valor, d modo qu satsfac la prsó todos los úmros compljos sobr l círculo udad. Qué úmros compljos satsfac la prsó? Todos los úmros compljos sobr u círculo d rado, ctrado (4 Producto dvsó forma pocal Es scllo multplcar dvdr forma pocal. Por jmplo, dvdamos: ( / 8 ( / 4 ( / ( / 4 ( / E gral: r r r r r r t r r r r ( ( 30 5

16 3 Aplcacó: Fasors Muchas sñals pud sr rprstadas como sods: a ω ω t X ( t a s( ωt 3 6

17 B ω (t B B C ωt A A C ω A ω C t D D ( t ωt [ cos( ω t s( ωt ] a a Rprstacó d u úmro compljo forma d fasor 33 Cambo d Fas B ω (t B B C ωt φ φ A A φ ω φ C ω A φ ω C t '( t D ' ( t ωt [ ] ( t A cos( ω t s( ωt A A[cos( ωt φ s( ωt φ] A D ( ωtφ 34 7

18 Corrt Altra ( t I cos( ωt Crcutos Rsstca R La tsó stá fas co la corrt v(t IR cos( ωt v(t I R jω t ( R Iductaca L v(t La tsó adlata a la corrt I ωc La tsó s rtrasa rspcto a la corrt cos ωt v(t ωli cos ωt j v(t I R ω C v(t I R jω t 35 jω t ( jω L v( t IR cos( ω t Pro R jω t R cosωt. v(t I ω C I ωc R jω t ( cos( ωt j s( ωt. Así qu R( R jω t v(t IR cos( ωt I R( R Por tato I cos ω t ω C I s( ω t R ω C cos( ω t ( j jω t jω t j I R ω C cos s( ω ts v(t ω LI cos ωt Iω L s( ωt Iω L R Iω L cos( ωt cos jω t jω t ( j I R( jω L s( ωt s 36 8

19 Dfmos la mpdaca complja Z como R j Z ω C jω L jω t j jω t jω t ( R v(t I R v(t I R( jω L Como v(t I R ω C Cada ua d sas fórmulas pud sr scrtas como v(t I R jω t ( Z Rsstca Capactaca Iductaca o v(t R j t ( IZ ω S dfmos la tsó complja como V IZ podmos scrbrlo la forma v(t R j t ( V ω 37 Podmos scrbr: cos s, Fucos trgoométrcas A partr d la fórmula d Eulr: cos, cos s s cos 38 9

20 (U parétss Whttakr & Watso, A Cours of Modr Aalss, Fourth dto Obsrva qu los autors supo qu l lctor stá famlarado co la sgut dtdad trgoométrca: ( s s s qu s quvalt a: ( ( ( ( s s s 40 0

21 k k ( s ( k/ ( s ( k/ ( ( Esta dtdad trgoométrca ( ( s quvalt al sgut torma gométrco: s s s S quspacamos putos alrddor dl círculo udad traamos u cojutos d curdas parallas, tocs l producto d las logtuds dobladas d las - curdas s. ( s ( k/ k k s ( k/ ( Rordado las curdas, troducdo úmros compljos usado la da d qu l valor absoluto la suma d úmros compljos corrspod a la adcó d vctors. La logtud d la k-ésma curda srá: k / s( k / Y l producto d la logtud d las - curdas srá: ( ( ( ( ( ( ( ( (

22 k s ( k/ k ( ( Itroducamos u úmro compljo arbtraro dfamos la fucó: ( ( g Evalumos: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( g. Para llo obsrvmos qu los factors aparc los úmros: ( ( 3 ( (,,,,,, qu so las raícs ésmas d la udad. k s ( k/ k ( ( Las raícs d la udad so solucó d la cuacó: Por l torma fudamtal dl álgbra, la cuacó polómca 0 ( ( 3 ( (,,, t actamt raícs, qu so:,,, Así l polomo pud factorars úcamt como: g Como, admás: ( ( ( ( ( ( ( 3 ( ( ( ( ( g( 3 Así: g ( g (. Falmt tmos: ( ( ( ( ( th Logtud product dl of producto th lgths d las of th - chords curdas ( g (

