ERRORES EN LAS MEDIDAS (Conceptos elementales)

Transcripción

1 ERRORES E LAS MEDIDAS (Coceptos elemetales). Medda y tpos de errores ormalmete, al realzar varas meddas de ua magtud físca, se obtee e ellas valores dferetes. E muchas ocasoes, esta dfereca se debe a causas accdetales y su carácter suele ser aleatoro. E este caso, al medr la catdad descoocda L 0 u úmero de veces muy elevado, el tratameto estadístco rguroso demuestra que la probabldad p(l) de obteer u certo valor L vee dada por la fucó de Gauss, dstrbucó ormal o campaa de Gauss (véase su forma e la Fg. ), que se escrbe: ( LL ) ( ) p( L) e () Es fácl ver que el mámo de dcha fucó ocurre para L L, y la achura (dspersó) de las meddas depede de la magtud que se deoma desvacó típca. Su sgfcado se puede compreder a partr de la Fg., dode se ha dcado por medo de la regó rayada el tervalo compreddo etre L y L. El 68.3% de las meddas cae detro de esta regó (y el L L L Fg.. Dstrbucó ormal de Gauss 99.7% etre L y L ). El valor L L L se toma como ua represetacó razoable del error absoluto de L 0 y por tato el valor de L se epresa como: L L E la práctca, el úmero de meddas o es ta elevado como para reproducr felmete la campaa de Gauss, so que es ecesaro estmar el valor medo y la desvacó típca o error cuadrátco medo, a partr de u úmero lmtado de meddas,, para lo que se utlza las epresoes: L L () dode el úmero de meddas suele estar compreddo etre 5 y 0. (3) L L Por eemplo, s se mde el tempo correspodete a 0 osclacoes de u pédulo, podría obteerse como resultado el que se resume e la Tabla sguete: Laboratoro de Físca Geeral, Errores e las meddas, /5

2 º de medda Tempo, t (s) # 4,5 # 6, # 3 3,9 # 4 4,7 # 5 5,3 # 6 6, # 7 4,9 # 8 3,8 # 9 4, # 0 5,4 E cosecueca, a la hora de epresar el resultado de la medda e térmos de su valor medo ( t ) y error (), se obtee: º medda Tempo, t (s) t t (s) ( t t ) (s ) # 4,5-0,4 0,6 # 6,,,44 # 3 3,9 - # 4 4,7-0, 0,04 # 5 5,3 0,4 0,6 # 6 6,,3,69 # 7 4,9 0 0 # 8 3,8 -,, # 9 4, -0,7 0,49 # 0 5,4 0,5 0,5 t 49 t t 6, 44 t t t t 49 4,9 s 0 0,85 0,9 s Y el resultado fal se epresará como: t 4,9 0,9 s Laboratoro de Físca Geeral, Errores e las meddas, /5

3 . Represetacoes gráfcas E la Fg., e el qse lustra el procedmeto para represetar gráfcamete los resultados de ua sere de meddas y su utlzacó para etraer formacó a partr de dcha gráfca. Se utlza como eemplo la determacó de la aceleracó de la gravedad g usado u pédulo. El perodo T de u pédulo smple vee dado e fucó de su logtud L por la epresó T = 4 L/g, por tato escrbedo g L T (4) 4 y represetado L e fucó de T, como se ha hecho e la Fg., se obtee ua recta de pedete g/(4 ) de cuyo valor se determa g. Las barrtas vertcales y horzotales que aparece e cada puto dca el error obtedo e varas meddas de ese puto y se deoma barras de error. E la fgura se ha represetado todas guales, y eageradas para mayor clardad. L, m 3 L T T, s Fg.. Datos epermetales y auste vsual de la ecuacó ()... Evaluacó vsual El método que aquí llamamos vsual cosste e trazar la recta por etre la ube de putos medos medate u "auste vsual ucoso", es decr que el peso de los putos que queda por arrba de la recta sea smlar al de los que queda por debao. La recta debe represetar la tedeca de la ube de putos, s que tega que pasar por uo o varos de los putos ecesaramete. El valor de g se obtee de la pedete medda sobre la recta y o de los putos medate L g tg (5) T 4 E el caso de esta fgura se tee g = 9,7385 m/s. A cotuacó se traza dos rectas adcoales (de trazos fos e la Fg. ) que represeta las pedetes "máma" y "míma" posbles de la ube de putos, de las que se obtee de modo aálogo g ma = 0,453 m/s y g m = 8,8775 m/s, cuya dfereca es g =,5757 m/s. Tomado la mtad de este valor como el error absoluto, éste será g = 0,7878 m/s 0.8 m/s. prescdedo de las cfras o sgfcatvas. Por tato, cosderado o represetatvas todas las cfras a partr de aquella que se ve afectada por el error e la medda, el resultado de be escrbrse así: g = (9,7 0,8) m/s g 0,8 El error relatvo sería: 0,084 8% g 9,7 Laboratoro de Físca Geeral, Errores e las meddas, 3/5

