Matemáticas Empresariales I. Cálculo de Primitivas

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1 Matemáticas Empresariales I Lección 7 Cálculo de Primitivas Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales I 1 / 45

2 Concepto de Integral Indefinida Definición Dadas las funciones f (x) y F (x), definidas en un intervalo I, diremos que F (x) es una función primitiva de f (x) si se verifica la igualdad F (x) = f (x) Definición Dada una función f (x) definida en un intervalo I, se llama integral indefinida de f (x) en I al conjunto de todas sus funciones primitivas: f (x)dx = F (x) + k Por lo tanto, el concepto de integral es muy sencillo ya que, simplemente, decimos que una función F (x) + k es la integral de f (x) si la derivada de F (x) es f (x). Problema: Encontrar F (x) M. León Matemáticas Empresariales I 2 / 45

3 Métodos de Integración: Integración inmediata Reglas de derivación al revés = reglas de integración: dx = x + k x α dx = x α+1 α + 1 x + k 1 x 1 dx = dx = log x + k x 1 dx = arc tg(x) + k 1 + x 2 a x dx = ax loga + k e x dx = e x + k M. León Matemáticas Empresariales I 3 / 45

4 Métodos de Integración: Integración inmediata (cont.) Algebra de Integrales = sen(x)dx = cos(x) + k cos(x)dx = sen(x) + k dx cos 2 (x) = tg(x) + k dx sen 2 (x) = cotg(x) + k dx 1 x 2 = arcsen(x) + k { (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx kf (x)dx = k f (x)dx M. León Matemáticas Empresariales I 4 / 45

5 Métodos de Integración: Integración inmediata - Ejercicio Calcule las primitivas de las funciones siguientes: f (x) = e x + x f (x) = x 3 f (x) = 4 cos 2 (x) M. León Matemáticas Empresariales I 5 / 45

6 Métodos de Integración: Integración por partes Este método consiste en pasar de una integral más complicada a una integral más sencilla. En concreto: Proposición Si en el intervalo I las funciones f (x) y g(x) son diferenciables, se verifica la igualdad: f (x)g (x)dx = f (x)g(x) g(x)f (x)dx O también, llamando a f (x) = u y a g(x) = v entonces el método queda: udv = uv vdu Por lo tanto, si la integral de vdu es inmediata o, al menos más sencilla, que la integral de udv entonces con el método hemos conseguido para de una integral más difícil a otra más fácil. M. León Matemáticas Empresariales I 6 / 45

7 Métodos de Integración: Integración por partes - Ejemplo Calcule ln(x)dx. Considerando u = ln(x) y a dv = dx = du = 1 x dx y que v = dx = x. Entonces la expresión: udv = uv vdu Toma la forma ln(x)dx = xln(x) x 1 x dx y simplificando y calculando la integral inmediata se obtiene que: ln(x)dx = xln(x) dx = xln(x) x + k M. León Matemáticas Empresariales I 7 / 45

8 Métodos de Integración: Integración por partes - Ejercicio Calcule la integral indefinida siguiente: ln(x)dx x 3 M. León Matemáticas Empresariales I 8 / 45

9 Métodos de Integración: Integración por partes - Observaciones Este método sirve cuando la segunda integral es mas fácil que la primera. Se deben escoger las funciones correctamente para obtener una integral más sencilla. Así, por ejemplo en la integral xe x dx si se escoge u = x y dv = e x dx el método lleva a una integral más sencilla pero si se escoge u = e x y dv = xdx el método lleva una integral más complicada (Se recomienda comprobarlo). A veces se debe aplicar dos veces el método para calcular la integral. ( x 2 cos(x)dx) A veces, la aplicación del método nos lleva a la integral inicial, pudiéndose resolver al despejar en la ecuación f (x)dx = g(x) f (x)dx se obtiene que f (x)dx + f (x)dx = g(x) y entonces 2 f (x)dx = g(x) y por lo tanto f (x)dx = g(x) 2 + k. Por ejemplo e x sen(x)dx M. León Matemáticas Empresariales I 9 / 45

