Capítulo 2. Series de números reales. 2.1 Convergencia de una serie de números reales.

Transcripción

1 Capítulo 2 Series de úmeros reales Defiició 2.0. Dada ua sucesió a, a 2, a 3,,, de úmeros reales, la sucesió S, S 2, S 3,, S, dode: S = a S 2 = a + a 2 S 3 = a + a 2 + a 3 S = a + a 2 + a se dice que es la serie asociada a la sucesió de partida: a, a 2, a 3,,, Térmio geeral de la serie:. Represetació de la serie :. 2. Covergecia de ua serie de úmeros reales. Dada la serie, diremos que es covergete si l R fiito tal que lim S = l. Si lim S = ±, diremos que la serie es divergete. Si o existe lim S, diremos que la serie es oscilate. 5

2 6 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES Ua serie covergete se dice que es sumable y su suma es precisamete lim S = l S. Resto de orde k de ua serie, es la suma R k = =k Propiedades de las series uméricas.. El carácter de ua serie o varía si se suprime u úmero fiito de térmios. 2. El carácter de ua serie o varía al dividir o multiplicar todos los térmios por ua costate k a suma o diferecia de series covergetes es covergete. 4. Si los térmios so positivos, la suma de dos series divergetes es divergete, de la diferecio se puede decir ada. 5. Si la serie es covergete, su carácter o varía y su suma tampoco, si se sustituye u grupo de térmios cosecutivos por su suma. 6. Si la serie es divergete, su carácter o varía si se sustituye u grupo de térmios cosecutivos por su suma. 7. Si la serie es oscilate, e geeral o es cierta la propiedad asociativa señalada e 5) y6). o vemos e la serie: { + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) + ( + ) Serie geométrica. Carácter y suma. Ua serie geométrica, represeta la suma de los térmios de ua progresió geométrica idefiida: a + a r + a r 2 + a r a r + = a r

3 2.3. CONDICIÓN NECESARIA DE CONVERGENCIA DE UNA SERIE. 7 Carácter de ua serie geométrica: Se tiee que: S = a + a r + a r 2 + a r a r r S = a r + a r 2 + a r a r + a r Tomado límites: ( r) S = a a r = a ( r ) S = a a r r lim S a a r = lim r = a r r El valor de este límite depede del valor de r : = lim a r r = a r lim a r r Si r < lim r = 0 lim S = a r Covergete, S = a r Si r > lim r = lim S = Divergete Si r = : r = r = a r = a S = a lim S = Divergete a r = a a + a a + a Oscilate uego la serie geométrica, sólo coverge cuado r < y su suma es: S = a r 2.3 Codició ecesaria de covergecia de ua serie. Para que la serie sea covergete es codició ecesaria (que o suficiete) que lim = 0.

4 8 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES E efecto. Si la serie es covergete, quiere decir que lim S = S, fiito, por tato: S = a + a 2 + a S = a + a por lo que tomado límites : S S = lim (S S ) = lim = 0 Como hemos dicho, esta codició o es suficiete para que la serie coverja, así por ejemplo, la serie armóica cumple la codició ecesaria: lim = 0 y si embargo o es covergete ya que : por lo que = }{{} }{{ 4} }{{ 8} > ( > 2 + ) ( ) ( ) + 8 es decir que S > + 2 p Tomado límites: > lim S + lim 2 p = p es ua serie Divergete. 2.4 Criterio geeral de covergecia de Cauchy. a codició ecesaria y suficiete para que la serie sea covergete es que ε > 0, ν (ε) N/ p, q > ν S p S q < ε ; co p > q

