MEDIDAS DE DISPERSIÓN

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1 MEDIDAS DE DISPERSIÓ Introduccón Al estudar característcas o varables de una poblacón o muestra, sempre se manfestan dscrepancas o dferencas en los resultados ndvduales de las observacones. La varabldad es algo nherente a cada fenómeno aleatoro, y orgna en ellos certa homogenedad o heterogenedad, según que las dscrepancas o dferencas sean pequeñas o grandes. A este grado de varabldad, de dferenca entre observacones es a lo que se llama dspersón. Ocurre entonces, cuando se quere asgnar un número a cada grado de varabldad, que surgen dferentes meddas de dspersón. Las defncones de estas meddas se pueden establecer entre valores determnados de la muestra de datos o entre todos los valores y un valor de referenca, que suele ser una medda de tendenca central, como la meda artmétca o la medana, con el propósto de que la medcón se vea poco nfluencada por las propas undades de medda de los valores cuya dspersón se desea estmar. Se pueden reconocer al menos dos tpos generales de meddas de dspersón. Por ejemplo, Fernández y Fuentes (995) sugeren dstngur entre dos tpos de meddas de dspersón. A las meddas de dspersón expresadas en térmnos de la msma undad de medda que los datos, se las llaman meddas de dspersón absoluta, y a las que se expresan de manera admensonal, es decr, de manera ndependente a las undades de medcón, las llaman meddas de dspersón relatva. El reconocmento de la exstenca de la varabldad como punto de partda para el estudo de la aleatoredad y la construccón de modelos estadístcos, hace que las meddas de dspersón sean necesaras para efectuar comparacones sgnfcatvas entre grupos de observacones. De hecho, cuando se mde la dspersón de los valores de una varable respecto a una de sus meddas de tendenca central, se está mdendo el grado de representatvdad que dcha medda de tendenca central tene respecto al conjunto de datos que pretende resumr. Así pues, a mayor dspersón se tendrá una menor representatvdad de la medda de poscón y vceversa. Además, la medcón con este tpo de meddas debe ser no negatva y consonante con el nvel de dspersón en el sentdo de que valores pequeños del estadígrafo en uso deben reflejar un nvel bajo de dspersón y vceversa. Esta cuestón de la representatvdad se puede precsar un poco más con un ejemplo. Suponga que en el estudo de dos grupos de famlas A y B, de qunce famlas cada grupo, la dstrbucón del número de hjos se tene como se muestra en la sguente tabla. - -

