Nombre de la Asignatura Matemáticas I ( ) INFORMACIÓN GENERAL Escuela. Departamento Unidad de Estudios Básicos. Ciencias Pre-requisitos Ninguno

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1 Código UNIVERSIDAD DE ORIENTE INFORMACIÓN GENERAL Escuela Departamento Unidad de Estudios Básicos Ciencias Pre-requisitos Ninguno Créditos 04 Horas Semanales Total Horas Semestre Horas Teóricas Horas Prácticas SÍNTESIS DE CONOCIMIENTOS PREVIOS Algebra elemental, aritmética, trigonometría y geometría. Área MATEMÁTICAS Semestre I Vigencia Semestre (enero 2014) Elaborado por Grecia Villegas Tipo Obligatoria INTRODUCCIÓN El curso de Matemáticas I para ingeniería, desde el principio se refuerza las múltiples representaciones de las funciones, la unidad I, conduce a un repaso de las funciones estándar, incluyendo las trigonométricas, en forma analítica y gráfica. En la unidad II, se estudia el límite de una función, el cual es un concepto fundamental del cálculo, esto se trata desde los puntos de vista descriptivo, gráfico, numérico y algebraico. En la unidad III, se realiza un análisis previo de los problemas de tangente, se explora la definición de la derivada, se anuncia y formulan las reglas de la derivación de funciones básicas. En la unidad IV, se hace énfasis en los valores extremos, aplicando el teorema de rolle y el teorema del valor medio como punto de partida, se utilizan los criterios de la primera y segunda derivada para formar curvas, se calculan las derivadas en situaciones de aplicación y se dan algunos problemas de optimización. JUSTIFICACIÓN El cálculo es un elemento indispensable para los estudiantes de ingeniería y ciencias aplicadas. Las destrezas desarrolladas en este curso servirán de base para el resto de los cursos de cálculo que prosiguen a Matemáticas I, así como también, constituyen una herramienta para la solución de problemas de aplicación en ingeniería, tales como: calcular y representar gráficamente un conjunto de datos, determinar límites de funciones de manera gráfica y analítica, determinación de valores máximos y mínimos de una función (optimización) empleando derivadas, utilizar límites para identificar todas las asíntotas de la gráfica de una función, combinación de estas técnicas para dibujar la gráfica de una función. Hoja: 1/ 8

2 UNIVERSIDAD DE ORIENTE INFORMACIÓN GENERAL (cont.) SÍNTESIS DE CONOCIMIENTOS PREVIOS Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Conocimientos sobre álgebra lineal. Conocimientos sobre trigonometría. Conocimientos básicos sobre geometría analítica. OBJETIVO GENERAL El objetivo final de este curso es evaluar límites de funciones algebraicas y trigonométricas, analizando la continuidad de una función, también derivando y graficando funciones algebraicas y trigonométricas, con orientación hacia la resolución de problemas relativos a máximos y mínimos de funciones de una variable. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Identificar si una relación es o no una función. Determinar el dominio y rango de una función con variables reales a partir de la gráfica o mediante el cálculo algebraico. Realizar graficas de funciones reales indicando el dominio y rango. Realizar sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones reales y sus dominios. Hallar la función compuesta y su dominio a partir de funciones dadas. Explicar analíticamente y gráficamente la definición del límite de una función. Demostrar la existencia del límite de una función. Evaluar el límite de una función mediante teoremas. Determinar la existencia del límite de una función. Evaluar los límites al infinito y límites infinitos. Evaluar los límites trigonométricos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de una función. Analizar la continuidad de una función en un número mediante la definición de continuidad. Distinguir una discontinuidad evitable de una esencial. Analizar la continuidad de una función en un número mediante los teoremas. Analizar la continuidad de una función en un intervalo. Explicar el significado de la derivada de una función. Hoja: 2 / 8

3 INFORMACIÓN GENERAL (cont.) OBJETIVOS ESPECÍFICOS (cont.) Calcular la derivada de una función aplicando la definición. Determinar la existencia de una derivada en un punto mediante derivadas laterales. Analizar la derivabilidad de una función en un punto. Calcular la derivada de funciones algebraicas. Calcular la derivada de funciones compuestas. Calcular las derivadas de funciones paramétricas, implícitas y trigonométricas. Calcular la derivada de orden superior. Resolver problemas de recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Calcular los límites indeterminados usando la regla de L`Hopital. Determinar los valores críticos del dominio de una función. Determinar los valores extremos (máximos y mínimos) absolutos y relativos de una función. Utilizar el teorema de Rolle y teorema de Valor Medio para precisar la existencia de los valores críticos de una función. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Aplicar el criterio de la primera derivada para determinar los extremos relativos de una función. Determinar la concavidad de una función. Determinar los puntos de inflexión de una función. Determinar los extremos relativos y concavidades de una función mediante el criterio de la segunda derivada. Realizar la gráfica de una función a través de su estudio completo. Resolver problemas de optimización mediante derivadas. Hoja: 3 / 8

4 CONTENIDO PROGRAMÁTICO UNIDAD 1 FUNCIONES Al finalizar esta unidad el estudiante estará en capacidad de: Identificar si una relación es o no una función. Determinar el dominio y rango de una función con variables reales a partir de la gráfica o mediante el cálculo algebraico. Realizar gráficas de funciones reales indicando el dominio y rango. Realizar sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones reales y sus dominios. Hallar la función compuesta y su dominio a partir de funciones dadas. Capítulo 1. Definición de relación y función. Definición de relación, función, dominio y rango de una función. Representación gráfica y analítica de una función. Capítulo 2. Tipos de funciones con variables reales. Funciones polinómicas: Constante, lineal y cuadrática. Funciones algebraicas: Racional y radical. Función Valor Absoluto, Función Signo, Función Parte Entera, Funciones Trigonométricas: Seno, coseno, tangente, secante y cosecante. Funciones Ramificadas. Capítulo 3. Operaciones entre funciones. Operaciones básicas entre funciones. Dominio de las operaciones entre funciones. Capítulo 4. Función Compuesta Definición de la función compuesta. Dominio de la función compuesta. Hoja: 4 / 8

