LÍMITS DE FUNCIONS. CONTINUÏTAT I BRANQUES INFINITES
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- Carmelo López Córdoba
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1 LÍMITS DE FUNCIONS. CONTINUÏTAT I BRANQUES INFINITES Pàgina 7 REFLEIONA I RESOL Aproimacions successives Comprova que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista dels resultats anteriors, et sembla raonable afirmar que, quan s aproima a 5, el valor de f () s aproima a 7? Ho epressem aií: f () = Si f () =, entonces: f (,999) = 6,9995; f (,9999) = 6,99995; f (,99999) = 6, f () = Calcula, anàlogament, f () = 5,5; f (,9) = 5,95; f (,99) = 5,995; f (,999) = 5,9995; f (,9999) = 5,99995 f () = Pàgina 75. Cadascuna de les funcions següents té un o més punts on no és contínua. Indica quins són aquests punts i quin tipus de discontinuïtat presenta: + a) y = b) y = c) y = si? d) y = si = a) Rama infinita en = (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =. Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
2 . Eplica per què són contínues les funcions següents i determina l interval en què estan definides: a) y = 5 b) y = 5, <, 0 Ì < c) y = d) y = +, Ó, Ì < 5 a) Está definida y es continua en todo Á. b) Está definida y es continua en 5]. Las funciones dadas mediante una epresión analítica sencilla (las que conocemos) son continuas donde están definidas. c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en que se duda es el : las dos ramas toman el mismo valor para = : = 9 = 5 + = 5 Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (, 5). La función es también continua en =. d) También las dos ramas empalman en el punto (, ). Por tanto, la función es continua en el intervalo en el que está definida: [0, 5). Pàgina 78. Calcula el valor dels its següents: a) b) (cos ) a) b) 0. Calcula aquests its: a) + 5 b) log , a) b) Pàgina 79. Calcula k per tal que la funció y = f () siga contínua en Á: f () = + k,? 7, = 8 f () = 7 ( + k) = + k + k = 7 8 k = Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
3 UNITAT Pàgina 8. Calcula els its de les funcions següents en els punts que s indiquen. Allà on calga, especifica el valor del it a l esquerra i a la dreta del punt. Representa n gràficament els resultats: a) f () = en, 0 y b) f () = en, 0 y ( ) c) f () = + en y d) f () = en 0 y + + a) f () = ( + ) ( ) f () f () = +@ No eiste 8 f (). 8 0 f () = f () f () = +@ No eiste 8 f (). b) f () = ( ) ( ) 8 f () 8 0 f () = 8 f () = 0 c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = f () = +@ f () No eiste 8 f (). Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
4 d) f () = ( + ) 8 0 f () = f () f () = +@ No eiste 8 f (). Pàgina 8. Digues el it quan 8 de les funcions següents donades pels gràfics: y = f () y = f () y = f () y = f () f () f () = f () = +@ f () no eiste. Pàgina 8. Digues el valor del it quan de les funcions següents: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = e) f () = f) f () = 5 b) +@ d) 0 e) 0 f Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
5 UNITAT. Com que ( 00 ) = +@, troba un valor de per al qual siga 00 > Por ejemplo, para = 000, f () = Com que = 0, troba un valor de per al qual siga: 0 0 Por ejemplo, para = 000, f () = 0,0000 ) 0. < 0,000 Pàgina 8. Calcula f () i representa n les branques: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = 5 a) 0 b) 0 c) 0 d) + 5. Calcula f () i representa n les branques: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = 5 + b) 0 c) +@ d ) Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 5
6 Pàgina 85. Troba les asímptotes verticals i situa la corba respecte d elles: a) y = b) y = a) 8 f () f () = +@ 8 + = es asíntota vertical. b) f () = +@ 8 f () 8 + = es asíntota vertical.. Troba les asímptotes verticals i situa la corba respecte d elles: a) y = b) y = a) f () = +@ f () f () f () = +@ = 0 es asíntota vertical. = es asíntota vertical. b) f () = +@ f () = +@ = es asíntota vertical. 6 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