2 Grupo A úmero de hjos x Frecuenca f Grupo B úmero de hjos x Frecuenca f Total 5 Total 5 Se puede observar que en ambos grupos la meda artmétca del número de hjos es dos. Entonces a prmera vsta se puede afrmar que el comportamento de los dos grupos es el msmo respecto al número de hjos. Sn embargo, es evdente que el grupo B, presenta los datos más dspersos que el grupo A. Por lo tanto la meda artmétca es más representatva de lo que sucede en el grupo A, ya que en éste los resultados se apartan menos de la meda artmétca que en el grupo B. Como se acaba de ver en el ejemplo anteror la meda artmétca caracterza mejor al grupo A de famlas que al B, respecto al número de hjos. En general, para caracterzar una dstrbucón de frecuencas, las meddas de tendenca central se deben acompañar de una medda de dspersón que ponga de manfesto el grado de representatvdad del conjunto de datos. Algunos ejemplos de meddas de dspersón son el recorrdo, la desvacón meda, la desvacón estándar, el rango medo, la desvacón ntercuartílca, la varanza y el coefcente de varacón. En lo que sgue, se hará una descrpcón de las meddas dspersón absoluta que son más utlzadas, las prncpales meddas de dspersón relatva, y fnalmente se presentará una sere de ejemplos, para lustrar el cálculo y utlzacón de las msmas. 5. Recorrdo (Re). El recorrdo o rango de dspersón (Re), se defne como la dferenca entre el valor máxmo y el valor mínmo de los datos. Aunque se consdera que es una medda mperfecta, cuando es razonable suponer que los datos se dstrbuyen de manera unforme, entonces se espera que s, por ejemplo, el mínmo y el máxmo están comprenddos entre 3 y 6, los datos presentarán más alejamento mutuo que s los msmos datos están comprenddos entre 3 y 9, cuya dferenca es menor. De todas maneras el rango tene la ventaja de ser muy fácl de calcular y es recomendable tenerlo en cuenta cuando hay pocos datos por analzar. Sn embargo, el hecho de depender exclusvamente del máxmo y el mínmo, puede ocasonar el que no refleje de manera apropada la dspersón de una dstrbucón de datos, cuando se tene una buena cantdad de datos con valores ntermedos. Además, no es posble su aplcacón en los casos en que alguno de los valores, máxmo o mínmo, como ocurre en ocasones, quede ndetermnado. Este tpo de nconvenentes ponen de manfesto la necesdad de consderar otras meddas de dspersón. Por ejemplo, cuando los valores próxmos al máxmo y el mínmo de una sere de datos están excesvamente alejados del resto, la consderacón de un recorrdo más corto, prescndendo de un porcentaje determnado de los datos más alejados, puede dar una dea de la dspersón del conjunto de datos más acorde con la realdad, que s se emplea la dferenca entre los valores más extremos. Por ello, alternatvas que algunas veces se contemplan son el ntervalo ntercuartílco (Q 3 Q ), el nterdecílco (D 9 D ) o el ntercentílco (P 99 P ). - -

3 5. Desvacones medas. La suma de todas las desvacones respecto a la meda artmétca de una dstrbucón de frecuencas, como se señaló en el capítulo anteror, vale cero. Por lo tanto, la meda artmétca de dchas desvacones no srve para medr la dspersón de los valores de una varable. Sn embargo al consderar el valor absoluto de las desvacones respecto a una medda de tendenca central como la meda artmétca o la medana, permte defnr tres tpos de desvacones que se comentan enseguda. 5.. Desvacón meda absoluta. La desvacón meda es la meda artmétca de los valores absolutos de las dferencas de los datos respecto de la meda artmétca. Con datos agrupados se puede escrbr así: D = x x f x = Donde se tenen valores dferentes de los datos o ntervalos de clase, según que la varable consderada sea dscreta o contnua, y es el total de datos. Para datos sn agrupar se consdera que n es el total de datos y se expresa así: n D = x x x n = Respecto a la desvacón meda es apropado señalar que al consderar la funcón D(u) n = x u n = asocada a los posbles promedos de los valores absolutos de la desvacones respecto a u, se puede demostrar (ver por ejemplo, Cansado (967)) que el punto en que se mnmza esta funcón es en el valor de la medana. Por ello, s se usan desvacones medas para cuantfcar la dspersón, quzás sea preferble utlzar el promedo de los valores absolutos de las desvacones respecto a la medana, medda que se pasa a consderar enseguda. 5.. Desvacón meda respecto a la medana. La desvacón meda respecto a la medana es la meda artmétca de los valores absolutos de las desvacones de los datos respecto a la medana y se puede expresar para datos agrupados como: D = x Mef Me = Y para datos sn agrupar se expresa como n D = x Me. Me n = Las letras,, n, etcétera, tenen la msma nterpretacón que en el caso de la desvacón meda Desvacón medana. La desvacón medana se defne como la medana de la dstrbucón cuyos valores son las desvacones, en valor absoluto, de los datos respecto a la medana. Por ejemplo, s los valores de una varable son, 4, 8,, 3, 7 y, su medana es Me =. De manera que los valores absolutos de las desvacones respecto a la medana son 0,, 3, 6, 7, 9 y 0, cuya medana es 6, por lo tanto la desvacón medan es

