Estadísticos muéstrales

Transcripción

1 Estadístcos muéstrales

2 Hemos estudado dferentes meddas numércas correspondentes a conjuntos de datos, entre otras, estudamos la meda, la desvacón estándar etc. Ahora vamos a dstngur entre meddas numércas calculadas con conjuntos de datos poblaconales y las calculadas con datos muestrales. S la medda numérca se calcula para el conjunto de datos poblaconales le llamaremos valor del parámetro poblaconal y s se calcula para el conjunto, de datos muestrales, le llamaremos valor del estadístco muestral.

3 En una poblacón fnta de tamaño los parámetros poblaconales meda, varanza y proporcón poblaconal venen dados por: P EP p # # Parámetros Estadístcos Para una muestra aleatora smple de tamaño n, (,..., n ) los estadístcos: meda, varanza y proporcón muestral se defnen como: P EnP n p n S n n # #

4 S en vez de consderar las n varables aleatoras, ndependentes e déntcamente dstrbudas (,..., n ) que consttuyen la muestra aleatora smple, consderamos una muestra concreta (x,..., x n ) entonces los valores de estos estadístcos muestrales tomarían la sguente forma: n x x n x x x n x # EnP pˆ n # P Veremos que el estadístco es una funcón de las observacones muestrales, y en estos casos asgna a cada muestra observada: la meda de los valores, la varanza o la proporcón, respectvamente.

5 La funcón de dstrbucón de una varable aleatora está defnda como: F(x) = P( < x) y representa la proporcón de valores que son menores o guales que x. De manera smlar podemos defnr la funcón de dstrbucón empírca para una muestra. Defncón ( x) F n ( x) n Consderemos una poblacón con funcón de dstrbucón F(x) y sean (x,..., x n,) los valores observados correspondentes a una MAS procedente de esa poblacón, desgnamos por (x) el número de valores observados que son menores o guales que x. Entonces defnmos la funcón de dstrbucón empírca de la muestra, que la notaremos por F(x) Dada una muestra aleatora formada por las observacones muestrales (3, 8, 5, 4, 5). Obtener la funcón de dstrbucón empírca y su correspondente representacón gráfca.

6 F n solucón 0 0. ( x) x 3 x 3 x 4 x 5 x observacones muestrales x (x) F n (x) 3 0 < <= <= <= <=8 5 F n (x)

7 La funcón de dstrbucón empírca tene las msmas propedades que la funcón de dstrbucón de la varable aleatora, y se puede demostrar, utlzando el teorema de Glvenko-Cantell, que F n (x) converge en probabldad a F(x). Para efectos práctcos, mplca que cuando el tamaño de la muestra crece, la gráfca de la funcón de dstrbucón empírca se aproxma bastante a la de la funcón de dstrbucón de la poblacón, se puede entonces utlzar como estmador de la poblacón. De todo esto se deduce que la funcón de dstrbucón empírca o su gráfca puede utlzarse para determnar la forma general de la dstrbucón poblaconal. Tambén es fácl y muy frecuente el reconocer la forma de la dstrbucón observando el hstograma correspondente que nos daría dea de la funcón de densdades.

8 Los estadístcos muestrales (proporcón meda y varanza muestral) se pueden utlzar para estmar los correspondentes parámetros poblaconales. Así pues, para estudar propedades de estos estadístcos como estmadores poblaconales, será necesaro estudar las característcas de la dstrbucón de estos estadístcos. Los estadístcos muestrales se calculan a partr de los valores (,..., n ) de una muestra aleatora. Estos estadístcos son tambén varables aleatoras, como tales tenen asgnada una dstrbucón de probabldades. Entonces los estadístcos muestrales: Proporcón, meda, varanza, etc., tenen su correspondente dstrbucón de probabldad. S estas dstrbucones de probabldad se pueden obtener, será entonces posble establecer afrmacones basadas en probabldades acerca de estos estadístcos. os nteresamos en determnar las dstrbucones de probabldad de algunos estadístcos muestrales, en concreto, para la meda y varanza muestral, que serán de utldad en dstntas aplcacones estadístcas.

9 Tenda Horas de servco T T 0 T3 3 4 T4 4 9 T5 5 0 Supongamos una poblacón formada por cnco tendas exstentes en certo muncpo del Edo. de Méxco. La característca a nvestgar será el número de horas que daramente permanecen abertas esas tendas y que representaremos por la varable aleatora. = Horas de servco de las tendas Parámetro meda poblaconal 5 Parámetro varanza poblaconal Exsten dez posbles muestras aleatoras smples de tamaño 3 que se pueden tomar y el valor del estadístco meda muestral La dstrbucón de probabldad del estadístco meda muestral vene dada por la Tabla.8. 6

10 Dstrbucón muestral del estadístco meda muestral P(x) x Muestras observacones muestrales Estadístco meda muestral T,T,T3, 0 4 T,T,T4, 0, T,T,T5, 0, T,T3,T4, 4, 9.6 T,T3,T5, 4, 0 T,T4,T5, 9, T,T3,T4 0, 4, 9 T,T3,T5 0, 4, 0.3 T,T4,T5 0, 9, T3,T4,T5 4, 9, 0 Valor del Estadístco úmero de Muestral repetcones Probabldad

11 Una empresa dedcada al transporte y dstrbucón de mercancías, tene una plantlla de 50 trabajadores. Durante el últmo año se ha observado que 5 trabajadores han faltado un solo día al trabajo, 0 trabajadores han faltado dos días y 5 trabajadores han faltado tres días. S se toma una muestra aleatora, con reemplazamento, de tamaño dos (, ) del total de la plantlla, obtener:. La dstrbucón de probabldad del número de días que ha faltado al trabajo un empleado, su meda y su varanza.. Dstrbucón de probabldad del estadístco meda muestral. 3. La dstrbucón de probabldad del estadístco varanza muestral. 4. La meda y varanza del estadístco meda muestral. 5. La probabldad de que el estadístco meda muestral, sea menor que. 6. La meda y varanza del estadístco varanza muestral. 7. La probabldad de que el estadístco varanza muestral, sea menor o gual que 0.5.