7 UNITAT Pàgina 87. Troba les branques infinites,, d aquestes funcions. Situa n la corba respecte de l asímptota: a) y = b) y = + + a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) y = + 8 y = es asíntota oblicua. +. Troba les branques infinites,, d aquestes funcions. Situa n la corba respecte de l asímptota, si n hi ha: a) y = + b) y = + 7 a) f () = 8 y = es asíntota horizontal. b) grado de P grado de Q Ó f () = +@ 8 rama parabólica hacia arriba. Pàgina 88. Troba f () i representa-hi la branca corresponent: f () = + 7 f () = 7 = +@ Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 7
8 . Troba f () i traça-hi les branques corresponents: a) f () = ( + )/( ) b) f () = /( + ) a) f () = = = 0 b) f () = = = +@ Pàgina 89. Troba les branques infinites, d aquestes funcions, i situa-hi la corba respecte de les asímptotes: a) y = b) y = + c) y = d) y = a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. c) f () = 8 y = es asíntota horizontal. d) y = + 8 y = es asíntota oblicua. + 8 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
9 UNITAT. Troba les branques infinites, quan i si tenen asímptotes, situa-hi la corba respecte a elles: a) y = b) y = + + c) y = + d) y = + a) grado P grado Q Ó f () = +@ 8 rama parabólica. b) f () = 8 y = es asíntota horizontal. c) y = y = + es asíntota oblicua. + d) f () = ( ) = +@ Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 9
10 Pàgina 95 EERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR Discontinuïtats i continuïtat a) Quin dels gràfics següents correspon a una funció contínua? b) Assenyala, en cadascuna de les altres cinc, la raó de la discontinuïtat. a) b) c) d) e) f) a) Solo la a). b) b) Rama infinita en = (asíntota vertical). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =. e) Punto desplazado en = ; f () = ; f () =. 8 f ) No está definida en =. Troba els punts de discontinuïtats, si n hi ha, de les funcions següents: a) y = + 6 b) y = ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = 5 + a) Continua. b) c) d) Continua. e) 0 y 5 f ) Continua. 0 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
11 UNITAT Comprova si les funcions següents són contínues en = 0 i en = : a) y = b) y = c) y = d) y = 7 a) No es continua ni en = 0 ni en =. b) Sí es continua en = 0, no en =. c) No es continua en = 0, sí en =. d) Continua en = 0 y en =. Indica per a quins valors de Á són contínues les funcions següents: a) y = 5 b) y = c) y = d) y = e) y = 5 f) y = a) Á b) [, +@) c) Á {0} 5 d) 0] f) Á ( ] 5 Comprova que els gràfics d aquestes funcions corresponen a l epressió analítica donada i digues si són contínues o discontínues en =. a) f () = si si > + si < b) f () = si > c) f () = si si = a) Continua. b) Discontinua. c) Discontinua. Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
12 6 Comprova si la funció f () = si < 0 és contínua en = 0. si Ó 0 Recorda que per tal que f siga contínua en = 0, s ha de verificar que: f () = f (0) 8 0 f () = f () = f () = = f (0) Es continua en = 0. 7 Comprova si les funcions següents són contínues en els punts que s indiquen: ( )/ si < a) f () = en = + si > si < b) f () = en = (/) si Ó si Ì c) f () = en = + si > a) No, pues no eiste f ( ). b) f () = f () = f () =. Sí es continua en = c) f () =? f () =. No es continua en = Pàgina 96 Visió gràfica del it 8 f () f () Aquests són, respectivament, els gràfics de les funcions: f () = y f () = ( + ) + Quin és el it de cadascuna d aquestes funcions quan 8? Observa la funció quan 8 per l esquerra i per la dreta. Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
13 UNITAT f () = +@ f () = +@ 8 f () = +@ f () = +@ f () No eiste 8 f (). 9 Sobre el gràfic de la funció f (), troba: a) f () b) f () c) f () d) f () e) f () f) f () g) f () h) f () a) +@ c) d) 0 e) 0 f ) g) +@ h) 0 Límit en un punt 0 Calcula els its següents: a) ( 5 ) b) ( ) c) d) 8 8 0,5 e) 0 + f) log 8 8 g) cos h) e a) 5 b) 0 c) d) e) f ) g) h) e Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
