IES Fernando de Herrera Curso 2014 / 15 Segundo trimestre - Primer examen 2º Bach CT NOMBRE:

Transcripción

1 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Primr amn º Bach CT NOMBRE: Instruccions: ) Todos los folios dbn tnr l nombr star numrados n la part suprior. ) Todas las rspustas dbn star justificadas simplificadas. ) No s pud usar corrctor ni lápi. S aconsja no usar borrador. ) S pud altrar l ordn d las rspustas, pro no s pud intrcalar la rspusta a una prgunta con las d otras. ) Calcular > para qu l ára dl rcinto limitado por las gráficas d las funcions f : R R g : R R dfinidas por: f() g() + sa 7 (unidads d ára). (,5 puntos) ) Sa f : R R la función dfinida por f(). Esboar l rcinto limitado por la curva f(), los js coordnados la rcta. Calcular su ára. (,5+,5 ptos) ) San f : R R g : R R las funcions dfinidas mdiant: f() ( ) g() +. a) Esboar las gráficas d f g sobr los mismos js. Calcular los puntos d cort ntr ambas gráficas. ( punto) b) Calcular l ára dl rcinto limitado por las gráficas d f g. (,5 puntos) ) Dado l sistma: a) Escribirlo n forma matricial (igualdad ntr dos matrics, una d llas rsultant d un producto d matrics). (,5 puntos) b) Clasificarlo rsolvrlo por Gauss (forma matricial), si tuvira más d una solución, dar dos solucions concrtas. (,5 puntos)

2 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Primr amn º Bach CT SOLUCIONES ) Calcular > para qu l ára dl rcinto limitado por las gráficas d las funcions f : R R g : R R dfinidas por: f() g() + sa 7 (unidads d ára). (,5 puntos) La gráfica d f s la parábola conva stándar. La d g s su simétrica invrtida (cóncava) dsplaadas unidads hacia arriba, dado qu dicho valor s positivo strictamnt. Por tanto, g quda por ncima d f. Los puntos d cort d ambas funcions son: + Para calcular l rcinto, sólo nos intrsan las abscisas d los puntos d cort, qu a tnmos. Por tanto, l ára ntr ambas srá: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d A ( ) d ( ) d Hmos igualado al rsultado conocido dl ára. Dspjando: ) Sa f : R R la función dfinida por f(). Esboar l rcinto limitado por la curva f(), los js coordnados la rcta. Calcular su ára. (,5+,5 ptos) Sabmos qu f s continua. Los corts con los js son: : (, )., pusto qu la ponncial no s anula nunca: (, ). Asíntotas: No tin vrticals (s continua) Horiontals: lim ( + ) ; lim (+ ) (+ ) lim (L'Hôpital, son ambas drivabls n R) lim Lugo tin como asíntota la rcta cuando +, s va al cuando. Oblicua: m lim lim ( + ) +. No tin. Monotonía: f '() ( )

3 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Primr amn º Bach CT Discontinuidads d f ó f ': No ha. f '() (, ) (, +) f ' + f M Máimo rlativo n (, /). Curvatura; f "() ( ) ( + ) Discontinuidads d f, f ' ó f ': No ha. f "() Punto d inflión n (, ). (, ) (, +) f " + f cóncava Gráfica: Hmos traado a la rcta vrtical sombrado l ára qu nos pidn. Dicha ára, al star bajo OX, s la intgral dfinida cambiada d signo, qu hacmos por parts: u du d A d dv d v d IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d PI ( ( ( ))) + conva + u ) San f : R R g : R R las funcions dfinidas mdiant: f() ( ) g() +. a) Esboar las gráficas d f g sobr los mismos js. Calcular los puntos d cort ntr ambas gráficas. ( punto) La función f s l valor absoluto d una parábola conva (l coficint d s positivo) qu corta a OX n n, con vértic n (, ). Por tanto, su gráfica s la d dicha parábola hacindo la simtría rspcto OX d la part qu quda bajo dicho j, qu s la dl intrvalo (, ). La función g s una rcta. Para rprsntarla usamos una pquña tabla d valors. El rsultado s mustra junto a stas línas. Sgún lo visto, podmos prsar: f() ( ) si ó ( ) si Las intrsccions las obtndrmos