10 Métodos de Integración: Integración por partes - Ejemplo dos veces Calcular x 2 cos(x)dx. Con u = x 2 y dv = cos(x)dx: x 2 cos(x) = udv = uv vdu = x 2 sen(x) sen(x)2xdx Hay que resolver la integral x sen(x)dx. Con u 1 = x y dv 1 = sen(x)dx: x sen(x) = u 1 dv 1 = u 1 v 1 v 1 du 1 = x cos(x)+ cos(x)dx = x cos( Sustituyendo en la expresión de la integral inicial: x 2 cos(x)dx = x 2 sen(x) 2 x sen(x)dx = x 2 sen(x)+2x cos(x) 2sen(x)+ M. León Matemáticas Empresariales I 10 / 45

11 Métodos de Integración: Integración por partes - Ejemplo integral inicial Calcular la integral e x sen(x)dx. Con u = e x y dv = sen(x)dx: e x sen(x) = udv = uv vdu = e x cos(x) e x ( cos(x))dx Hay que calcular e x cos(x)dx. Con u 1 = e x y dv 1 = cos(x)dx: e x cos(x)dx = u 1 dv 1 = u 1 v 1 v 1 du 1 = e x sen(x) e x sen(x)dx Y sustituyendo en la integral inicial se obtiene que: e x sen(x) = e x cos(x) + e x sen(x) e x sen(x)dx M. León Matemáticas Empresariales I 11 / 45

12 Métodos de Integración: Integración por partes - Ejemplo integral inicial (cont.) e x sen(x) = e x cos(x) + e x sen(x) e x sen(x)dx Obteniendo, de nuevo la integral inicial. Despejando: 2 e x sen(x) = e x cos(x) + e x sen(x) Por lo que: e x sen(x) = ex cos(x) + e x sen(x) 2 + k M. León Matemáticas Empresariales I 12 / 45

13 Métodos de Integración: Cambio de variable Dada la integral f (x)dx, si consideramos a x como función de otra variable t, según x = g(t), entonces se obtiene que dx = g (t)dt y se puede hacer la sustitución: f (x)dx = f (g(t))g (t)dt Si la integral en t es mas sencilla que la integral en x, se puede resolver la integral en t y al final volver a dejarla en función de x con t = g 1 (x) donde g 1 es la función inversa de g Definición Sea x = g(t) una transformación biyectiva del intervalo J en el intervalo I y con inversa t = g 1 (x), ambas funciones diferenciables. Entonces si G(t) es una primitiva de f (g(t))g (t) en J y si F (x) = G(g 1 (x)) para cada x de I, entonces F (x) es una primitiva de f (x) en I M. León Matemáticas Empresariales I 13 / 45

14 Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 1 Calcule la sen(x) cos(x) dx. Con el cambio de variable t = cos(x), se obtiene que dt = sen(x)dx y sustituyendo ambas expresiones: sen(x) dt cos(x) dx = t y la nueva integral en t es una integral inmediata dt t = ln t Por último, dejando la expresión en términos de x se obtiene que sen(x) dx = ln t = ln cos(x) + k cos(x) Con este ejemplo se puede ver que, en general M. León Matemáticas Empresariales I 14 / 45

15 Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 1 (Cont.) f (x) dx = ln f (x) + k f (x) M. León Matemáticas Empresariales I 15 / 45

16 Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 2 Calcule la e x2 2xdx. Con el cambio de variable t = x 2, se obtiene que dt = 2xdx y sustituyendo ambas expresiones en la integral inicial se obtiene e x2 2xdx = e t dt y la nueva integral en t es una integral inmediata e t dt = e t + k Por último, dejando la expresión en términos de x se obtiene que e x2 2xdx = e x2 + k M. León Matemáticas Empresariales I 16 / 45

17 Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 2 (Cont.) Con este ejemplo se puede ver que, en general e f (x) f (x)dx = e f (x) + k M. León Matemáticas Empresariales I 17 / 45

