1 Integrales indefinidas. Primitiva de una función

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1 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 7: Cálculo integrl de un vrible. Curso 8-9 Integrles indefinids. Primitiv de un función Se f un función definid sobre un intervlo I R. Un primitiv o ntiderivd de f en I es un función, F, continu en I, que verific: F (x) = f(x) pr todo x en el interior de I Ejemplo: un primitiv de f(x) = cos x es F (x) = sen x Si F (x) es un primitiv de f(x), entonces F (x) + C es tmbién un primitiv de f(x), siendo C un número rel culquier. Ejemplo: un primitiv de f(x) = es F (x) = ln x, luego F (x) = ln x + C tmbién es un primitiv de x f(x) pr cul quier C R. El conjunto formdo por tods ls primitivs de f(x) se denomin integrl indefind de f(x), y se design por f(x) dx Ejemplo: dx = rctg x + C + x. Tbl de integrles inmedits En l siguiente tbl C represent un constnte rbitrri.. dx = x + C. x n dx = xn+ + C n + (n ) dx. = ln x + C. x e x dx = e x + C 5. sen x dx = cos x + C 6. cos x dx = sen x + C sec x dx = cosec x dx =. cos x dx = sen x dx = x dx = x ln ( + tg x) dx = tg x + C 8. ( + cotg x) dx = cotg x + C. ( ), ( > ) dx + x = rctg x + C dx x = rcsenx + C

2 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj. Regls opercionles. Integrles inmedits Si f(x) y g(x) son funciones pr ls que existen primitivs sobre I, entonces se verific que:. [f(x) ± g(x)]dx = f(x) dx ± g(x) dx. kf(x) dx = k f(x) dx Ests regls, l tbl de integrles inmedits y l opertori básic, permiten clculr integrles que priori prcen más complicds. Ejemplos: () (b) (x 5x + x)dx = x + dx = x x dx + x. Métodos de integrción x dx 5 dx = x.. Integrción por cmbio de vrible x dx + x dx + x dx = x5 5 5x + x + C x dx = x + x = x(x + ) + C A veces un integrl puede trnsformrse en otr más sencill hciendo un cmbio de vrible. Ello puede hcerse de dos mners:. Hcer x = g(t) siendo g un función derivble, con invers derivble, en el intervlo en el que se trbj. Al hcer el cmbio debe sustituirse dx por g (t)dt, con lo que nos quedrá f(x) dx = f(g(t))g (t)dt = F (t) + C = F (g (x)) + C Ejemplo: I = x dx si efectumos el cmbio de vrible x = sen t, hemos de sustituir dx por x cos t dt, con lo que obtenemos sen t sen t I = sen t cos t dt = cos t dt = sen t dt = cos t + C = cos(rcsen x) + C cos t. Hcer t = h(x) siendo h un función derivble con invers derivble. Normlmente se elige un función h(x) que o bien prece en el integrndo, o bien está en el mismo l expresión h (x)dx. x Ejemplo: I = dx si efectumos el cmbio de vrible x x = t, hemos de sustituir xdx por dt, con lo que obtenemos I = t ( dt ) = t dt = t + C = x + C Es evidente que el segundo cmbio de vrible es más intuitivo, pero no dej de ser curioso el hber obtenido dos resultdos, prentemente, tn diferentes. Se propone l lumno que compruebe que en relidd es el mismo resultdo en los dos csos.

3 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj.. Integrción por prtes Este método se bs en l fórmul u dv = u v v du que puede deducirse prtir de l regl de derivción de un producto. L elección de qué prte del integrndo debe ser u y cuál dv depende de múltiples fctores, lo que impide dr un regl generl. No obstnte los csos más frecuentes son los siguientes: I = x ln x dx. Pr l elección de u debemos pensr en l prte del integrndo que se más fácil de derivr (en este cso tnto x como ln x son sencillos de derivr), pr dv hemos de buscr l prte sencill de integrr, que sin lugr duds es x dx. Por lo tnto l elección qued cerrd u = ln x y dv = x dx. En consecuenci du = x I = x e x dx dx y v = x. I = x ln x dx = x ln x x x x dx = ln x x + C En este cso tnto x como e x son sencills de derivr y de integrr. Luego l elección debe bsrse en otrs estrtegis. Si reflexionmos un poco podremos drnos cuent de que l mejor elección es u = x y dv = e x dx. El motivo es clro si escribimos el resto de elementos necesrios v = e x, du = dx. I = x e x dx = x e x e x dx = x e x e x + C I = sen x e x dx Este último ejemplo corresponde ls llmds integrles cíclics. No hy lugr duds que en este cso l elcción de u y dv es letori, y que en culquier cso el método nos llevrá un integrl esencilmente igul, en cunto dificultd, l de prtid. Tomemos, por ejemplo u = sen x y dv = e x dx, lo que nos llev que du = cos x dx y v = e x I = sen x e x dx = sen x e x e x cos x dx En principio prece que no hemos gndo nd con l plicción del método. Sin embrgo si pensmos un poco ntes de desechrlo, podremos drnos cuent de que un nuev plicción del método nos llevrí l integrl de prtid. Es decir, si en l últim integrl tommos u = cos x y dv = e x dx, lo que implic que du = sen x dx y v = e x I = sen x e x de donde obtendrímos e x cos x dx = sen x e x ( cos x e x ) sen x e x dx = (sen x cos x)e x I I = (sen x cos x)e x I = (sen x cos x)ex El procedimiento seguido justific el nombre signdo ests integrles.