4 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Primr amn º Bach CT IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d analíticamnt rsolvindo l sistma qu, n ralidad, son dos sistmas: ) ( ( ) + D dond: 6 9 8) (, ), ( 5 Ambas válidas, pus s ncuntran n las onas n las qu f coincid con ( ). ) ( ( ) sin solución. b) Calcular l ára dl rcinto limitado por las gráficas d f g. (,5 puntos) Una d las formas d calcular l ára s dividiéndola n parts, como n l gráfico: A )) ( ( d + )] ( ( [ d + )) ( ( d ) ( d + ) ( d + ) ( d ) ( d + ) ( d + ) ( d u ) Dado l sistma: a) Escribirlo n forma matricial (igualdad ntr dos matrics, una d llas rsultant d un producto d matrics). (,5 puntos) b) Clasificarlo rsolvrlo por Gauss (forma matricial), si tuvira más d una solución, dar dos solucions concrtas. (,5 puntos) F F F F F F 6 7

5 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Primr amn º Bach CT Estando triangulariado con la trcra fila complta d cros, con lo qu pud liminars, nos qudan dos cuacions con trs incógnitas. Estamos, pus, ant un sistma compatibl indtrminado. Lo rconstruimos rsolvmos: 7 6 Llamamos t (parámtro librmnt scogido por nosotros) lo pasamos al sgundo mimbro. Podríamos habr llamado t, pro no dbríamos hacrlo con la, porqu habría qu volvr a triangulariar. t t 6 (ª c.) 7 6 t 7 Puntualiar qu no dbmos djar un signo n l dnominador d una prsión simplificada. Sustitundo n la ª c: t 6 t 7 t 6 68 t t 6 78t t Lugo l squma gnral d las infinitas solucions dl sistma s: t 6 6t,, t 7 7 Dando valors a t obtnmos algunas d llas: t : ( 6/7, /7, ) t : (,, ) 6t 7 IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

6 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Eamn Global º Bach CT NOMBRE: ª EVALUACIÓN: APROBADA SUSPENDIDA (Marcar lo corrcto) Instruccions: ) Todos las hojas dbn tnr l nombr star numradas n la part suprior. ) Todas las rspustas dbn star justificadas simplificadas. ) No s pud usar corrctor ni lápi. S aconsja no usar borrador. ) S pud altrar l ordn d las rspustas, pro no s pud intrcalar la rspusta a una prgunta con las d otras. ) Sa g: (, +) R la función dfinida por g() ln(). a) Esboar l rcinto limitado por la gráfica d g la rcta. Calcular los puntos d cort ntr llas. ( punto) b) Calcular l ára dl rcinto antrior. (,5 puntos) ) Calcular d 6 5 (,5 puntos) ) Considrar la función f : R R dfinida por f() ( + ). a) Esboar la gráfica d f, calculando corts con los js, asíntotas, monotonía, trmos rlativos, curvatura puntos d inflión. (,5 puntos) b) Calcular l ára ntr l j d ordnadas, la curva su cort con l j d abscisas. ( punto) ) a) Clasificar rsolvr l sistma siguint, por Gauss (forma matricial). Si s posibl, ncontrar una solución n la qu : (,5 puntos) a b c b) Sabindo qu l dtrminant d una matri A d f s, calcular los p q r siguints dtrminants indicando, n cada caso, las propidads utiliadas: a b c b) dt(a) b) d f ( punto) 5) (Sólo para quins tinn suspndida la ª valuación. Sustituir uno d los problmas antriors por ést) Sa f la función dfinida por f() ln para >. a) Dtrminar l punto d la gráfica d f n l qu la pndint d la rcta tangnt s máima. ( puntos) b) Hallar la cuación d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa. (,5 puntos) p q r

7 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Eamn Global º Bach CT SOLUCIONES ) Sa g: (, +) R la función dfinida por g() ln(). a) Esboar l rcinto limitado por la gráfica d g la rcta. Calcular los puntos d cort ntr llas. ( punto) La gráfica d ln() s conocida, pus s una d las funcions qu s manjan habitualmnt. La gráfica dl valor absoluto d una función s difrncia d la d la función misma n qu las onas qu qudan bajo l j d abscisas s cambian por sus simétricas rspcto al mismo, pasando a star sobr l j d abscisas. Así, dibujamos la gráfica d ln(), a su drcha, la d g() ln() : Nos pidn, admás, los corts con sñalar l rcinto limitado ntr sta rcta g(). La rcta s horiontal, sin más dificultad. Y para hallar los corts con g, scribimos ésta como dfinida a troos. Dado qu ln(), la simtría rspcto a OX la hmos aplicado n l tramo corrspondint al intrvalo (, ). Y, por tanto: ln( ) si g() ln() ln( ) si La rsolución dl sistma formado por g() s, pus: Si < : ln() ln(). Si : ln() ln() Lugo los corts son: (, ) (, ). Y l rcinto solicitado s l colorado n l gráfico. b) Calcular l ára dl rcinto antrior. (,5 puntos) Ha qu hacr dos intgrals, porqu la dfinición d g s difrnt n l intrvalo [, ] n [, ]: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

