y = x 1 y = -x + 2 x 1 = -x + 2 x = 1.5 y = 0.5 y = -x + 2 x = 0 x y 1 x + y 2 x 0 y 0 x = 0 y = 2 y = x - 1 x = 1 y = 0 y = 0 y = 0

Transcripción

1 Universidad de Castilla la Mancha PAU/LOGSE Junio 2.03 JUNIO 203 Opción A.- Considera el siguiente problema de programación lineal: Maximiza la función z 2x y sujeta a las siguientes restricciones: x - y x y 2 x 0 y 0 a) ibuja la región factible. b) etermina los vértices de la región factible. c) Indica la solución óptima del problema dado y su valor. B (0, 2).8 x y x y 2 x 0 y 0 y x y -x 2 x -x 2 x.5 y 0.5 y -x 2 x 0 x 0 y 2 y x - x y 0 y 0 x 0 y (0, 0) C (, 0) A (.5, 0.5) Los valores que toma la función z 2x y en cada uno de los vértices: En el vértice A : z 2(.5) En el vértice B : z 2(0) 2 2 En el vértice C : z 2() 0 2 En el vértice : z 2(0) 0 0 Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice A, es decir, para x.5 e y0.5, z toma un valor mximo de Para recaudar dinero para el viaje de fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y gorras a 0, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado en total 280 euros. El número total de prendas vendidas ha sido 380. El número de camisetas vendidas fue el doble del número de gorras vendidas. a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita obtener el número de camisetas, bufandas y gorras que se vendieron. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x nº camisetas y nº bufandas z nº gorras 0x 5y 7z 280 x y z 380 x 2z 0 2z 5y 7z 280 2z y z 380 5y 27z 280 y 3z 380 z 0 y 0 x 80 -x - - t si x Se considera la función f x x - 5 si x>2 a) Halla el valor de t para que f sea continua en x 2. b) Para t 2, representa grficamente la función f. Para que sea continua lim x 2 - f(x) lim x 2 f(x) f(2) lim f(x) lim -x t t x x 2 lim f(x) lim x 5-3 x 2 x 2 f(2) -x - t t t -3 t

2 Examen Selectividad _ Matemticas _ CCSS _ Castilla la Mancha Para t 2 f x -x si x 2 x - 5 si x> Calcula los valores de los parmetros a y b para que la función f(x) x 2 ax b tenga un mínimo en el punto (2, ). f 2 2a b -3 2(-4) b -3 b 5 Para que haya un mínimo en el P(2, ) f(x) x 2 ax b f ' x 2x a f ' a a -4 f '' x >0 f(x) x 2-4x En una empresa se producen dos tipos de piezas: A y B. El 20% son piezas del tipo A y el 80% piezas del tipo B. La probabilidad de que una pieza de tipo A sea defectuosa es 0.02 y de que una pieza de tipo B sea defectuosa es 0.. a) Elegida una pieza al azar, cul es la probabilidad de que sea defectuosa? b) Se escoge al azar una pieza y resulta no defectuosa, cul es la probabilidad de que sea del tipo A? Suceso A elegir al azar del tipo A P(A) 0.2 Suceso B elegir al azar del tipo B P(B) 0.8 Suceso C elegir al azar una defectuosa P A 0.02; P B 0. P P A P B P A P A P A P A P P A P B P B P P P 0. P P A P A P A 0.8 P A P A P P A P Se considera una muestra aleatoria de 0 consumidores mayores de edad, que en las rebajas de invierno gastaron: 5, 72, 74, 75, 80, 8, 82, 84, 87 y 0 euros respectivamente. a) Sabiendo que el gasto por persona, en las rebajas de invierno, sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 20 euros, halla un intervalo de confianza para el gasto medio poblacional con un nivel de confianza del 5% A B