14 Donada la funció f () = + si < 0, troba: + si Ó 0 a) f () b) f () c) f () Per tal que eistisca it en el punt de ruptura, n han de ser iguals els its laterals. a) 5 b) c) f () = f () = f () = Calcula els its següents: a) b) c) h h d) h 7h h 8 0 h h 8 0 h Trau factor comú i simplifica cada fracció. ( + ) a) = b) = 8 0 ( ) 8 0 c) h (h ) h (h 7) 7 = 0 d) = h 8 0 h h 8 0 h Resol els its següents: a) b) 8 8 c) + d) 8 e) + f) ( + ) ( ) a) = 8 ( ) b) + = ( + ) ( + ) = = ( + ) ( + ) ( + ) ( ) c) = d) = 8 ( + ) ( ) 8 ( ) ( + ) e) = f ) ( + )( ) = 8 ( + ) ( + ) 8 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
15 UNITAT Calcula el it de la funció f () = en =, = 0 i =. + 8 f () = f () = f () = +@ 8 + f () Límit quan o 5 Calcula els its següents i representa la informació que hi obtingues: a) (7 + ) b) c) + 7 d) (7 ) ( 0 5 Dóna a valors grans i trau-ne conclusions. 6 Calcula el it de les funcions de l eercici anterior quan i representa la informació que hi obtingues. Resolución de los ejercicios 5 y 6: ) a) (7 + ) (7 + ) = +@ b) 0 = +@ 8 ±@ 5 c) ( + 7) 8 ±@ d) (7 ) = +@ 8 ±@ Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 5
16 7 Comprova, donant valors grans a, que les funcions següents tendien a 0 quan. a) f () = b) f () = 0 7 c) f () = d) f () = 00 0 a) f () = 0 b) f () = 0 c) f () = 0 d) f () = 0 8 Calcula el it quan i quan de cadascuna de les funcions següents. Representa els resultats que hi obtingues. a) f () = 0 b) f () = c) f () = d) f () = Cuando : a) f () = +@ b) f () = +@ c) f () d) f () Cuando a) f () b) f () = +@ c) f () = +@ d) f () 6 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
17 UNITAT Pàgina 97 9 Calcula els its següents i representa les branques que hi obtingues: a) b) ( ) c) d) ( ) e) f) + g) h) Calcula el it de totes les funcions de l eercici anterior quan Resolución de los ejercicios 9 y 0: a) = 0; = 0 ( ) ( ) b) = +@; c) = 0; = 0 d) = 0; = 0 ( ) ( ) e) = ; = + + Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 7
18 f) = +@ g) = ; = + + h) = ; = 5 5 Resol els its següents: a) b) ( ) ( ) c) d) ( + ) a) c) 0 d) +@ Calcula el it quan i quan de les funcions següents i representa les branques que hi obtingues: a) f () = b) f () = 0 c) f () = d) f () = + 5 a) f () = 0; f () = 0 b) f () f () = +@ c) f () = +@; f () d) f () = ; f () = 8 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
19 UNITAT Asímptotes Troba les asímptotes de les funcions següents i situa la corba respecte a cadascuna d elles: a) y = b) y = + + c) y = d) y = a) Asíntotas: b) Asíntotas: = ; y = = ; y = c) Asíntotas: d) Asíntotas: = ; y = = ; y = 0 Troba les asímptotes de les funcions següents i situa la corba respecte d elles: a) y = b) y = + + c) y = d) y = a) Asíntota: y = b) Asíntota: y = 0 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 9
20 c) Asíntotas: = 0; y = d) Asíntota: = 5 Troba les asímptotes de les funcions següents i situa la corba respecte d elles: + a) f () = b) f () = 5 c) f () = d) f () = e) f () = + 9 f) f () = ( + ) a) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = b) Asíntota vertical: = 5 Asíntota horizontal: y = c) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota vertical: y = 0 No tiene más asíntotas. 0 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
21 UNITAT e) Asíntota vertical: =, = Asíntota horizontal: y = 0 f ) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 6 Cadascuna de les funcions següents té una asímptotes obliqua. Troba-la i estudia la posició de la corba respecte d ella: a) f () = b) f () = + + c) f () = d) f () = + e) f () = f) f () = + a) = Asíntota oblicua: y = b) + = + + Asíntota oblicua: y = + c) = Asíntota oblicua: y = d) + 0 = + + Asíntota oblicua: y = + Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
22 e) = + Asíntota oblicua: y = f) + = + Asíntota oblicua: y = PER A RESOLDRE 7 Calcula els its de les funcions següents en els punts que n anul len el denominador: a) f () = b) f () = + c) f () = t d) f (t) = t t a) f () = +@; f () b) f () = 8 0 ( ) f () f () = +@; f () f () = +@ c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = = ; f () = +@; f () t d) f (t) = (t ) ; f (t ) = t t Troba les asímptotes de les funcions següents i situa la corba respecte de cadascuna d elles: a) y = ( ) 5 b) y = c) y = + 7 d) y = e) y = f) y = Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