18 Métodos de Integración: Cambio de variable En general: g(f (x))f (x)dx = G(f (x)) + k e f (x) f (x)dx = e f (x) + k (f (x)) n f (x)dx = (f (x))n+1 n k cos(f (x))f (x)dx = sen(f (x)) + k sen(f (x))f (x)dx = cos(f (x)) + k f (x) [1 cos 2 (f (x)) dx = + tg 2 (f (x)) ] f (x)dx = tg(f (x)) + k M. León Matemáticas Empresariales I 18 / 45

19 Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejercicio Calcule, utilizando el cambio de variable t = ln(x) una primitiva de la función: sen[ln(x)] dx x M. León Matemáticas Empresariales I 19 / 45

20 Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 2 Calcule la e x 1+e dx. x Con el cambio de variable t = e x = dt = e x dx y sustituyendo: e x e x 1 + e x dx = dx 1 + e x = dt 1 + t y la nueva integral en t es una integral inmediata dt = ln 1 + t + k 1 + t Por último, dejando la expresión en términos de x se obtiene que e x 1 + e x dx = ln 1 + ex + k M. León Matemáticas Empresariales I 20 / 45

21 Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 3 Calcule la integral x x 1 dx Con el cambio de variable t = x 1 = t 2 = x 1 x = t (ya tenemos x despejado). Derivando (dx = 2tdt) y sustituyendo en la integral: x t dx = 2tdt x 1 t Y simplificando y operando se obtiene una integral inmediata t t 2tdt = 2 ( ) t (t )dt = t Por último, con t = x 1 se deshace el cambio de variable por lo que la integral queda: ( x ( x 1) 3 dx = 2 x ) x 1 + k M. León Matemáticas Empresariales I 21 / 45

22 Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejercicio 1 Calcule, utilizando el cambio de variable t = 1 + x una primitiva de la función: x 1 + x M. León Matemáticas Empresariales I 22 / 45

23 Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejercicio 2 Calcule, utilizando el cambio de variable x + 1 = t 6 una primitiva de la función: x (x + 1) 2 x + 1 M. León Matemáticas Empresariales I 23 / 45

24 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples Se denomina función racional a la que toma la forma p(x) q(x) donde p(x) y q(x) son polinomios en la variable x. Una función racional se llama fracción simple si toma la forma 1 (x a) n dx donde a es un número real y n es un número entero mayor o igual a 1. También es una fracción simple si toma la forma Mx + N (x 2 + px + q) n dx Donde ahora el polinomio de grado 2 x 2 + px + q no tiene raíces reales sino imaginarias. M. León Matemáticas Empresariales I 24 / 45

25 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples El calculo de la integral en el primer caso es inmediato ya que visto de la forma (x a) n, la integral es inmediata: 1 (x a) n dx = (x (x a) n a)1 n dx = + k 1 n M. León Matemáticas Empresariales I 25 / 45

26 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples - Ejemplo Calcular la 1 (x 2) 3 dx En ese caso la integral se puede poner como 1 (x 3) 3 dx = (x (x 2) 3 2)1 3 (x 2) 2 dx = + k = + k M. León Matemáticas Empresariales I 26 / 45

27 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples - Ejercicio Calcule la primitiva de la función: 1 (x 1) 2 dx M. León Matemáticas Empresariales I 27 / 45

28 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples Vamos a resolver el segundo caso con n = 1. Por lo tanto, hay que resolver la integral Mx + N (x 2 + px + q) dx Derivada del denominador es 2x + p = f (x) f (x) dx = ln f (x) + k Si no = multiplica el numerador por 2 M (y la M 2 ) M 2 2 M (Mx + N) (x 2 + px + q) dx = M 2 (2x + 2N M ) (x 2 + px + q) dx Si 2N M = p, = casi inmediata - Con 2N M p = suma y resta p: M (2x + 2N M + p p) 2 (x 2 dx + px + q) M. León Matemáticas Empresariales I 28 / 45

