Módulo 16 Simplificación de fracciones

Transcripción

1 Módulo 6 Simplificción de frcciones OBJETIVO: Mnejrá ls cutro operciones fundmentles con epresiones lgebrics frccionris, simplificrls hst trnsformrls en irreductibles y epresrá proposiciones en lenguje simbólico mtemático. Culquier epresión que pued escribirse como cociente de polinomios, se llm epresión rcionl o frccionri. Por ejemplo + es un epresión rcionl. El uso de ls propieddes estudids hst hor, se ilustr con l simplificción del cociente 6 + el cul, fctorizndo y simplificndo qued como: ( 6) Mostremos un ejemplo más. Simplific Tu resultdo es +? Perfecto! Vemos porque: ( + ) Ls propieddes de ls frcciones que servirán pr lo posterior, se resumen como:

2 ) ) ) 4) b b b b c cy y c b d c b d Actividdes de prendizje Usndo ls propieddes del resumen, simplific ls siguientes epresiones: ) 6y b) 6 + c) + 6 d) + 5

3 + ) ) ) ) ) ( b) ( b + b ) ( + b b ) ( b ) ( + 7b + 6b ) ( b) ( + b b ) ( + b) ( 5y ) ( + y + y ) ( y y ) ( y ) 6) 7) 5 y + b by 8) by y + b + b by y 9) y + 4b by s + s t ty 0) s + 4 sy + t + ty Multiplicción de frcciones rcionles Pr multiplicr dos frcciones rcionles, recordemos que en un producto como 5 se obtiene multiplicndo numerdores y poniendo el producto en el 7 numerdor, y multiplicndo denomindores y poniendo el producto en el denomindor. Es decir 5 0. En generl, l regl pr multiplicr números 7 rcionles es c b d c b d. Recuerd que l sum de frcciones no se comport sí, por lo que c + + c es un procedimiento erróneo. b d b + d

4 Usndo est propiedd del producto de frcciones, multiplique y simplifique l epresión Compr tu solución con Ahor efectú ls siguientes multiplicciones: ) 5 5 b) r c) y s + y y d) 5 Coincides? Compr tus respuests con: ) b) r r c) y s ys Puedes intentr l multiplicción ( + y ) ( y ) + y y y d) y + y simplificrl? Si obtuviste ( + ) y bien! Vemos porqué: +

5 ( + ) y y + y + + ( + ) + y División de frcciones rcionles En l división de frcciones, usremos el principio b b que y usmos ntes. En plbrs, usremos el hecho de que el cociente dividido por b, es igul l producto de por el recíproco de b. Por fvor, no ves esto como un hecho sin importnci, porque éste resume tods ls posibiliddes de división pr los números reles. Por ejemplo si sustituimos y b5, se tiene: b El producto de dos números recíprocos es. Es decir, lo cul dicho se b de pso, muestr que b y b vez, justific epresiones como: son inversos multiplictivos uno del otro. Esto su b y b b b De este modo, los números /5 y 5/ son recíprocos porque. Muy bien, porque su producto es uno. Fíjte que hy epresiones equivlentes que usn simbologí diferente, pero con el mismo significdo. Por ejemplo: b o bien r t r r b s s t st De este modo, el cociente.

6 Bien,. Efectú hor, l división Tu resultdo debe ser detlle: ( + ) ( + ) 7 5 coincidimos? Muy bien. Vemos est división l ( + ) ( + ) 7 5 Intent hor este Chec tu solución: ( 4) 5 ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 5 Tl vez y observste que l operción de división se h concretdo convertirl en multiplicción. Es decir, l división se ejecut convirtiéndol en multiplicción. Seguro tmbién observste que, pr l reducción de l epresión, el proceso de fctorizción es clve. El cso de Quieres intentrlo? Adelnte. Vemos l solución: es un ejercicio más completo ( 4) ( + 6 6)

7 Actividdes de prendizje ) b 5 b b b ) 7 y y 5 y y ) 5 4b c 7 b c 4 5 c b c 4) 4 5 t 8 t t 5) ) 5 0 t t 6 t 7) 9y z 8 yz 4yz y z 8) 5 t 6 bt 4b t b t 9) ( + ) + 0) ( ) Hemos estudido l multiplicción y división de epresiones rcionles. Ahor estudiremos l form de sumr este tipo de epresiones. Tl vez te preguntes por qué dejmos pr después l sum y rest de ls epresiones rdicles y no procedimos, como en el estudio de los números reles, en donde empezmos con l sum y terminmos con el cociente. L rzón es que l sum de epresiones rcionles depende de ls operciones de multiplicción y división. Vemos cómo ocurre esto. Sum de epresiones rcionles con denomindor común.