4 .. Evaluacó aalítca La evaluacó aalítca de ua represetacó gráfca se realza por medo del método de mímos cuadrados, u resume del cual se da e el Apédce. 3. Propagacó de errores e las fórmulas Frecuetemete la magtud que se desea coocer se calcula por medo de ua epresó matemátca e la que aparece varas magtudes que hay que medr y que vee afectadas por u certo error. Este error, por tato, se trasmte co los cálculos y afecta a la magtud fal. Esto es lo que se cooce como propagacó de errores y la forma de tratarlo se eplca a cotuacó. Se supoe que los errores so pequeños y que, por tato, el error puede apromarse por la dy dy dferecal de la magtud calculada ( y dy d ). d d Utlzado de uevo el eemplo del pédulo, el valor de la gravedad e la fórmula () vee dado e fucó de las dos magtudes L y T por: L g 4 (6) T d d Puesto que (l ), para obteer el error e g cometdo e el cálculo, se toma d prmero logartmos eperaos e la epresó (6):, l g ll lt l 4 (7) y a cotuacó se derva, resultado: g g L T (8) L T ótese que se toma u crtero pesmsta de que todos los errores se acumula e lugar de cacelarse etre sí, por lo que el segudo sumado de la derecha se toma també postvo (se suma, e lugar de restarse). Las reglas geerales que se deduce de este método so las sguetes: a) El error absoluto de la suma o dfereca es la suma de los errores absolutos de los sumados. El error relatvo de u producto o cocete es la suma de los errores relatvos de los factores. c) El de ua poteca es gual al epoete por el error relatvo de la base. Laboratoro de Físca Geeral, Errores e las meddas, 4/5

5 Apédce: Método de mímos cuadrados Sea dos magtudes físcas e y relacoadas por ua fucó leal del tpo y = a + b (A) La represetacó gráfca de esta fucó es ua líea recta de pedete a y ordeada e el orge b. S, tomadas ua sere de meddas de y de y, se tee la sucesó de valores (,y ), (,y ), ( 3,y 3 ),..., (,y ), las desvacoes de los valores epermetales respecto a los dados por la fucó (A4) será = y (a + = y (a +. (A) = y (a + Sea (a, la suma de los cuadrados de todas las desvacoes, es decr ( a, ( a, (A3) El método de auste de la recta a la dstrbucó de putos epermetales cosste e hacer míma la fucó (a,. Los valores de a y de b que mmza esta fucó so aquéllos que hace cero las correspodetes dervadas parcales, es decr: ( a, 0 a y ( a, 0 b (A4) Estas dos codcoes forma u sstema de dos ecuacoes co las dos cógtas a y b cuya solucó es: y y y a a ; b y a (A5) Los errores e estos dos parámetros está dados por las epresoes sguetes: a y a b b a (A6) Laboratoro de Físca Geeral, Errores e las meddas, 5/5