6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6.1. SUCESIONES NUMÉRICAS

Transcripción

1 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6... Sucesioes de úmeros reales 6.. SUCESIONES NUMÉRICAS Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,... que se suele represetar por a }. Ua sucesió se puede iterpretar tambié como ua aplicació: N R a dode la expresió, si existe, de cada térmio e fució del lugar que ocupa, a = f(), se llama térmio geeral de la sucesió Ejemplos., 2, 3, 4,... es ua sucesió de térmio geeral a =. 2. 2, 4, 6, 8, 0, 2,... es ua sucesió de térmio geeral a = 2( ). 3. 2, 6, 3, 3 2, 3 4, 3 8,... es ua sucesió de térmio geeral a = 2 2 = Límite de ua sucesió Ituitivamete, se dice que la sucesió a } tiee límite l (que puede ser u úmero real, + o ) si a tiede a l cuado tiede a ifiito, y se idica: Formalmete: lim a = l ó lim a = l ó a l lim a = l R ( ε > 0 ν tal que: > ν = a l < ε) lim a = + ( M > 0 ν tal que: > ν = a > M) lim a = ( M > 0 ν tal que: > ν = a < M) E cualquier caso, como ocurría e el caso de límites de fucioes, el límite de ua sucesió, si existe, es úico. Tambié como allí, las sucesioes co límite cero se llama ifiitésimos Ejemplo Ecuetra, ituitiva y formalmete, los límites de las siguietes sucesioes: (a) a = + (b) a = 2 + (c) a = 2 (d),,,,,, Carácter de ua sucesió Segú que exista o o el límite de ua sucesió, y de su valor, se defie su carácter: Se dice que ua sucesió es covergete si tiee límite fiito.

2 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 2 Se dice que ua sucesió a } es divergete si la sucesió a } tiede a +, es decir, si: M > 0 ν tal que: > ν = a > M So divergetes las sucesioes co límite + y co límite, pero tambié lo so ciertas sucesioes si límite como, por ejemplo, la sucesió, 2, 3, 4, 5, 6,... dode los térmios que ocupa lugares impares tiede a + y los que ocupa lugares pares tiede a. Se dice que ua sucesió es oscilate cuado o es covergete i divergete. Por ejemplo, la sucesió,,,,,,... es oscilate Tipos de sucesioes y propiedades La sucesió a } es acotada si existe M > 0 tal que a M, para todo N. La sucesió a } es moótoa creciete si a a +, para todo N. La sucesió a } es moótoa decreciete si a a +, para todo N. Se dice que ua sucesió es moótoa cuado es moótoa creciete o moótoa decreciete. El carácter y el tipo de las sucesioes está relacioados co las siguietes propiedades:. Toda sucesió moótoa y acotada es covergete. 2. Toda sucesió moótoa o acotada es divergete. 3. Toda sucesió covergete está acotada. Observa que el recíproco de la tercera propiedad o es cierto, pues ua sucesió acotada puede o ser covergete (por ejemplo:,,,,,,...) Subsucesioes Se llama subsucesió de la sucesió a } a cualquier sucesió a k } dode < 2 < 3 <..., es decir, cualquier sucesió formada por térmios elegidos arbitrariamete pero e orde creciete de ubicació. Así, por ejemplo, so subsucesioes de la sucesió, 2, 3, 4, 5, 6,... las siguietes., 3, 5, 7, 9,... 2, 4, 6, 8, 0,... 3, 9, 27, 8,... pero o lo es la sucesió 3, 2, 9, 8, 27, 26,..., pues auque todos sus térmios está icluidos e ella, o lo está e el mismo orde. Se verifica las siguietes propiedades: Toda subsucesió de ua sucesió covergete (divergete) es ua sucesió covergete (divergete) y el límite (si existe) es el mismo. Toda sucesió acotada admite ua subsucesió covergete. Toda sucesió admite ua subsucesió que es covergete o divergete. Puesto que ua sucesió oscilate cotiee subsucesioes covergetes, tiee setido defiir los límites de estas como límites de oscilació de la primera. Así, por ejemplo,, y + so límites de oscilació de la sucesió,,,,, 2,,, 3,,, 4,,, 5,,, 6, Límites de operacioes co sucesioes Si a } a y b } b, etoces: a ± b a ± b a b ab a b a b (si b 0) ab siempre que o se presete algua de las siguietes idetermiacioes: a b que, e cada caso, habrá que resolver mediate técicas adecuadas de cálculo de límites.

3 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Límites de sucesioes como límites de fucioes Si a = f() y lim x f(x) = l, etoces lim a = l. Este resultado permite usar e el cálculo de límites de sucesioes las técicas empleadas para el cálculo de límites de fucioes, icluso la regla de L Hôpital Ejemplos Halla el límite de las siguietes sucesioes: (a) a = + (b) a = l 6... Sucesioes equivaletes (c) a = ( ) 2+ (d) a = (e) a = a p p + a p p +... b q q + b q q +... Se dice que a } y b } so sucesioes equivaletes si el límite de su cociete es la uidad: a } y b } so sucesioes equivaletes lim a b = y se idica: a b. Es fácil comprobar, hallado los límites pertietes, que las siguietes sucesioes so equivaletes: Si a 0, so equivaletes: si a a arcsi a ( + a ) p + pa l( + a ) a ta a a arcta a Si a, so equivaletes: cos a a2 2 e a a l a a y, sustituyedo a = a (a > 0), a l a Fórmula de Stirlig:! e ( ) 2π = 2π e E el cálculo de límites, e productos y cocietes se puede sustituir sucesioes por otras equivaletes Ejemplo Calcula, usado sucesioes equivaletes, los siguietes límites: (a) lim si ( ) (b) lim 2 e / (c) lim 2! (d) lim! Ifiitos. Órdees de magitud Se dice que ua sucesió es u ifiito si es divergete, es decir, si el límite de su valor absoluto es ifiito: a } es u ifiito lim a = Dados dos ifiitos a } y b }, se dice que b } es u ifiito de orde superior al de a } si: a lim = 0 b y se represeta por: a b. Es fácil comprobar, hallado los límites pertietes, la siguiete jerarquía de ifiitos: l p a! (p > 0, a > ) E el cálculo de límites, se puede sustituir ua suma o diferecia de ifiitos por aquel que tiee jerarquía superior.