23 Torma d Cots (76 C k C 3 C O C P C Rogr Cots (68 76 C S CCC 3 C s u -ógoo rgular scrto u círculo d rado udad ctrado O P l puto sobr OCa dstaca d O, tocs PC PC PC Nota: Cots o publcó ua pruba d st torma, quás porqu l uso d los úmros compljos o ra todavía cosdrado ua mara rsptabl d probar u torma gomtría. 45 Fucos trgoométrcas d varabl complja A partr d la obsrvacó atror, rsulta atural dfr las fucos so coso d ua varabl complja por mdo d las sguts prsos: cos d d, s d (cos s (s cos d Obsrva qu varabl complja las fucos trgoométrcas pocal stá ítmamt rlacoadas, cosa qu o ocurr varabl ral. Co stas dfcos: ( cos (s s rduc a cos (s cuado s ral. ( cos s so fucos tras (aalítcas todo puto. (3 Sus drvadas cocd co sus quvalts varabl ral. 46 3

24 Ejmplo: Rsolvr cos 5. Solucó: Aplcamos la dfcó pocals dl coso: cos [ - ]/ 5-0 0; multplcado la cuacó por 0 0; Hacdo l cambo d varabl t t 5 ± ( o ó 0.0 ±.9 ± (0,,... ± ±.9 (0,, Two-to-o covrgs of a dsk b th compl cos rstrctd to a rctagl of wdth ad hght ctrd at th org. 48 4

25 Two-to-o covrgs of a dsk b th compl s rstrctd to a rctagl of wdth ad hght ctrd at th org. 49 El rsto d fucos trgoométrcas s df rlacó a las fucos so coso mdat las rlacos coocdas: s cos ta, cot, sc, csc cos s cos Obsrva por jmplo qu: ta Las fórmulas usuals para las fucos trgoométrcas d varabl ral sgu sdo váldas para las corrspodts d varabl complja: s ta sc (cot csc o so tras, a qu o so aalítcas los putos dod cos (s s 0. cos( s( ± cos cos s ± s cos cos s ± cos s s 50 5

26 5 Fucos hprbólcas d varabl ral (rcordatoro s ( cos ( Las fucos hprbólcas rals s df por aalogía a las dfcos d so, coso tagt varabl complja: sh ta ( cosh ( tah sh cosh 5 6

27 Rprstacó gráfca d las fucos rals hprbólcas sh 5 0 cosh tah Nota: La cuacó d ua curda suspdda d dos putos a la msma altura s a cosh. a La curva s cooc como catara Itrprtacó d las fucos hprbólcas rals (cos,s s halla sobr l círculo (cos s (cosh,sh s halla sobr la hpérbola cosh sh (cos,s (cosh,sh Así como las fucos crculars (trgoométrcas aparc problmas qu volucra tgrals co (- /, las hprbólcas aparc co ( /. 54 7

28 Drvadas d las fucos hprbólcas rals (sh cosh (cosh sh (tah sc h Dmostracó: (sh (cosh Como tah sh (cosh (tah ( ( cosh ( ( sh sh ( (cosh sh cosh tah sch sh cosh (cosh

29 Escrbamos las fucos trgoométrcas compljas forma bómca: f ( u(, v(, cos ( ( ( ( ( cos [ ( cos s ( cos s ] s cos cos cosh s sh D la msma mara para la fucó so tmos: s s cosh cos sh 57 S partcularamos las dfcos d las fucos trgoométrcas compljas para tdrmos: s ( ( ( sh ( cosh cos ( s sh ta tah cos cosh 58 9

30 s sh cos cosh ta tah Estos rsultados os da ua rgla gral para covrtr dtdads trgoométrcas dtdads hprbólcas: Cualqur dtdad trgoométrca sgurá sdo válda s rmplaamos s(, cos(, ta( por sh(, cosh(, tah( rspctvamt. Tdo cuta, admás, qu s ha u producto d dos s( ó ta(, camba l sgo dl térmo susttudo. Por jmplo: s( ϕ s cos ϕ cos s ϕ sh( ϕ sh cosh ϕ cosh sh ϕ cos( ϕ cos cos ϕ s s ϕ cosh( ϕ cosh cosh ϕ sh sh ϕ 59 ( Rsolvr cos 0 cos cos cosh s sh 0 Part ral: cos cosh 0 cos 0; ±(/ ( 0,,... Part magara: s sh 0 sh 0; 0 ± (/ ( 0,,... ( Rsolvr s 0 s s cosh cos sh 0 Part ral: s cosh 0 s 0; ± ( 0,,... Part magara: cos sh 0 sh 0; 0 ± ( 0,,... Los cros d cos s so los msmos qu los d sus aálogas fucos cos s rals