5 2.5. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 9 Es decir que p, q > ν a q+ + a q+2 + a q+3 + a p < ε como ha de ser p, q lo será cuado p y por tato es decir que a q+ + a q+2 + a q+3 + a p + a p+ + < ε =q+ < ε R q < ε o que os permite euciar el criterio de Cauchy de la forma: que a codició ecesaria y suficiete para que la serie es decir lim R = 0. ε > 0, ν (ε) N / > ν R < ε sea covergete es 2.5 Series de térmios positivos. So series, dode 0, N. Se observa como ua serie de térmios positivos, sólo puede ser covergete o divergete, ya que la sucesió S, S 2, S 3,, S, es moótoa creciete: S S 2 S 3 S que tedrá límite (covergete) si está acotada superiormete y será divergete si o lo está. Debemos destacar que e las series de térmios positivos, es codició suficiete de divergecia, el hecho de que lim 0. Pues e estas series lo covergecia divergecia. 2.6 Criterios de covergecia (térmios positivos). Para ua serie de térmios positivos veamos los criterios siguietes: 2.6. Criterios de comparació:. Criterio de la mayorate.

6 0 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES Si es mayorate de b, es decir que a partir de u se verifica que b, etoces si es covergete b es covergete. 2. Criterio de la miorate. Si b es divergete y es miorate de etoces es divergete. 3. Criterio del límite del cociete. Si lim = y b divergete divergete. b Si lim = 0 y b covergete covergete. b Si lim = k b { 0 y b tiee el mismo carácter Criterio de la raíz o de Cauchy. Ua serie tal que a partir de u verifica: a < r < o bié a > r > o bié a > y Efectivamete: lim lim lim < es covergete. > es divergete. = es divergete. E cualquier otro caso el criterio o decide carácter dudoso - Si desde u e adelate se coserv < r < < r y por tato < r co r <, por tato covergete. - Si desde u e adelate se coserv > r > > r y por tato > r co r >, por tato diververgete. - Si > y lim = > lim 0 divergete.

7 2.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA (TÉRMINOS POSITIVOS). Ejemplo 2.6. Estudiar el carácter de la serie 2 e Aplicamos el criterio de la raiz: lim a = lim 2 e = e lim 2 = e lim 2 ( ) 2 = e < luego Covergete Criterio de D Alembert o del cociete. Ua serie tal que a partir de u verifica: < r < o bié lim < es covergete. a > r > o bié lim > es divergete. a > y lim = es divergete. E cualquier otro caso el criterio o decide carácter dudoso Efectivamete: - Si desde u e adelate se coserva etoces: < r < < r + < r < r 2 +2 < r + < r 3 i= a i < ( r + r 2 + r 3 + r 4 + ) }{{} serie geométrica cov. ( ) r = r

8 2 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES por tato i= a i es u valor fiito y i= a i es suma de u úmero fiito de térmios, por tato tambié valor fiito, co lo que a i será covergete. - Si desde u e adelate se coserva i= > r > > r + > r > r 2 +2 > r + > r 3 i= a i > ( r + r 2 + r 3 + r 4 + ) }{{} serie geométrica diverg. a i es divergete i= - Si > y lim = a partir de u se tiee que >, divergete. por tato { } sucesió creciete de úmeros positivos lim 0 y Ejemplo Estudiar el carácter de la serie 3! Aplicado criterio del cociete: lim. = lim 3! ( ) 3 ( )! = ( ) 3 lim = e 3 < Covergete

9 2.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA (TÉRMINOS POSITIVOS) Serie armóica. Carácter. Correspode a ua serie de la forma, dode p p R+. Estudiamos su carácter, segú valores de p: Si p > : = + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 + p 8 + p 9 + < p ( < ) ( + p 2 p 4 + p 4 + p 4 + ) ( + p 4 p 8 + ) p p = p p p + = + 2 p + 4 p + 8 p + serie geométrica de razó : < y por tato covergete. 2p Por tato para p >, la serie es covergete. p Si p < : p < ya que p = q (q > 0) = < q por lo que > p, que sabemos es divergete Por tato para p <, la serie Si p = : Se tiee que la serie p Criterio de Prigsheim. Se platea el lim α. = l tato es divergete. p que es diververgete. { Si α > y l Serie covergete. Si α y l 0 Serie divergete. p divergete. - Si desde u e adelate α <, co α >, se tiee que < α y por < luego covergete. (armóica covergete) α