4 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj.. Integrción de funciones rcionles P (x) Q(x) dx P (x), Q(x) polinomios Vemos diferentes csos P (x). Denomindor de grdo : dx. Dividiendo P (x) por x + b, se consigue expresr el integrndo x + b k como sum de un polinomio P (x) y de un frcción del tipo x + b. x 5 + x 8 Ejemplo: I = dx. Al dividir el polinomio x 5 +x 8 entre x se obtiene como resultdo x x + x + x + x + y con resto igul 6, por lo tnto x 5 + x 8 I = dx = x (x + x + x + x + 6 x5 )dx = x 5 +x +x +x +x = x5 5 + x + x + x + x 6ln x + C P (x). Denomindor de grdo, y sin ríces reles: x + bx + c dx. () Si el grdo de P (x) es cero, es decir, es un constnte, se just pr obtener un rcotngente. Ejemplo: I = x + x + dx = (x + ) dx = rctg(x + ) + C + 6 x dx = (b) Si el grdo de P (x) es se sepr en dos integrles, un drá un logritmo neperino y l otr un rcotngente. Ejemplo: x + x + + I = x + x + dx = x + x + dx = x + x + x + dx + x + x + dx = = x + x + x + dx + x + x + dx = ln(x + x + ) + rctg(x + ) + C (c) Si el grdo de P (x) es myor o igul que, se efectu l división de polinomios pr llegr lguno de los csos nteriores. P (x). Denomindor de grdo myor o igul que y, lo sumo, ríces complejs simples: dx con grdo de Q(x) P (x) menor que el grdo de Q(x). Lo primero que debe hcerse es fctorizr Q(x), pr luego efectur un descomposición de P (x) en frcciones simples, cd un de ls cules generrá integrles que sbremos Q(x) resolver, en función de que trbjemos con ríces reles o complejs de Q(x). x 8x Ejemplos: I = (x ) (x dx. En primer lugr hemos de descomponer en frcciones simples el + ) integrndo x 8x (x ) (x + ) = A x + B (x ) + Cx + D x + efectundo los cálculos propidos, se obtiene A =, B =, C = y D =. Por tnto I = x dx x + (x ) dx + x + dx =

5 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 5 = ln x + x ln(x + ) + rctg x + C En cso de ser el grdo de P (x) myor o igul que el de Q(x), se efecturá primero l división de los polinomios... Integrles trigonométrics. R(sen x, cos x)dx () R es impr en sen x, es decir, R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x). Se efectú el cmbio de vrible t = cos x, con lo que sen x = t y dx = dt t Ejemplo sen x t cos x + dx = t + dt = t dt = rctg t + C = rctg(cos x) + C + t (b) R es impr en cos x, es decir, R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x). Se efectú el cmbio de vrible t = sen x, con lo que cos x = t y dx = dt t Ejemplo sen x cos x dx = t ( t ) t dt = (t t ) dt = t t5 5 + C = sen x sen5 x 5 (c) R es pr en sen x y cos x, es decir, R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x). Se reliz el cmbio de vrible t = tg x, con lo que cos x =, sen x = t y dx = + t + t + t dt. Ejemplo sen x sen x + cos x dx = t +t t + +t +t + t dt = t (t + )( + t ) dt = + t = ln (t + ) + + tg rctg t + C = ln x (tg x + ) + x + C Un cso prticulr lo constituyen ls integrles del tipo sen n x cos m x dx, con n y m pres. L resolución de ésts se simplific si se plicn ls fórmuls: + C sen x = cos x, cos x = + cos x Ejemplo cos x sen x cos x dx = + cos x cos x dx = dx = x + cos x dx = = x 8 x sen x + C = 8 x sen x + C

6 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 6. (d) El cmbio de vrible que siempre puede plicrse, unque sólo se consej cundo no estemos en lguno de los csos nteriores, es t = tg x ; sen x = t t ; cos x = + t + t ; dx = + t dt Ejemplo sen x + cos x dx = dt = t +t + t + t t t dt = +t = t ( + ) ln t ( ) + C = tg x ln ( + ) tg x ( ) + C sen(x + b)sen(cx + d)dx, sen(x + b)cos(cx + d)dx, cos(x + b)cos(cx + d)dx. Se emplen ls fórmuls: sen A.cos B = [sen(a + B) + sen(a B)] cos A.cos B = [cos(a + B) + cos(a B)] Ejemplos sen A.sen B = [cos(a + B) cos(a B)] sen(x )sen(x + ) dx = [cos(5x + ) cos( x )] dx = [ sen(5x + ) 5 ] sen(x + ) +C sen(x )cos(5x + ) dx = cos(x + )cos(x + ) dx = [sen(6x + ) + sen( x 5)] dx = [ cos(6x + ) + 6 [cos(x + 5) + cos(x + )] dx = [ sen(x + 5) + ] cos(x + 5) +C ] sen(x + ) +C. Problems de l sección. Resolver ls siguientes integrles x ) dx b) x x x 5 + x + dx c) x + x dx sol : x + x + x + C sol : x x + C sol : x + rctg x + C d) ( x + 6 x x + sec x tg x)dx e) dx f) (x + ) x dx sol : x x + + C sol :ln x + cos x x + + C g) sol : y ( + y dy h) ) sol :rctg x + C dx x ln ( + x ) e x + e x i) + x dx 6( + y ) + C sol :rctg(ex ) + C sol : ln ( + x ) + C

