LÓGICA. LENGUAJE ARTIFICIAL Lenguajes bien definidos que poseen una estructura sintáctica clara y una operativa eficaz.

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1 LÓGICA LENGUAJE ARTIICIAL Lenguajes bien definidos que poseen una estructura sintáctica clara y una operativa eficaz. En líneas generales puede decirse que todas las ciencias, en especial las ciencias de la naturaleza, emplean Lenguajes Artificiales y que ésta ha sido una de las condiciones para su progreso. Por ejemplo, los símbolos de la Química, la ísica, la Biología, pero también los de la Economía, la Lingüística, etc., constituyen tipos de lenguaje artificial. ELEMENTOS QUE INTEGRAN UN LENGUAJE ARTIICIAL Básicamente consta de los mismos elementos que cualquier lenguaje natural (un conjunto se signos y una serie de reglas sintácticas para combinar dichos signos-), pero se le exige además: a) Que los signos estén bien definidos, para que no quepan ambigüedades; b) Que el conjunto de las reglas para la formación de expresiones, impida la construcción de expresiones carentes de sentido y permita saber, en cualquier momento, si una determinada combinación de signos es una expresión bien formada del Lenguaje; c) Y que posea, además, un conjunto de reglas operativas o de transformación de expresiones, que permita deducir a partir de unas expresiones correctas del Lenguaje otras que también lo sean, para de ese modo construir rigurosas y complejas cadenas deductivas. La Lógica y las Matemáticas son ejemplos de Lenguajes Artificiales. LENGUAJE ORMAL Se denomina Lenguaje ormal a un Lenguaje Artificial cuyos signos son formales (es decir, carecen de significado) y cuya sintaxis permite operar con dichos signos como en un cálculo.

2 La Lógica y las Matemáticas son Lenguajes Artificiales y, además, ormales. Qué significa que los signos de un Lenguaje ormal carecen de significado? Pues que tales signos no se refieren en absoluto a la realidad. Así, por ejemplo, el signo matemático 2 no se refiere a dos cosas concretas, como dos manzanas o dos peras; y lo mismo le ocurre, como veremos inmediatamente, a los signos lógicos p, q, r, que no se refieren a ninguna proposición determinada, pudiendo representar a cualquiera. Qué significa que las reglas de un Lenguaje ormal poseen la eficacia de un cálculo? - Que mediante tales reglas siempre podremos saber si una expresión (es decir, un conjunto de signos) está bien formada en ese lenguaje. - Y que mediante la aplicación de dichas reglas podremos transformar expresiones bien formadas en dicho lenguaje en otras expresiones que también estén bien formadas (expresiones que por algún motivo nos interesa deducir). LA LÓGICA COMO LENGUAJE ORMAL La Lógica puede definirse como aquella ciencia o reflexión sistemática que estudia las condiciones o leyes que debe cumplir todo razonamiento para ser formalmente válido. QUÉ ES UN RAZONAMIENTO? Un razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque en él se produce el paso de ciertas afirmaciones (las PREMISAS) a otra afirmación (la CONCLUSIÓN) que se deriva, deduce o infiere de aquéllas. Una pequeña aclaración: todo razonamiento es pensamiento (es decir, es una actividad mental), pero no todo pensamiento es razonamiento, pues podemos pensar (en un árbol, en una isla o en un triángulo, por ejemplo), sin pretender sacar conclusión alguna acerca de lo pensado, es decir, sin integrarlo en un razonamiento.

3 CONDICIONES QUE DEBE REUNIR UN RAZONAMIENTO PARA SER ORMALMENTE ÁLIDO Un razonamiento es formalmente «válido», es decir, posee una estructura lógica correcta, cuando existe una conexión entre sus afirmaciones tal que la conclusión se deduce necesariamente de las premisas. Hemos de distinguir entre verdad y validez: - La verdad es una propiedad de los enunciados. Un enunciado será verdadero o falso si lo que él afirma ocurre o no en la realidad. Por ejemplo, los gatos son animales con alas o está lloviendo, son enunciados verdaderos si lo que afirman puede ser observado en la realidad. (A este tipo de verdad se le denomina también ERDAD MATERIAL) - Los razonamientos, sin embargo, son válidos no porque los enunciados que lo integren sean verdaderos, pues es posible construir razonamientos perfectamente válidos con enunciados falsos, sino que un razonamiento es válido únicamente si la conclusión se deduce necesariamente de las premisas. (Esto es lo que se denomina también ERDAD ORMAL). LA LÓGICA PROPOSICIONAL O LÓGICA DE ENUNCIADOS La Lógica proposicional o de enunciados es el apartado más elemental y básico de la Lógica. Es el más elemental porque es el más sencillo. Es básico, porque sirve de base al resto del edificio de la Lógica. La tarea de la Lógica proposicional consiste en ocuparse de estudiar la validez formal de los razonamientos tomando en bloque las proposiciones que los forman, es decir, sin hacer un análisis de tales proposiciones. Una proposición es tomada en bloque cuando no se tienen en cuenta los elementos que la integran, pasando a ser considerada como un todo o unidad lingüística básica. Así, por ejemplo, una proposición como Los gatos son mamíferos puede ser simbolizada en Lógica de varios modos, algunos de los cuales son los siguientes:

4 -En Lógica Proposicional: p [ Se lee «p» ] (toma la proposición en bloque sin analizarla) -En Lógica Silogística: S -A- P [Se lee «Todos los S son P» ] (analiza la proposición y tiene en cuenta cuál es el sujeto y el predicado de la misma, además analiza si el predicado se dice de todos, algunos o ningún sujeto) -En Lógica de Predicados: x (Gx Mx) [Se lee «Para todo x, si x es G, entonces x es M»] (el análisis destaca el tipo de relación que se da entre las propiedades atribuidas al sujeto de la proposición) En la LÓGICA PROPOSICIONAL una proposición es simple si no puede descomponerse en partes que a su vez sean proposiciones. También se la denomina proposición atómica. Ejemplos: Los gatos son mamíferos, Pedro viene con Luis. Mientras que una proposición será compleja si está compuesta por varias proposiciones simples unidas de algún modo. También es llamada proposición molecular. Ejemplos: Los gatos son mamíferos, pero a mí me gustan más los pájaros exóticos, Si Pedro viene con Luis y trae comida, nos iremos todos al campo. Todos los tópicos relativos a las matemáticas se razonan desde el punto de vista lógico y por lo tanto hay que tener muy en cuenta el enunciado de las proposiciones MATEMATICAS y su consecuente validez (una proporción es verdadera o falsa pero nunca ocurrir que sea verdadero y falso a la vez. DEINICIÓN DE LÓGICA La lógica es la teoría de la deducción; la deducción consiste en pasar de la verdad de las premisas a la verdad de la conclusión

5 La Lógica puede definirse como aquella ciencia o reflexión sistemática que estudia las condiciones o leyes que debe cumplir todo razonamiento para ser formalmente válido. ENUNCIADO Se llama enunciado a toda frase u oración. Algunos enunciados son órdenes, interrogaciones, expresiones de emoción, afirmaciones o negaciones que tienen las características de ser verdadero o falsa. Ejemplo : Dónde estás? Qué curso te has matriculado? 5 > 7 Prohibido hacer bulla 2x + 6 =16 Los enunciados que expresan una exclamación, una interrogante, una emoción; son expresiones no proporcionales. ENUNCIADOS ABIERTOS Son expresiones que contienen variables (cantidad susceptible de variar en cierto campo o recorrido. Las variables se representan por las letras minúsculas: x, y, z, t,u, v )y no tiene la propiedad de ser verdadero o falso pero se pueden convertir en una proposición. Ejemplo X > 6 Enunciado abierto porque no podemos afirmar que es o es. Sólo cuando la variable x toma un valor numérico se hace o. 8 > 6 es 4>6 es PROPOSICIÓN Es todo enunciado que tiene la cualidad, de ser verdadera () o de ser falsa (), pero nunca puede ser y a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. Notación: Se denotaran las proposiciones con letras minúsculas: p,q, r, s,t.si son muchas proposiciones, entonces usaremos subíndices, tales como: p 1,p 2, p 3, p n q 1,q 2, q 3, q n r 1,r 2, r 3, r n, etc. Ejemplo:

6 p: tres más tres, es igual a cinco q: uno es menor que tres r : cuatro es diferente que cero s : cuatro multiplicado por tres, es igual a doce Se observa: p es q es r es s es DEINICION Se llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posibles; verdadero o falso, estos posibles valores se puede esquematizar en una tabla de verdad en la forma. p PROPOSICIÓN SIMPLE Son los enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado. No llevan ningún conectivo lógico. p 1 : 3 x 4 = 13 p 2 : 9 múltiplo de 3 p 3 : 3 > 0 p 1 es p 2 es p 3 es PROPOSICIÓN COMPUESTA (MOLECULAR O COLIGATIA ) Son aquellas proposiciones que se obtienen de la combinación de dos o más proposiciones simples las cuales son enlazadas por un conectivo lógico. Ejemplo 4 es mayor que 1 y 3 es mayor que 2 Se denota por: p 1 p 2 Si 9 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 3, entonces es múltiplo de 3 Se denota por: P 7 p 8 p 9