5 CONTENIDO PROGRAMÁTICO UNIDAD 2 Límite y continuidad de una función. Al finalizar esta unidad el estudiante estará en capacidad de: Explicar analíticamente y gráficamente la definición del límite de una función. Demostrar la existencia del límite de una función. Evaluar el límite de una función mediante teoremas. Determinar la existencia del límite de una función. Evaluar los límites al infinito y límites infinitos. Evaluar los límites trigonométricos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales de la grafica de una función. Analizar la continuidad de una función en un número mediante la definición de continuidad. Distinguir una discontinuidad evitable de una esencial. Analizar la continuidad de una función en un número mediante los teoremas. Analizar la continuidad de una función en un intervalo. Capítulo 5. Límite de una función. Interpretación analítica y geométrica del límite de una función. Definición formal del límite de una función. Teoremas sobre los límites. Capítulo 6. Calculo del límite de una función. Calculo de límites denominados forma indetermina. Definición y determinación de Límites al infinito y límites infinitos. Límites de funciones trigonométricas. Capítulo 7. Asíntotas. Definición de asíntotas verticales, asíntotas horizontales y asíntotas oblicuas. Capítulo 8. Continuidad y discontinuidad de una función. Límites Laterales (comportamiento por la derecha y por la izquierda). Continuidad de una función en un punto dado. Discontinuidad de una función y sus tipos. Teoremas sobre continuidad. Continuidad de una función en un intervalo. Hoja: 5 / 8

6 CONTENIDO PROGRAMÁTICO UNIDAD 3 Derivada de una función. Al finalizar esta unidad el estudiante estará en capacidad de: Explicar el significado de la derivada de una función. Calcular la derivada de una función aplicando la definición. Determinar la existencia de una derivada en un punto mediante derivadas laterales. Analizar la derivabilidad de una función en un punto. Calcular la derivada de funciones algebraicas. Calcular la derivada de funciones compuestas. Calcular las derivadas de funciones paramétricas, implícita y trigonométricas. Calcular la derivada de orden superior. Resolver problemas de recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Calcular los límites indeterminados usando la regla de L Hopital. Capítulo 9. Derivada de una función. Interpretación geométrica de la derivada de una función. El problema de la recta tangente. Definición de la derivada de una función. Capítulo 10. Reglas básicas de derivación. Derivada de una función por la regla de la constante, derivada de una función por la regla de las potencias, derivada de una función por la regla del múltiplo constante, derivada de una función por las reglas de suma y diferencia, derivada de una función por la regla del producto, derivada de una función por la regla del cociente. Capítulo 11. Derivada de funciones compuestas, funciones paramétricas, funciones implícitas y funciones trigonométrica. Hallar la derivada de una función compuesta por la regla de la cadena. Distinguir entre funciones explicitas e implícitas. Hallar la derivada de una función por derivación implícita. Derivadas de funciones paramétricas, derivadas de las funciones trigonométricas. Capítulo 12. Derivabilidad y continuidad de una función. Comprobar la relación entre derivabilidad y continuidad. Capítulo 13. Derivadas de orden superior. Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Regla de L Hopital. Hallar las derivadas de orden superior. Calcular los límites indeterminados usando la regla de L Hopital. Solución de problemas de recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Hoja: 6 / 8

7 CONTENIDO PROGRAMÁTICO UNIDAD 4 Aplicaciones de la Derivada. Al finalizar esta unidad el estudiante estará en capacidad de: Determinar los valores críticos del dominio de una función. Determinar los valores extremos (máximos y mínimos) absolutos y relativos de una función. Utilizar el teorema de Rolle y teorema de Valor Medio para precisar la existencia de los valores críticos de una función. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Aplicar el criterio de la primera derivada para determinar los extremos relativos de una función. Determinar la concavidad de una función. Determinar los puntos de inflexión de una función. Determinar los extremos relativos y concavidades de una función mediante el criterio de la segunda derivada. Realizar la grafica de una función a través de su estudio completo. Resolver los problemas de optimización mediante derivadas. Capítulo 14. Valores críticos en el dominio de una función. Máximos y mínimos de una función. Teorema de Rolle y teorema de Valor Medio. Crecimiento y decrecimiento de una función. Criterio de la primera derivada. Definición de concavidad de una función. Criterio de la segunda derivada. Técnicas de graficación Problemas de máximos y mínimos (Aplicaciones de la derivada). Hoja: 7 / 8

8 UNIVERSIDAD DE ORIENTE BIBLIOGRAFÍA Edwards y Penney. Cálculo con Geometría Analítica. Cuarta Edición. México: Prentice Hall, Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. Sexta Edición. México: Mc Graw Hill, Stein y Barcellos. Cálculo y Geometría Analítica. Vol.1. Quinta Edición. Colombia: Mc Graw Hill, Larson, Hostetler y Edwards. Cálculo y Geometría Analítica. Vol. 1. Sexta Edición. Mc Graw Hill, Stewart. Cálculo de una variable Trascendentes Tempranas. Cuarta Edición. México, Hoja: 8 / 8