29 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples Propiedades de la suma de integrales:: M 2 (2x + 2N M + p p) (x 2 dx = M + px + q) 2 [ (2x + p) (x 2 + px + q) dx + ( 2N M p) (x 2 + px + q) dx El primer sumando: (2x + p) (x 2 + px + q) dx = ln x 2 + px + q + k El segundo sumando: ( 2N M p) (x 2 + px + q) dx = (2N M p) dx (x 2 + px + q) M. León Matemáticas Empresariales I 29 / 45

30 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples Resultado Previo Sea x 2 + px + q con raíces imaginarias conjugadas α ± iβ = x 2 + px + q = (x α) 2 + β. Y por lo tanto dx (x 2 + px + q) = Multiplicando y dividiendo por 1 β 2 dx (x α) 2 + β = dx (x α) 2 + β dx ( x α β ) β 2 M. León Matemáticas Empresariales I 30 / 45

31 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples O también 1 β dx ( x α β ) β = 1 β Integral inmediata del tipo arcotangente 1 1 β ( x α β β dx )2 + 1 = 1 β 1 β dx ( x α β )2 + 1 f (x) 1+f (x) 2 = arc tg f (x) + k: arc tg x α β Y sustituyendo en la integral original se obtiene que: + k Mx + N (x 2 + px + q) dx = M 2 [ ( ) ( )] 2N 1 ln x 2 + px + q + M p x α arc tg β β M. León Matemáticas Empresariales I 31 / 45

32 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples - Ejemplo Calcular la integral 3x+4 (x 2 +2x+5) dx En primer lugar, como el numerador no es la derivada = se debe multiplicar y dividir por 2 3 3x + 4 (x 2 + 2x + 5) dx = (3x + 4) (x 2 + 2x + 5) dx = 3 2 Para conseguir la derivada se suma y resta 2 en el numerador: 3 2 Y operando: (2x ) (x 2 + 2x + 5) dx = 3 (2x ) 2 (x 2 + 2x + 5) 3 (2x ) 2 (x 2 dx = 3 (2x ) + 2x + 5) 2 (x 2 dx = 3 + 2x + 5) 2 (2x ) (x 2 + 2x + 5) dx dx (2x ) (x 2 + 2x + 5) dx M. León Matemáticas Empresariales I 32 / 45

33 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples - Ejemplo (cont.) Y ahora descomponemos el cálculo de la integral en la suma de dos integrales: 3 (2x ) [ 2 (x 2 + 2x + 5) dx = 3 ] 2 (2x + 2) 2 (x 2 + 2x + 5) dx + 3 (x 2 + 2x + 5) dx La primera integral ya es inmediata (2x + 2) (x 2 + 2x + 5) dx = ln x 2 + 2x k Hay que calcular la otra integral: 1 (x 2 + 2x + 5) dx M. León Matemáticas Empresariales I 33 / 45

34 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples - Ejemplo (cont.) Para ello, calculando las raíces del polinomio vemos que son x = 1 ± 2i y por lo tanto (x 2 + 2x + 5) = (x + 1) Entonces la integral se puede poner como 1 (x 2 + 2x + 5) dx = Y multiplicando y dividiendo por dx (x + 1) = dx (x + 1) dx ( x+1 2 ) = dx ( x+1 2 )2 + 1 M. León Matemáticas Empresariales I 34 / 45

35 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples - Ejemplo (cont.) Y la integral que queda es una integral inmediata: dx 2 ( x+1 2 )2 + 1 = 1 x + 1 arc tg + k 2 2 y sustituyendo en la integral original: 3x + 4 (x 2 + 2x + 5) dx = 3 [ ln x 2 + 2x ] x + 1 arc tg + k 2 2 y finalmente: 3x + 4 (x 2 + 2x + 5) dx = 3 2 ln x 2 + 2x x + 1 arc tg + k 2 2 M. León Matemáticas Empresariales I 35 / 45

36 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales simples - Ejercicio Calcule la primitiva de la función: 3x 1 (x 2 + 1) dx M. León Matemáticas Empresariales I 36 / 45

