Listado para la Evaluación 2 Cálculo II (527148)

Transcripción

1 Uiversidad de Cocepció Facultad de Ciecias Físicas y Matemáticas Departameto de Matemática Área, Volume y Logitud de arco. Listado para la Evaluació Cálculo II (5748). Calcular el área ecerrada por la elipse de ecuació x a + y b =.. Utilizar el resultado del problema aterior y el método de la secció trasversal para hallar el volume acotado por el paraboloide elíptico z = x 6 + y 5 y el plao z = Calcular el área de la regió limitada por las curvas y = 6 x e (y + ) = x Graficar y calcular el área de la regió acotada por los gráficos de y = e x, y = l x, y = x y x =. 5. Determiar el área etre la curva y = l( x) y el eje X e el itervalo [0, ). 6. Calcular el área de la regió del plao que se ecuetra a la derecha de la recta x = 3 y acotada por el eje X y la curva y = x. 7. Sea D la regió del plao limitada por las parábolas y = x e y = + x x. Calcular: El área ecerrada por la regió D. El volume del sólido geerado al girar la regió D alrededor de la recta y =. 8. Sea R la regió del plao limitada por la parábola y = x y la recta y = x +. Calcular: El área de dicha regió. El volume del sólido geerado al girar R alrededor del eje x. El volume del sólido geerado al girar R alrededor de la recta x =. 9. Sea R la regió del plao limitada por las curvas y = x 3 e y = x x. Calcular el área de la regió R. Determiar el volume del sólido geerado al girar R alrededor del eje X. 0. Sea R la regió del primer cuadrate, limitada por las curvas y = x 5, y = x y la recta x + y 5 = 0. Determiar el área de la regió R. Determiar el volume del sólido de revolució que se geera al rotar dicha regió e toro al eje Y.

2 . Sea f(x) = x x. Si R = {(x, y) R / 0 x, 0 y f(x)} Ecotrar el área de la regió R. Ecotrar el volume del sólido de revolució que se obtiee al rotar la regió R e toro al eje X.. Sea R la regió del primer cuadrate acotada por el eje x y las curvas x + y = y x = y. Calcular el volume del sólido de revolució geerado al rotar R alrededor 3 del eje X. Utilizar dos métodos. 3. Calcular el volume del sólido de revolució que se geera al rotar la regió ecerrada etre las curvas y = x 3 x e y = 4x 4 alrededor de la recta x =. 4. Calcular el volume del sólido de revolució que se geera al girar la regió etre las curvas y = (x ) + e y = x + e toro a: El eje x, el eje y, la recta x = Determiar el volume del sólido geerado al girar la regió limitada por las curvas y = si x, x + y = π + e y = 0, e toro al eje X. 6. La base de u sólido es la regió iterior al triágulo co vértices (0, 0), (, ) y (3, 0) y sus seccioes trasversales perpediculares al eje Y so semicírculos. Hallar el volume del sólido. 7. Sea R la regió del plao limitada por la parábola y = x y la recta y = mx (m > 0). Ecotrar el valor de m tal que los volúmees geerados por la rotació de R e toro al eje X y al eje Y sea iguales. 8. Sea R la regió acotada etre las curvas y = x y y = 8 x. Calcular el área de R. Hallar el volume obteido al rotar R e toro a la recta y =. Hallar el volume obteido al rotar R e toro a la recta x = Utilizar itegració para calcular el volume de u coo de radio r y altura h. 0. Utilizar itegrales para ecotrar el volume iterior a ua esfera de radio r y exterior a u cilidro circular recto de radio r iscrito e la esfera.. Hallar el volume de la regió comú a dos esferas del mismo radio r, si sus cetros se ecuetra a distacia r el uo del otro.. Probar, mediate itegració, que la superficie de u coo (mato y base) de altura h y base circular de radio r está dada por S = πr( r + h + r). 3. Dada la elipse de ecuació x + y =, ecotrar el área del mato geerado al rotar esta elipse e toro al eje X etre x = y x =.

