PROBABILIDAD Probabilidad Clásica y Frecuencial. Probabilidad frecuencial y regularidad estadística Las frecuencias relativas de un evento tienden a

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1 Probabilidad Clásica y Frecuencial. Probabilidad frecuencial y regularidad estadística Las frecuencias relativas de un evento tienden a estabilizarse cuando el número de observaciones se hace cada vez mayor. Ejemplo: La regularidad estadística en el experimento del lanzamiento de monedas, indica que las frecuencias relativas del evento: que salga sol {s }, se tiende a estabilizar aproximadamente en.5= 1/2.

2 Probabilidad frecuencial y regularidad estadística La probabilidad de un evento A, denotada por P(A), es el valor en el que se estabilizan las frecuencias relativas del evento A, cuando el número de observaciones del experimento se hace cada vez mayor.

3 Esto es: PROBABILIDAD donde N( A) PA ( ) (2) N( ) N(A) = número de elementos del evento A N(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω.

4 Probabilidad clásica.- PROBABILIDAD Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como: donde NCF P( A) (1) NCT NCF - número de casos favorables NCT - número de casos totales

5 Ejemplo: PROBABILIDAD Experimento.- Se lanza una moneda Evento A.- que al lanzar una moneda caiga águila. Calcular la probabilidad de A: S = { A, S}, N(Ω) = 2 A = { A }, N(A) = 1 N( A) 1 PA ( ).5 N( ) 2

6 Leyes De La Probabilidad Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad). Axioma.- es una verdad evidente que no requiere demostración. Teorema.- Es una verdad que requiere ser demostrada.

7 Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A S, entonces se cumple que 0 P(A) 1 (3) esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible. P(A)

8 Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es un evento seguro, es uno P(Ω) = 1 Ejemplo.- Experimento.- Se lanza un dado Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces. N( A) N( S) PA ( ) 1 N( ) N( )

9 Teorema 1.- Si es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de es igual a 0 Ejemplos: N( ) P( ) 0 N( ) Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto. Que aparezca un siete al lanzar un dado Que una persona viva 250 años En estos casos los eventos son vacíos

10 Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que A Ω, B Ω y A B =, es decir, dos eventos mutuamente exclusivos, entonces P(A B) = P(A) + P(B). A B A B

11 Ejemplo: Experimento: Se lanzan dos monedas Ω = { ss, aa, sa, as} N(Ω) = 4 Sean: A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos soles exactamente B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sol exactamente. Los elementos de A y B son A = { ss } B = {sa, as} Se puede ver que A B =, no hay elementos en común, por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tanto P(A B) = P(A) + P(B)

12 N( A) 1 PA ( ) N( ) 4 N( B) 2 PB ( ) N( ) P( A B) P( A) P( B) 4 4 4

13 Axioma 4.- Sean A1, A2, A3, A4,..., An eventos mutuamente exclusivos: P(A1 A2 A3 A4,... An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) P(An) Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.

14 Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria: P( A A... A ) P( A ) P( A )... P( A ) n 1 2 n 1 2 n P( A A ) P( A A A )... P( A A... A ) i j i j k 1 2 k i j i j k n

15 Ejemplo: Experimento: Se lanza un dado Sean Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4 Evento B: que al lanzar un dado salga un número mayor a 4 Evento C: que salga el 1 o 3 Los elementos de A, B y C son A = {2, 4}, N(A) = 2 B = {5, 6}, N(B) = 2 C = {1, 3}, N(C) = 2

16 Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que A B = { }, A C = { }, B C = { }, Por axioma 4 P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) PA ( ) PB ( ) PC ( ) N( A) 2 N( ) 6 N( B) 2 N( ) 6 NC ( ) 2 N( ) P( A B C) P( A) P( B) P( C)

17 Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A y B dos eventos no excluyentes, A B, entonces P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) A B

18 Diferencia Sean A y B dos eventos: A-B = { x x A y x B } A B A - B

19 Ejemplo.- Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } N(Ω) = 12 A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sol. B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sol. A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3 A B = { 2s } N(A B ) = 1 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 2/12 + 3/12 1/12 = 4/12 = 1/3

20 Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un espacio muestral, tal que A S, si A c es el complemento del evento A, entonces la probabilidad de A c es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir P(A c ) = 1 P(A)

21 Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } N(Ω) = 12 A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sol. B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sol. A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3 A c = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } P(A c ) = 1 P(A) = 1 2/12 = 10/12 B c = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } P(B c ) = 1 P(B) = 1 3/12 = 9/12

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