7 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 7 j) tg θ ln(cos θ)dθ k) sol : ln (cos θ) + C m) e x + e x dx l) dx 6x x [ (e x ) ] ( ) sol :ln e x + C sol :rcsen x x x dx n) + x + dx x x + 8 sol :ln x + x + [ rctg (x + ] ) + C sol : ( ) x + rcsen + C o) x 9x dx p) + 6x + 6 ) + C sol : sen x sol :ln 6 9x + 6x + 6 ( x + 5 rctg 5 q) cos x sen x dx r) tg θ sec θ dθ cos x sen x dx sen6 x 6 sol : 8 x sen x + C sol : 6cos 6 θ cos θ + C s) cos x sen x dx t) cos 5x cos 7x dx sol : ( cos 5x u) sen 5x sen 7x dx 5 sol : ( sen x ) + cos x + C sol : ( sen x + ) cos x + C. Aplicr integrción por prtes pr resolver ls siguientes integrles: ) x sen x dx b) rctg x dx + C ) sen x + C + C sol : x cos x x sen x cos x C sol :x rctg x ln( + x ) + C c) ln x dx d) xln x dx sol :x ln x x + C sol : x ln x x + C e) x sen x dx f) x e x dx x ln sen x cos x sol : + (ln ) + C sol : x e x ex + C

8 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 8 g) sen θ ln(cos θ)dθ. Resolver ls siguientes integrles rcionles sol : cos θ ln(cos θ) + cos θ + C ) x 5 x + 7x x + x 6x + 7x x + dx sol : x + x ln x x + ln(x x + ) rctg(x ) + C x + x + b) x dx c) (x ) dx x sol :ln x + + rctg x + C sol :ln x x (x ) + C. Resolver ls siguientes integrles cos x ) cos dx b) x x dx c) + x tg x dx d) sol :x tg x + C sol :x rctg x + C sol :tg x x + C x x + dx e) x 7 + x + x 8 dx sol : (x + )7 (x + )5 7 5 f) x + + x + dx (x + ) + C sol :ln 8 + x 8 + rctg x + C g) e x + e x dx sol : x + x x + ln 6 x C sol :ln 6 (e x ) (e x + ) e x + C x x h) dx i) + 6x cos x + sen x dx 5 sol : ln ln( + 6x ) + ln rctg(x ) + C sol : sen x + rctg(sen x) + C

9 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 9 Integrl definid. Áres de regiones plns.. Áre de un región pln Definición.- Se f un función continu y no negtiv en el intervlo [, b]. El áre de l región limitd por l gráfic de f, el eje OX y ls rects verticles x = y x = b es Áre = lim n i= n f(c i ) x, (x i c i x i ) donde x = b y los puntos x i [, b] son tles que: x = < x < x <... < x n = b y x = x i x i. n Ejemplo: Encontrr el áre de l región limitd por l gráfic de l función f(x) = x, el eje OX y ls rects n verticles x = y x =, sbiendo que i = n (n + ). i= En este cso [, b] = [, ], x = n, x = < x = n < x = n <... < x n = y tomremos c i = i n. Por lo tnto Áre = lim n i= = lim n n n f(c i ) x = lim [ n (n + ) ] n i= n ( i n = lim n ) n = lim n ( + n + n n i= ) = n i = Not: en relidd los subintervlos en los que dividimos [, b] no tienen que ser de igul tmño, pero lo cierto es que sí elegidos simplificn los cálculos.. Sums de Riemnn e integrles definids Definición.- Se f definid en el intervlo [, b], y se un prtición de [, b] dd por = x < x < x <... < x n < x n = b donde x i es el ncho del i-ésimo intervlo [x i, x i ]. Si c i es culquier punto en el i-ésimo intervlo entonces l sum n f(c i ) x i x i c i x i i= se denomin sum de Riemnn de f pr l prtición. El ncho del subintervlo más grnde de l prtición es l norm de l prtición y se denot por medio de. Si todos los subintervlos tienen el mismo ncho, l prtición es regulr y l norm viene dd por = x = b b. En el cso generl se tiene n, siendo n el número de subintervlos. Es evidente n que si, entonces n. Definición.- Si f se define en el intervlo [, b] y el límite en [, b] y el límite se denot por lim i= n f(c i ) x i = lim i= b n f(c i ) x i existe, entonces f es integrble f(x) dx El límite recibe el nombre de integrl definid de f de b. El número es el límite inferior de integrción, y el número b es el límite superior de integrción.

10 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj Teorem Si un función f es continu en el intervlo [, b], entonces f es integrble en [, b]. n n(n + ) Ejemplo: Hllr el vlor de l integrl definid x dx, sbiendo que i =. i= L función es continu en el intervlo, por tnto es seguro que existe el vlor pedido. Pr clculrlo, y por sencillez, dividiremos el intervlo [, ] en n prtes igules de tmño x i = x = ( ) = n n. Eligiendo c i como el extremo derecho de cd intervlo tenemos que c i = + i x = + i. De form que n n n n ( x dx = lim f(c i ) x i = lim f(c i ) x = lim + i ) n n n n = 6 = lim n n i= n i= i= ( + i ) { 6 = lim n + n n n n i= [ ]} n(n + ) = Teorem Si f es continu y no negtiv en el intervlo cerrdo [, b], entonces el áre de l región cotd por l gráfic de f, el eje OX y ls rects verticles x = y x = b está ddo por Áre = b f(x) dx Ejemplo: Considérese l región delimitd por l gráfic de f(x) = x x y el eje OX. Los puntos de corte de l gráfic de f con el eje OX son x = y x = y es fácil comprobr que entre esos dos puntos l gráfic es no negtiv, por lo que el áre de est región viene dd por el vlor de b Not: Nótese que en generl Áre f(x) dx. Piénsese en (x x ) dx. x dx que como vimos vle -, sin embrgo puede comprobrse gráficmente que el áre delimitd por l gráfic de f(x) = x, el eje OX y ls rects verticles x = y x =, vle 5. Esto es debido que l función f(x) = x cmbi de signo en el intervlo [, ]... Propieddes de ls integrles definids f(x) dx = b f(x) dx = f(x) dx b b c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, < c < b (en relidd vle pr todo c rel, siempre que ls integrles involucrds existn) b b k f(x) dx = k f(x) dx, siendo k un constnte. b b b [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx c