4 La nterpretacón que se le puede dar a la desvacón medana es smlar a la que se le puede dar a la desvacón ntercuartílca (Q 3 Q ), en el sentdo de recoger la varacón entre el 50% de los datos ntermedos. En realdad, cuando la dstrbucón es smétrca, ambas meddas concden. 5.3 Varanza (S ). La varanza es una de las meddas de dspersón más menconadas en la lteratura estadístca. En realdad de todas las meddas de dspersón la varanza y la desvacón estándar (que se presenta en el sguente apartado), son las más mportantes para un desarrollo teórco de la estadístca. El propósto de la varanza es medr la mayor o menor dspersón de los valores de una dstrbucón de datos respecto a la meda artmétca. Cuanto mayor sea la varanza mayor dspersón exstrá y por tanto menor representatvdad se podrá atrbur a la meda artmétca. En térmnos agrupados la varanza se defne como: Y para datos sn agrupar, se defne así: S = (x x) n = = n n = S (x x) Quzás el prncpal problema con la varanza es que su valor no se exprese en las msmas undades que la varable analzada, sno elevada al cuadrado, lo cual dfculta su nterpretacón. o obstante, debdo a sus propedades matemátcas la varanza goza de excelente reputacón. Algunas de las propedades que se pueden destacar de la varanza son las sguentes: S se consdera la funcón de varable real defnda como F(u) = (x u) n se tene que valor donde es mínma para u es la meda artmétca. = Por la manera cono está defnda, una suma de cuadrados, nunca es negatva y sólo puede ser nula cuando todos los valores son guales. Además, s y =.x + c entonces S = S y x La sguente gualdad tambén se utlza con frecuenca (x u) n = (x ) n (x) = = 5.4 Desvacón estándar (S). Ya se ha dcho que la varanza no vene expresada en las msmas undades de medda que las de los datos. Sn embargo, la raíz cuadrada de la varanza nos lleva a la desvacón estándar tambén conocda como desvacón típca. Se defne como la raíz cuadrada con sgno postvo de la varanza. En su versón para datos agrupados, se presenta así: S = + S + (x x) n = - 4 -

5 Y para datos sn agrupar así: n S = (x x) n = La desvacón estándar es la más utlzada entre las meddas de dspersón y satsface las msmas propedades que se menconaron para la varanza. Sn embargo, otra propedad, no menconada antes, que es nteresante y relevante menconar, se deduce a contnuacón. Suponga que x, x,, x n, es una coleccón de valores numércos de los datos de una dstrbucón. Entre todas las dferencas (x x) para =,,, n seleccone todas aquellas dferencas cuyos valores x verfquen la desgualdad x x, donde desgna un número postvo. Ahora suponga que, (x x) (x x),, (x x) son las p cantdades que satsfacen la desgualdad. p Entonces n p = n n j = j = S (x x) (x x) Por otra parte, como x j x para j =,,, p, se tene entonces que xj x y por lo tanto p p (x x) = p, por lo tanto j j = j = n p p = n n j = j = S (x x) (x x) n ótese que el cocente p/n que aparece al fnal de la desgualdad representa la frecuenca relatva de los x tal que x x. S p/n se denota más ben como fr( x x ), entonces se tene que S fr( x x ) Pero dado que en una dstrbucón de frecuencas se satsface la gualdad fr( x x ) + fr( x x < ) =, entonces se llega a: S fr( x x < ) S ahora se elge el valor de como ts, la desgualdad anteror se transforma en la sguente: fr( x x < ts ) t La desgualdad obtenda se puede ver como la nterpretacón frecuencal de la llamada desgualdad de Tchevchev utlzada en estadístca matemátca y teoría de la probabldad. Para este caso le da el sguente sentdo a la desvacón estándar: la proporcón de datos que caen en el ntervalo (x ts, x + ts) es a lo menos (/t ). Por ejemplo, la proporcón de datos ncludos en el ntervalo (x S,x + S) es al menos - 5 -