8 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Eamn Global º Bach CT d A [ ( ln( ))] d / d + / ln( ) d / + u ln( ) du / dv d v / + ln( ) / d / / ln / ( ) A [ ln( )] d ln( ) ln( ) Lugo A A + A + u ) Calcular d (,5 puntos) 6 5 Como l grado dl numrador d sta intgral racional s maor o igual qu l dl dnominador, habría qu comnar raliando la división d un polinomio ntr otro. Pro cuando l grado s igual, como n st caso, podmos intntar vitarla: I d 6 5 d d d 6 5 d + I + I ( ) + I + I Dscomponmos n suma d fraccions simpls l intgrando d I. Para llo, comnamos por avriguar las raícs dl dnominador: ( )( 5) 5 Por tanto: 6 5 A B A( 5) B( ) ( )( 5) Lo qu srá cirto si los numradors coincidn: 6 5 A( 5) + B( ) Y para avriguar qué valors d A B vrifican la igualdad, damos valors convnints a : : A + A / 5: 5 + B B 5/ D sta manra: 5 I d + d 5 ln + ln (ln ln) + (ln ln ) ln ln ln Sustitundo arriba, tnmos, finalmnt: I ln IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

9 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Eamn Global º Bach CT ) Considrar la función f : R R dfinida por f() ( + ). a) Esboar la gráfica d f, calculando corts con los js, asíntotas, monotonía, trmos rlativos, curvatura puntos d inflión. (,5 puntos) Corts con js: : (, ). ( + ) (imposibl: la ponncial no s anula nunca) ó : (, ). Asíntotas: o AV: No tin, por sr continua n todo R. o AH: lim ( ) lim. No tin si lim ( ) lim (L'Hôpital, ambas drivabls) lim s AH si + o AO: m lim lim lim. No tin. Monotonía f '() (+ ) ( ) ( ) o Discontinuidads d f ó d f ': No ha o f '() : (la ponncial simpr s strictamnt positiva, no s anula nunca). (, ) (, +) f ' + f Má Tin un máimo rlativo n (, ), s crcint n (, ) dcrcint n (, +). Curvatura f "() ( ) ( + + ) ( + ) o Discontinuidads d f, f ' ó f ": No ha o f "() : (la ponncial simpr s strictamnt positiva, no s anula nunca). (, ) (, +) f ' + f Má Es cóncava n (, ), conva n (, +) tin un punto d inflión n (, ). Gráfica. S ha sñalado l rcinto cua gráfica s pid n l siguint apartado: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

10 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Eamn Global º Bach CT b) Calcular l ára ntr l j d ordnadas, la curva su cort con l j d abscisas. ( punto) u du d A ( ) d ( ) + dv d v d ( ) ( ) u ) a) Clasificar rsolvr l sistma siguint, por Gauss (forma matricial). Si s posibl, ncontrar una solución n la qu : (,5 puntos) F F F F F 7F Es un sistma compatibl indtrminado, n l qu pud liminars la fila. Rconstruimos l sistma rsolvmos. Para llo, llamamos t (podríamos también habr lgido t, pro nos convin djar las solucions n función d porqu nos pidn una con un valor dtrminado d ): t 9 6t 6t ª c: 9 6t 6 78t ª c: + t t t 6 78t 56 t 5t t 6t Solución gnral:,, t 9 9 Y si t : (,, ) a b c b) Sabindo qu l dtrminant d una matri A d f s, calcular los p q r siguints dtrminants indicando, n cada caso, las propidads utiliadas: a b c b) dt(a) b) d f ( punto) p q r IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