11 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj Si f es integrble y no negtiv en el intervlo [, b], entonces b f(x) dx Si f y g son integrbles en el intervlo [, b] y f(x) g(x) pr todo x [, b], entonces b f(x) dx b g(x) dx. Teorems fundmentles del cálculo Teorem fundmentl del cálculo Si un función f es continu en el intervlo cerrdo [, b] y F es un primitiv o ntiderivd de f en dicho intervlo, entonces Ejemplos: [ x () (x ) dx = x (b) ] = b f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F () ( ) ( ) 8 6 = x dx. L función f(x) = x viene definid por (x ), x < x = x, x luego x dx = (x ) dx + (x ) dx = [ x + x ] + [ x x ] = 5 En este último ejemplo, y ddo que f(x) = x es no negtiv en [, ], l integrl hlld coincide con el áre encerrd por l gráfic de x, el eje OX y ls rects verticles x = y x =. Teorem del vlor medio pr integrles Si f es continu en el intervlo [, b], entonces existe un número c [, b], tl que El vlor f(c) = b b b f(x) dx = f(c)(b ) f(x) dx recibe el nombre de vlor medio de f en [, b] Ejemplo: A diferentes lturs en l tmósfer de l Tierr, el sonido vij diferentes velociddes. L velocidd del sonido s(x) (en metros por segundo) puede modelrse medinte

12 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj x +, x <.5 95,.5 x < s(x) = x , x < x + 5.5, x < 5 x +.5, 5 x < 8 donde x es l ltur en kilómetros. Cuál es l velocidd medi del sonido sobre el intervlo [, 8]. L repuest es velocidd medi = 8 s(x) dx. Pr clculr l integrl de s(x) en el intervlo [, 8], 8 podemos dividir l mism en cinco integrles s(x) dx = s(x) dx = s(x) dx = s(x) dx = s(x) dx = ( x + ) dx = [ x + x ].5 = dx = [95x].5 = 97.5 Al sumr los vlores de ls cinco integrles se obtiene velocidd medi = 6 8 = 8 metros por segundo. ( [ ] x ) dx = 8 x x = ( [ ] 5 x + 5.5) dx = x + 5.5x = 5688 ( [ x +.5) dx = ] 8 x +.5x = s(x) dx = 6, con lo que El segundo teorem fundmentl del cálculo Si f es continu en un intervlo bierto I que contiene, entonces, pr todo x I [ d x ] f(t) dt = f(x) dx Teorem (Cmbio de vrible pr integrles definids) Si l función u = g(x) tiene un derivd continu en el intervlo cerrdo [, b] y f es continu en el recorrido o rngo de g, entonces Ejemplo: Clculr 5 b f[g(x)] g (x) dx = g(b) g() f(u) du x x dx. Efectuemos el cmbio de vrible u = x, o lo que es lo mismo x = u +. Esto nos llev que u du = dx y cundo x =, u = =, mientrs que cundo x = 5,

13 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj u = =. Por tnto 5 x x dx = u + u du = u (u + ) du = [ u ] + u = 6 Teorem Se f integrble en el intervlo [, ]. () si f es un función pr, entonces (b) si f es un función impr, entonces Ejemplo: Clculr π π f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx (sen x cos x + sen x cos x) dx. Tomndo f(x) = sen x cos x + sen x cos x, es fácil comprobr que f( x) = f(x), es decir, f es un función impr, por lo tnto l integrl pedid vle.. Problems de l sección..- Verificr el resultdo de ls siguientes integrles definids ) c) e) g) ( x) xdx = 6 5 x (x + )dx = x( x) dx = x dx = π b) 8 + xdx = 6 dx d) = + x x f) dx = 6 8 x 5 h) x x dx = π π s) π k) i) dx 5 x = 5 ln( ) j) x x + x + dx = π ln(x + )dx = ln + π π l) x sen(x)dx = π 7 7 dx m) 8 x x = 9 ln(8 ) n) x + x dx = ln( ) π o) π 6 q) π cos(x) cos(x) + dx = π p) dx sen(x) = ln r) 8 senxdx cos x 5cosx + = ln(7 + 7 ) x e x dx = e + x + x(x ) dx = ln( ) + 5

14 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj. Encontrr el áre de l región delimitd por ls gráfics de ls ecuciones ) y = x +, x =, x =, y = b) y = + x, x =, x = 8, y = Sol: u.. Sol: u.. c)y = x + x, x =, x =, y = d) y = x + x, y = Sol: 6 u.. Sol: 7 6 u... L fuerz F (en newtons) de un cilindro hidráulico en un prens es proporcionl l cudrdo de sec x, donde x es l distnci (en metros) que el cilindro se desplz en su ciclo. El dominio de F es [, π ], y F () = 5. () Encontrr F como un función de x. (b) Determinr l fuerz medi ejercid por l prens sobre el intervlo [, π ]. Sol: )F (x) = 5 sec x b) 5 π 87 N. L velocidd v del flujo de sngre un distnci r del eje centrl de culquier rteri de rdio R es v = k(r r ), donde k es l constnte de proporcionlidd. Determinr el flujo medio de sngre lo lrgo de un rdio de rteri. (Usr y R como los límites de integrción). Sol: kr 5. El volumen V en litros de ire en los pulmones durnte un ciclo respirtorio de cinco segundos, se proxim medinte el modelo V =.79 t +.5 t.7 t, donde t es el tiempo en segundos. Aproximr el volumen medio de ire en los pulmones durnte un ciclo. Sol:.58 l proximdmente. Aplicciones. Áre de un región entre ls gráfics de dos funciones Si f y g son continus en [, b] y g(x) f(x) pr todo x [, b], entonces el áre de l región cotd por ls gráfics de f y g y ls rects verticles x = y x = b es A = b [f(x) g(x)] dx Ejemplo: Encontrr el áre de l región cotd por ls gráfics de y = x +, y = x, x =, y x =. [ ] x A = [(x + ) ( x)] dx = + x + x = 7 6 u.. Not: En cso de que no sepmos qué función es myor, podemos restr en el orden que quermos, siempre que tomemos el vlor bsoluto de l integrl, es decir, si no sbemos cuál de ls dos situciones, g(x) f(x) o f(x) g(x), se nos present, bst escribir b b A = [f(x) g(x)] dx = [g(x) f(x)] dx