31 Fucos hprbólcas compljas Hmos dfdo las fucos hprbólcas d ua varabl ral como: cosh Parc atural dfr las fucos hprbólcas d varabl complja mdat las prsos: sh cosh, sh ( Estas fucos so tras co drvadas: (cosh sh ; (sh cosh ( Otras fucos hprbólcas s df como: tah sh / cosh ; coth cosh / sh sch /cosh ; csch /sh qu so aalítcas cpto los putos qu l domador s aula. 6 Escrbamos las fucos hprbólcas compljas forma bómca: cosh ( ( ( (cos s (cos s cosh cosh cos sh s D la msma mara podmos dmostrar qu: sh sh cos cosh s 6 3

32 Ejmplo: Vamos qu cos cos sh cos cos cosh s sh Como cosh sh [½( - ] -[½( - - ] cos cos ( sh s sh cos sh Ejrcco: Dmostrar qu : cosh ( cos sh ( s Ejrcco: Dmostrar la dtdad d Movr para fucos hprbólcas: ( cos s cos( s( (cosh sh cosh( sh(

33 65 Ejrcco: Hallar todas las solucos d la cuacó 3 s s 3 6. (. Hacmos T, la cuacó rsulta: T T T T 6 6 0, cuas solucos so: 6 ± ± 0 T 3 ± 0, d dod ( ( ( l 3 0 l 3 0 k, també ( ( ( l 3 0 l 3 0 k co k u úmro tro. Dspjado s obt la solucó: ( ( k l 3 0, k l 3 0, co k u º tro

34 f( s Esquma d color dpdt dl valor magaro s s cosh cos sh Domo Rago 67 f( cosh cosh cosh cos sh s Esquma d color dpdt dl valor ral Domo Rago 68 34

35 f( cosh Esquma d color dpdt dl valor magaro Domo Rago cosh cosh cos sh s

36 Pscado Bomorfos Alguas vcs m cosdro u pscador. Los programas d ordador las das so ms hrramtas, cañas rds. Los gráfcos qu aparc m patalla so trofos dlcosas mls. Clfford A. Pckovr, Computrs, Pattr, Chaos ad Baut 7 Partmos d ua fucó trada:: f s ( Escogmos ua rgó dl plao compljo tomamos cada puto d sta rgó como smlla cal 0 para trar. Tommos uo d llos. Lo tramos, por jmplo, 50 vcs. Coocdo l valor fal d, ptamos fucó dl valor absoluto d su part ral magara: ( S algua d llas cd o s gual a 00 (por jmplo, ptamos 0 como u puto blaco, ( E caso cotraro lo ptamos gro. Bomorfos f cosh ( 7 36

37 Fucó logarítmca Dfmos l logartmo d u úmro compljo como l l arg l r Dfdo d sta mara, obsrvmos qu: ( > 0, o cotua 0. l l arg l arg arg El logartmo compljo s multvaluado, ua corrspodca multívoca, o ua bccó. Dbdo a la multvaluacó d la fucó arg, a cada corrspod u úmro fto d valors. 73 Por jmplo, calculmos l valor d l( l ± ( / 4, 0,,,... / 4 Para cada valor d obtmos u posbl valor d la fucó logartmo. Podmos costruros ua fucó uívoca tomado l argumto prcpal Arg, v d arg

38 Tmos: Valor prcpal dl logartmo l( l ± ( / 4, 0,,,... El valor prcpal d l s df como l valor corrspodt al valor prcpal dl argumto d : L( l ( / 4 valor prcpal < ( Usamos la ltra maúscula L para dsgar al valor prcpal: L l Arg

39 ( [ r r ] l[ r r ] ( l ( l Sa l r r l r l ( l r l Esta s ua rlacó famlar para los logartmos aturals -, tocs s tomamos l l obsrva qu l( l( l( l( PERO: o s cumpl para l valor prcpal! L( L( 0 l( l( l( ± ±