6 (/ ) = ¾, es decr, del 75% del total; mentras que los datos que caen en el ntervalo (x 3S,x + 3S) es como mínmo del (/3 )= 8/9 = 0,88, que equvale al 88%. Se ve pues, que la desvacón estándar es una medda bastante precsa de la dspersón de los datos en torno a la meda artmétca de la dstrbucón y por ello goza de tanta reputacón. Para fnalzar, se tene que la desvacón estándar sempre dará un valor mayor o gual al de la desvacón meda, puesto que la meda cuadrátca de las observacones x x es mayor o gual que la meda artmétca de éstas, es decr D S. x 5.5 Coefcente de varacón meda de Pearson (CV x ). Todas las anterores meddas de dspersón que fueran consderadas antes, son meddas de dspersón absoluta, ya que se expresan en térmnos de la undad que se utlza para hacer medcones. Las meddas de dspersón relatva, evaden este problema al consderar cocentes entre una medda de dspersón absoluta (excepto la varanza) y una medda de tendenca central. En este sentdo el coefcente de varacón meda de Pearson, ndca la relacón exstente entre la S desvacón típca de una muestra y su meda, ya que se defne como CVx =. X Al dvdr la desvacón típca por la meda se converte la medcón en un valor lbre de la undad de medda. Así pues, s comparamos la dspersón en varos conjuntos de observacones, el que tenga menor dspersón será el que tenga menor coefcente de varacón. Este coefcente es quzás el más mportante y fable de las meddas de dspersón relatva, entre otras razones por venr expresado en térmnos de dos estadístcas ben reconocdas que en general son objetvas y representatvas de un conjunto de datos. Además, permte comparacones de varacón de conjuntos de datos expresados en dferentes undades de medda. El prncpal nconvenente del coefcente de varacón meda de Pearson (y de otros coefcentes defndos de manera smlar), es que al ser un coefcente nversamente proporconal a la meda artmétca, cuando ésta tome valores cercanos a cero, a menos que se lleve a cabo un cambo de orgen en los datos. 5.7 Ejemplos. Ejemplo. Altura de unas palmeras Las alturas de 5 palmeras son 4 metros, 6 metros, 0 metros, 8 metros y 0 metros. S las meddas se camban a decímetros, cómo cambará la desvacón estándar? a) Aumentará en 0 b) Dsmnurá en 0 c) Aumentará en un factor de 0 d) Dsmnurá en un factor de 0 e) o cambará - 6 -

7 Dscusón. Este ítem pretende valorar s se reconoce la manera como se afecta la desvacón estándar cuando se ntroduce un cambo en la escala de los datos y en este caso la respuesta correcta es la opcón (c). Los dstractores (a) y (b), expresan que el cambo en la escala de los datos tene un efecto adtvo., lo cual es falso. La opcón (d) aunque sugere que s hay un cambo multplcatvo no se reconoce el sentdo correcto en que se da. Y por últmo, la eleccón de la opcón (e) sugere que se pensa equvocadamente, en que la desvacón estándar es nvarante ante cambos de escala. Ejemplo. Trabajo perddo en una empresa. Durante los últmos vente días laborables, el número total de horas de trabajo perddas daramente en una empresa de cen obreros vene dada por los datos:, 3,,,, 4,,,,, 800, 6, 8, 400,, 5, 4, 6, 3,. a) S se supone que la jornada laboral es de ocho horas daras, qué porcentaje medo de horas se han perddo en esos días? b) Encuentre la desvacón absoluta meda, y la desvacón meda respecto a la medana y con base en esta nformacón valore, entre la meda y la medana, cuál de ellas es más representatva de la tendenca central de los datos. Dscusón. En esta empresa el número de horas daras de trabajo corresponde a 00 x 8 = 800. S se denota con x el número de horas de trabajo perddas en un día, el cocente x /800 representa la proporcón de horas de trabajo en ese día. Tambén se puede expresar x /800 en térmnos porcentuales multplcando por 00. Así, (00 x )/800 = x /8 %. En la tabla que sgue se organza la nformacón de los datos sumnstrados. Horas perddas por días Frecuenca Porcentaje x absoluta f por día x /8 % 6 0,5 0, ,50, ,375 0, ,500, ,65 0,65 6 0,750,500 8,000, ,000 50, ,000 00,000 Porcentaje total % Total =5 56,65 El porcentaje medo de horas perddas a lo largo de los vente días es la meda artmétca de los porcentajes totales (últma columna de la tabla). Por lo tanto el porcentaje medo de horas de trabajo perddas en térmnos de la meda artmétca es 56,65/0 = 7,83. Para determnar el valor de la desvacón absoluta meda respecto a la meda artmétca y respecto a la medana, se organzan los cálculos ntermedos en la sguente tabla

