Tema 15: Contrastes de hipótesis sobre algunos parámetros

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1 ema 15: Contrastes de hipótesis sobre algunos parámetros 1. CORASE DE HIPÓESIS SOBRE LA MEDIA, Conocida Desconocida. CORASE DE HIPÓESIS SOBRE LA CORRELACIÓ, Bibliografía: ema 15 (págs ) Ejercicios recomendados del libro: 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Carmen Ximénez 1

2 1. CORASE DE HIPÓESIS SOBRE LA MEDIA, Para contrastar hipótesis sobre el valor de una media vamos a distinguir dos casos: aquellos en los que se conoce la varianza poblacional,, y aquellos en los que no se conoce. Aunque el primer caso es muy infrecuente en la práctica, por razones didácticas se suele exponer en primer lugar. Contraste de hipótesis sobre la media, conocida σ El procedimiento consiste, como ya hemos visto en el tema anterior, en aplicar el esquema habitual con los siguientes pasos: 1) Hipótesis. Si se trata de un contraste bilateral, éstas serán de la forma, H : µ = µ H 1 : µ µ ) Supuestos. - La población se distribuye (µ; σ) o la muestra es suficientemente grande como para asumir la normalidad basándonos en el eorema Central del Límite. - La media muestral se ha obtenido sobre una m.a.s. - Conocemos σ. 3) Estadístico de Contraste y su distribución bajo H verdadera. 4) Regla de Decisión, basada en el nivel de significación (α) adoptado. Rechazar si Z 1-α/ z ó Z α/ z o rechazar si α/ z < Z < 1-α/ z Z ~ (; 1) Ejemplo 1. Supongamos que queremos contrastar la hipótesis de que la media poblacional en una determinada variable, X, es igual a 1, sabiendo que la varianza poblacional es igual a 64. Para ello extraemos una m.a.s. de 5 observaciones y calculamos su media aritmética en X, que resulta ser igual a 13. Establecemos un nivel de significación (α) de,5. 1) Hipótesis. H : µ = 1 H 1 : µ 1 ) Supuestos. - La población se distribuye (µ; 8) - Conocemos σ En las condiciones indicadas, 4) Regla de decisión. Rechazar si Z 1,96 ó Z -1,96 o rechazar si -1,96 < Z < 1,96 (Adviértase que en el problema no se especifica nada sobre la dirección de la diferencia entre 1 y la media poblacional real, en caso de ser falsa H, por lo que se realiza un contraste bilateral) 13 1 Z 3,15 ; donde Z ~ (; 1) 8 5 Como 3,15 > 1,96 rechazamos H. Concluimos que la evidencia aconseja rechazar, según la regla de decisión adoptada, la hipótesis de que la media poblacional sea igual a 1. Carmen Ximénez

3 Contraste de hipótesis sobre la media, desconocida σ Con mucha frecuencia nos encontraremos en una situación como la anterior pero con la diferencia de que no conoceremos la varianza poblacional, σ. Es decir, queremos contrastar si la media poblacional toma cierto valor y podemos asumir la normalidad de la población (o se trata de una muestra grande) y que la media se ha obtenido en una m.a.s. Si la única diferencia con el escenario anterior es que no conocemos la varianza poblacional (algo bastante razonable, dado que será raro que no conozcamos µ y en cambio conozcamos σ) entonces podemos recurrir a un estadístico similar al anterior, pero en el que en lugar de aparecer σ en el denominador aparece su estimador, S o S -1 (la desviación típica de la muestra), aunque en ambos casos la distribución es la misma: t -1. El esquema, muy similar al del caso anterior, es el siguiente: 1) Hipótesis. H : µ = µ H 1 : µ µ ) Supuestos. - La población se distribuye (µ; σ) o la muestra es suficientemente grande como para asumir la normalidad basándonos en el LC. - La media muestral se ha obtenido sobre una m.a.s. - Desconocemos σ. ~ t -1 o S 1 ~ t -1 S -1 4) Regla de Decisión. Rechazar si 1-α/ t -1 ó α/ t -1 o rechazar si α/ t -1 < < 1-α/ t -1 Ejemplo. Supongamos que queremos contrastar la hipótesis de que la media poblacional en una determinada variable, X, es igual a 8. Extraemos una m.a.s. de 81 observaciones y en ella obtenemos que su media es 75,8 y su varianza ( S ) es igual a 36. Establecemos un nivel de significación (α) de,1. 1) Hipótesis. H : µ = 8 H 1 : µ 8 ) Supuestos. - La población se distribuye (µ; σ) - Desconocemos σ. 1 75, ; donde ~ t 8 -, S 1 15, ) Regla de decisión, con el nivel de significación adoptado (α =,1), Rechazar si,639 ó -,639 o rechazar si -,639 < <,639 Como el valor obtenido (-,461) está entre ±,639 Mantenemos H. La evidencia aconseja no rechazar, según la regla de decisión adoptada, la hipótesis de que la media poblacional sea igual a 8; la evidencia observada es compatible con ella. Carmen Ximénez 3