3 4. Sea R la regió del plao acotada por las curvas y = x +, y = cosh(x), y las rectas verticales x = y x =. Calcular el volume del sólido de revolució que se obtiee al rotar R e toro al eje Y. Calcular la superficie (total) del sólido de revolució e (. 5. Cosiderar la curva parametrizada C(t), co t R, dada por: x(t) = e t cos(t) y(t) = e t si(t) Determiar a de modo que la logitud de la curva C(t) cuado t [0, a] sea exactamete. 6. Calcular la logitud de arco de la curva y = f(x), co x dode 7. U móvil describe la curva: x = t 0 f(x) = si z z + dz; x t3 dt. y = t 0 cos z dz, t 0. z + Calcular la distacia recorrida desde t = 0 hasta el primer istate e que el movimieto es paralelo al eje X. 8. Se deomia Trompeta de Torricelli al sólido de revolució geerado al rotar e toro al eje x el área compredida etre la curva f(x) =, x y dicho eje. x Probar que se trata de u sólido de área superficial ifiita y de volume fiito. Logitud de Arco y Área e coordeadas polares. 9. Hallar el área limitada por la curva r = + cos θ y por las rectas θ = 0 y θ = π. 30. Calcular el area ecerrada por la curva r = si(3θ). 3. Determiar el área que está detro de la circuferecia r = 5 cos θ, y fuera de la cueva de ecuació r = + cos θ. 3. Ecotrar el área de u pétalo de r = 4 si(θ). 33. Calcular el área ecerrada por r = 3 cos(3θ). 34. Cuál es el valor del área detro del lazo mayor de la curva r = si θ que es exterior al lazo meor de dicha curva? 35. Determiar el área detro del lazo meor de la curva r = + cos θ. 36. Determiar el área iterior a la cardioide r = + cos θ y exterior al circulo r =. 3

4 37. Hallar el área iterior a r = + cos θ y exterior a r = cos θ. 38. Calcular el área comú a r = 6 cos θ y r = cos θ 39. Calcular el área comu a r = + cos θ y r = si θ 40. Ecotrar el área de la porció de u pétalo de la rosa r = cos(θ) que es iterior a la circuferecia r =. 4. Ecotrar el área de la regió barrida por el espiral r = θ, durate su tercera revolució, y que o fue barrida durate las revolucioes ateriores. 4. Hallar el área ecerrada por la curva ifiito r = + cos(θ) y la cardioide de ecuació r = + cos θ. 43. La logitud de ua curva r = f(θ), dode f es ua fució co derivada cotiua defiida e el itervalo [θ, θ ] está dada por la fórmula: L = θ θ r + ( ) dr dθ dθ Usar la expresió aterior para hallar los arcos idicados: r = 3θ, θ [, ] [ r = 3 cos θ, θ 0, π ] 4 r = e 3θ, θ [0, 3] r = 3 ( + cos (θ)), θ [ 0, π ] Sucesioes de úmeros reales. 44. Probar mediate la defiició de límites para sucesioes que: lím = 3 4 lím + = Demostrar que si lím a = L a y lím b = L b, etoces lím (a + b ) = L a + L b. 46. Aalizar la covergecia de las siguietes sucesioes y calcular sus límites cuado estos exista. si ( ) si e) ( ) + f ) ( ) Demostrar que si ua sucesió de úmeros reales coverge etoces ella es ua sucesió acotada. 48. Dada la sucesió covergete {a }, se defie la sucesió {b } que está dada por b = ( ) {a }. Probar que {b } coverge si y sólo si {a } coverge a cero. 4

5 Sucesió de sumas parciales y covergecia de series uméricas. 49. Probar que si la serie a coverge etoces lím a = Probar que la serie de térmio -ésimo a = + diverge. ( ) 5. Dada la serie. Determiar: ( + ) Los 4 primeros térmios de la sucesió de sumas parciales. El límite de la sucesió de sumas parciales de la serie. La suma de la serie. 5. Decidir si las siguietes series so o o covergetes, e caso afirmativo ecotrar el valor de la suma. ( ) = A partir de la suma de ua serie aritmético-geométrica e dode r <. Hallar el valor de. 54. Ecotrar la suma de las siguietes series ( ( ) + 3 ) 3 + = 3 ( + 3) e) = 3 (3 + )(4 + ) (a+r = ( + ) a( r) + br ( r) f ) Sea a =, b = ( ), c = +. Aalizar la covergecia de las + 3 siguietes series, e caso de covergecia idicar la suma de la serie a b c (a + b ) e) (b + c ) 56. Hallar la suma de las siguietes series: [ ] ( + ) l ( + ) = ( )( + ) 5

