Cálculo diferencial e integral 4

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1 Cálculo diferencil e integrl 4 Guí 2. emuestr el cso del teorem de Fubini que no se demostró en clse. Concretmente: se R = A B R n un rectángulo compcto con A y B rectángulos de dimensión menor. Supongmos que f : R R es integrble. Pr cd y B, define g y : A R por g y (x) = f(x, y). emuestr que ls funciones son integrbles y demás L(y) := R A f = g y y U(y) := A B f = B L = 2. E Supongmos que A R n y B R k son rectángulos compctos. Se C A B un conjunto de contenido cero. efinmos A A como el conjunto de tods ls x A tles que {y B (x, y) C} B U. g y A no tiene contenido cero. Probr que A es un conjunto de medid cero. 3. Se C [, ] [, ] l unión de todos los {p/q} [, /q] donde p/q es un número rcionl en [, ] designdo por su representnte irreducible. Utilice C pr demostrr que en el ejercicio nterior l plbr medid no puede ser sustituid por contenido. 4. Se f : [, b] R integrble y no negtiv. Se A f = {(x, y) x b, y f(x)}. emuestr que A f es Jordn medible y que tiene áre (medid de Jordn) b f. 5. Si f : [, b] [, b] R es integrble, probr que b y f(x, y)dxdy = b b x f(x, y)dydx. 6. ) Se f continu en [, b] [c, d]. efinmos pr cd (x, y) (, b) (c, d), l función F (x, y) = x y emostrr que 2 F/ x y = 2 F/ y x = f(x, y). c f(u, v)dvdu. b) Utilizr el teorem de Fubini pr demostrr que si f es de clse C 2, entonces 2 f/ x y = 2 f/ y x. 7. Sen A = [, b ] [ n, b n ] y f : A R un función continu. efinmos F : A R por F (x) = f, x = (x,..., x n ) A. [,x ] [ n,x n] Si x es un punto en el interior de A quién es F/ x i?

2 8. Se f : [, b] [c, d] R un función de clse C. efinmos F (y) = b f(x, y)dx. emuestr l regl de Leibnitz: F (y) = b f dx. y 9. E Se f : [, b] [c, d] R un función de clse C. efinmos F (x, y) = x f(t, y)dt. ) Encuentr f/ x y f/ y. b) Si G(x) = g(x) f(t, x)dt, encontrr G (x).. Sen A y B dos subconjuntos de R 3 Jordn medibles. Se A c = {(x, y) (x, y, c) A} y B c = {(x, y) (x, y, c) B}. Supongmos que cd A c y cd B c son Jordn medibles y tienen l mism áre. Us el principio de Cvlieri pr demostrr que A y B tienen el mismo volumen.. Clcul ls siguienes integrles iterds x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dydx, x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dxdy. (sugerenci: hz un cmbio de vrible que involucre l función tngente) Contrdice tu resultdo l teorem de Fubini? 2. ESe f : [, ] [, ] R definid por emostrr que l integrl iterd f(x, y) = {, si x Q, 2y, si x / Q. 3. Se f continu en [, b] y g continu en [c, d]. emostrr que [,b] [c,d] f(x, y)dydx existe pero que f no es integrble. ( b f(x)g(y) = ) ( d ) f(x)dx g(y)dy. c 4. Sen g, g 2 : R 2 R dos funciones de clse C. Supongmos que g / y = g 2 / x. efinmos l función f : R 2 R dd por f(x, y) = ) emuestr que f/ y = g 2 (x, y). b) emuestr que f/ x = g (x, y). x g (t, )dt + y g 2 (x, t)dt. 5. E Clculr el volumen del sólido cotdo por el plno xz, el plno yz, el plno xy, los plnos x =, y = y l superficie z = x 2 + y Clclulr el volumen del sólido cotdo por l gráfic z = sen y, los plnos x =, x =, y =, y = π/2 y el plno xy. 7. Clculr ls siguientes integrles iterds y dibujr ls regiones determinds por sus límites. 2

3 ) b) c) 2 3 d) π/2 x 2 dydx. e x y 2 (x + y)dydx. (x2 + y)dxdy. cos x y sen xdydx. 8. Se l región limitd por los semiejes positivos x e y y l rect 3x + 4y =. Clculr x2 + y 2 9. Se l región cotd por el eje y y l prábol x = 4y Clculr x3 y. 2. Expresr medinte un integrl, el volumen del cono cuy bse tiene rdio r y cuy ltur es h. 2. Se l región formd por los puntos (x, y) tles que φ(x) y φ(x), donde φ es un función continu no negtiv definid en el intervlo [, b]. Se f : R tl que f(x, y) = f(x, y). emuestr que f =. 22. E emostrr que el áre del prlelogrmo determindo por dos vectores plnos (, 2 ) y (b, b 2 ) es b 2 2 b. 23. En ls siguienes integrles cmbir el orden de integrción, dibujr ls correspondientes regiones y clculr ls integrles de ls dos mners: ) xydydx. x b) π/2 c) cos θ cos θdrdθ. 2 y (x + y) 2 dxdy. 24. etermin cuál es l región de integrción que conduce cd un de ls siguientes integrles múltiples y evlúls. ) E ( ( 2 z ) ) z 2 y 2 xdx dy dz. b) ( ( x ) ) x+y dz dy dx. x 2 +y 2 c) E ( ) x 2 x ex+y dy dx. 25. Se f : [, ] R R. ) Identific l región que conduce l siguiente integrl iterd: ( x ( y ) ) f(z)dz dy dx. b) Us el teorem de Fubini pr probr l siguiente identidd: ( x ( y ) ) f(z)dz dy dx = 2 f(z)( z) 2 dz. 3