23 UNITAT 9/ a) y = + + Asíntotas: = ; y = b) Asíntotas: y = ; = c) Asíntotas: y = 0; = ± 6 6 d) Asíntotas: y = 6 6 e) y = + ( + ) ( ) Asíntotas: y = ; =, = 6 6 f ) Asíntotas: = ; y = 6 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
24 9 Troba les branques infinites d aquestes funcions. Quan tinguen asímptotes, situa n la corba: a) y = ( + ) b) y = c) y = ( + ) d) y = e) y = f) y = a) f () = +@; f () = +@ Asíntota vertical: = 0 b) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota horizontal: y = e) Asíntota vertical: = Asíntota oblicua: y = 6 6 f) f () = +@; f () = +@ Asíntota vertical: = 5 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
25 UNITAT Pàgina 98 0 Prova que la funció f () = només té una asímptota vertical i una altra horitzontal. Trobant f () veuràs que no 8 f () = ; f () f () = +@; f () = ±@ Asíntota vertical: = 0 Asíntota horizontal: y = Calcula els its següents i representa els resultats que hi obtingues: a) 6 b) a) 6 ( ) ( + ) = = 8 8 ( ) 5 b) + ( ) ( ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: = +@; No eiste Calcula els its següents i representa els resultats que hi obtingues: a) b) c) d) Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 5
26 a) ( ) = = ( + ) 8 0 ( + ) Calculamos los ites laterales: = +@; 8 0 ( + ) ( + ) b) + = ( + ) = ( + ) Calculamos los ites laterales: 8 + = +@ c) ( ) ( = ) = 8 8 d) 8 ( ) ( + ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: ( + ) ( + ) = +@ ( + ) Troba les asímptotes d aquestes funcions: a) y = b) y = + c) y = + 5 d) y = ( ) e) y = + f) y = a) y = + b) Asíntota vertical: = 0 ( ) ( + ) Asíntotas verticales: =, = Asíntota oblicua: y = c) Asíntota horizontal: y = d) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntotas verticales: = ± e) = 5, y = f ) Asíntota vertical: = 0 Asíntota oblicua: y = Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
27 UNITAT Representa les funcions següents i eplica si són discontínues en algun punt: si < a) f () = 5 si Ó si Ì 0 b) f () = + si > 0 c) f () = si < si > a) Discontinua en =. 5 6 b) Función continua c) Discontinua en =. 5 5 a) Calcula el it de les funcions de l eercici anterior en = i = 5. b) Troba, per a cadascuna d elles, el it quan i quan a) 8 f () = 7; 8 5 f () = 0; f () f () b) 8 f () = ; 8 5 f () = 6; f () = +@; f () = c) 8 f () = 7; 8 5 f () = 5; f () = +@; f () = +@ Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 7
28 6 Calcula els its quan i quan de les funcions següents: a) f () = b) f () = 0,75 c) f () = + e d) f () = /e a) f () = +@; f () = 0 b) f () = 0; f () = +@ c) f () = +@; f () = d) f () = 0; f () = +@ 7 Troba les branques infinites de les funcions eponencials següents: a) y = + b) y =,5 c) y = + e d) y = e a) f () = +@; f () = 0 Asíntota horizontal cuando y = 0 b) f () = +@; f () = Asíntota horizontal cuando y = c) f () = +@; f () = Asíntota horizontal cuando y = d) f () = 0; f () = +@ Asíntota horizontal cuando y = 0 8 Calcula, per a cada cas, el valor de k per tal que la funció f () siga contínua en tot Á. a) f () = si Ì 6 (/) si < b) f () = + k si > + k si Ó ( c) f () = + )/ si? 0 k si = 0 a) 8 f () = 5 = f () f () = + k = + k 8 k = 8 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
29 UNITAT b) f () = f () = + k = f () 5 = + k 8 k = / ( + ) c) f () = = 8 k = Estudia la continuïtat d aquestes funcions: si < a) f () = / si Ó si Ó b) f () = si < < si Ó c) f () = si Ì 0 + si > 0 a) f () = f () = f () = 8 Continua en = 8 8 +? 8 Continua Es continua en Á. b) f () = f () = f ( ) = 0 8 Continua en = f () = f () = f () = 0 8 Continua en = 8 8 +? y? 8 Continua Es continua en Á. c) f () =? f () = 8 Discontinua en = Si? 0, es continua. 0 Calcula a per tal que les funcions següents siguen contínues en = : + si Ì ( a) f () = b) f () = )/( ) si? a si > a si = a) 8 f () = = f () f () = a 8 + ( ) ( + ) b) f () = = 8 8 ( ) f () = a = a 8 a = a = Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 9