8 x f F x f x x f x Me f , , , , ,65, , ,65 5, ,35 397, ,35 797,5 Total ,40.5,0 Medas 6,65 07,50 6,3 La meda artmétca de horas daras de trabajo perddo es x = 53/0 = 6,65. Entonces la desvacón meda respecto a la meda artmétca se obtene del cocente 49,4/0 = 07,5. La medana de horas daras de trabajo perddo se ubca entre el dato 0 y el, por lo que entonces la medana es (+3)/ =,5. Por lo tanto, la desvacón absoluta respecto a la medana se obtene del cocente 55/0 = 6,3. El tamaño de la desvacón absoluta meda respecto a la meda artmétca sugere poca representatvdad para la meda artmétca. En realdad, la desvacón absoluta meda respecto a la meda artmétca vene más nfluencada por los valores extremos 400 y 800, algo atípcos dentro de la sere de datos. La medana, al consderar los datos extremos no por su valor sno por la poscón que ocupan dentro del conjunto ordenado de los datos, refleja de forma más realsta la tendenca central. De hecho el valor de la desvacón absoluta meda respecto a la meda artmétca, cas duplca el valor de la desvacón absoluta meda respecto a la medana. Las consderacones anterores sugeren entonces que la medana es más representatva que la meda. Ejemplo 3. Valoracón de la gestón del alcalde. Para conocer la conformdad de los habtantes de Bogotá, acerca de la gestón realzada por el actual alcalde de la cudad, durante el perodo en el que ha despeñando sus funcones, se practcó una encuesta de opnón a 740 personas, en donde se calfcaba la gestón del alcalde en una escala de 0 a 0. Los resultados de la encuesta fueron los que se muestran en la sguente tabla. Determne la meda artmétca de las calfcacones arrojadas por la encuesta y estme la representatvdad de dcha meda. Calfcacón de la gestón úmero de encuestados [0, ) 50 [, 3) 60 [3, 4) 90 [4, 6) 00 [6, 8) 40 [8, 9) 0 [9, 0]