4 26. Si f(x, y) = e sen(x+y) y = [ π, π] [ π, π], probr que e f e. π emostrr que 6 y x + 3 4, donde es el triángulo con vértices (, ), (, ) y (, ). 28. Clculr ex y donde es el triángulo con vértices (, ), (, 3) y (2, 2) 29. Encontrr el volumen del sólido limitdo por x 2 + 2y 2 = 2, z = y x + y + 2z = E Encontrr el volumen de l región que result de intersectr los dos cilindros x 2 + y 2 2 y x 2 + z Clculr cd un de ls siguientes integrles: ) W (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz, donde W es l región cotd por x + y + z = ( > ), x =, y = y z =. b) zdxdydz, donde W es l región cotd por los plnos x =, y =, z =, z = y el W cilindro x 2 + y 2 = con x, y. c) W (x2 + y 2 )dxdydz, donde W es l pirámide con vértice superior (,, ) y cuyos vértices en l bse son (,, ), (,, ), (,, ) y (,, ). 32. En cd inciso, encuentr l imgen bjo l trnsformción g de l región A e integr f sobre g(a). ) g(u, v) = (u 2 v 2, 2uv), A = {(u, v) R 2 u, v y u 2 + v 2 }, y f(x, y) = + x. 2 +y 2 b) g(u, v) = (u, v( + u 2 )),, A = [, 3] [, 2] y f(x, y) = x. 33. Se = [, ] [, ] y defínse T en medinte T (u, v) = ( u 2 + 4u, v). Hllr = T ( ) Es T inyectiv? 34. E Se el prlelogrmo limitdo por ls rects y = 3x + 4, y = 3x, y = x, y = (x + 4). 2 2 Se = [, ] [, ]. Hllr un plicción T tl que = T ( ). 35. Se el prlelogrmo con vértices en (, 3), (, ), (2, ) y (, 2) y se = [, ] [, ]. Hllr un función T tl que T ( ) =. 36. Se T : R 3 R 3 el cmbio coordends esférics definido por (ρ, φ, θ) (x, y, z), donde x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ. Se = {(ρ, φ, θ) ρ [, ], φ [, π], θ [, 2π]}. Hllr = T ( ) Es T inyectiv? Si no lo es, se puede quitr un subconjunto de form que en lo que quede T se inyectiv? 37. En cd inciso hz un dibujo de l región dd y clcul su áre. ) L región cotd por ls curvs cuys ecuciones polres son θ =, θ = π/4 y r = θ 2. 4

5 b) L región que está dentro de l curv r = + cos(θ) y fuer de l curv r =. c) E L región que está dentro de l curv r = 3 sen(θ) y fuer de l curv r = + sen(θ). 38. Hllr l medi de f(x, y) = e x+y sobre el triángulo con vértices (, ), (, ) y (, ). 39. Hllr el centro de ms de l región entre y = x 2 e y = x si l densidd es x + y. 4. Hllr el centro de ms de l región entre y = e y = x 2, donde x /2. 4. Un plc de oro está definid por x 2π y y π (centímetros) y tiene un densidd de ms δ(x, y) = y 2 sen 2 (4x) + 2 (grmos por centímetro cudrdo). Si el oro se vende 7 euros por grmo, Cuánto vle el oro de l plc? 42. Hllr el centro de ms del cilindro x 2 + y 2, z 2, si l densidd es (x 2 + y 2 )z E Se A l región determind por l circunferenci de rdio y centro en (, ). Supongmos que A es un plc metálic cuy densidd de ms ρ está dd por { x 2 + y 2 si x [, ], ρ(x, y) = y 2 si x [, ]. Clcul l ms totl de A y el centro de ms de A. 44. Hllr el vlor medio de e z sobre l bol x 2 + y 2 + z Se = {(x, y) x 2 + y 2 }. Clcul ex2 +y 2 dxdy. 46. Se l región y x y x. Clculr (x + y)dxdy, por medio del cmbio de vribles x = u + v, y = u v. Comprobr el resultdo por medio del cálculo directo de l integrl. 47. Se T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) l plicción definid por T (u, v) = (4u, 2u + 3v). Se el rectángulo [, ] [, 2]. Hllr = T ( ) y clculr ls integrles xydxdy, (x y)dxdy, por medio de un cmbio de vribles que ls clcule sobre. 48. Clculr dxdy + x + 2y, donde = [, ] [, ], hciendo el cmbio de vribles T (u, v) = (u, v/2). 49. efinir T (u, v) = (u 2 v 2, 2uv). Se el conjunto de los puntos (u, v) con u 2 + v 2, u, v. Hllr = T ( ) y clclulr el áre de. 5. E Clculr dxdy, donde R es l región cotd por x =, y =, x + y =, x + y = 4, por R x+y medio de l plicción T (u, v) = (u uv, uv). 5. Integrr x 2 + y 2 + z 2 sobre el cilindro x 2 + y 2 2, 2 z 3. 5

6 52. Se B 3 l bol cerrd unitri de R 3. Clculr B 3 dxdydz 2+x 2 +y 2 +z Integrr x 2 + y 2 + z 2 sobre l región cotd por ls esfers x 2 +y 2 +z 2 = 2 y x 2 +y 2 +z 2 = b 2, donde < b <. 54. E Clculr B zdxdydz, donde B es l región dentro del cilindro x2 + y 2 = por encim del plno xy y por debjo del cono z = x 2 + y 2. 6

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