40 Rsum rptcó

41 8 8 4

42 83 f( L l Arg Esquma d color dpdt dl argumto Domo Rago 84 4

43

44 87 Sa Drvada dl l( l u(, v(,. Etocs: u(, l ½l( v(, arg ta - (/ ; 0,,... u /( v /( (l / u v /( /( ( - /( / Ejrcco: Rptr los cálculos atrors polars

45 Aaltcdad d L L l Arg Como o st l 0, L o stá dfdo 0. Como l argumto prcpal Arg toma valors <, l logartmo prmta u salto al cruar l j ral gatvo. L l L l 89 D modo qu podmos tomar como domo d aaltcdad: D plao {R - U 0} Aalítca todo puto cpto aquí El logartmo o s aalítco 0 a lo largo dl j ral gatvo Est so cotuas las drvadas parcals s cumpl las ECR l domo D? u /( v [/((/ ](/ u /( -v -[/((/ S satsfac ECR ](-/ 90 45

46 9 9 46

47 Vamos s so cotuas las drvadas parcals s cumpl las cuacos d CR l domo D polars: Rptmos: tomarmos como domo d aaltcdad D Z -{R - U 0}, o polars los 's tq. r > 0 - < ө. r r f r v r u f u r r v v r r r u 0 '( s (cos '( 0

48 Ejmplo: dtrmar l maor domo d aaltcdad d la fucó f( L[-(34]. El L( s aalítco para todo puto dl plao cpto la rcta sm-fta gatva l cro. Dscartarmos los valors d qu hac qu l argumto d f( sa gatvo o cro: -( (-3(-4. Es dcr: -4 0, a Dtrmar la rgó dl plao compljo la qu la fucó f ( log[ sh( ] s aalítca. Cosdérs la dtrmacó dl logartmo corrspodt al águlo [ ( ] 3 7 f ( log sh D w C / w > 0, < arg w < w sh cos s w 0, Z 0 R( w cos 0 cos 0 ( ; Z Im(w 3 α R(w dtrmacó 3 α Eam JUNIO 04/05: P

49 Im( w 0, s < 0 s < 0 s < 0 ( < < ; Z ( < 0 R, cos 0, s< 0 < ; Z (4 ; Z R f s aalítca C, cpto l cojuto d putos tals qu : { } { 0, ( < < } (4 ; Z 0 97 b Dtrmar la rgó dl plao la qu la fucó s aalítca. f ( Log cos Rspusta. Log cos Log( w Dtrmacó prcpal o aalítca : w 0; R(w < 0; Im(w 0 / o aalítca

50 50 99 (..., 0,,..., 0,, 0 cos ± ± ± ± k k k k w ± (b 0 (a... 0, sh s 0 Im( v k k u v u w 0 cos 0 cosh cos 0 R( 0 < < > u v u w v u w 00 ± ± < ± ± <..., 0,,,3 0 0 cos 0 (..., 0,, ( 0 cos ( k k k u v u v b u u k u a (, w 4( ( ( a 0,±,±...

51 5 0 k k k k b 4, , 4 0 ( k0,±,±... 0 Obtr los putos dl plao compljo dod la fucó s aalítca. Cosdrar la dtrmacó prcpal. ( f ( ( ( ( > < < < < > 0 0 Im( 0 0 R( ( 0 qu tals putos los todos aalítca s ( ( w w w w Arg - w w f Log 0 0 ó 0 0 < > > > mposbl

52 Zoas d o aaltcdad plao w Im(w Zoas d o aaltcdad plao Im( R(w<0 Im(w0 R(w - (R(<- (R(> Im(0 R( 03 Sol.: u(, / Log [ (-3 ] v(, Arg (-3 4 f( Log

53

54 Fucos trgoométrcas hprbólcas vrsas Dtrmmos la vrsa dl so a partr d p w w ; p w ; p w w p 0; p arcs w l Dmostrar: arccos L arcta L ( ( s w p p Todas llas so multforms

55

56 El valor prcpal d la arcotagt srá: 56

57 ( ( L L L tah cosh sh tah ; cosh ; sh d d d d d d ta ; cos ; s d d d d d d

58 58 5 Dmostrar la prsó calcular todos los valors posbls d. arctg log ( ( 3 arctg ( ( arctg w w w w s w tg w w w w w w w w w log ( log cos( ( ( ( ( 3 3 l 3 log 4 3 log 3 3 log 3 Ζ k k k arctg Eam JUNIO 0/03: P- 6 P. Juo 007. Obtr la forma bómca d Rspusta. 3 arcs( [ ] ± ± 9 3 log 3 arcs log arcs