9 Dscusón. Una dsposcón práctca para exhbr los cálculos que se requeren para hallar la meda y la varanza de la muestra se presentan en la tabla de la págna sguente. De los datos de la tabla se puede encontrar la meda artmétca como 440/740 = 5,97. La varanza resulta del cocente 504, 46/ 740 = 6,9 y la desvacón estándar es la raíz cuadrada de 6,9, es decr,,63. Tambén es posble hallar la varanza con la expresón alternatva dada por (x ) f (x) de donde se obtene (3.505/740 (5,97) = 6,9. = Calfcacón f x x f ( x x ) f x f [0, ) 50 0, ,67,5 [, 3) 60, ,07 40,0 [3, 4) 90 3, ,40 0,5 [4, 6) 00 5, ,67 500,0 [6, 8) 40 7, ,5 760,0 [8, 9) 0 8, , ,0 [9, 0] 80 9, ,9 70,0 Total , ,0 Observe que el valor de la desvacón estándar resulta ser menor que una vez el valor de la meda artmétca. S este hecho se consdera como crtero práctco, se tene que la meda es aceptablemente representatva. Ejemplo 4. Reaccón ante una vacuna para la grpe Como parte de una nvestgacón para combatr la grpe común, un grupo de 500 personas se dstrbuyó en cncuenta grupos de de dez personas cada grupo y se les aplcó una vacuna expermental. Luego se anotó el número de personas por grupo que presentó reaccón ante la vacuna. Los datos obtendos se muestran en la sguente tabla: úmero de personas por grupo que reacconan a la vacuna úmero de grupos a) Encuentre la meda artmétca y la desvacón estándar σ del número de personas por grupo que tuveron reaccón ante la vacuna. b) Qué porcentaje de personas reaccona ante la vacuna entre (x σ, x + σ ) y entre (x σ,x + σ )?. σ es la desvacón estándar de la varable X. Dscusón. Una dsposcón práctca para exhbr los cálculos para hallar la meda y la desvacón estándar de la muestra se presentan en la sguente tabla, donde x denota el número de personas por grupo con reaccón ante la vacuna y f el número de grupos

10 x f x f ( x x ) f , , , , , , , , , , ,98 Total ,0 Con base en la nformacón de la tabla se tene que la meda artmétca se obtene como 43/50 =,86. Para la varanza se calcula 30,0/50 = 6,, de donde la desvacón estándar, al sacar la raíz cuadrada, da,49. En cuanto al lteral (b,) se tene que entre (x S) =,86 -,49 = 0,37 y (x + S) =,86 +,49 = 5,35, hay x9 + x8 + 3x8 + 4x5 + 5x3 = 84 personas, mentras que entre ( x S) =,86 x(,49) =. y (x + S) =,86 + x(,49) = 7,84, hay x3 + 7x = 5 personas. En el prmer caso el porcentaje de personas a una desvacón de la meda es de 84/43 = 58,74% y a dos desvacones de la meda hay 5/43 = 87,4%. Observe que los resultados son consstentes, con lo que dce la versón frecuencal de la llamada desgualdad de Tchevchev. Ejemplo 5. Temperaturas regstradas en un observatoro En un observatoro meteorológco de Canadá se llevó un regstro de las temperaturas, en grados centígrados, durante los prmeros 59 días del año 008 y se anotaron en la tabla que se muestra a contnuacón. Temperatura (ºC) úmero de días [-, -8) [-8, -5) 4 [-5, -) 8 [-, 0) 8 [0, 4) 7 [4, 6) 6 [6, 8) 3 [8, 0] - 0 -

11 a) Encuentre los coefcentes de varacón cuartílca y de varacón meda de Pearson y evalué cuál de los dos coefcentes mde de manera más fable la dspersón relatva de las temperaturas. b) S se transforma la medcón de la temperaturas de la escala de grados centígrados a la escala de grados Fahrenhet (ºF = 3 + 9/5xºC) Cuál coefcente resulta más fable? Dscusón. Dado que para calcular los coefcentes de varacón cuartílca y meda de Pearson se requere determnar el valor de los cuartles prmero y tercero, la meda artmétca y la desvacón estándar, en la tabla de la págna sguente se dsponen algunos de los cálculos requerdos. Para encontrar los cuartles se debe empezar por determnar las poscones de los cuartles las cuales resultan de calcular /4 = 59/4 = 4,75 y 3/4 = (3x59)/4 = 44,5. Entonces, aplcando la fórmula general dada en el ejercco 6 del capítulo anteror, para establecer el valor de un cuantl, tomando s = 3, es decr: F s C (s) = L + a f para =,,, s-. donde L -, f y a desgna el límte nferor, la frecuenca absoluta y la ampltud del ntervalo, respectvamente, de la clase a la que pertenece el cuantl y F - la frecuenca acumulada absoluta de la clase anteror a ella. Así se obtene 4, ,5 3 Q = + =,97 y Q = =, Temperatura (ºC) f x F x f ( x x ) f [-, -8) -0,0-0 0,36 [-8, -5) 4-6, ,77 [-5, -) 8-3, ,9 [-, 0) 8 -, ,4 [0, 4) 7, ,7 [4, 6) 6 5, ,97 [6, 8) 3 7, ,58 [8, 0] 9, ,39 Total ,93 La meda artmétca de la temperatura es /59 = 0,034 ºC, la varanza se obtene de 930,93/59 = 5,78, y la desvacón estándar se obtene al sacar la raíz cuadrada a este número dando 3,97. ºC. De lo anteror se llega a que el coefcente de varacón cuartílca es: Q Q 3,88 (,97) V = = = 4,973 Q Q + Q,88 + (,97) 3 Mentras que el coefcente de varacón de Pearson da: S 3, 97 V = = 7,7 =, 7% x x 0,034 Como se puede notar, el valor del coefcente de varacón de Pearson resulta muy dstorsonado debdo a la proxmdad de la meda artmétca al valor cero. En este caso resulta más razonable utlzar el coefcente de varacón cuartílca. - -