4 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Ejemplo Halla, usado la jerarquía de ifiitos, el siguiete límite: Dos teoremas sobre límites lim (l ) 3 + Regla del sadwich: El límite de ua sucesió compredida etre dos que tiee el mismo límite coicide co este, es decir: a b c = lim b = l lim a = lim c = l Teorema: El producto de ua sucesió acotada por otra co límite cero tambié tiee límite cero, es decir: a } acotada = lim a b = 0 lim b = Ejemplos Halla los límites de las siguietes sucesioes: (a) a = si + + si si + (b) a = ( ) [( ) ] + l si! Criterio de Stolz Si b } es moótoa divergete, o a } y b } so ifiitésimos co b } moótoa, etoces siempre que este último límite exista. lim a b = lim a a b b Ejemplo Halla el siguiete límite: lim Otros criterios Como cosecuecia del criterios de Stolz, se obtiee los siguietes criterios de covergecia: Media aritmética: Si lim a = l, etoces lim a + a a Media geométrica: Si lim a = l y a > 0 para todo, etoces lim a a 2... a = l Criterio de la raíz:si lim a + a = l y a > 0 para todo, etoces lim a = l Ejemplos Halla los límites de las siguietes sucesioes: = l (a) a = (b) a = (c) a = ( + )( + 2)... ( + ) (d) a =

5 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Sucesioes recurretes Se dice que a } es ua sucesió recurrete cuado sus térmios viee defiidos e fució de los que le precede. So sucesioes recurretes: a = a + = + a 2, es la sucesió:, 2, 3, 4 = 2,... a = a 2 = a = a + a 2, > 2 es la sucesió:,, 2, 3, 5, 8, 3,... (sucesió de Fiboacci) Para hallar el límite de sucesioes recurretes es frecuete proceder como se idica a cotiuació:. Probar que la sucesió es moótoa y acotada, de dode se deduce que tiee límite (6..6). 2. Tomar límites e la expresió de recurrecia y hallar el límite e la ecuació que se obtiee Ejemplo Halla el límite de la sucesió recurrete: a + = 3 a, a = 2 PROBLEMAS RESUELTOS. Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes: (a) 2, 4, 8, 6, 32,... (b) 2,, 8 32,, 9 25, 64 36,... (c), 2 3, 3 5, 4 7, 5 9, Calcula el límite de las siguietes sucesioes: ( + (a) + + (d) ) (b) 2 + (e) 3 3 (h) ( 2) + 3 (c) ( 2) (f) ( 3 a ) 3. Calcula el límite de las siguietes sucesioes: (a) ( ) (b) (c) (g) (2 l l! (d) (e) ) (i) ( +k ) k ( + k) k (j) ( ) 3+2 l(+) ( ) l l 2 ( + )( + 2)... ( + ) 4. Prueba que existe el límite de la sucesió a = , N, y que su valor + l verifica que 2 l. 5. Estudia la covergecia y calcula el límite, cuado exista, de cada ua de las siguietes sucesioes recurretes: (a) a + = + a, a = (b) a + = + 2a, a = a > 0

6 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 6 CUESTIONES. Cotesta razoadamete si so ciertas o falsas las siguietes afirmacioes: (a) Si ua sucesió o es covergete, etoces es divergete. (b) Toda sucesió divergete tiee límite. (c) Toda sucesió divergete de térmios egativos tiee límite. (d) Toda sucesió acotada es covergete. (e) El límite de ua sucesió de úmeros racioales es racioal. (f) Si dos sucesioes tiee el mismo límite, el límite de su cociete es. (g) Si dos sucesioes tiee el mismo límite, el límite de su diferecia es 0. PROBLEMAS PROPUESTOS. Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes: (a) + 2, + 3 4, + 7 8, + 5 6,... (b) 4, 2 8, 3 6, 4 32, 5 64,... (c) 3, 5 6, 5 9, 9 2, 9 5, 3 8, Calcula el límite de las siguietes sucesioes: (a) ( ) + a 2 (d) l + 3 a ( 2 ) ( + a + b + c (b) 2 (e) ( ) +3 2 (c) (f) ( a a ) 2 (g) (!)2 4 (2)! ) (h) 2! ( ) 2 (i) 4 ( ( + a) 2 (j) a 2 2 ) 3. Calcula el límite de las siguietes sucesioes: (a) (b) l 2 + (c) + 2p + 3 p p (d) p+ ( (2 2) (2 ), p N ) 2 4. Estudia la covergecia y calcula el límite, cuado exista, de cada ua de las siguietes sucesioes recurretes: (a) x + = 2 + x, x = 2 (b) x + = 4 + x2, x = a R