UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-07-2-M CURSO: Matemática Intermedia I SEMESTRE: Segundo CÓDIGO DEL CURSO: 07 TIPO DE EXAMEN: Segundo Parcial FECHA DE EXAMEN: Segundo Semestre 202 NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN: Elda Magally Calderón Motta NOMBRE DE LA PERSONA QUE REVISÓ EL EXAMEN: Lic. Francisco de la Rosa

2 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS FACULTAD DE INGENIERIA MATEMATICA INTERMEDIA 2do semestre 202 TEMARIO A ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA SEGUNDO PARCIAL TEMA a) Determine si las integrales convergen o divergen i. ii. (7 puntos c/u) (2 PUNTOS) b) Encuentre un valor aproximado de utilizando la re c) gla de Simpson con n=4 (redondee a 3 cifras decimales). (7 puntos) TEMA 2 (2 PUNTOS) Una compuerta vertical en un canal de irrigación tiene forma de una región acotada por una parábola en su parte inferior, el canal no está lleno como se aprecia en la figura. Plantee la integral de la fuerza hidrostática sobre la compuerta. (Densidad de peso del agua 62.5 lb/pie 3 ). 4 pies 3 pies 4 pies Parábola TEMA 3 (4 PUNTOS) i. Plantee la integral del área superficial, de la superficie generada al girar la curva dad alrededor del eje x. (6 puntos) ii. Plantee la integral del momento respecto al eje x (M x ) de la lámina de densidad uniforme acotada por las gráficas de: (8 puntos)

3 TEMA 4 (8 PUNTOS) a) Encuentre las coordenadas polares del punto (-,-2) dado en coordenadas cartesianas. (4 pts.) b) Determine otros dos pares de coordenadas polares, uno con r < 0 y otro con r > 0 para el punto dado en coordenadas polares (2, π/3). (4 pts.) TEMA 5 (27 PUNTOS) a) Plantee la integral del área de la región dentro de y fuera de (trace la gráfica de la región identificando las curvas y los puntos de intersección). (5 pts.) b) Plantee la integral de la longitud de arco de la gráfica de la segunda ecuación que es exterior a la primera ecuación. (5 pts.) Hallar una ecuación polar de una cónica con un foco en el polo, excentricidad 2 y directriz x =, luego trace la curva mostrando los elementos más importantes. (7 pts.) TEMA 6 (8 PUNTOS) a) Describa el movimiento de una partícula cuya posición es (x, y), cuando t varía en el intervalo dado: &. (8 pts.) b) Plantee la integral de longitud de arco de la curva dad por &. (5 pts) Plantee la integral de área de la superficie generada al hacer girar la curva dad por & respecto al eje x. (5 pts.)

4 SOLUCIÓN DEL EXAMEN TEMA a) Determine si las integrales convergen o divergen i. Integración impropia: Resolviendo la integral por medio de sustitución: [ ] [ ] 0 e x e x 3 dx 3 2 e 2 3 Converge

5 ii. Integración impropia por límite al infinito: Resolviendo la integral por medio de la forma básica: [ ] [ ] [ ] 0 3dx 25 x π Converge

6 b) Encuentre un valor aproximado de utilizando la regla de Simpson con n=4 (redondee a 3 cifras decimales) Regla de Simpson con n = 4: [ ] Dónde: n x n f(x n ) [ ] I S π 3 tan x dx π

7 TEMA 2 Una compuerta vertical en un canal de irrigación tiene forma de una región acotada por una parábola en su parte inferior, el canal no está lleno como se aprecia en la figura. Plantee la integral de la fuerza hidrostática sobre la compuerta. (Densidad de peso del agua 62.5 lb/pie 3 ). Colocando el origen del sistema de coordenadas en el vértice de la parábola y (2,4) h x x dy 3 pies y (0,0) x Ecuación general de una parábola con vértice en el origen: Sustituyendo el punto (2,4) para encontrar la constante a de la ecuación: Ecuación de la parábola: Fuerza Hidrostática:

8 Dónde: De la ecuación de la parábola: Planteando la integral de la fuerza hidrostática sobre la compuerta: 3 F H 25 3 y 0 y dy

9 TEMA 3 i. Plantee la integral del área superficial, de la superficie generada al girar la curva dad alrededor del eje x y x 2 Planteando la integral del área superficial: ( ) A S e 2π ln x dx x2

10 ii. Plantee la integral del momento respecto al eje x (M x ) de la lámina de densidad uniforme acotada por las gráficas de: y x y x Planteando la integral del momento respecto al eje x: [ ] M x π 4 ρ 2 cos2 x sin 2 x dx 0

11 TEMA 4 a) Encuentre las coordenadas polares del punto (-,-2) dado en coordenadas cartesianas. θ θ (-, -2) 5, 4 25

12 b) Determine otros dos pares de coordenadas polares, uno con r < 0 y otro con r > 0 para el punto dado en coordenadas polares (2, π/3)., π Con r < 0 2, 4π 3 Con r > 0 2, 7π 3

13 TEMA 5 a) Plantee la integral del área de la región dentro de y fuera de (trace la gráfica de la región identificando las curvas y los puntos de intersección). Identificando las curvas: e = /2 Elipse con uno de sus focos en el polo Directriz y = ½ a / b = Cardiode con simetría respecto al eje π/2 Encontrando los puntos de intersección: No tiene solución

14 Puntos de intersección:,, P 2 P r θ r θ Planteando el área de la región dentro de la primera curva y fuera de la segunda [ ] A ( 2 sin θ ) sin θ 2 dθ

15 b) Plantee la integral de la longitud de arco de la gráfica de la segunda ecuación que es exterior a la primera ecuación. ( ) 3π 2 L sin θ dθ c) Hallar una ecuación polar de una cónica con un foco en el polo, excentricidad 2 y directriz x =, luego trace la curva mostrando los elementos más importantes. e = 2 d = r 2 2 cos θ

16 3 2 V V a V n θ r 0 2 / 3 2 π -2

17 TEMA 6 a) Describa el movimiento de una partícula cuya posición es (x, y), cuando t varía en el intervalo dado: &. t (x, y) 0 (, 3) π/2 (0, ) Π (-, 3) 3π/2 (0, ) 2π (, 3) La partícula se desplaza sobre la curva descrita por la parábola empezando en el punto (,3) hasta llegar al punto (-,3), al llegar a este punto emprende regreso hasta llegar al punto (, 3) de nuevo.

18 b) Plantee la integral de longitud de arco de la curva dad por &. ( ) ( ) π L t t dt c) Plantee la integral de área de la superficie generada al hacer girar la curva dad por & respecto al eje x. ( ) ( ) π A S π t t t dt