37 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales generales Funciones racionales generales (no tienen porque ser fracciones simples). La integral de una fracción racional general tiene la forma p(x) q(x) dx Si grado de p(x) es mayor o igual que el de q(x) = cociente de polinomios: p(x) r(x) q(x) dx = c(x) + q(x) Donde c(x) es el cociente de la división y r(x) es el resto. Ahora el grado del numerador r(x) es menor que el grado del denominador q(x) M. León Matemáticas Empresariales I 37 / 45

38 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales generales (cont.) Encontrar raíces del polinomio q(x) = (x a 1 )(x a 2 ) (x a k ): r(x) q(x) dx = A 1 (x a 1 ) dx + A 2 (x a 2 ) dx A k (x a k ) dx Si alguna de las raíces se repitiera = grado superior (Ejemplo: si se repitiera a 1 ): r(x) q(x) dx = A 1 (x a 1 ) dx + A 1 (x a 1 ) 2 dx A k 1 (x a k 1 ) dx M. León Matemáticas Empresariales I 38 / 45

39 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales generales (cont.) Si alguna de las raíces no fuera real (será entonces imaginaria): r(x) q(x) dx = = A 1 (x a 1 ) dx+ A 2 dx+...+ (x a 2 ) A k 2 (x a k 2 ) dx+ Mx + N (x 2 + px + q) dx El valor de las constantes A i, M y N = sistema de ecuaciones M. León Matemáticas Empresariales I 39 / 45

40 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales generales - Ejemplo Calcular la integral siguiente x x 3 5x 2 +8x 4 dx Numerador con grado inferior al denominador = fracciones simples. Raíces del polinomio son x = 2, x = 2 y x = 1 = : x x 3 5x 2 + 8x 4 dx = A (x 2) dx + A (x 2) 2 dx + B (x 1) dx Encontrar A, A y B = mínimo común múltiplo (x 3 5x 2 + 8x 4 = (x 2) 2 (x 1)): A(x 2)(x 1) (x 2) 2 (x 1) + A (x 1) B(x 2)2 (x 2) 2 + (x 1) (x 2) 2 (x 1) = A(x 2)(x 1) + A (x 1) + B(x 2) 2 (x 2) 2 (x 1) M. León Matemáticas Empresariales I 40 / 45

41 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales generales - Ejemplo Y ahora, igualando al cociente inicial se obtiene que: x x 3 5x 2 + 8x 4 = A(x 2)(x 1) + A (x 1) + B(x 2) 2 (x 2) 2 (x 1) e igualando los numeradores x = A(x 2)(x 1) + A (x 1) + B(x 2) 2 Operando en el lado de la derecha y agrupando para los coeficientes de los mismos ordenes se obtiene que x = A(x 2 3x + 2) + A (x 1) + B(x 2 4x + 4) = (A + B)x 2 + ( 3A + A 4B)x + (2A A + 4B) M. León Matemáticas Empresariales I 41 / 45

42 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales generales - Ejemplo Y teniendo en cuenta que dos polinomios son iguales si son iguales cada uno de los coeficientes que acompañan al mismo grado se obtiene que: 0 = A + B 1 = 3A + A 4B 0 = 2A A + 4B Las soluciones son A = 1, A = 2 y B = 1 M. León Matemáticas Empresariales I 42 / 45

43 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales generales - Ejemplo La descomposición del cociente de polinomios tiene la forma: x x 3 5x 2 + 8x 4 dx = 1 (x 2) dx + 2 (x 2) dx + 1 (x 1) dx Siendo las tres integrales, integrales inmediatas por lo que: x 2 x 3 5x 2 dx = ln (x 2) + ln (x 1) + k + 8x 4 x 2 M. León Matemáticas Empresariales I 43 / 45

44 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales generales - Ejercicio 1 Calcule la primitiva de la función: x 2 + 2x (x 2 + 1) dx M. León Matemáticas Empresariales I 44 / 45

45 Métodos de Integración: Integración de funciones racionales generales - Ejercicio 2 Calcule la primitiva de la función: x 2 (x 2 + 2x + 1) dx M. León Matemáticas Empresariales I 45 / 45