10 4 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES tato - Si desde u e adelate α >, co α, se tiee que > α y por luego divergete. > Ejemplo Estudiar el carácter de la serie (armóica divergete) α Aplicado el criterio de Prigsheim: + lim α. = lim α α=/2. = Divergete Criterio logarítmico. Ua serie tal que a partir de u verifica: ( ( ( ) ( ) a > α > o bié lim > a serie es covergete. ) ( ) a < α < o bié lim < a serie es divergete. ) ( ) < y lim = es divergete. E cualquier otro caso el criterio o decide carácter dudoso E efecto: ( ) a - Si > α > se tiee que ( ) > α = ( α ) > α <, que es covergete α

11 2.7. CRITERIO OGARÍTMICO. 5 por tato es covergete. - Si ( ) < α < se tiee que ( ) < α = ( α ) < α por tato es divergete. ( - Si lim etoces ( ) ) > =, pero a partir de u se tiee que ( ) < < < > por tato es divergete. Ejemplo 2.7. Estudiar el carácter de la serie =2, que es divergete α, que es divergete Aplicamos el criterio del logaritmo: lim ( ) [ ] = lim por tato la serie es Covergete. = lim [] [] = lim = >

12 6 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES 2.7. Criterio de Raabe. Cuado al aplicar el criterio del cociete, se llega al caso dudoso de lim =, se aplica este criterio, que dice: ( Si lim a ) l < Serie divergete. = l > Serie covergete l = Caso dudoso Ejemplo Estudiar el carácter de la serie lim Aplicamos el criterio del cociete: lim = lim Aplicamos a cotiuació Raabe: ( a ) por tato la serie es Divergete. = lim 2 = Dudoso ( ) ) [ ] = lim 2 = lim (2 = lim 2 = 2 < 2.8 Suma de series de térmios positivos. Sabemos que la suma de ua serie, si existe, es S = lim S. Si embargo, el trabajo de obteció de esta suma se puede simplificar otablemete cuado la serie es de u determiado tipo. Estudiaremos el cálculo de la suma para distitos tipos de series de térmios positivos Series aritmético-geométricas. Ua serie = b c es aritmético-geométrica, si su térmio geeral es de la forma:

13 2.8. SUMA DE SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 7 dode: - b es el térmio geeral de ua progresió aritmética. - c es el térmio geeral de ua progresió geométrica de razó r. Probada la covergecia, geeralmete mediate el criterio del cociete, se procede de la siguiete forma: S = b c + b 2 c 2 + b 3 c b c + b c rs = rb c + rb 2 c 2 + rb 3 c rb c + rb c ( r) S = ( r) b c + ( r) b 2 c ( r) b c S = r [( r) b c + ( r) b 2 c ( r) b c ] }{{} a suma de la serie será: S = lim S Si : b = a + b aritmética de primer orde. o fiito térmios prog. geométrica razó r,± algo b = a 2 + b + c aritmética de segudo orde. b = a 3 + b 2 + c + d aritmética de tercer orde. E estos casos se repite el proceso tatas veces como idica el orde de la aritmética. Ejemplo 2.8. Sumar si procede la serie Se trata de ua serie aritmético-geométrica, covergete (basta aplicar criterio del cociete). Se tiee que: S = S = S = 3 [ ]

14 8 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES Sumado y tomado límites: 2 lim S = lim Por cuato lim S S = Series hipergeométricas. So series tal que + [ ] lim 2 = = 2 = α + β α + γ co α, β y γ R Cuado α = 0, teemos ua serie geométrica de razó r = β γ Covergecia Aplicado el criterio del cociete: aplicado Raabe teemos: ( lim a ) + + lim = lim = lim (γ β) α + γ = lim α + β α + γ = ( α + β ) = lim α + γ = γ β α ( ) α + γ α β α + γ por tato la serie será covergete cuado γ β >, es decir cuado γ > α + β. α Suma a relació que se verifica e la serie hipergeométricos permite escribir: a 2 = α + β a α + γ (α + β) a = (α + γ) a 2 a 3 = 2α + β a 2 2α + γ (2α + β) a 2 = (2α + γ) a 3 ( 2) α + β = 2 ( 2) α + γ (( 2) α + β) 2 = (( 2) α + γ) ( ) α + β = ( ) α + γ (( ) α + β) = (( ) α + γ) sumado a derecha e izquierda de las segudas igualdades: αa + 2αa ( ) α + β (a + a 2 + a ) = = αa 2 + 2αa ( ) α + γ (a 2 + a )