8 Pr sumr epresiones rcionles con denomindor común, es necesrio plicr l propiedd distributiv, lo cul es un form de fctorizr un fctor común. Por ejemplo: b + + b + b En generl, si no es cero: b + b + + b ( + b) Por ejemplo, usndo est generlidd, l sum Correcto, Cuál es el resultdo de + b + c? y y y Cierto, l solución es b c + b c. Este tipo de sums puede precer de y y y y un mner más etrñ. Por ejemplo espcios? y y + + y + y Qué pondrás en los Desde luego que. Vemos porqué: + y y y y + y + + y + y + y + y Observ que pr sumr frcciones que tienen un denomindor común, bst con notr l sum de los numerdores sobre el mismo denomindor, esto es: y + y + Sum de epresiones rcionles con denomindores diferentes. Pr enfrentr el problem de sumr epresiones rcionles con diferentes denomindores, debemos encontrr un sum de frcciones equivlentes cuyos

9 denomindores sen igules. Pr esto, recurriremos l regl de l iguldd de frcciones, l cul dice que c y c. Por ejemplo 6. y De este modo, l sum + se puede hcer si encontrmos frcciones 8 4 equivlentes /8 y ¼, respectivmente, que tengn el mismo denomindor. En ¼, se puede ver que, l cul es un frcción equivlente ¼ y, demás, tiene el mismo denomindor que /8, luego entonces Al número 8 que prece debjo de l frcción, se le llm el denomindor común de /8 y ¼. Cundo se sumn frcciones siempre se ocup el menor denomindor común. Por ejemplo, en l sum + + 4, ls frcciones 4/6 y / son equivlentes, pero siempre se procur usr el de menor denomindor común. L plbr procur se debe que no siempre es posible trbjr con denomindores pequeños. En l sum + necesitmos un número que se 5 7 múltiplo de 5 y 7, pr usrlo como común denomindor. Ese número lo podemos obtener multiplicndo 5 75, el cul es el número más pequeño que se puede usr como denomindor común: Así, l sum es Siguiendo este procedimiento Cuál es l sum +? 4 Segurmente tu respuest es 7. Anlicemos l respuest

10 En este cso, el mínimo común denomindor es el producto de los denomindores de ls frcciones que se sumn. Desde luego que el producto de todos los denomindores es múltiplo de cd uno de ellos, y siempre servirá como denomindor común. Así por ejemplo: c d bc d + bc + + b d bd bd bd De cuerdo con esto, llen los espcios en l sum +. y Tu respuest debe ser + y, porque y y y y y y y y Cuál será el común denomindor de ls frcciones 5 + y 4?. + El común denomindor, será e producto de los dos denomindores, esto es: (+)(-)²-4 A veces el común denomindor no se ve tn inmeditmente, por ejemplo Cuál es el común denomindor de ls frcciones y? Si propusiste como respuest (+)(-)(-), tienes muy clro el proceso de fctorizción y pr qué se us. Vemos ²-5+6(-)(-) y ²-9(+)(-). Luego entonces, el mínimo común denomindor es (+)(-)(-). De quí en delnte, identificremos l mínimo común denomindor con ls sigls MCD. Así que encuentr el MCD pr ls frcciones, que se muestrn enseguid y, en cd cso, indic ls frcciones equivlentes que tienen el MCD:

11 Fctorizste primero? Bien, segurmente tu resultdo es correcto. Compárlo: ( 4) ( + ) ( + 5) Con este modo de obtener el MCD, sumremos: Cuál es el resultdo de sumr ? Muy bien si tu resultdo es ls siguientes sums: ) + + b + ) + + ) + y + 4) 4 + +, es correcto, porque Efectú Revis tus respuests:

12 ) ) ) 4) ( + b) 5 + b b ( + b) ( + b) ( + b) y y y + y + y + + y y y y y y Como ves, este tipo de operciones dependen mucho de tu cpcidd pr fctorizr y de encontrr el MCD. De hecho, pr encontrr el MCD de un conjunto de frcciones, debes: ) Fctorizr completmente cd denomindor b) Formr el MCD como el producto de todos los diferentes fctores. El eponente de cd fctor hbrá de ser el más lto que esté socido con el fctor en los distintos denomindores. 5 Por ejemplo Encuentr el MCD de ls 8 6 siguientes frcciones: 7 5 ) ; ; ) ; ) ; Compr tus respuests: ) MCD + ) MCD + ) MCD + + Con ests ides, efectú l sum + + +

13 Si tu respuest es ( ) ( + ), es un grn vnce. Vemos porqué: ( ) ( + ) Ahor efectú l rest (no olvides que l rest se logr sumndo el inverso ditivo del sustrendo) Vemos: ( + 5) ( ) ( + 5) ( ) Actividdes de prendizje En los incisos, convierte l frcción en un equivlente cuyo denomindor se l epresión que prece l derech de cd ejercicio. ) ) ; ( ) ( + ) + ; ( ) ( ) ) y ; + y 5y y En los incisos y 4 encuentr el MCD de los denomindores y escríbelos como un conjunto equivlente. 4) ; ; ) ; ; 4 + ( )

14 Efectú ls siguientes sums: b b b 6) + b + b ( ) s s rs r 7) + r r s r s r 8) + ( ) 4 9) ) ) El resultdo de es ) b) c) d) ) L form más simple en que se puede epresr el resultdo de l b epresión b 4 es b + b + 4 ) b 4b b) b + 0 4b ( b + ) c) 8 b b + b + 4 d) b + 5b + 4 b 5