15 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 5.. Áre de un región entre gráfics que se intersectn Ls gráfics se cortn en un sólo punto, x, dentro de l región l que le queremos clculr el áre. x b A = [f(x) g(x)] dx + [f(x) g(x)] dx x Ejemplo: Encontrr el áre de l región cotd por ls gráfics de f(x) = x, g(x) = x, x =, y x =. Es fácil comprobr que ls gráfics de ls dos funciones sólo se cortn en el punto (, ), luego x = A = [x ( x)] dx + [x ( x)] dx = u.. Nótese que si hubiésemos clculdo directmente [x ( x)] dx, el resultdo drí A =. Ls gráfics se cortn en dos puntos, x y x, y l región qued determind por ésts. x A = [f(x) g(x)] dx x Ejemplo: Encontrr el áre de l región comprendid entre ls gráfics de f(x) = x y g(x) = x. En primer lugr, e igulndo ls expresiones de f y g, obtenemos los puntos de corte Por lo tnto, x = x x + x = (x + )(x ) = x =, x = A = [ x x] dx = 9 u.. Ls gráfics se cortn en más de dos puntos y l región qued determind por ésts. En este cso hemos de dividir en tnts prtes como nos permit el número de intersecciones. Por ejemplo, si tenemos tres puntos de corte x, x, x dividiremos el áre en dos prtes: l que se encuentr entre los puntos x, x y l que se encuentr entre x, x. Si tuviésemos cutro puntos de corte, dividirímos l región en tres prtes, y sí sucesivmente. Ejemplo: Encontrr el áre de l región comprendid entre ls gráfics de f(x) = x x x g(x) = x + x. Nuevmente, igulndo ls expresiones de f y g obtenemos los puntos de corte x x x = x + x x x = x(x + )(x ) = x =, x =, x = por lo tnto A = [x x x ( x + x)] dx + [x x x ( x + x)] dx = u.. Todo lo nteriormente dicho h sido expresdo tomndo siempre l vrible x como l independiente y l vrible y = f(x) como l dependiente. En lguns ocsiones es mejor intercmbir el crácter de ests vribles. Ejemplo: Encontrr el áre de l región comprendid entre ls gráfics de y = x y y = x. En est ocsión es preferible despejr x en función de y pr obtener f(y) y g(y) y poder plicr todo lo nterior intercmbindo los ppeles de ls vribles. f(y) = y y g(y) = y +. y = y + y + y = (y + )(y ) = y =, y = y

16 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 6 por lo tnto A = [ y (y + )] dy = 9 u... Volúmenes de sólidos de revolución Si un región del plno gir lrededor de un rect, el sólido resultnte es un sólido de revolución, y l rect se denomin eje de revolución. En est sección presentremos l formulción necesri pr el cálculo del volumen de estos cuerpos... El método de los discos Este método se utiliz cundo l región que gir está completmente poyd sobre el eje de giro y éste es prlelo l eje de l vrible independiente o coincide con éste. Distiguiremos dos csos: () Si el eje de giro es un rect horizontl, es decir prlel l eje OX, y = k, o bien es este mismo, y el borde de l región lo mrc l gráfic de un función y = f(x) y ls rects verticles x = y x = b. V = π b [R(x)] dx donde R(x) = f(x) si el eje de giro es OX, y R(x) = f(x) k si el eje de giro es l rect y = k. Ejemplos: Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por l gráfic de f(x) = sen x y el eje OX ( x π) lrededor del eje OX. V = π π [R(x)] dx = π π [ sen x] dx = π [ cos x] π = π u.v. Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por ls gráfics de f(x) = x y g(x) = lrededor de l rect y =. En este cso R(x) = f(x) = x = x. Los puntos de corte entre f(x) y g(x) determinrán los límites de integrción. En este cso x = y x =. ] V = π [R(x)] dx = π [ x ] dx = π [x x + x5 = 6π 5 5 u.v. (b) Si el eje de giro es un rect verticl, es decir prlel l eje OY, x = k, o bien es éste mismo, y el borde de l región lo mrc l gráfic de un función x = f(y) y ls rects horizontles y = y y = b. V = π b [R(y)] dy donde R(y) = f(y) si el eje de giro es OY, y R(y) = f(y) k si el eje de giro es l rect x = k. Como puede precirse, este cso es igul l nterior slvo el hecho de que los ppeles jugdos por ls vribles x e y hn sido intercmbidos. Ejemplos: Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por l gráfic de f(y) = y, el eje OY ( ( y ) lrededor del eje OY. V = π [R(y)] dy = π [ [ y y] dy = π ] = 8π u.v.