15 2.8. SUMA DE SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 9 esto es: αa + αa 2 + αa α α + α = = γ (a 2 + a ) β (a + a 2 + a ) por lo que por tato αs α = γ (S a ) β (S ) = (γ β) S γa + β (α γ + β) S = α γa + β = β ( + α) γa tomado límites: S = (β + α) γa α γ + β = γa (β + α) γ (α + β) lim S γa (β + α) = lim γ (α + β) pero teemos e cueta que lim = 0, ya que esta es la codició ecesaria de covergecia, y que lim = 0, puesto que si lim 0, tedríamos por el criterio de Prigsehim (α = ), que la serie sería divergete. Por tato lim S S = γa γ (α + β) Ejemplo Probar si es hipergeométrica la serie ( + ) ( + 3) Plateamos el cociete [ ] + = ( + 2) ( + 4) ( + ) ( + 3) por tato esta serie o es hipergeométrica. Ejemplo Sumar si procede la serie = α + β α + γ ( + 2) ( + 3)

16 20 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES Plateamos el cociete [ ] + = ( + 3) ( + 4) ( + 2) ( + 3) Por lo que la serie es hipergeométrica. Es además covergete, pues γ > α + β Su suma será: S = γ a γ (α + β) = = 3 = α = β = 2 γ = 4 Series Series o hipergeométricas reducibles a suma de hipergeométricas., co = P () Q (), dode: P () es u poliomio e de grado p. Q () es u poliomio e de grado q. q p + 2. Q () formado por q factores e progresió aritmética de razó r =. a suma de la serie se obtiee como suma de las series, ya hipergeométricas, que se obtiee al descompoer el térmio geeral e suma de p+ sumados que so fraccioes, co umerador costate a determiar y co deomiador el producto de q p factores, que coserva la progresió aritmética. Ejemplo Sumar si procede la serie 3 + ( + ) ( + 2) ( + 3) No es hipergeométrica y vemos que cumple las codicioes que expoemos arriba, por tato descompoemos el térmio geeral de la forma: 3 + ( + ) ( + 2) ( + 3) = A ( + ) ( + 2) + B ( + 2) ( + 3)

17 2.8. SUMA DE SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 2 idetificado coeficietes: por lo que: 3 + } = ( + 3) A + ( + ) B = (A + B) + 3A + B A + B = 3 3A + B = A =, B = ( + ) ( + 2) ( + 3) = ( + ) ( + 2) }{{} S :HIP ERGEOMÉT RICA +4 ( + 2) ( + 3) }{{} S 2 :HIP ERGEOMÉT RICA Para la serie S : [ ] + = ( + 2) ( + 3) ( + ) ( + 2) Para la serie S 2 : [ ] + = ( + 3) ( + 4) ( + 2) ( + 3) = = α = β = γ = 3 α = β = 2 γ = 4 S = 2 S 2 = 3 uego Series S = S + 4S 2 = = 5 6, co = P () Q (), dode: P () es u poliomio e de grado p. Q () es u poliomio e de grado q. q p + 2. Q () formado por q factores e progresió aritmética de razó r. E este caso, se desarrolla la serie y a la vista de sus térmios, se descompoe e suma de series que será hipergeométricas. Ejemplo Sumar si procede la serie ( + 3)

