Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

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1 Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles no vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd entre dos curvs, si ien es cierto que l segund se puede ver como cso prticulr de l primer.. Integrl definid. El prolem del áre jo un curv Se f: (, ) R un función rel de vrile rel, continu y positiv en el intervlo. El prolem que nos plntemos es el de hllr el áre de l región que encierr l curv y = f() con el eje de sciss OX y ls rects verticles = y =. Un ide sencill consiste en dividir l región en n rectángulos verticles con l mism se Δ, medinte un prtición del intervlo [, ], P = { =,,,, n = }, y lturs f( i ) con i =,,, n. De est mner el áre de l región se puede proimr, cunto quermos, medinte l sum de ls áres de esos n rectángulos. Cunto myor se el número de rectángulos, es decir n, mejor será l proimción del áre que uscmos. Así, el áre uscd se puede otener medinte n lim f( i) Δ n El símolo Σ se convirtió en un "s" estilizd quedndo l epresión nterior n i= lim f( i) n i= Δ = f()d

2 . Integrl definid Se f: (, ) R un función rel de vrile rel, continu y positiv en el intervlo. Definimos l integrl definid de un función f() entre y, como áre de l región limitd por l función f() ls rects verticles = y = y el eje OX. Dich áre l representremos con el símolo f()d donde y se llmn límites de integrción... Signo de l integrl definid Hemos inicido el tem suponiendo un función f() continu en un intervlo (, ) y positiv en él. Es clro que si l función f() es negtiv en el intervlo (, ), los vlores f( i ) son tmién negtivos, con i (, ), y l construcción se de sums de f( i ) Δ producirá un vlor negtivo que no puede ser áre de ningun región. Bstrá, en este cso, tomr vlor soluto del resultdo otenido. Por ejemplo, l práol de ecución f() = es negtiv en (, ) como muestr l figur y. por tnto, su integrl definid en ese intervlo es negtiv tmién: f()d < El áre de l región pln R limitd por l curv y el eje de ciss será: A(R) = ( ) d = ( ) d 4 4 Áre = f()d = f()d En otros csos, l función f() tom vlores positivos y negtivos en un intervlo (, ), como por ejemplo l curv f() = 3 4 en el intervlo (, ). L simetrí impr de est función hce que ( 3 4) d =

3 Pr clculr el áre de l región pln limitd por l curv y el eje de sciss OX procedemos como sigue: Áre = A(R) + A(R) = f()d f()d o tmién, por simetrí: Áre = A(R) = f()d.. Propieddes de l integrl definid P. El vlor de l integrl definid cmi de signo si se intercmin los límites de integrción: f()d = f()d P. Si los límites de integrción son igules, l integrl definid vle cero: f()d = P3. Si c es un punto interior del intervlo (, ), l integrl definid se descompone como un sum de dos integrles etendids los intervlos (, c) y (c, ): c f()d = f()d + f()d P4. L integrl definid de un sum de funciones es igul l sum de integrles: (f() ± g())d = f()d ± g()d P5. L integrl del producto de un constnte por un función es igul l constnte por l integrl de l función: (k f())d = k f()d c 3. Teorem de l medi del cálculo integrl Se f: [, ]) R un función continu. Entonces, eiste c (, ) tl que f()d = f(c) ( ) Geométricmente el teorem dice que el vlor de l integrl definid coincide con el áre de un rectángulo de dimensiones l mplitud del intervlo y el vlor que tom l función en un punto del mismo. (Si f(c) < no entendemos áre sino vlor del producto) 4. Teorem fundmentl del cálculo integrl Se f: [, ] R un función continu. Se F() l función integrl definid por F() = f()d Entonces F () = f() Demostrción F F( + h) F() () = lim = h o h +h +h f()d f()d f()d lim = lim = h o h h o h f(c) h = lim = lim f(c) = f() con c (, + h) h o h h o T.Medi 3

