I.E.S. Ciudad de Arjona Departamento de Matemáticas. 1º BAC

Transcripción

1 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprmeno de Memáics. º BAC UNIDAD Nº : ECUACIONES, SISTEMAS E INECUACIONES. A. ECUACIONES. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Ls ecuciones de primer grdo son quells en l que inerviene polinomios de primer grdo. Medine rnsformciones de ecuciones equivlenes debemos llegr un epresión del ipo b, donde b son números. Discusión: b b se dice que l ecución es compible deermind E.C.D.iene solución es únic) b es compible indeermind E.C.I.iene infinis soluciones) Sle epresión cier b es incompible E.I.no iene solución) Sle un iguldd fls b Resolución generl de ecuciones de primer grdo. PASOS A SEGUIR. Quir denomindores: hllr el m.c.m. de los denomindores reducir común denomindor.. Eliminr prénesis normlmene hcer ls muliplicciones). Trsponer érminos psr l incógni un ldo los números l oro) operr.. Discuir..Resolver. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. m.c.m.,,) ) ) 6 6 E.C.D. Definición: Un ecución de segundo grdo es quell que equivlene un del ipo b c donde, b c son números disino de cero. Se llm comple si odos los coeficienes, b c son disinos de cero. Se llm incomple si lguno de ellos b o c) es igul cero. Resolución: Comple: Ls soluciones se verigun susiuendo los coeficienes en l fórmul: Incomples: b b c b c Resolvemos como ecución de primer grdo. c c cudrd. Tendrá solución cundo se posiivo. c b Scmos fcor común b). Aplicmos l propiedd de los números que nos dice que si el resuldo de muliplicr dos números es, enonces uno de ellos es. Ejemplos: 6 es comple. ) ) 6 6 c c Hciendo l rí b b b

2 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprmeno de Memáics. º BAC ) b c Discusión: Se llm discriminne l número que h denro de l rí:. Dependiendo de su vlor obendremos el número de soluciones. > posiivo). Tendrá dos soluciones disins. E.C.D.. Tendrá un únic solución doble). E.C.D. < No endrá solución. E.I. Ejemplos: ) 6 > Dos soluciones. Un solución doble. 6 6 ) ) 6 <.Sin solución. E.I. Curiosiddes: b c L sum de ls soluciones es igul s, el produco de ls soluciones es p. ECUACIONES BICUADRADAS Son quells que responden l ecución b c. Se resuelven hciendo un cmbio de vrible: Llmmos l ZORRO, enonces ). Con lo que quedrí un ecución de segundo grdo en. b c. Que sbemos resolverl. Un ve obenidos los vlores de, obenemos los de hciendo l rí cudrd. ) ) 6) Ejemplo: No eise Ls ecuciones bicúbics 6 b c) se resuelven hciendo el cmbio hciendo rí cúbic.. ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS. Se resuelve buscndo ls ríces del polinomio por Ruffini. P). Sólo podremos hllr ls soluciones que sen eners.. ECUACIONES RACIONALES. con frcciones lgebrics) Se resuelve reduciendo común denomindor resolviendo l ecución. OJO! Podemos inroducir soluciones no correcs. H que comprobr ls soluciones en l ecución inicil. 6 ) ) 6 Ejemplo: m.c.m- 6 6 ) 6 6 Correco. Solución es válid - Comprobr: No es correco no se puede dividir por ) Solución incorrec -

3 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprmeno de Memáics. º BAC 6. ECUACIONES IRRACIONALES. Ls ecuciones irrcionles son quells en ls que ls incógnis prece bjo el signo rdicl. PASOS A SEGUIR 6. Aislr l rí.. Elevr l cudrdo los dos érminos ) ). Resolver 6 Correc. Comprobr ls soluciones. - Incorrec No: Siempre h que comprobr ls soluciones que l elevr l cudrdo podemos inroducir soluciones no correcs.. ECUACIONES CON PRODUCTO DE FACTORES IGUAL A.... Pr resolverls igulmos cd fcor cero resolvemos es ecución. ) ) ) ) Ejemplo: 6 ) ) ) 6. ECUACIONES LOGARÍTMICAS. Son quells en ls que l incógni prece someid l operción logrimo. Pr resolverls uiliremos ls propieddes de los logrimos l propiedd log A log B A B Ejemplo: log log6 log log log log6 log log6 6. ECUACIONES EXPONENCIALES. Son quells en ls que l incógni prece en el eponene. Se resuelven normlmene por igulci n de eponene, por cmbio de vrible o por plicción de logrimos. Ejemplo: Cmbio de vrible ) Deshcemos el cmbio) ommos logrimos) log log log B. SISTEMAS DE ECUACIONES. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Un sisem de ecuciones en un conjuno de ecuciones de ese ipo. Trbjremos con sisems de dos b c ecuciones con dos incógnis.. b c MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Se bsn en rnsformciones elemenles de ls ecuciones. Es decir en rnsformrlos en oros equivlenes. Todos los méodos los vmos ejemplificr con ese sisem.. Siempre h que comprobr l solución.