18 22 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES Es fácil comprobar que o es hipergeométrica, escribimos uos cuatos térmios: ( + 3) = Agrupado térmios: ( + 3) = = [ ] [ ] [ ] = (3 2) (3 + ) + (3 ) (3 + 2) + (3) (3 + 3) a suma de la serie será por tato la suma de estas tres series que sí so hipergeométricas Series de Stirlig. So series, tal que = P () Q (), dode: P () es u poliomio de grado p. Z Q () = ( + b ) ( + b + b 2 ) ( + b + b 3 ) ( + b + b q )co b R y b 2, b 3,, b q El grado de Q () es q p + 2. Se resuelve descompoiedo el térmio geeral e fraccioes simples, obteiédose la suma de la serie como suma algebraica de series divergetes. Ejemplo a serie ( ) ( ) + 3 o es de Stirlig, pues b 2 = 4 3 / Z Ejemplo a serie ( ) ( ) si es de Stirlig, pues b = 3 R y b 2 = Z

19 2.8. SUMA DE SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 23 Ejemplo Sumar, si procede, la serie a serie = ( + ) ( + 4) es ua serie de Stirlig y la sumamos descompoiedo el térmio geeral: ( + ) ( + 4) = A + + B + 4 idetificado coeficietes: A = 3 ; B = = ( + ) ( + 4) = = [ ] = [ ] = [ Series cuyo térmio geeral es de la forma = P ().! Para obteer la suma, se descompoe el térmio geeral e la suma de p + fraccioes, siedo p el grado de P (): ] P ()! = A! + A 2 ( )! + A 3 ( 2)! + + A p+ ( p)! a suma de cada serie se calcula sabiedo que e k = =0 k!. Ejemplo Sumar, si procede, la serie A i ( (i ))! + 3!

20 24 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES + 3! idetificado coeficietes: A = 3 ; B = = A! + B ( )! + 3! = 3! + ( )! = 3 (e ) + e = 4e Ejemplo Sumar, si procede, la serie 3 2 3! 3 2 3! = ( ) 3 2 3! = ( 3 9 )! 3 2 3! ( 3 ) 9 =! = e Series alteradas. Ua serie alterada es la que tiee sus témios alterativamete positivos y egativos, es de la forma ( ) dode > 0 ; =, 2, 3, Teorema de eibiz. Toda serie alterada que verifique las codicioes: a) Sus térmios decrece e valor absoluto: > +, =, 2, 3,. b) lim = 0. Es ua serie covergete. Demostració Basádose e la codició a) podemos formar dos sucesioes: la de las sumas parciales de orde impar y la de las sumas parciales de orde par. - Sumas parciales de orde impar: S = a S 3 = a a 2 + a 3 = a (a 2 a 3 ) S }{{} 3 < S >0

21 2.9. SERIES ATERNADAS. 25 S 5 = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 = S 3 (a 4 a 5 ) S }{{} 5 < S 3 >0 S 2+ = a a a 2+ = S 2 (a 2 a 2+ ) S }{{} 2+ < S 2 >0 por lo que la sucesió de sumas parciales de orde impar será moótoa decreciete: - Sumas parciales de orde par: S > S 3 > S 5 > S 6 > > S 2+ > S 2 = a a 2 S 4 = a a 2 + a 3 a 4 = S 2 + (a 3 a 4 ) S }{{} 4 > S 2 >0 S 6 = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 = S 4 + (a 5 a 6 ) S }{{} 6 > S 4 >0 S 2 = a a a 2 = S (a 2 + a 2 ) S }{{} 2 > S 2 2 >0 por lo que la sucesió de sumas parciales de orde par será moótoa creciete: S 2 < S 4 < S 6 < S 8 < < S 2 < Además vemos que cada sucesió { S > S 3 > S 5 > > S 2+ > S 2 < S 4 < S 6 < < S 2 < está acotada { iferiormete superiormete por { S 2 S por lo que ambas series so covergetes. Efectivamete a sucesió: S > S 3 > S 5 > S 7 > > S 2+ > está acotada iferiormete por S 2 : S = a > a a 2 S > S 2 S 3 = (a a 2 ) + a 3 = S 2 + a 3 S 3 > S 2 S 5 = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) + a 5 = S 5 + a 5 S 5 > S 2 S 2+ = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) + + a 2+ = S 2 + a 2+ S 2+ > S 2

