Tarea 1 y 2. Problema 1. Calcula el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos.

Transcripción

1 Cálculo Tarea y Problema. Calcula el supremo y el ífimo de los siguietes cojutos. a) A = {x : 0 x }. Es imediato que sup A = e íf A = 0. b) A = {x : 0 < x < }. Es imediato que sup A = e íf A = 0. c) A = {x : < x < }. Se tiee que < x < si y solo si < x < así que sup A = e íf A =. d) A = {x : x R}. A o está acotado superiormete así que o existe sup A, íf A =. e) A = {se(x) : x R}. Se sabe que se(x) para todo x R, así que sup A = e íf A =. { } f) A = se(x) : x R. Se tiee que x 0 + se(x) = x 0 se(x) = así que A o está acotado superiormete i iferiormete, por lo tato o existe sup A i íf A. g) A = { x : x R}. Se tiee que x x = x x = 0 Así que A o está acotada superiormete, por lo tato o existe sup A además íf A = 0, h) A = {x : < x 3 < 8}. Notemos que < x 3 < 8 si y solo si 3 < x < 3 8 =. Teemos que sup A = e íf A = 3. i) A = {x : < x 7 < 3}. Aálogo al iciso aterior, sup A = 7 e íf A = 7 3. j) A = { x : x }. De la defiició de x teemos que A = {, } así que sup A = e íf A = k) A = { x : < x < }. Teemos que A = {} así que sup A = íf A = l) A = { x : x π}. Dado que =,44... y π = 3,45..., teemos que A = {,, 3} así sup A = 3 e íf A =.

2 Problema. Prueba o da u cotraejemplo de las siguietes. afirmacioes a) Si A B está acotados superiormete etoces sup A < sup B. b) Si A B está acotados superiormete etoces sup A sup B. Solució. a) Es falso. Si defiimos los cojutos: A := {x : 0 < x < } y B := {x : 0 x } otamos que A B pero sup A = sup B = como se vio e los icisos a) y b) del problema aterior. b) Es verdadero. Por defiició b sup B para todo b B, e particular a sup B para todo a A ya que A B, así que, sup B es ua cota superior del cojuto A, dado que sup A es la cota superior míima de A se sigue que sup A sup B. Problema 3. Probar que etre cualesquiera dos úmeros hay u úmero racioal. Los racioales so desos. Solució Notemos que: Dados x, y R, si y x >, etoces existe u etero k tal que x < k < y. E efecto, sea l el mayor etero tal que l x, así k := l + satisface x < k y más aú k < y ya que de lo cotrario se tedría l x < y k = l +, lo que implica que y x llegado a ua cotradicció. Procedemos a resolver el problema: Sea x, y R, si pérdida de geeralidad supogamos que x < y, así y x > 0. Por la propiedad arquimediaa existe u úmero atural tal que / < y x, etoces y x >, usado la afirmació aterior, existe u etero k, tal que x < k < y dado que > 0, se tiee que x < k < y como k es u racioal, se tiee el resultado. Problema 4 Probar que etre cualesquiera dos úmeros hay u irracioal. Sugerecia: empieza co / es u irracioal etre 0 y. Solució. Primero haremos la siguiete observació: Las expresioes a b + c ad + bc a = d bd b c d = ac bd muestra que los racioales so cerrados bajo suma y producto. Sea α u úmero irracioal y r u úmero racioal, se tiee que r+α y rα so irracioales, de lo cotrario usado la cerradura de los racioales bajo la suma y el producto se tedría que (rα) r = α = (r + α) r, es racioal, lo que es ua cotradicció. Procedemos a resolver el problema: Sea x < y úmero reales, etoces x + < y +, por el problema 3, existe u úmero racioal r tal que así x + < r < y + x < r < y. Sabemos que es irracioal y de la observació, se sigue que r es irracioal. Problema 5 Prueba que etre cualesquiera dos úmeros

3 a) Hay ua ifiidad de racioales. b) Hay ua ifiidad de irracioales. Solució a) Sea x < y úmero reales. Supogamos que existe ua catidad fiita de úmeros racioales etre x e y, defiimos al cojuto A coformado por estos úmeros racioales: A := {r, r,..., r } Del problema 3, sabemos que este cojuto o es vacío, defiimos r := mí A Así x < r < y, utilizado el problema 3, existe u úmero racioal s tal que x < s < r < y pero esto implica que s A, lo que es absurdo por la miimalidad de r. Este razoamieto os muestra que hay ua ifiidad de úmeros racioales etre x e y. b) Sea x < y úmero reales. Supogamos que existe ua catidad fiita de úmeros irracioales etre x e y y defiimos al cojuto A coformado por estos úmeros irracioales: A := {z, z,..., z } Del problema 4, sabemos que este cojuto o es vacío, defiimos z := mí A Así x < z < y, utilizado el problema 4, existe u úmero irracioal w tal que x < w < z < y pero esto implica que w A, lo que es absurdo por la miimalidad de z. Este razoamieto os muestra que hay ua ifiidad de úmeros irracioales etre x e y. Tarea Problema Ivestiga cuál es la desigualdad de Beroulli y lee su demostració. Problema. a) Demuestra por iducció que la sucesió defiida por a = a + = + a está acotada etre 0 y. b) Demuestra que es creciete. c) Ecuetra su ite. Solució. a) Procedemos por iducció sobre : Base de iducció: Es claro que 0 < a <. Hipótesis de iducció: Supogamos que 0 < a <. Paso iductivo: dada la hipótesis, se sigue que < a + < 4 así que < a + < 4 = por lo tato 0 < < a + < como se quería demostrar. 3

