b) Encuentra el criterio de formación de la siguiente sucesión recurrente:

Transcripción

1 Ejercco nº.- Calcula, utlzando la dencón de logartmo: log log log b) Halla el valor de, aplcando las propedades de los logartmos: log log log Solucón: b) log log log 9 log log log log log 9 9 Ejercco nº.- Avergua el térmno general de la sucesón: ; 0,; 0,0; 0,00; 0,000; b) Encuentra el crtero de ormacón de la sguente sucesón recurrente: -,, -, -,, -, Solucón: Es una progresón geométrca con a r 0,. or tanto: n ( 0 ) a n,

2 b) Cada térmno, a partr del tercero, se obtene multplcando los dos anterores. or tanto: a, a, an an an para n > Ejercco nº.- Resuelve: b) Solucón: Cambo : z. Así : z z 0 0 z ± 9 ± ± z z 9 ± ± Solucones: ( ) ( ) b) (, ] Intervalo. Ejercco nº.- Halla los ángulos del trángulo cuos lados mden a 0 m, b 7 m c 0 m. Solucón: Aplquemos el teorema del coseno para hallar uno de los ángulos: a b c bccosaˆ cosA ˆ

3 00 9 0cosAˆ 0cosA ˆ 9 9 cosa ˆ 0, Aˆ 0 9' " Hallamos Bˆ b a aplcando de nuevo el teorema del coseno : c ac cosbˆ cosbˆ B ˆ 0, ' 7" cosb ˆ El ángulo Ĉ lo obtenemos así : Así: ˆ C 0 B ( ˆ ˆ A ) ' 9" Aˆ Bˆ Cˆ 9' " 9 7' 7" '9" Ejercco nº.- Demuestra que: cos tg sen b) Resuelve la ecuacón: tg ( sen ) cos Solucón: ( cos ) cos tg sen tg tg cos ( cos ) ( cos )

4 sen cos sen cos cos tg sen sen tg ( sen ) cos ( cos ) b) cos cos cos 0 cos cos cos 0 π 90 0 k π k 0 con k π 70 0 k π k Z Ejercco nº.- Dado el número complejo z, escrbe su opuesto su conjugado, representa los tres números. b) Escrbe z, z z en orma polar. Solucón: a ) Opuesto: z ; Conjugado: Representacón: Z Z _ Z b) z ; z ; z Ejercco nº 7.- Calcula: ( ) ( ) b)

5 Solucón:,, 0, para b) n n n Las cuatro raíces son: Ejercco nº.-,, segmento de etremos que dvde al punto las coordenadas del Halla B A. tales que dos partes, en A B Solucón:. que: Se tene que cumplr., Llamamos A B, ha de ser:,, Como A B : es decr,,,, 9 9

6 or tanto, 9,. Ejercco nº 9.- Dadas las rectas: r: t t r ': s s Halla el ángulo que orman r r '. b) Halla la dstanca del punto (, ) a la recta r. Solucón: El ángulo que orman r r' es el ángulo que orman sus vectores drectores: v r (, ) v r, (, ) (, ) (, ) 0 Son perpendculares. v r v r ' Forman un ángulo de 90. b) Hallamos la ecuacón general o mplícta de la recta r: ( ) 0 t Calculamos la dstanca: dst (, r ) ( ) u Ejercco nº 0.- Estuda la poscón relatva de la recta r : 0 la crcunerenca: 0 Solucón: Hallamos en centro el rado de la crcunerenca: Centro C, (, )

7 Rado R 9 Hallamos la dstanca del centro a la recta dada: dst ( C, r ), > 9 or tanto, la recta es eteror a la crcunerenca. Ejercco nº.- Resuelve los sguentes límtes representa grácamente los resultados obtendos: lm b) lm c) lm Solucón: lm b) lm c) lm lm ( ) lm ( ) ( ) Hallamos los límtes laterales: lm ; lm Representacón:

8 Ejercco nº.- Calcula la uncón dervada de: b) c) Solucón: ' 9 9 ' b) ' c) Ejercco nº.- Consderemos la uncón:. punto de abscsa en el Obtén la ecuacón de la recta tangente a b) Halla los tramos en los que la uncón crece en los que decrece.

9 Solucón: ( ) '. La pendente de la recta es ' Cuando, La recta será:. ( ) b) Estudamos el sgno de la dervada: > 0 > > < 0 < < Es decrecente en, crecente en,, tene un mínmo en. Ejercco nº.- Dada la uncón: ( ) Estuda su contnudad. b) Represéntala grácamente. s s > Solucón: S S, : es una uncón contnua. lm ( ) lm No este lm lm ( ) lm ( ) b) S S >,, La gráca es: es un trozo de parábola. es un trozo de recta. ( ); luego es dscontnua en.