6 Criterios de covergecia 57. Probar que toda serie absolutamete covergete es covergete. 58. Demostrar que lím = Aalizar la covergecia de las siguietes series: e ( ) e) ( ) 3 si Decidir si las siguietes series so o o covergetes: ( ) + 6. Usado algú criterio adecuado idicar si la serie dada coverge o diverge: e) f ) 3 + l ( ) ( ) + ( ) l ( + ) = Series de potecias g) h) i) j ) k) l) e ( + ) (3) 4( + )! 3 6. Para que valores de x coverge las siguietes series? x 3 ( ) x ( )! 63. Cuál es el radio de covergecia de la serie 6 m) ) ñ) o) p) (x (x ) (3 ) x? cos(π) ( ) + + = ( ) ( ) + l + l

7 64. Hallar el radio e itervalo de covergecia de las siguietes series: e) f ) ( ) (x + ) l (x ) ( ) (x + ) x ()! x + ( ) + x 4 =3 g) h) i) j ) k) l) ( ) (x + ) m) ( ) 4 () x ) ( ) (x ) 4 ñ) ( ) + (x )+ + ( ) o) (x ) + ( ) (x 3) p) 5 ( ) (x + 5 ) (x 7) x (x ) 4 ( ) ( x ) Ecotrar el itervalo de covergecia de la serie + 3 x y a partir de lo ( ) x + 3 obteido hallar el itervalo de covergecia de la serie. + 3 x Series de Taylor 66. Usar el desarrollo e serie de potecias de f(x) = (serie geométric para x 4 obteer u desarrollo e series de potecias de h(x) =. Deducir e 3 5x x que itervalo es válido este desarrollo. 67. Dada la fució f(x) = 5x 7 x 3x +, ecotrar suserie de Taylor e toro a x 0 = 0, idicado su itervalo ded covergecia. 68. Hallar la serie de Taylor de f(x) = l x e toro a x 0 = 4, idicado radio e itervalo dede covergecia. 69. Determiar el desarrollo e serie de taylor, alredededor de x 0 = 0, de la fució f(x) = l( x ) e idicar itervalo de covergecia. 70. Determiar el desarrollo e serie de Taylor, alrededor de x 0 = 0, e idicar el radio de covergecia para las fucioes f(x) = x y g(x) = x 0 t dt. 7. Ecotrar la serie de Taylor de f(x) = cosh x, e toro a x 0 = 0, idicado radio e itervalo de covergecia. 7. Ecotrar el itervalo de covergecia de la serie 7 x +3 + y hallar su suma.

8 73. Hallar el itervalo de covergecia de la serie x y a partir del valor de su suma calcular ( ). ( ) + x 74. Ecotrar el desarrollo e serie de Taylor de la fució f(x) = l e toro x a x 0 = 0. Aalizar el itervalo de covergecia de la serie resultate y usarla para calcular ( + )3. Luego ecotrar a tal que l a = + ( + ). p x 75. Estudiar el itervalo de covergecia de la serie dode p es u úmero + positivo. Expresar la suma e térmio de las fucioes elemetales para calcular 4 ( + ). 76. Expresar f(x) = x e x como ua serie y probar que x ( ) + ( + 3) = 5 e. 77. Usado la serie de McLauri dee h(x) = si x, obteer u desarrollo e serie de si t potecias e x, para F (x) = dt. t Usado la serie de McLauri de si x, obteer la serie de McLauri para cos x. 79. Usado el desarrollo de la fució e x como ua serie de McLauri, calcular la suma de la serie. 80. Usado la serie de McLauri para la fució cos x, obteer u desarrollo ( ) e serie de si x cos(x). A partir de este resultado obteer u desarrollo para. x 8. Utilizar la serie geométrica para verificar que arcta x = x x3 3 + x5 5 x7 7 +, idicar el itervalo de covergecia de la serie aterior y luego demostrar que: π 4 = Cosiderar la serie y(x) = ( ) x. Probar que la serie es covergete () x R y decidir si satisface la ecuació diferecial: xy + y + xy = 0. 9 de Marzo de 08 EBC/EGG/GCA/egg 8