Análisis de Señales Capítulo III: Transformada de Fourier discreta. Profesor: Néstor Becerra Yoma

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1 Aálisis d Sñals Capíulo III: Trasormada d Fourir discra Prosor: ésor Bcrra Yoma

2 3. Torma dl Musro Gra dsarrollo d la compuació > digializació d sñals mdia musro, posrior rcosrucció d la sñal Codició csaria l procso para o prdr iormació: orma dl musro: Ua sñal d acho d bada B [Hz] pud sr musrada si pérdida d iormació si s oma valors co ua sparació mor o igual a /B sgudos.

3 3. Torma dl Musro Primra aproximació: musro usado r d pulsos P T : pulsos, priodo T P S T

4 3. Torma dl Musro P T S P T s priódica j S P ω { } } { } { } { ω ω ω ω P F P P S j S j S I I I I I El spcro Fω s rpi

5 S 3. Torma dl Musro I { } P F ω + P F ω ω, ω π T Fω P T P T ω S F S ω ω

6 3. Torma dl Musro F S ω ω π T Si l T d musro auma > ω dismiuy > s pud producir raslap d spcros para T muy grad. El raslap s alcaza cuado: ω π W T T B Para viar raslap: T ω < rcucia d yquis B

7 3. Torma dl Musro Rcosrucció d la sñal > co prácico: pasa la bada r -ω / y ω / Fω F S ω F RECOSTR ω

8 3. Eco alias Traslap spcral: co alias, T muy grad Rsulado: disorsió d la sñal al rcosruirla. Fω F S ω F RECOSTR ω

9 3. Eco alias Solució: ilro pralias: baja la disorsió Fω F ω F S ω F RECOSTR ω

10 3. Eco alias E gral, l spcro d ua sñal s hac mor a mdida qu auma la rcucia La pricipal disorsió s produc crca d ω / F RECOSTR ω Disorsió ala Disorsió baja

11 3. Eco alias Esimació d la caidad d co alias comparaivo: Fω ω ω ω ω ω ω / ω ω % alias ω / F ω F ω dω dω El érmio cuadráico paliza l alias para rcucias crcaas a ω /

12 3.3 Trasormada d Fourir discra S i musras uiormm disribuidas T, T, T,..., T La rasormada d Fourir discra DFT s di como: π j Ω T Fd Ω T Ω T T T

13 Ω y T o aparc d orma xplícia la DFT S pud obr a parir d la rasormada d Fourir, hacido aproximacios Ω Ω Ω j d T j d T F T F π T π Ω 3.3 Trasormada d Fourir discra

14 Sa: 3.3 Trasormada d Fourir discra < oro caso T ~ Ω Ω Ω ~, / ~ T j T j T T F T d F ω ω ω Su rasormada s: Lugo: Ω Ω D F TF ω ω ~

15 3.3 Trasormada d Fourir discra El spcro obido s priódico, d priodo Ω: F D Ω + Ω T T jωt jωt T jωt j π j Ω+ Ω F π / Ω T D T Ω

16 3.3 Trasormada d Fourir discra La xaciud l cálculo d la rasormada ambié s acada por l co alias. La rasormada s priódica > la rcucia más ala qu s pud drmiar corrspod a /, s dcir, /Ω/T > d acurdo al orma dl musro

17 3.3 Trasormada d Fourir discra Tambié hay ua rasormada ivrsa d Fourir discra: jωτ T FD Ω La rasormada ivrsa s xaca rspco a la rasormada dirca, a mos qu s produzca co alias. La rasormada ivrsa s priódica, priodo T Propidads smjas a la rasormada d Fourir coiua.

18 3.4 Trasormada d Fourir rápida El cálculo d la DFT rquir muliplicacios. Timpo d cálculo xcsivo para grad. Algorimo FFT as Fourir rasorm: prmi calcular la DFT d orma rápida: log muliplicacios. Dos ormas d visualizarla: a parir d sumas por bis o a parir d paridad/imparidad.

19 3.4 Trasormada d Fourir rápida La oació W para la xpocial d la DFT: Dado, s di W como l círculo uiario dividido pars, co águlos gaivos 4 W 8 5 W 8 3 W 8 π j jω T W Im W 8 6 W 8 7 W 8 W 8 W 8 R W W W 36º W x x * W jπ jπ x x W π j / x W /

20 3.4 Trasormada d Fourir rápida Forma jmplo para 4 puos: F Ω T d 3 jω T π j j Ω T 4 F Ω T W, W d S pud scribir y como úmros biarios:,, {,,,}, {,,,}, + +

21 Lugo: 3.4 Trasormada d Fourir D rápida F,, W W W W W F,, W W D, +,

22 3.4 Trasormada d Fourir rápida,,,,,,,, 4 4 F W W W D + Ua para pars, ora para impars Suma podrada d las ariors

23 3.4 Trasormada d Fourir rápida Ejmplo: mariposa para 4 puos:,,, D *W *W D *W *W D *W *W D 3 *W *W 3 D 3

24 3.4 Trasormada d Fourir rápida DFT: lo, rquir poca mmoria FFT: rápido log, rquir basa mmoria rcursivo, rquir qu l úmro d puos sa pocia d log

25 3.4 Trasormada d Fourir rápida Rsum FFT:. S lig l º d musras al qu r co r ro. Si s csario, s pud icluir cros aumados.. Para musras l impo xis rcucias disias. 3. Como rsulado d la xsió priódica, los puos d musra y so iguals, ao l impo como la rcucia ; F D F D 4. Las compos d rcucia posiiva sá,/, las compos d rcucia gaiva sá /,. Ocurr lo mismo l impo impos posiivos y gaivos

26 3.4 Trasormada d Fourir rápida 5. Para ucios d valor ral, las compos d rcucia posiiva so compljas cojugadas d las compos d rcucia gaiva. Los puos y / so comus a ambos, por lo qu i valor ral. 6. La compo d rcucia más ala s dcir, / corrspod a /T [Hz]. La rcucia máxima visibl s pud aumar dismiuydo l spaciamio r rcucias l impo

27 3.4 Trasormada d Fourir rápida 7. El spaciamio r compos d rcucia s /T [Hz], s pud dismiuir agrgado cros aumados a la scucia d musras

28 3.4 Trasormada d Fourir rápida T T impo T F D Ω π / T rcucia π /T

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