4 5. Regl de Brrow Se f: [, ] R un función continu y G() un primitiv de f(). Entonces l integrl definid f()d = G() G() = [G()] L regl de Brrow dice que l integrl definid de un función continu f() en un intervlo cerrdo [, ] es igul l diferenci entre los vlores que tom un función primitiv G() de f() en los etremos de dicho intervlo: Demostrción Hemos visto que l función integrl F() = f()d es un primitiv de f() porque F () = f(). Como F() y G() son primitivs de f() se diferenci en un constnte y entonces: F() = G() + c Sustituyendo en = otenemos: y sustituyendo en = F() = G() + c = f()d = G() + c c = G() F() = G() + c f()d = G() G() Ejercicio Clcul ls integrles definids siguientes: ) d = [ 3 3 ] 8 = 3 3 = 7 3 e ) d = [L ] e = Le L = c) 3 d = ( 3 ) d = [ + 3 ] = + 3 ( + 3) = d) ( 3 ) d = [ 4 4 ] = 4 ( 4 ) = e) d = [ 3 ] = 3 6. Aplicciones l cálculo de áres de recintos plnos A continución, vemos l plicción del cálculo de primitivs l cálculo de áres de recintos plnos. 6. Áres de recintos plnos en los que interviene un función Antes de efectur cálculos deemos seguir los psos siguientes:. Representción gráfic de l función f que interviene en el prolem.. Delimitción del recinto cuy áre desemos clculr. 3. Estudio del signo de l función f en el intervlo correspondiente. 4. Utilizción, en el cso de que eist, de l simetrí en el recinto. 4

5 Ejercicio Interpret geométricmente el áre que define l integrl 6 ( + 6) d y clcul su vlor. Resolución Geométricmente, l integrl represent el áre de l región del plno R limitd por l rect y = + 6, ls verticles =, = 6 y el eje de sciss OX. Áre(R) = Áre(rectángulo) + Áre(triángulo) = Oservmos que, clculndo l integrl definid, otenemos el mismo resultdo: 6 ( + 6)d = [ 6 + 6] = ( 6) = 77 u Brrow = 77 u Ejercicio 3 Clcul el áre de l región del plno limitd por l curv de ecución f() = 3 4 y el eje de sciss. Resolución Pr diujr l región del plno, determinmos los cortes de f() = 3 4 con el eje OX: y oservmos que 3 4 = ( 4) = { = = ± lim (3 4) = y Así, l región del plno es l que se muestr en l figur lim + (3 4) = + Teniendo en cuent que l función f() es negtiv en el intervlo (, ) Áre = A(R) + A(R) = o tmién, por simetrí, l ser l función impr: Áre = A(R) = ( 3 4)d f()d f()d = [ 4 4 ] = (4 8)) = 8 u 5

6 6. Áres de recintos plnos en los que intervienen dos funciones En este prtdo vmos considerr dos situciones que se nos vn presentr: 6.. El recinto se limit: Un vez que hcemos el esozo de ls gráfics, qued clro qué función está encim. Supongmos que f() > g() en el intervlo considerdo con lo que l función diferenci h() = f() g() > Así, el prolem de clculr el áre comprendid entre ls dos funciones, limitd por ls rects = y =, es equivlente l de clculr el áre comprendid por l curv de ecución y = h(), el eje OX y ls rects = y =. En el cso de que f() < g() en el intervlo, tomremos h() = g() f(). Áre = A() = h()d 6.. Ls funciones se cortn en uno o más puntos Ahor no hy restricción en cunto intervlo considerr. Queremos determinr el áre de l región limitd por dos funciones. Es posile que ésts se corten en vrios puntos y por tnto que cmien de posición reltiv. Además, el prolem se puede completr ñdiendo rects verticles pr mplir o recortr el recinto. El áre del recinto somredo viene dd por Áre = A + A = (f() g()) d + (g() f()) d 3 Ejercicio 4 Representr gráficmente l región del plno limitd por ls gráfics de ls funciones f() = 5 4, g() = (5 + ), h() = ( 5 + ) y otener su áre. Resolución Clculmos los puntos de corte de ls funciones: { y = 5 4 y = (5 + ) P(,5) ; { y = 5 4 y = ( 5 + ) Q(,5) ; { y = (5 + ) y = R(,) ( 5 + ) 6

7 Por simetrí de l región, tenemos que su áre viene dd por: A = ( ( 5 + ) (5 4 )) d = ( ) d = ( 4 + ) d = [ ] = 7 3 u 7