12 Ahora ben, cuando se camba la escala de los datos aplcando la relacón ºF = 3 + 9/5xºC, se obtene la sguente tabla de frecuencas. Temperatura (ºF) f x F x f ( x x ) f [0,4; 7,6) 4,0 8,0 65,40 [7,6; 3,0) 4 0,3 6 8, 553,9 [3,0; 8,4) 8 5,7 4 05,6 33,70 [8,4; 3,0) 8 30, 3 543,6 6,34 [3,0; 39,) 7 35, ,,9 [39,; 4,8) 6 4, ,43 [4,8; 46,4) 3 44, ,8 47,68 [46,4; 50,0] 48, 59 48, 60,47 Total 59 89,6 306, Ahora los cuartles nferor y superor venen dados por 4, ,5 3 Q = 8, 4 + 3,6 = 8,55 y Q = 3 + 7, = 37, Con estos resultados se obtene el coefcente de varacón cuartílca y el coefcente de varacón de Pearson así: 37,9 8,55 V = = 0,3 = 3,% Q 37,9 + 8,55 306, 59 V = 0,3 =,3% x 89,6 59 En este caso con ambos coefcentes se manfesta una baja dspersón relatva, sendo el coefcente de varacón de Pearson más fable que el de la varacón cuartílca, dado que el prmero tene en cuenta toda la nformacón de los datos, mentras que el segundo solamente la poscón ordenada de los valores de los datos. Ejemplo 6. Pesos de dos grupos de estudantes. El médco de un colego regstra las medas artmétcas y las varanzas de los pesos de dos grupos A y B, como se muestran en la sguente tabla: Grupo Meda Varanza A 64 g,4 g B 68 g, g a) S se sabe que la meda artmétca de los dos grupos es 67, en qué proporcón están los tamaños de los dos grupos A y B? b) Cuál es la varanza conjunta de los dos grupos? - -

13 Dscusón. Suponga que A y B son los tamaños de la muestras de los grupos A y B. Como 67 corresponde a la meda ponderada de las medas de los grupos A y B, se puede plantear que = A B. De donde se tene que 67 ( A + B ) = 64 A + 68 B, entonces (67 64) A = (68 + A B 67) B ; que es lo msmo que 3 A = B. Es decr, A y B están en proporcón de uno a tres. Para encontrar la varanza ponderada se requere realzar un poco de álgebra. Supóngase que x, x,, x A, x y S son los pesos del grupo A, su meda y su varanza, respectvamente, y que y x, y,, y B, y y S y los pesos, la meda y la varanza relatvas al grupo B. S z y grupo completo se tene que: S A B = (x z) + (y z) z + A B = = = A A A = (x x) + (x z) (x x) + (x z) + + A B = = = B B A (y y) + (y z) (y y) + (y z) + A B = = = Pero dado que A B (x x) = (y y) = 0, entonces se tene que: = = S representa la meda y la varanza del z A B ((x x) (x z)) ((y y) (y z)) A B = = A B S = (x x) + (x z) + (y y) + (y z) z A B + + A B = A B = A B A B = (x x) + (x z) + (y y) + (y z) + + A B A = A B B = A B = S + (x z) + S + (y z) x y + + A B A B Por lo tanto S z S + (x z) + S + (y z) A x B y = + A B Reemplazando los datos de medas y varanzas dados en el enuncado y expresando B en térmnos de A se obtene:, 4 + (64 67) + 3, + (68 67) A A S z = = 4, A A - 3 -