3 3 JUNIO 203 b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo con el mismo nivel de confianza. P x - σ Zα 2 n < μ < x Zα 2 σ n -α x x n α α El valor crítico Zα 2 es aquel que cumple, en la distribución normal estndar P (Z Zα 2 ) - α 2 buscamos en la tabla P (Z Zα 2 ) 0.75 Zα 2. P , ,.40 Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza, podemos aumentar el tamaño de la muestra, lo que hace disminuir el radio del intervalo al aumentar el denominador: n' n n' n Zα 2 σ n' Zα 2 σn Así, se restaría y sumaría a la media una cantidad menor, lo que hace que la amplitud del intervalo disminuya. Opción B.- adas las matrices: A y B a) Calcula la matriz M (3 I A 2 ), donde I es la matriz identidad de orden 3. b) Calcula la matriz X tal que X B I, donde I es la matriz identidad de orden 2. M 3I A M X B I X B B - I B - X I B - X B - B B- B - B B d t B d Bd t B B X Una empresa produce tres tipos de bicicletas: de montaña, de paseo y estticas. Para su fabricación cada bicicleta necesita piezas de acero, aluminio y fibra de carbono en las cantidades que se indican en la tabla siguiente: e montaña e paseo Esttica Acero 2 3 Aluminio 4 Fibra de carbono 8 Si se dispone de piezas de acero, 28 piezas de aluminio y 34 piezas de fibra de carbono: a) Plantea el sistema que nos permita obtener el número de bicicletas de cada tipo que se podrn fabricar utilizando todas las piezas. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x nº de montaña y nº de paseo z nº estticas 2x 3y z x 4y z 28 8x y z F 2-3F F 3-4F F 3 F x 2 y z 2

4 4 Examen Selectividad _ Matemticas _ CCSS _ Castilla la Mancha x - t si x Se considera la función f x x si x>2 a) Para qué valor de t la función f(x) es continua en x 2? b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (2,). c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (2,). Para que sea continua lim x 2 - f(x) lim x 2 f(x) f(2) lim f(x) lim x t t x x 2 lim f(x) lim x x 2 x 2 f(2) t t 0 t 2 En el intervalo (2, ), la función tiene la expresión f(x) (x 3) 2 - f (x) 2 (x 3) f (x) 2x - f (x) 0 2x - 0 x 3 f (x) 2 f (x) > 0 f (3) - Por tanto, existe un mínimo relativo en el punto (3, -) Para los intervalos de crecimiento, estudiamos el signo de f (x): f (x) > 0 2x > 0 x > 3 la función es creciente en (3, ) f (x) < 0 2x < 0 x < 3 la función es decreciente en (2, 3) 4.- En un tramo de una montaña rusa, la altura alcanzada por el vagón, medida en metros, se ajusta a la función f(t) t 3 - t 2 5t 38, siendo t el tiempo medido en segundos, 0 t. a) En qué instante t, el vagón alcanza la altura mxima en ese tramo, y cul es dicha altura? b) En qué instante t, el vagón alcanza la altura mínima en el tramo mencionado, y cunto vale dicha altura? f (t) 3t 8t 5 f (t) 0 3t 8t 5 0 t f (t) t - 8 8± ± 44 8±2 t 5 t 2 Para que haya un mximo f (x) < 0: f () < 0-2 < 0 por tanto, existe un mximo relativo en t f() 45 Es decir, en el instante t seg el vagón alcanza una altura mxima de 45 m Para que haya un mínimo f (x) > 0: f (5) > 0 2 > 0 por tanto, existe un mínimo relativo en t 5 f() 45 Es decir, en el instante t 5 seg el vagón alcanza una altura mínima de 3 m 5.- En un colegio el 30% de los alumnos juegan al baloncesto, el 40% juegan al fútbol, y el 50% juegan al fútbol o al baloncesto o a ambos deportes. a) Se elige un alumno al azar, cul es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al baloncesto? b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, cul es la probabilidad de que juegue al fútbol? Suceso A jugar al baloncesto P(A) 0.3 Suceso B jugar al fútbol P(B) 0.4 P (A B) 0.5 La probabilidad de que juegue al fútbol y al baloncesto: P (A B) P (A B) P(A) P(B) P (A B) P (A B) P (A B) 0.2

5 5 La probabilidad de que juegue al fútbol si al azar lo hemos elegido que juegue al baloncesto: P B A JUNIO 203 P B A P B A P B A Una fbrica produce cables de acero, cuya resistencia sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 0 KJ/m 3. Se tomó una muestra aleatoria de 00 piezas y mediante un estudio estadístico se obtuvo un intervalo de confianza (88.04, 0.) para la resistencia media de los cables de acero producidos en la fbrica. a) Calcula el valor de la resistencia media de las 00 piezas de la muestra. b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. El intervalo de confianza para la media es: P x - Zα 2 σ n < μ < x Zα 2 σ n -α x Zα σn x Zα 0. 2 σn 2x 800 x 00 El nivel de confianza viene dado por la expresión ( - ) 00%: x Zα 2 σ n Zα 2 σ n Zα 2 σ n. 0 n 00 Zα 2 σ n. Zα Zα 2. P (Z Zα ) - α 2 2 P (Z.) - α 2 tabla α 2 α ( - ) 00% (-0.05) 00% 5%