17 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 7.. El método de ls rndels o del nillo Este método consiste en un dptción del de los discos pr el cso en que l región que gir no esté completmente poyd en el eje de giro, es decir se generen sólidos de revolución huecos. L situción vendrá dd por un región que está delimitd por l gráfic de dos funciones entre dos vlores de l vrible independiente. L fórmul pr el cálculo del volumen es V = π V = π b b ( [f(x)] [g(x)] ) dx ( [f(y)] [g(y)] ) dx (eje de giro horizontl) (eje de giro verticl) siendo g(x) f(x) ( x b). En cso de que no sepmos qué función es myor, bstrá con tomr el vlor bsoluto de l integrl señld. Ejemplos: Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por ls gráfics de f(x) = x, y g(x) = x lrededor del eje OX. En este cso f(x) = x y g(x) = x, los puntos de cortes de ls dos gráfics son el (, ) y el (, ). V = π ( [ x] [x ] ) dx = π [ ] x (x x ) dx = π x5 = π 5 u.v. Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x +, y =, x = y x = lrededor del eje OY. Al ser el eje de giro verticl, debemos tomr l vrible y como l vrible independiente. Esto nos llev tener que dividir l región de giro en dos zons, cundo y nuestr región está delimitd por ls rects x = = f(y) y x = = g(y). Mientrs que pr y l región l cotn ls gráfics de x = = f(y) y x = y = g(y). Por lo tnto V = π ( ) dy + π ( [ [ ] y ] ) dy = π [y] + π y y = π u.v. Un fbricnte tldr un orificio trvés del centro de un esfer de metl de 5 pulgds de rdio. El orificio tiene un rdio de pulgds. Cuál es el volumen del objeto de metl resultnte? Podemos imginr el objeto como el sólido generdo l girr l región delimitd por ls gráfics de x +y = 5 y l rect y = lrededor del eje OX. Esto nos llevrí tomr f(x) = 5 x y g(x) =, siendo los puntos de cortes, entre ls correpondientes gráfics, (, ) y (, ). Por lo tnto [ ( ) V = π 5 x () ] dx = π (6 x ) dx = π.. El método de ls cps ] [6x x = 56π pulgds cúbics Este método present un lterntiv, en ocsiones ventjos, los métodos nteriores. Lo más significtivo en este cso es que el eje de giro es perpendiculr l eje de l vrible independiente. L región de giro vendrá delimitd, en generl, por l gráfic de un función y = f(x) y línes verticles x = c, x = d cundo el eje de giro es verticl o bien x = g(y), y =, y = b, cundo el eje de giro es horizontl. Ls fórmuls empler en cd cso son V = π V = π b d c p(y)h(y) dy p(x)h(x) dx (eje de giro horizontl) (eje de giro verticl)

18 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 8 donde l función h será h(y) = g(y) o bien h(x) = f(x), según cd cso, y l función p nos d l distnci de cd punto de l gráfic de h l eje de giro. Ejemplos: Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x x, y el eje OX ( x ) lrededor del eje OY. En este cso f(x) = x x, c =, d =. Como el eje de giro es verticl l fórmul empler es V = π p(x)f(x) dx = π p(x)(x x ) dx Pr determinr l expresión de p(x), bst notr que l ser el eje de giro el eje OY l distnci de culquier punto éste vendrá dd por l primer coordend del punto, luego p(x) = x. Por lo tnto V = π p(x)(x x ) dx = π ] x(x x ) dx = π [ x5 5 + x = π 5 u.v. Encontrr el volumen del sólido de revolución formdo l girr l región cotd por l gráfic de x = e y y el eje OY ( y ) lrededor del eje OX. x = e y, =, b =. Como el eje de giro es horizontl V = π p(y)g(y) dy = π Nuevmente es fácil comprobr que p(y) = y, con lo que V = π p(y)e y dy = π ye y p(y)e y dy dy = π [e y] = π ( ) u.v. e Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x +, y =, x = y x = lrededor del eje OY. V = π p(x) h(x) dx = π [ ] x x(x + ) dx = π + x = π u.v. Obsérvese que este volumen fue clculdo por el método de ls rndels, y nos vimos obligdos dividir l región de giro en dos prtes. Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x + x, y =, x = lrededor de l rect x =. Este problem es un buen ejemplo de cómo en ocsiones es necesrio, sin posibilidd de elección, el uso del método de ls cps. En l ecución y = x + x, no se puede despejr fácilmente l vrible x en función de l vrible y, con lo que hemos de mntenet l vrible x como independiente y el eje de giro es verticl V = π d c p(x)h(x) dx, siendo c =, d =, h(x) = x + x, p(x) = x. Luego, V = π d c p(x)h(x) dx = V = π ( x)(x + x) dx = 9π 5 u.v.