11 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Eamn Global º Bach CT b) A b) a d p b q d cada fila) d a p b q c r c f dt(a) r a b c p q f r a d p b q 8 A c f d f (sacamos f. común d la fila ) d (sacamos f. común d la columna ) d a p r b q (sacando factor común c f r a p b q A 8 5) (Sólo para quins tinn suspndida la ª valuación: Sustituir uno d los problmas antriors por ést) Sa f la función dfinida por f() ln para >. a) Dtrminar l punto d la gráfica d f n l qu la pndint d la rcta tangnt s máima. ( puntos) La pndint n (, f()) s, sgún la Intrprtación Gométrica d la Drivada, m f '(). O sa: m f '() Esta pndint varía, vidntmnt, con. Es una función d a la qu vamos a llamar g(). Así, buscamos l valor d qu produc l máimo absoluto d la función: g() con (, +) por sr dicho intrvalo l Dom(f) para cuos valors ist, también, g(). Buscarmos los trmos absolutos a través dl studio d la monotonía d g: ( ) 8 ( ) g '() ( ) Discontinuidads d g ó g ': No tin. g '() : + Así: (, ) (, +) g ' + g Má La forma d la función nos dic qu st máimo rlativo también s absoluto. Así, la pndint máima s obtin cuando val m g() /. c f r IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 5 d 6

12 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Eamn Global º Bach CT b) Hallar la cuación d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa. (,5 puntos) Punto d tangncia: f() ½: (, ½). Pndint d la tangnt: m ½ (dl apartado antrior) Pndint d la normal: m ' m / Rcta normal: Usando la cuación punto-pndint la obtnmos. 5 ½ ( ) + + ½ + IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 6 d 6

13 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Rcupración º Bach CT NOMBRE: Instruccions: ) Todos las hojas dbn tnr l nombr star numradas n la part suprior. ) Todas las rspustas dbn star justificadas simplificadas. ) No s pud usar corrctor ni lápi. S aconsja no usar borrador. ) S pud altrar l ordn d las rspustas, pro no s pud intrcalar la rspusta a una prgunta con las d otras. ) D ntr todas las rctas dl plano qu pasan por l punto (, ), ncontrar aqulla qu forma con las parts positivas d los js coordnados un triángulo d ára mínima. Hallar l ára d dicho triángulo. (,5 puntos) ( )sn ) Calcular lim (,5 puntos) ) Considrar la función f : (, ) R dfinida por: f() a 6 si 5 si a) Dtrminar l valor d a sabindo qu f s continua ( qu a > ). ( punto) b) Esboar la gráfica d f para a. (,5 puntos) c) Estudiar la drivabilidad d f para a. ( punto) ) Sa f : R R la función dada por f(). a) Justificar qu la rcta d cuación s la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa /. ( punto) b) Calcular l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f, l j d ordnadas la rcta tangnt dl apartado antrior. (,5 puntos) 5) Sin dsarrollarlo, calcular l valor dl dtrminant d la siguint matri, nunciando las propidads qu s usn: ( punto) k a k a k a

14 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Rcupración º Bach CT SOLUCIONES ) D ntr todas las rctas dl plano qu pasan por l punto (, ), ncontrar aqulla qu forma con las parts positivas d los js coordnados un triángulo d ára mínima. Hallar l ára d dicho triángulo. (,5 puntos) Escribimos n forma punto-pndint todas las rctas qu pasan por (, ): m( ) El punto B d cort con l j OX dtrmina la bas dl triángulo (b), l H con l j OY, la altura (h): m + h m. m m m m b m Lugo l ára variabl dl triángulo, n función d la pndint d la rcta m, s: A(m) m ( m) m ( m) ( m ) m m m En ralidad, m (, ), pus si m > la rcta sría crcint no s formaría l triángulo con las parts positivas d los js. Ha qu hallar l mínimo absoluto d sta función. Lo harmos studiando su monotonía. ( m ) m ( m ) m m m m m A'(m) m m m Discontinuidads d A ó A': m, qu no stá n l dominio. A'(m) : m ó m, pro st último no stá n l dominio. (, ) (, ) A ' + A mín La forma d la función nos dic qu l mínimo rlativo ncontrado s, también, absoluto. ( ) ( ) Como A( ) u, ést s l valor dl ára mínima. La rcta pdida s: ( ) + ( )sn ) Calcular lim (,5 puntos) ( )sn lim Como las funcions dl numrador dnominador son drivabls n R, pud aplicars L'Hôpital: sn ( )cos lim Aplicamos, d nuvo, L'Hôpital, porqu nuvamnt s cumpln sus hipótsis, al sr numrador dnominador drivabls n R: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d m