59 , 0, k ( 9 3 l 3 arcs ± ± k a Solucó co sgo gatvo d la raí cuadrada:..., 0, k 9 3 l ( 3 arcs ± ± k 8..., 0, k (0 3 9 l 3 arcs ± ± k b Solucó co sgo postvo d la raí cuadrada:..., 0, k 3 9 l 3 arcs ± ± k

60 9 Potcas Podmos prsar potcas d úmros compljos forma d fucos pocals/logarítmcas cuado l pot s ral. Por jmplo, l l l E gral, para k ral: k k l c Dfamos ahora dod c ab s compljo como: El valor prcpal d c srá cl( c cl Obsrva qu s tocs c c proporcoa u úco valor: c a (cos b s b. Para cualqur otra bas, dado qu l( s multvaluado, c lo srá també. El úmro d valors s fto cpto cuado c s racoal. 0 60

61 Es dcr: S c,,... tocs s uvaluado détco a la potca ésma habtual d S c -,-,... la stuacó s smlar. S c /,3,... tocs c (/l ( 0 l pot s dtrma fucó d los múltplos d / obtmos dsttos valors d la raí th S c p/q, sdo l coct d dos tros postvos, c t u úmro fto d valors dsttos. S c s rracoal o compljo tocs c s ftamt multvaluado. Ejmplo: Calcular l ( ( / ( 0, ±, Valor prcpal ral ( l arg( ( / ( 0 Iftos valors rals! / Ejrcco: Calcular la drvada d c f ( ; f '( c c 6

62 3 4 6

63 5 6 63

64 7 8 64

65 9 Rcurda qu ua fucó s aalítca ua rgó R s s dfrcabl todos los putos d R. Los térmos fucó holomorfa, fucó dfrcabl, fucó complja dfrcabl o fucó rgular s usa a mudo d forma trcambabl para rfrrs a fucó aalítca. Muchos matmátcos prfr l térmo fucó holomorfa, mtras qu fucó aalítca s más usado por físcos gros. Rcurda qu ua fucó aalítca todos los putos dl plao compljo s llama tra. Como hmos vsto ua fucó aalítca pud o srlo uo o más putos sgulars o a lo largo d los corts d ramas. Para acabar, ua fucó uvaluada qu s aalítca todo puto d su domo a cpcó d u cojuto dscrto d sgulardads (polos sgulardads o scals, s doma fucó mromorfa

66 M.C. Eschr 3 Th Mathmatcal Structur of Eschr s Prt Gallr B. d Smt ad H. W. Lstra Jr. Notcs of th AMS, vol. 50, N. 4 (Aprl 003 Qué fcto qur cosgur Eschr sta ltografía? Por qué aparc ua macha blaca l ctro dl cuadro? Prtttoostllg (Galría d grabados 3 M.C. Eschr

67 Lo qu o traté d rprstar ra solamt ua suprfc qu s hcha, d forma aular, s prcpo f. El spjo mágco d M. C. Eschr (Bruo Erst, d. Tasch 33 Mudo ral Trasformacó Mudo curvo 34 67

68 Cualqur camo smpl crrado alrddor dl org dl mudo curvo s attrasforma u camo o crrado l mudo ral. Por jmplo l camo ABCD. At-trasformacó Trasformacó 35 α log w log w p( α log w w w h( w w α p( α log w 36 68

69 Rctfcacó d la ltografía w h( w w p( α log w co α ( log 56 / α 37 El fcto Drost E Almaa la marca d chocolat Drost s famosa por l fcto vsual d ua d sus cajas d cacao. E lla la mag s cot a sí msma pquña scala

70 Eschr ad th Drost ffct Tras u oom d 8 56 volvmos a la mag orgal. 39 α w h( w w p( α log w / α w h ( w p log w α 40 70

71 Rcostruccó 4 4 7

72

73

74 Ua rotacó stdo horaro d grados u oom d os dvulv a la mag orgal. M.C. Eschr: Mor Mathmatcs Tha Mts th E, Sara Robso. SIAM Nws, Vol. 35, N. 8, Ocobr

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