19 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 9.. Longitud de rco y superficies de revolución Definición.- Se l función dd por y = f(x) cuy gráfic represente un curv suve en el intervlo [, b], es decir, f es continumente derivble en dicho intervlo. L longitud de rco de f entre y b es s = b + [f (x)] dx Análogmente, pr un curv suve dd por x = g(y), l longitud de rco de g entre c y d es Ejemplos: s = d c + [g (y)] dy Encontrr l longitud de rco de y = x 6 + x en el intervlo [, ]. Tomndo f(x) = x 6 + x, tenemos que f (x) = x 6 x = (x x ). Por lo que l longitud pedid es b [ ( s = + [f (x)] dx = + x )] x dx = (x + x ) dx = 6 u.l. Un cble eléctrico cuelg entre dos torres que están metros de distnci. El cble tom l form de un ctenri cuy ecución es y = 75 ( ) e x 5 + e x 5. Encontrr l longitud de rco de cble entre ls dos torres. y = ( x ) e 5 e x 5, luego (y ) = ( x ) e 75 + e x 75 y por tnto + (y ) = ( x ) e e x 75 = [ ( x ) ] e 5 + e x 5. Por consiguiente s = + [y (x)] dx = ( x ) [ e 5 + e x x ] 5 dx = 75 e 5 e x ( ) 5 = 5 e e metros Definición.- Si l gráfic de un función continu gir lrededor de un rect, l superficie resultnte es un superficie de revolución. Definición.- Se y = f(x) con l derivd continu en el intervlo [, b]. El áre S de l superficie de revolución formd l girr l gráfic de f lrededor de un eje horizontl o verticl es S = π b r(x) + [f (x)] dx donde r(x) es l función que mide, en cd punto de l gráfic de f, l distnci l eje de revolución. Si x = g(y) en el intervlo [c, d], entonces el áre de l superficie es S = π d c r(y) + [g (y)] dy donde r(y) es l función que mide, en cd punto de l gráfic de g, l distnci l eje de revolución. Ejemplos:

20 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj Encontrr el áre de l superficie formd l girr l gráfic de f(x) = x en el intervlo [, ] lrededor del eje OX. L distnci entre el eje OX y l gráfic de f es r(x) = f(x), y ddo que f (x) = x, se tiene que S = π r(x) + [f (x)] dx = π x + 9x dx = π 7 ) ( u.. Encontrr el áre de l superficie formd l girr l gráfic de f(x) = x en el intervlo [, ] lrededor del eje OY. L distnci entre el eje OY y l gráfic de f es r(x) = x, y ddo que f (x) = x, se tiene que S = π. Problems de l sección r(x) + [f (x)] dx = π x + x dx = π u....- Hllr ls áres de ls regiones plns limitds por ls curvs y rects que se indicn: () y = x ; y = ; x = ; x = (b) x = y + ; x = (c) x = y + y ; x = (d) y = e x ; y = e x ; x = ; x = (e) y = x + 5 ; y = x + ; x = ; y = Soluciones: ) 7 (u..) b) 6 (u..) c) (u..)..- Clculr ls siguientes áres plns: d) e e + e (u..) e) 6 (u..) () Región limitd por ls gráfics de y = senx e y = sen(x), l derech del eje OY, desde el origen hst el primer punto de corte de mbs curvs. (b) Lúnul superior limitd por ls circunferencis x + y = y x + (y + ) = 8. (c) Región limitd por l prábol (y ) = x, por su rect tngente en el punto de ordend y por el eje OX. (d) Región limitd por y = senx, y =, x = y x = π. Soluciones: () A = (b) A = (c) A = (d) A = π π (senx senx)dx = (u..) ( x 8 x + )dx = (u..) [(y ) + (y )]dy = 9 (senx + )dx = π (u..) (u..)

21 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj..- Hllr los volúmenes obtenidos l rotr lrededor de los ejes OX y OY ls regiones plns dds en el ejercicio. Soluciones: () V x = π V y = π (b) V x = π V y = π (c) V x = π V y = π (d) V x = π V y = π (e) V x = π V y = π 7 7 x 6 dx = 9 7 π (u.v.) x dx = 66 5 π (u.v.) [ (y + )]ydy = 8 π (u.v.) [ (y + ) ]dy = 5 π (u.v.) [ (y + y)]( y)dy = 8 π (u.v.) (y + y) dy = 5 5 π (u.v.) (e x e x )dx = π(e + e ) (u.v.) x(e x e x )dx = π(e + e ) ( x + ) dx π 5 x( x + )dx π 5 (u.v.) ( x + 5) dx = 96 π (u.v.) x( x + 5)dx = 9 π (u.v.)..- Hllr, por integrción, ls fórmuls que dn los volumenes de: () Cilindro de rdio r y ltur. (b) Cono de rdio r y ltur. (c) Tronco de cono de rdios R y r, cuy ltur es. (d) Esfer de rdio r. Soluciones: () V = π (b) V = π (c) V = π (d) V = π r r r dx = πr (u.v.) ( r x + r) dx = πr (u.v.) ( r R x + R) dx = π (R + Rr + r ) (u.v.) (r x )dx = πr (u.v.) 5..- Clculr l longitud del rco de curv definid por l ecución dd, entre los puntos indicdos: () y = Chx, entre los puntos de bsciss y. (b) y = 5 x, entre (, ) y (, ). (c) y = x +, entre los puntos de bsciss y. x

22 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj (d) x = y lny, entre (, ) y (e, e ). (e) x = ln(cosy), entre los puntos de ordends y π. Soluciones: ) sh (u.l.) b) 8 7 [ ( ) ] (u.l.) c) (u.l.) d) e + (u.l.) e) ln(tg π ) (u.l.) 6..- Clculr ls áres de ls superficies de revolución obtenids girndo los rcos de curv señldos, lrededor del eje o ejes indicdos: () y = x, entre (, ) y (, ); eje OX. (b) y = Chx, entre x = y x = ; ejes OX y OY. (c) y = x +, entre x = y x = ; eje OY. x (d) x = y lny, entre y = e y = ; ejes OX y OY. Soluciones: () A x = π (b) A x = π A y = π (c) A y = π (d) A x = π A y = π x + x dx = 8π (5 ) (u..) Ch x dx = e e + π Shx.Chx dx = πsh x(x + )dx = π x (u..) (u..) y( y + )dy = y π (u..) ( y lny )(y + (u..) y )dy = 8 9ln ln π (u..)