10 Y X Ejercco nº.- Representa grácamente la uncón: ( ) b) A partr de la gráca, avergua el domno de de crecmento de decrecmento de la uncón., estuda su contnudad d cuáles son los ntervalos Solucón: ( ) lm ; lm untos de corte con los ejes: Con el eje X ( ) 0 0 unto (0,0) ± 9 No tene solucón Con el eje Y untos sngulares: 0 0 unto (0,0) ' ( ) ( ) ( ) unto (, ) 0 Gráca: Y X

11 b) Domno R Es una uncón contnua. Es una uncón crecente. Ejercco nº.- Representa grácamente la uncón: ( ) b) A partr de la gráca, estuda la contnudad los ntervalos de crecmento de decrecmento de ( ). Solucón: Domno R { } untos de corte con los ejes: Con el eje Con el eje X Y unto ( 0, 0) unto ( 0,0 ) Asíntota vertcal : lm ( ) ; lm ( ) Asíntota oblcua: es asíntota oblcua. S, > 0 S, < 0 untos sngulares: La curva está por encma de la asíntota. La curva está por debajo de la asíntota. ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 unto (0,0) unto (, ) Gráca:

12 Y X 0 b) Contnudad: S, S, es contnua. es dscontnua, pues tene una rama nnta (asíntota vertcal). Es crecente en (, ) ( 0, ) decrecente en (, ) (, 0). Ejercco nº 7.- En una empresa se ha hecho un estudo para ver la relacón entre el dnero gastado en publcdad (en decenas de mles de euros) las ventas mensuales (tambén en decenas de mles de euros) durante los cnco últmos meses. Gastos publcdad 0, 0, 0, 0,, Ventas Halla el coecente de correlacón la recta de regresón de esta dstrbucón. ensas que ha sdo buena la campaña de publcdad realzada? or qué? Solucón: Llamamos a los gastos en publcdad e a las ventas. 0, 0 0, 00 0, 90 0, , 0 0, 900 0, 70 0, 900, 9, 0,,,, Medas:

13 , 0,7;, Desvacones típcas: σ σ, 0,7 0,0.,, : σ 0,, Covaranza 0,7,,7,, Coecent e de correlacón : r 0, 7 0,, 7 Recta de regresón: m, 7,, 7, 0,0 ( 0,7 ) 7,, La campaña ha sdo buena, pero se podría mejorar (r 0,7). Ejercco nº.- Sean A B dos sucesos tales que: [ A' ] 0, ; [ B] 0,; [ A B] 0, Calcula [ A B], [ A' B' ] [ B/A]. Solucón: [ A' ] 0, [ ] 0, 0, [ A B] [ A] [ B] [ A B] 0, 0, 0, 0, A [ A' B' ] [ ( A B) ' ] [ A ] 0, 0, 9 [ ] [ B A] 0, B / A 0, [ A] 0, B Ejercco nº 9.- Una urna, I, contene bolas blancas, rojas una negra. Otra urna, II, contene bolas blancas, rojas negras. Lanzamos una moneda al are; s sale cara, etraemos una bola de la urna I, s sale cruz, sacamos una bola de la urna II. Cuál es la probabldad de que la bola etraída sea roja?

14 b) S sabemos que la bola etraída ha sdo roja, Cuál es la probabldad de que sea de la urna I? Solucón: Hacemos un dagrama en árbol: 7 [ R ] p [ ] [ I R] / b) I R p R 7 / [ ] 7 Ejercco nº 0.- La probabldad de que un certo producto se rompa cuando es transportado es del %. S se transportan 0 de estos productos, calcula la probabldad de que: Se rompan más de dos. b) No se rompa nnguno. Solucón: Se trata de una bnomal B ( 0; 0,0 ). [ > ] [ ] ( [ 0] [ ] [ ] ) [ 0] 0,9 0 0, [ ] 0 0,0 0,9 9 0, 7 0 [ ] 0,0 0,9 0, 0 Luego: b) [ > ] ( 0, 0,7 0,0 ) 0, 007 [ 0] 0,9 0 0,

15 Ejercco nº.- La duracón meda de un determnado aparato eléctrco es de 0 años, con una desvacón típca de año. S suponemos que la duracón de este aparato sgue una dstrbucón normal, calcula la probabldad de que: Dure más de años. b) Dure entre años. Solucón: es N ( 0, ) z es N ( 0, ) 0 [ > ] z > [ Z > ] [ z ] b) z z < 0,977 0, [ < < ] < z < [ < < ] [ ] 9 Ejercco nº.- La probabldad de ganar en un sorteo daro es del %. S jugamos durante 0 días, cuál es la probabldad de que ganemos más de 0 veces? Solucón: S llamamos "nº de días que ganamos", tenemos que es B( 0; 0,0 ). Tenemos que calcular [ > 0].. Lo hacemos apromando con una normal: µ n 0 0,0, ; σ nq,0 Entonces: Así: es B ( 0; 0,0 ) ' es N (,;,0 ) z es N( 0, ) 0,,,0 [ > 0 ] [ ' 0,] z [ z 7,9] [ z 7,9] 0