30 En una empresa es fan muntatges en cadena. El nombre de muntatges realitzats per un treballador sense eperiència depén dels dies d entrenament segons la funció M(t) = (t en dies). 0t t + a) Quants muntatges realitza el primer dia? I el desé? b) Representa la funció sabent que el període d entrenament és d un mes. c) Què passaria amb el nombre de muntatges si l entrenament fóra molt més llarg? a) M () = 6 montajes el primer día. M (0) =, 8 montajes el décimo día. b) t t + c) Se aproima a 0 ( pues = 0 ). t 8 +@ Pàgina 99 QÜESTIONS TEÒRIQUES Podem calcular el it d una funció en un punt en què la funció no estiga definida? Pot ser la funció contínua en aquest punt? Sí se puede calcular, pero no puede ser continua. Pot tindre una funció més de dues asímptotes verticals? I més de dues asímptotes horitzontals? Posa n eemples. Sí. Por ejemplo, f () = tiene = 0, = y = como asíntotas verticales. ( )( ) No puede tener más de dos asíntotas horizontales, una hacia y otra por ejemplo: 0 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
31 UNITAT El denominador d una funció f () s anul la en = a. Podem assegurar que té una asímptota vertical en = a? Posa n eemples. No. Por ejemplo, f () = + en = 0; puesto que: ( + ) f () = = Si f () = 5, podem afirmar que f és contínua en =? 8 No. Para que fuera continua debería ser, además, f () = 5. 6 Representa una funció que verifique aquestes condicions. És discontínua en algun punt? f () = f () = 0 f () = +@ f () Es discontinua en =. PER A APROFUNDIR-HI 7 Calcula els its següents: + a) b) c) + d) + + a) = = = = + b) = = = 0 + Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
32 c) + = = = d) = = + = 8 Troba un valor de per al qual f () = 5 siga menor que 0,00. Por ejemplo, para = 000, f () = 0, Troba els its següents: a) ( ) b) ( ) c) d) (0,75 ) e b) +@ c) 0 d) +@ 50 Quina és l asímptota vertical d aquestes funcions logarítmiques? Troba n el it quan : a) y = log ( ) b) y = ln( + ) a) Asíntota vertical: = f () = +@ b) Asíntota vertical: = f () = +@ Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
33 UNITAT Pàgina 99 AUTOAVALUACIÓ 5, Ì. Calcula el it de f () = en els punts d abscisses 0, i 5. 7, > Digues si la funció és contínua en aquests punts. 5, Ì f () = 7, > f () = 0 5 = f () = = f () = 5 = 8 f () f () = 7 = No tiene ite en =. 8 + Es continua en = 0 y en = 5. No es continua en =, porque no tiene ite en ese punto.. Troba els its següents: a) b) c) ( ) 8 a) = = b) = = c) = +@ (Si 8 + o si 8, los valores de la función son positivos). 8 ( ). a) b) Sobre el gràfic d aquestes dues funcions, troba, per a cada cas, els its següents f (); f (); f (); f () 8 8 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
34 a) f () No tiene ite en =. 8 f () 8 f () = f () = 0 f () = +@ b) f () = f () f () = f () = 8 f () = +@ f () f () = No tiene ite en = Troba les asímptotes de la funció f () = i estudia la posició de la corba respecte d elles. Simplificamos: = 8 y = Asíntota vertical: = Posición 8 = +@ 8 + Asíntota horizontal: = ; y = 8 ±@ Posición, y > y < Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
35 UNITAT 5. Justifica quin valor ha de prendre a per tal que la funció siga contínua en Á: a si Ì f () = a si > f () = a si Ì a si > La función es continua para valores de menores que y mayores que, porque ambos tramos son rectas. Para que sea continua en =, debe cumplirse: f () = f () f () = a 8 f () f () = a f () = a Para que eista el ite, debe ser: a = a 8 a = 6 8 a = 8 6. Troba el it de f () = quan 8 ; 8 ; ; i representa la informació que hi obtingues. 0 = ( ) Simplificamos: = ( )( ) 8 = = = 9 = = +@ = f () f () = +@ 9 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites 5
36 7. Representa una funció que complisca les condicions següents: f () f () = +@ f () = 0 f () = Estudia les branques infinites de f () = i situa n la corba respecte de l asímptota. + No tiene asíntotas verticales porque +? 0 para cualquier valor de. No tiene asíntotas horizontales porque = +@ y + + Tiene una asíntota oblicua, porque el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador y = = Asíntota oblicua: y = Posición curva < asíntota curva > asíntota 6 Unitat. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
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