7 COMBINACIÓN DE DOS O MÁS PROPOSICIONES Para una proposición p le corresponde 2 1 = 2 posibles valores: p Para dos proposiciones p y q le corresponde 2 2 = 4 combinaciones de valores. p q Para tres proposiciones p, q y r le corresponde 2 3 = 8 combinaciones p q r CONECTIOS LÓGICOS Símbolo nombre Expresión Δ NEGACIÓN CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIA DISYUNCIÓN UERTE O EXCLUSIA no Nunca Jamás Es mentira que De ninguna forma, No es cierto que... Es falso que... No es posible que....y Además.También.Sin embargo.no obstante Aunque. Tal como Al igual que Así como Incluso Pero.a la vez O. Salvo que A menos que excepto que O O O bien o bien O es que..o es que Si entonces por lo tanto por consiguiente

8 I CONDICIONAL O IMPLICACIÓN MATERIAL REPLICA MATERIAL BICONDICIONAL NEGACIÓN CONJUNTA NEGACIÓN ALTERNATIA O INCOMPATIBILIDAD luego en consecuencia por ello..implica que..de modo que.. es obvio que si siempre que... si es que Debido a que dado que puesto que ya que.porque Si y solo si Siempre y cuando es idéntico a equivale a que entonces y solo entonces..siempre que y solo cuando.es una condición necesario y suficiente No y no Ni ni No o no TABLAS DE ERDAD La verdad o falsedad de una proposición se denomina su validez (o su valor de verdad). La validez de la conjunción, de la disyunción, de la condicional, de la bicondicional y de la negación pueden ser representadas en tablas. CONJUNCIÓN DISYUCIÓN DÉBIL DISYUNCIÓN UERTE CONDICIONAL REPLICA MATERIAL BICONDICIONAL NEGACIÓN P q p q p q p Δ q p q p q p q p q NEGACIÓN CONJUNTA NEGACIÓN ALTERNA p Q p q piq La disyunción exclusiva o fuerte tiene varias equivalentes (tablas de verdad son idénticas) p Δ q ~ ( p q ) ( p v q ) ~ ( p q ) ( p ~ q ) v ( q ~ p ) La negación conjunta su equivalente es: p q ~ p ~ q La negación alterna su equivalente es: p I q ~ p v ~ q

9 Condicional: La proposición p es llamado antecedente y la proposición q es llamado consecuente. Ejemplo: Negación: p: 5x8 = 40 Su negación es: p : no es cierto que 5x 8 = 40 Conjunción: p : 7< 9 y q : 6 es numero par. El valor de verdad de p q Disyunción débil :Hallar el valor de p v q donde p: 7 es mayor que 9; q: 4 es menor que 5 Condicional : p q p q Pedro compra un libro sólo cuando tiene dinero Pedro compra un libro = p p q p, solo si q Pedro tiene dinero = q PROPOSICIONES COMPUESTAS Son proposiciones que se forman a partir de las proposiciones simples y compuestas básicas

10 JERARQUÍA DE LOS CONECTIOS LÓGICOS Si se tiene una proposición compuesta con varios conectivos lógicos, para realizar las operaciones primero se debe colocar los paréntesis adecuadamente empezando con las proposiciones que se encuentran dentro de los paréntesis anteriores, luego siguen todas las negaciones y se avanza de izquierda a derecha (los corchetes son considerados como paréntesis). Ejemplo : hallar la tabla de valor de verdad de la proposición p q r p r [ p v (q r ) [ ( p v r) q] TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTIGNECIAS TAUTOLOGÍA.- Son proposiciones compuestos que siempre son verdaderos cualquiera que sea el valor de las proposiciones componentes. EJEMPLO

11 CONTRADICCIONES : Son proposiciones compuestas que siempre son falsas, cualquiera que sea el valor de las proposiciones. CONTINGENCIA.- Son proposiciones compuestas que no son ni tautología ni contradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos casos es, y en otros es. PROPIEDADES LOGICAS A continuación se da algunas propiedades lógicas con las cuales se pueden hallar el valor de verdad de las proposiciones sin recurrir a las tablas de verdad.

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13 CIRCUITOS LÓGICOS A un interruptor se puede representar por medio de una proposición p y viceversa Para diseñar los circuitos eléctricos, se usa la siguiente notación. El 1 indica pasa corriente en lugar de El 0 indica no pasa corriente en lugar de DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie. DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN PARALELO Consideremos dos interruptores p y q instalados en paralelo

14 Bibliografía Espinoza Ramos, Armando MATEMÁTICA BÁSICA, Editorial EDUKPERU, edición 2013 Lázaro Carrión; Moisés; MATEMÁTICA BÁSICA, Ed. MOSHERA, Lima ernandez iejo, Salustino, LOGICA, Arequipa 2013.