4 b) Procedemos por iducció sobre : Base de iducció: Se satisface trivialmete = a < a = a + = 3. Base de iducció. Supoemos que a < a +. Paso iductivo: Dada la hipótesis se sigue que a + < a + +, como se probó e el iciso aterior, a > 0 para todo N por lo tato a + < a + +, es decir, a + < a +, como se quería probar. c) Como la sucesió es creciete y acotada el ite existe, ote que Por aritmética de ites teemos x := a = a + a + = + a = + a. se sigue que x = + x, de dode se obtiee la ecuació cuadrática x x = 0, cuyas solucioes so x = o x =, como la sucesió es positiva y creciete, el ite de esta sucesió es positivo, así que a =. Problema 3 Ecuetra los ites de las siguietes sucesioes. Para cada uo idica los resultados que utilizaste:(aritmética de ites, sadwich, ites otables vistos e clases y/o criterios de covergecia, L Hopital) a) b) = = Dado que / k = 0 para todo k N y aplicado aritmética de ites, se cocluye que = = 3 + = 6 + como 6 = 0 y aplicado aritmética de ites, se tiee que 3 + =. c) Notemos que > > = El último térmio de las desigualdades ateriores diverge, así que se cocluye que la sucesió e cuestió es divergete. 4

5 d) 33 + cos () + se (). Notemos que se () < para todo N, se tiee que cos () + se () > 33 + cos () + > 33 + > 33 + = 3. Como el último térmio de las desiguadades ateriores diverge, se tiee que la sucesió diverge. e) +. ( ) = + = Por otro lado 0 < < + + Por la ley del Sadwich, se tiee que + = = f) + 3. Es claro que esta sucesió es creciete y o acotada, por lo tato diverge. g) 3 +. Aálogo al iciso aterior, se sigue que esta sucesió diverge. h) (0,9). De maera geeral mostraremos que si 0 < r < etoces r coverge a cero: cosideremos la fució cotiua asociada xr x y calculamos el ite Por otro lado x xrx = x el x e x l r x+x l r = el x ( ) l x l x + x l r = x x x x + l r = x l r x Para llegar a esta última igualdad se usa el hecho que x l x x = x /x = 0 (aquí usado la regla de L Hopital). Además x x l r = ya que l r < 0 para 0 < r <. Se cocluye que x xrx = x el x+x l r = e (x l x+x l r) = e (x x l r) = 0 La última igualdad se obtiee tomado e cueta que x e x = 0, e particular para 0 < r <. i)!. Observemos que r = 0 0 <! = = Sabemos que / = 0, aplicado la ley del sadwich se sigue que! = 0. 5

6 j) l( ). Cosideremos la fució cotiua asociada, y calcularemos el ite: l x x x = x x x = 0 La peúltima igualdad se obtiee utilizado la regla de L Hopital, e particular se tiee que l( ) = 0 k) a =!. Esta sucesió se puede expresar como ua sucesió de recurrecia a = y a + = + a Es claro que {a } es ua sucesió acotada iferiormete por el cero y dada la expresió de recurrecia, es decreciete, por lo tato existe el ite ( ) ( ) l := a + = + a = + a = 0. l) se(). Tomemos la fució se x x recordemos el siguiete resultado Así que y calculemos el siguiete ite: se x, x x f(x) = f(/x). x x 0 + se x = x se(/x) = 0 x x x 0 + Este ite es cero ya que x se(/x) x. E particular se tiee que la suceció e cuestió coverge a cero. m) se( ). Tomemos la fució x se(/x), usado u argumeto aálogo al iciso aterior se tiee que se x se x x se(/x) = = = x x 0 + x x 0 x el aterior es u ite otable, se cocluye que se( ) =. ) ta(). Teemos que = cot(), la fució x cot(x) oscila etre valores arbitrariamete ta() grades cuado x tiee a ifiito, así que la sucesió diverge. 6

7 o) cos (). Notemos que Tomemos la fució se x x El último ite es cero ya que cos () = se (). y calculemos el ite se x x x = x se (/x) = 0 x 0 + x se (/x) x. Se sigue que cos () = 0. 7