4 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprmeno de Memáics. º BAC. Despejmos un de ls incógnis en un de ls MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: ecuciones l que quermos resule más sencill) en l º ecución. Susiuimos l epresión obenid en l or ecución. Resolvemos l ecución obenid scmos el vlor de un incógni) 6 Solución:. Obenemos el vlor de l or incógni en el pso. MÉTODO DE IGUALACIÓN. Despejmos un de ls incógnis en ls dos ecuciones l que quermos resule más sencill) ª ª. Igulmos ls epresiones obenids en el pso.. Resolvemos l ecución obenid scmos el ) ) vlor de un incógni) 6 6. Obenemos el vlor de l or incógni en el 6 pso. Solución: MÉTODO DE REDUCCIÓN El objeivo es eliminr un de ls ecuciones, pr ello debemos conseguir que un de ls incógnis eng el mismo coeficiene pero con disino signo) en ls dos ecuciones, pr después sumrls que desprec es incógni.. Se iguln coeficienes de un incógni signo opueso) muliplicndo un o ls dos ecuciones por números convenienes.. Summos ls dos ecuciones, obeniendo un mu sencill de primer grdo con un incógni. Es decir se reduce el sisem un ecución. Resolvemos l ecución. Obenemos el vlor de l or incógni susiuendo en un de ls ecuciones del sisem 6 Solución: DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. En ese prdo queremos sber si el sisem iene o no solución sin necesidd de resolver el sisem de ecuciones. Relción enre coeficienes Número de soluciones Nombre Ejemplos: b b b c b c b c b c S.C.D Un solución Infinis soluciones Sin solución 6 Sisem Compible Deermindo S.C.D.) Sisem Compible Indeermindo S.C.I.) Sisem Incompible S.I.) 6 S.C.I. 6 6 S.I.

5 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprmeno de Memáics. º BAC. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS CONCEPTOS. Ecución linel: Ecución polinómic de grdo uno con un o vris incógnis. Un solución es un conjuno de vlores uno pr cd incógni) que verificn l iguldd. Ecuciones equivlenes: Dos ecuciones son equivlenes cundo ienen ls misms soluciones: Pr obener ecuciones equivlenes podemos sumr resr epresiones, muliplicr o dividir por números. Sisems de dos ecuciones lineles: Conjuno de ecuciones lineles. L solución debe cumplir ods ls ecuciones. Sisems equivlenes: Son quellos que iene ls misms soluciones. Obención de sisems equivlenes: Muliplicr o dividir los dos miembros de ls ecuciones por número disinos de. Añdir un ecución que se combinción linel de ls ors. Susiuir un ecución por or que se combinción linel de ls ecuciones es ecución debe inervenir). ejemplo: Susiuir l ª ecución por l c.l. ª ª-ª) DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Cundo hblmos de Discusión de S.E.L. queremos clsificr los sisems dependiendo del número de soluciones. Número de soluciones Nombre Un solución Sisem Compible Deermindo S.C.D.) Infinis soluciones Sisem Compible Indeermindo S.C.I.) Sin solución Sisem Incompible S.I.) Resolución: Psos seguir:. Elegir un incógni un ecución despejr.. Susiuir en ls ors ecuciones obenemos un sisem de dos ecuciones.. Resolver. ) ) ) Solución MÉTODO DE GAUSS El méodo nerior se conoce por el méodo de Guss. Pero puede brevirse si nos olvidmos de ls incógnis nos limimos rbjr con números. Tenemos que hcer ceros por debjo del primer elemeno de l ª fil, un ve hecho debemos hcer ceros por debjo del segundo elemeno de l segund fil, sí sucesivmene. Ejemplo : 6 ) ) ª ª ª ª ª ª ª ª cmbimos fils pr operr como elemeno cogemos el 6 ª ª ª 6 ) ) ª ª ª ª Si enemos dos fils igules ls podemos quir. Si enemos un fil de ceros l podemos quir. El objeivo es hcer por debjo de l digonl. Después de odo el proceso de hcer ceros podemos llegr res siuciones diferenes:

6 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprmeno de Memáics. º BAC I. donde son números disinos de, son números culquier En ese cso el sisem es Compible Deermindo S.C.D.) Ejemplo nerior) II. H menos ecuciones que incógnis. El sisem será compible indeermindo S.C.I) Se resolverá dndo ls incógnis que sobrn vlores prméricos. Ejemplo. III. L úlim ecución quedrá nº disino de cero IMPOSIBLE El sisem será Incompible S.I) Ejemplo. Ejemplo : ) ) ª ª ª ª ª ) ) ª ª ª ª Solución: S.C.I. Ejemplo : ª ª ª ª ) ) ) 6) ª ª ª ª ª IMPOSIBLE S.I.. SISTEMAS NO LINEALES Slvo csos mu clros, que esán preprdos el méodo seguir es el de Susiución OJO!! Si es posible despejr siempre en l ecución linel, si l h): Además h que comprobr siempre ls soluciones. Ejemplos: ) Soluciones: Son ls dos correcs.

7 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprmeno de Memáics. º BAC ) ) Soluciones: Correc - Incorrec que uno es posiivo el oro negivo) Puesos clrmene pr uilir oros méodos: Por reducción Si si Soluciones: Soluciones ods correcs e e Por Igulción ) 6 6 e e ) cmbio de vrible ) ) Soluciones log Soluciones: log log log Soluciones ods correcs Ls dos soluciones son correcs. C. INECUACIONES. INECUACIONES DE PRIMER GRADO. Ls inecuciones de primer grdo son inecuciones con epresiones lgebrics, que después de relir un serie de rnsformciones elemenles, nos qued de l form desiguldd)b. Ls rnsformciones se relin plicndo ls propieddes de ls desigulddes. Resolución: Se resuelven igul que ls ecuciones de primer grdo, eniendo en cuen que cundo se muliplic o se divide por un número negivo l desiguldd cmbi de senido. Ejemplos: ) ) ).. > > m c m Fuer

8 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprmeno de Memáics. º BAC denomindores > 6 Trsponemos 6 > Agrupmos > Como es posiivo l desiguldd no cmbi > >. Solución: >. En inervlo, ). Gráficmene: Como - l desiguldd cmbi Solución:. Inervlo:,]. Gráficmene:. INECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE UNO Y COCIENTES Ls inecuciones de grdo mor que. Resolución, psos seguir:. Hllr ls ríces de l ecución.. Dr vlores enre ls ríces pr ver los signos.. Poner l solución en form de inervlo. Ejemplo: >. Resolvemos vlor en cd inervlo, por ejemplo en,) esudimos el Inervlo,),). ) Posiivo. Puno del inervlo 6 Vlor numérico 6 6. Esudimos un Como el ejercicio dice mor que >) los mores que son los posiivos, l solución son los inervlos dónde es posiivo, ), ). Los punos no esán incluidos porque l desiguldd no inclue el igul. Cociene.. Resolución, psos seguir:. Hllr ls ríces de l ecución.. Dr vlores enre ls ríces pr ver los signos.. Poner l solución en form de inervlo.!cuiddo!! ls ríces del denomindor no son soluciones válids. ) ) Ejemplo:. Resolvemos. Esudimos los signos., Inervlo,) ),). ) signo Solución:, ] [,) no esá incluido porque es l solución del denomindor.. SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Se resuelven ls inecuciones por seprdo, l solución del sisem es l inersección de ls soluciones. Ejemplo: >, ) soluciones [,] Hcemos l inersección, ) [,],]

9 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprmeno de Memáics. º BAC Gráficmene:.. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Un inecución con los incógnis represen espcilmene un semiplno. Pr represenrl vmos seguir los siguienes psos..despejr dr vlores represenr. los olvidmos de l desiguldd, por hor).tomr el puno,) como referenci comprobr si perenece l región veces h que uilir oro puno)..pinr l región. Ejemplo: SI L solución de los sisems de vris ecuciones será l inersección de ods ls regiones se llm región fcible) r ) ) Ejemplo: s) r s) r - SI NO