15 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Rcupración º Bach CT sn cos cos ( ) sn lim 6 sn cos sn sn cos sn lim lim 6 6 Por tanto, los dos límits antriors istn valn lo mismo: ( )sn lim ) Considrar la función f : (, ) R dfinida por: f() a 6 si 5 si a) Dtrminar l valor d a sabindo qu f s continua ( qu a > ). ( punto) Vamos a comprobar qu l nunciado s corrcto, qu f pud sr continua. (, ): f stá dfinida por a 6, qu s continua, porqu las funcions ponncials lo son, rstándol una constant, qu s otra función continua, rsulta una función continua (la suma d funcions continuas, s continua). (, ): El valor absoluto d una función continua, s continua. Y 5 s una función continua. : ) f() 5 ; ) lim f ( ) lim ( a 6) a 6; lim f ( ) lim 5 Srá continua si coincidn stos rsultados: a 6 a 9 a. Como dicn qu a >, la única posibilidad s a. Con sta condición, f s continua n (, ). b) Esboar la gráfica d f para a. (,5 puntos) tin una gráfica similar a la d la ponncial d bas, (porqu la bas s maor qu ), qu s strictamnt crcint, con asíntota horiontal d cuación si, lléndos a + si +. Al rstarl 6 unidads, la gráfica dscind vrticalmnt 6 unidads. Entoncs, 6 pasará por (, 6) (, ). Trminará n (, ), sindo huco dicho punto. 5 s una rcta crcint qu atravisa OX n 5. La part qu quda bajo OX (ants d 5) la convrtimos n su simétrica sobr l mismo tndrmos 5. Pasa por (, ), rllnando l huco qu djó la antrior, trmina n (, 5), sindo huco dicho punto, pus no stá n l dominio. Así, la gráfica s la adjunta. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

16 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Rcupración º Bach CT c) Estudiar la drivabilidad d f para a. ( punto) Al sr continua, podría sr drivabl. Para podr drivar l valor absoluto, lo disgrgamos: 6 si f() 5 si 5 5 si 5 Aplicando las fórmulas d drivación n intrvalos abirtos: ln si f '() si 5 si 5 Como f '( ) ln 9 ln f '( + ), s v qu no coincidn, por lo qu no s drivabl n. Análogamnt, f '(5 ) f '(5 + ). Tampoco s drivabl n 5, ntoncs, por idéntica raón. D sta forma, la prsión dfinitiva d la drivada s la antrior: ln si f '() si 5 si 5 ) Sa f : R R la función dada por f(). a) Justificar qu la rcta d cuación s la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa /. ( punto) Punto d tangncia. Como f( /) ( /, ). Como f '() m f '( /). Rcta tangnt: ( + ½) +. b) Calcular l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f, l j d ordnadas la rcta tangnt dl apartado antrior. (,5 puntos) f '() la ponncial simpr s positiva, la drivada s ngativa simpr, por lo qu s trata d una función dcrcint strictamnt. Admás, f "() >, f simpr s conva. Por otra part, la rcta tangnt s dcrcint. Entoncs, l único contacto ntr ambas s l punto d tangncia, pus como f s dcrcint conva, dspués d tocar a su tangnt s va aljando d la misma. Para., por jmplo f(.). mintras qu la imagn por la rcta s.5. D modo qu la rcta stá por dbajo d la curva. Lugo l ára pdida db sr: A ( ) d / / IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

17 IES Frnando d Hrrra Curso / 5 Sgundo trimstr - Rcupración º Bach CT 5) Sin dsarrollarlo, calcular l valor dl dtrminant d la siguint matri, nunciando las propidads qu s usn: ( punto) k a k a k a Cuando ha una suma n una fila o columna, l dtrminant s pud disgrgar n una suma d dos dtrminants idénticos salvo n dicha lína, n la qu n l primr dtrminant irá uno d los sumandos n l sgundo, l otro. Por otra part, s pud trar factor común d una sola lína, qudando l dtrminant multiplicado por dicho factor: k a k k a k k k a a k k + k a k k a + a k k + a porqu los dos dtrminants finals valn, al coincidir dos columnas n cada uno d llos. D otra forma. Sacando k factor común d la primra columna: k a a k k a a k a a k pus la trcra columna s combinación linal d las dos primras: C C + ac. k IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d