23 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj Integrles impropis Definición.- (Integrles impropis con límites de integrción infinitos). Si f es continu en el intervlo [, ), entonces. Si f es continu en el intervlo (, b], entonces b f(x) dx = lim b f(x) dx =. Si f es continu en el intervlo (, ), entonces donde c es culquier número rel. f(x) dx = c b b lim f(x) dx + f(x) dx f(x) dx c f(x) dx En los primeros dos csos l integrl impropi converge si el correspondiente límite existe, en cso contrrio l integrl impropi diverge. En el tercer cso, l integrl impropi de l izquierd diverge si culquier de ls integrles impropis de l derech diverge. Ejemplos: b dx = lim dx = lim x b x [ln b x]b = lim ln b = b (Diverge) e x dx = lim b + x dx = b + x dx+ e x [ dx = lim e x ] b b = lim b ( e b + ) = (Converge) dx = lim + x [rctg b x] b + lim [rctg d x]d = (+π )+(π ) (Converge) Definición.- (Integrles impropis con discontinuiddes infinits). Si f es continu en el intervlo [, b), entonces b. Si f es continu en el intervlo (, b], entonces b f(x) dx = lim c b f(x) dx = lim c + c b c f(x) dx f(x) dx. Si f es continu en el intervlo [, b], excepto pr lgún punto c (, b) en que f tiene un discontinuidd infinit,entonces b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx

24 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj En los primeros dos csos l integrl impropi converge si el correspondiente límite existe, en cso contrrio l integrl impropi diverge. En el tercer cso, l integrl impropi de l izquierd diverge si culquier de ls integrles impropis de l derech diverge. Ejemplos: dx = lim x b + b [ ] x dx = lim x b + = b (Converge) [ dx = lim dx = lim ] x b + b x b + x = (Diverge) b x dx = x dx + x dx y como en el ejemplo nterior comprobmos que l integrl que prece como segundo sumndo es divergente, concluimos que l integrl originl tmbién diverge. Not: Obsérvese lo fácil que es cometer el siguiente error [ x dx = ] x = 8 + l no hber estudido ls discontinuiddes del l función integrndo. (resultdo erróneo). Funciones Gmm y Bet En est sección presentremos dos funciones que vienen definids trvés de integrles impropis. Definición L función Gmm de Euler Γ : (, + ) R está definid por Γ(x) = t x e t dt; x (, + ) L integrl presentd es doblemente impropi y que el intervlo de integrción es no cotdo y que si x < l función tiene un discontinuidd infinit en t =. No obstnte est integrl converge pr todo x >. L función Gmm verific lguns propieddes interesntes, como: () Γ() = (b) Γ(x + ) = x Γ(x) (x > ) (c) Γ(n + ) = n! (d) Γ(x)Γ( x) = n N π sen(πx) (e) x Γ(x)Γ(x + ) = πγ(x) (fórmul de duplicción) (f) Γ( ) = π Ejemplos:

25 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 5 Γ() Γ(.5) Clculr Γ(5.5) Teniendo en cuent l propiedd (c), Γ() =! =. Por otr prte, hciendo uso de l propiedd (b), Γ(5.5) =.5 Γ(.5) = (.5)(.5)Γ(.5) = (.5)(.5)(.5)Γ(.5). Luego Clculr Γ() Γ(.5) Γ(5.5) ln x dx = I. = Γ(.5) (.5)(.5)(.5)Γ(.5) = Efectundo el cmbio de vrible ln x = t, es decir x = e t, se tiene que dx = t e t dt, demás cundo x tiende, t tiende y cundo x tiene, t tiende. Con todo esto podemos escribir I = dx = ( t) e t dt = t e t dt ln x t t est últim integrl recuerd l que define l función gmm, pr ello relicemos hor el cmbio de vrible t = u, con el cul los líımites de integrción no vrin y t dt = du. I = u e u du = u e u du = Γ( ) = π Definición: L función Bet de Euler B : (, + ) (, + ) R está definid por B(x, y) = t x ( t) y dt (x >, y > ) Est integrl puede plnter dos posibles problems que dependerán del signo de x y del de y. si x < l función integrndo present un discontinuidd infinit en t =, si y < l present en t =. No obstnte siempre que sen x > e y >, tendremos grntizd l convergenci. Ls propieddes elementles de l función Bet son: () B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) (b) B(x, y) = B(y, x) (c) B(x; y) = π sen x t cos y t dt Ejemplo: Clculr I = π sen θ cos 5 θ dθ Teniendo en cuent l propiedd (c), y tomndo x = y y = 5, obtenemos x = 5 e y = 6 = Tenemos I = B(5, ) = Γ() Γ( 5 ) Γ( + 5 ) = Γ(.5) Γ(5.5)

26 Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 7) Hoj 6. Problems de l sección..- Clculr ls siguientes integrles: ) x 6 e x dx b) ye y dy c) z dz d) dx ln x Soluciones: ) Γ(7) 6 = 5 b) Γ( ) π = c) ln Γ( ) = π ln d) Γ( ) = π..- Deducir el vlor de Γ( ) prtir del vlor de B(, )...- Clculr ls siguientes integrles: ) x ( x) dx b) x dx x c) y y dy d) π sen6 θ dθ e) π sen θ cos 5 θ dθ f) π cos θ dθ Soluciones: ) B(5, ) = d) B(7, ) = 5 π..- Clculr ls siguientes integrles: b) 8 B(, ) = 6 5 e) B(5, ) = 8 5 c) 6 B(5, ) = 6 6 π f) B(, 5 ) = π 8 ) dx +x b) 6 x ln x dx c) π senn x dx d) π dx tg x Soluciones: ) 6 B(5 6, 6 ) = π b) 6 Γ() = 6 c) B(n +, n+ Γ( ) = ) Γ( ) Γ( n + ) d) B(, ) = π