Ingeniería en Tecnologías de Automatización

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1 Ingeniería en Tecnologías de Automatización Vectores Dr. Farid García Lamont Enero-Junio de 2012

2 Tema: Vectores Abstract These slides introduce the definition of vector, besides the vectors characteristics and operations. Kewords: Euclidean norm, vector space, vector operations.

3 Contenido Definiciones Notación Operaciones vectoriales

4 Definición de vector Es una herramienta geométrica que se emplea para representar magnitudes físicas, definida por: o Magnitud (módulo o longitud) o Dirección (orientación) Pueden representarse como segmentos de recta dirigidos en el plano R n, n N. Para nuestro caso nos limitaremos al plano R 2 al espacio R 3.

5 Características de los vectores Sentido p Dirección θ Los vectores por lo general se denotan con letras minúsculas, de las siguientes maneras: p = a, b, p = a, b

6 Vectores escalares p θ λp Donde: λ R, λ > 0 p θ λp Donde: λ R, λ < 0

7 Suma vectorial Componentes w p p + w Vector resultante

8 Método del paralelogramo (Método grafico) p + w p w Este método se limita a vectores en el plano.

9 Método del polígono v 3 v 4 v 2 Donde: 7 R = v 1 v 5 v 1 R k=1 v 7 v 6

10 Conmutatividad p w p + w w + p p w p + w = w + p

11 Asociatividad p w r p p + w w r w + r p + w + r = p + (w + r)

12 Representación geométrica algebraica en R 2 b a, b p Coordenadas Cartesianas θ a

13 Magnitud orientación vectorial en R 2 La magnitud orientación de un vector p = a, b se definen con: p = a 2 + b 2 tan θ = b a Norma Euclideana

14 Ejemplos Sea p = 4,3, p = = 5 θ = tan Sea p = 1,2, p = = 5 θ = tan

15 Representación geométrica algebraica en R 3 a, b, c p α β θ b a c z

16 Magnitud orientación vectorial en R 3 La magnitud orientación de un vector p = a, b, c se definen con: p = a 2 + b 2 + c 2 Cosenos directores cos θ = cos β = cos α = a p b p c p

17 Cosenos directores Los cosenos directores de cualquier vector en R 3 cumplen lo siguiente: cos 2 θ + cos 2 β + cos 2 α = 1 Ya que p 2 = a 2 + b 2 + c 2, entonces: a 2 p 2 + b2 p 2 + c2 p 2 = 1 Por lo tanto: a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = 1

18 Ejemplo Sea p = 4,3,1, p = = 26 θ = cos β = cos α = cos

19 Norma Euclideana Sean p R n, n = 2,3 λ R, la norma Euclideana cumple con lo siguiente: o p 0 o p = 0 si solo si p = 0,0 p = 0,0,0 o λp = λ p, donde es el valor absoluto

20 Propiedades del producto de escalares vectores Sean λ, φ R, lo siguiente se cumple para cualquier vector p, w R n, n N: o λφ p = λ φp o λ + φ p = λp + φp o λ p + w = λp + λw Sean λ = 1, φ = 3, p = 4, 2,1 w = 2,5,7 o 1 3 4, 2,1 = 1 12, 6,3 o , 2,1 = 4,2, , 6,3 o 1 4, 2,1 + 2,5,7 = 4,2, 1 + 2, 5, 7

21 Suma vectorial (Método analítico) Establecer convención de signos. Los vectores se descomponen en sus componentes rectangulares. Se suman las componentes en su respectivas direcciones. Se calcula la magnitud dirección de la resultante.

22 Ejemplo q 1 = 7 θ 1 = 45 q 2 = 3 q 1 θ 2 = 30 q 2 (+) (+) Convención de signos

23 Ejemplo q 1 a 1 45 b 1 45 a 1 = 7 sin 45 = 4.95 b 1 = 7 cos 45 = 4.95 q 1 = 4.95,4.95

24 Ejemplo ( ) 30 q 2 ( ) a 2 b 2 3 a 2 = 3 sin 30 = 1.5 b 2 = 3 cos 30 = 2.59 q 2 = 2.59, 1.5 Ver convención de signos

25 Ejemplo R = q 1 + q 2 R = 4.95, , 1.5 R = 2.36,3.45 tan θ R = θ R = R = 4.18 θ R

26 Vector unitario También conocido como vector normalizado, es aquel vector cua magnitud es igual a 1. Es decir, un vector p es unitario si p = 1. Sea el vector p, su vector unitario se obtiene con: e p = p p

27 Ejemplo Sea p = 4,3,1, p = = 26 El vector unitario es: e p = 4,3,1 26 e p = 4, 3,

28 Vectores base La notación mas común es el de combinación lineal de los vectores base i = j = k = 1,0,0 Eje 0,1,0 Eje 0,0,1 Eje z Donde: i = j = k = 1 Combinación lineal en el plano p = φi + φj Combinación lineal en el espacio p = λi + ωj + δk Donde φ, φ, λ, ω, δ R.

29 Vectores base en el plano j i j i i i j j p = 2i 4j

30 Vectores base en el espacio p = 4i + 4j + 3k j k i z

31 Vectores base en el espacio p = 4i + 4j + 3k j k i z

32 Producto punto Sean los vectores p = q = q 1,, q n. p 1,, p n El producto punto se define como: n p q = (p k q k ) k=1 Por ejemplo, sean p = 2i + 3j q = i + 5j, el producto punto es: p q = p q = = 13

33 Producto punto Sean los vectores p q. El ángulo θ que forman ambos vectores al intersectarse, se puede obtener con: p q = p q cos θ p θ q

34 Ejemplo Sea los vectores p = i + 2j 3k q = 2i + j 3k. Calcular el ángulo θ que forman ambos vectores al intersectarse. p q = ( 3 3) p q = = 9 p = 14, q = 14; 9 = cos θ Despejando θ: θ = 49.99

35 Producto cruz Sean los vectores p = p i + p j + p z k q = q i + q j + q z k. El producto punto cruz se define como: i j k p q = p p p z q q q z El producto se obtiene al calcular el determinante de la matriz con la regla de Cramer.

36 Producto cruz En términos de componentes rectangulares: i i = 0 j i = k k i = j i j = k j j = 0 k j = i i k = j j k = i k k = 0 i (+) ( ) k j

37 Producto cruz Sean los vectores p q. El ángulo θ que forman ambos vectores al intersectarse, se puede obtener con: p q = p q sin θ El vector es perpendicular a p q. El área que forman los vectores es igual a p q p q q p θ

38 Ejemplo Sean los vectores p = i + 2j 3k q = 2i + j 3k. p q = i j k i 3 1 i = 3i 2 3 j 3 1 j = 9j 1 1 k 2 2 k = 5k De esta forma, el vector resultante es: p q = 3i 9j 5k

39 Ejemplo El ángulo que forman los vectores es: p = 14, q = 14; p q = 115 Se sustituen los datos: 115 = sin θ Se despeja θ: θ = Se puede verificar que el vector resultante es perpendicular a p q, a que: p p q = 0 q p q = 0

40 Producto punto cruz Nótese que: El producto punto ( ): R n R n R, donde n N. El producto cruz : R 3 R 3 R 3.

41 Referencias Marsden, J.E., Tromba, A.J.: Cálculo vectorial, Addison-Wesle Iberoamericana, Beer, F.P., Johnston, E.R.: Mecánica vectorial para ingenieros, Estática, McGraw-Hill, 2000.

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