22 26 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES por lo que la sucesió tedrá u límite: l. Aálogamete a sucesió S 2 < S 4 < S 6 < S 8 < < S 2 < está acotada superiormete por S : S 2 = a a 2 = S a 2 S 2 < S S 4 = a (a 2 a 3 ) a 4 S 4 < S S 6 = a (a 2 a 3 ) (a 4 a 5 ) a 6 S 6 < S S 2 = a (a 2 a 3 ) a 2 S 2 < S por lo que la sucesió tedrá u límite: l 2. Teiedo e cueta que lim = 0 se tiee que lim (S S ) = 0 por lo que l = l 2 = l S (suma de la serie). Resultado 2.9. El error que se comete cuado se cosidera como suma de la serie, la de los primeros térmios (S ), es meor que el valor absoluto del primer térmio que se desprecia : +. Demostració Teiedo e cueta la ordeació de las sumas parciales: S > S 3 > S 5 > S 7 > > S 2+ > S 2 > > S 6 > S 4 > S 2 el límite comú de ambas sucesioes, es decir S, estará etre cada dos sumas parciales cosecutivas, esto es: S < S < S + y S S < S + S = + Por ejemplo e la serie ( ) 2 cuado se cosidera como suma de la serie, la de los 5 primeros térmios: = 0, el error que se comete es meor que 6 = = 0,

23 2.0. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS. 27 Resultado Si ua serie alterado es covergete porque lim 0, etoces la serie es oscilate. Resultado Cuado ua serie alterado es covergete porque +, auque lim = 0, etoces la serie puede ser divergete u oscilate. 2.0 Series de térmios positivos y egativos. E geeral, ua serie de térmios positivos y egativos es aquella que tiee estos sigos distribuidos de forma arbitraria, si bie para que sea cosiderada como tal, el úmero de térmios de cada sigo debe ser ifiito Covergecia absoluta. Ua serie de térmios positivos y egativos, se dice que coverge absoluta- mete si lo hace la serie. Ejemplo 2.0. Estudiar el carácter de la serie ( ) ( )! =2 Se trata de ua serie alterada: ( ) ( )! = 2! 3 2! + 4 3! 5 4! + 6 5! =2 Esta serie cumple las hipótesis del teorema de eibiz: (a) > +, pues (b) lim = lim = lim ( 2)! = 0. ( )! > +! ( )! = lim, ya que 2 > +, 2 ( ) ( 2)! = lim ( ) = ( 2)!

24 28 CAPÍTUO 2. SERIES DE NÚMEROS REAES uego la serie es covergete y además se observa que es absolutamete covergete ya que la serie =2 =2 se comprueba facilmete que es covergete. ( )! Resultado Toda serie que coverge absolutamete es covergete. Demostració Cierto, ya que Por otra parte por lo que absolutamete covergete covergete ( + ) por tato ( + ) covergete. uego la serie = 2 que es covergete ( + ) como diferecia de dos series covergetes, tambié será covergete, como queriamos ver Covergecia codicioal. Ua serie se dice que es codicioalmete covergete (ó semicovergete), cuado es covergete y es divergete. Ejemplo Estudiar el carácter de la serie =2 ( ) + ()

25 2.0. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS. 29 Se trata de ua serie alterada e la que se cumple las codicioes del teorema de eibiz, por tato serie covergete. Si embargo, o coverge absolutamete, pues: =2 () > =2 > =2 (divergete) Por tato la serie es divergete y la serie de partida será codicioalmete covergete. () =2 Cuado es covergete y tambié, se dice que la serie es icodicioalmete covergete. U ejemplo de serie que coverge icodicioalmete es la serie estudiada ateriormete: ( ) ( )! = Teorema de Dirichlet Toda serie absolutamete covergete es icodicioalmete covergete y viceversa Teorema de Riema Si la serie cotiee ifiitos térmios positivos e ifiitos egativos, cosideradas las series se tiee que : b de térmios (+) y a) Si ambas series so covergetes es covergete. b) Si ua coverge y otra diverge es divergete. c de térmios (-), etoces para c) Si ambas series so divergetes, ada se puede asegurar de la serie.