4 . CORASE DE HIPÓESIS SOBRE LA CORRELACIÓ, El caso que exponemos aquí es única y exclusivamente aquel en el que queremos contrastar si la correlación de Pearson poblacional es. Los contrastes sobre cualquier otro valor exigen otros elementos que se expondrán en la asignatura de Análisis de Datos II. o obstante, el contraste del valor es, con mucho, el más interesante y el que con mayor frecuencia se emplea. * Se trata de contrastar la independencia lineal entre dos variables; es decir, si la correlación poblacional (ρ) es igual a. Para ello necesitamos especificar un escenario en el que podamos definir un Estadístico de Contraste con una distribución conocida con la que establecer la regla de decisión. El escenario buscado es el que se resume en el siguiente esquema, en el que se llega a un Estadístico de Contraste que bajo hipótesis nula verdadera se distribuye según la con grados de libertad (t - ). 1) Hipótesis. H : ρ = H 1 : ρ ) Supuestos. - Las dos variables a las que se refiere la correlación son normales. - La correlación muestral, r, se ha obtenido sobre una m.a.s. de pares de valores de X e Y. - 1 r ~ t - 4) Regla de Decisión. Rechazar si 1-α/ t - ó α/ t - o rechazar si α/ t - < < 1-α/ t - Ejemplo 3. Supongamos que queremos contrastar si a nivel poblacional las variables X e Y son linealmente independientes. Extraemos una m.a.s. de 6 observaciones y en ella obtenemos una correlación de,8. Por estudios anteriores sabemos que podemos asumir que se trata de variables normales. Establecemos un nivel de significación (α) de,5. 1) Hipótesis. H : ρ = H 1 : ρ ) Supuestos. - Ambas variables se distribuyen ormalmente en la población. - 8, 6-, 59 ; donde ~ t 6 1r 1, 8 4) Regla de Decisión. Rechazar si, ó -, o rechazar si -, < <, Como,59 no está entre ±,, Rechazamos H. La evidencia aconseja rechazar, según la regla de decisión adoptada, la hipótesis de que en la población estas variables sean linealmente independientes; la evidencia observada no es compatible con ella. Carmen Ximénez 4

5 Selección de una prueba de significación estadística 1. Diseño experimental empleado - Una, dos o más muestras - Independientes o relacionadas. Características de los datos - Escala de medida (cuantitativas vs. Cualitativas) - Distribución de la población (pruebas paramétricas vs. no paramétricas) - amaño de la muestra 3. Importancia del cumplimiento de los supuestos ipos de contrastes: esquema CORASES CO UA MUESRA Parámetro Media, Correlación, Proporción, Supuestos y condiciones - ormalidad - Conocida - ormalidad - Desconocida - ormalidad - Hipótesis de independencia lineal, = Z Estadístico y Distribución ~ (; 1) ~ t -1 S 1-1 r Binomial ~ t - Varianza, Chi-cuadrado CORASES CO DOS MUESRAS Parámetro Igualdad de medias, 1 = Igualdad de varianzas, 1 = Igualdad de proporciones, 1 = Supuestos y condiciones - Asumiendo 1 = - Asumiendo 1 Estadístico y Distribución F de Snedecor (;1) Binomial Carmen Ximénez 5