14 Observe que aunque las varanzas de cada grupo son relatvamente pequeñas, la del grupo en conjunto es cas cuatro veces más grande. Esto pone de manfesto una dferenca sgnfcatva entre los valores de las medas de cada grupo. Ejemplo 7.. Tempo de atencón en un hosptal. En un hosptal se ha llevado el regstro, sobre el tempo de espera para ser atenddos, de los últmos 30 pacentes que han acuddo a la undad de atencón de urgencas. Los datos se presentan en la sguente tabla: Determne la meda artmétca y la medana de esta dstrbucón de datos y mda la dspersón de los datos en torno a estas estmacones de tendenca central. Tempo de espera f [0; 5) 3 [5;0) 3 [0; 5) 0 [5; 0) 63 [0; 5) 54 [5; 30) 43 [30; 35) [35; 40) 6 [40; 45) 5 [45; 50] Total 30 Dscusón. Para empezar vale la pena recordar que la representatvdad de la meda se debe evaluar con la desvacón estándar, mentras que la de la medana es preferble evaluarla con base en la desvacón meda respecto a la medana. En la tabla que sgue se presentan los prmeros cálculos para hallar los valores de las estmacones requerdas. Tempo de espera f x F x f ( x x ) f x x f x Me f [0; 5) 3,5 3 7,5 759,03 4,4 43, [5;0) 3 7,5 34 3,5 3687,33 9,4 9,4 [0; 5) 0, ,0 3558,5 4,4 448,8 [5; 0) 63 7,5 99 0,5 5,74 0,6 37,8 [0; 5) 54,5 53 5,0 904,97 5,6 30,4 [5; 30) 43 7,5 96 8,5 3555,94 0,6 455,8 [30; 35) 3, ,0 383,6 5,6 87, [35; 40) 6 37,5 34 5,0 87,43 0,6 3,6 [40; 45) 5 4,5 39,5 90,54 5,6 8,0 [45; 50] 47, ,5 846,45 30,6 30,6 Total ,9 048,8-4 -

15 La meda artmétca se obtene como 5890/30 = 8,4 mnutos. Para obtener la medana, prmero ubcamos la poscón la calcular / = 30/ = 60; entonces la medana es Me =5 + [(60-36)/63]x5 = 6,9 mnutos. Para la obtencón de la desvacón estándar, se le saca la raíz cuadrada a la varanza dada por 0.837, 9/ = 65,, para obtener 8,06 mnutos. En cuanto a la obtencón de la desvacón meda respecto a la medana, resulta de.048,8/30 = 6,4 mnutos. El valor de la desvacón estándar en relacón con el de la meda artmétca es,8 veces menor que la meda artmétca, mentras que en el caso de la desvacón meda respecto a la medana es de,64 veces menor que la medana. Como hay una dferenca de (,64-,8) = 0,36, bajo el crtero menconado antes, es preferble utlzar la medana. Sn embargo, el valor un poco más alto de la meda artmétca adverte que hay algunos pocos pacentes que tenen que esperar tempos muy grandes. Ejemplo 8. 8 Varacones en la cranza de anmales. Se tenen dos zoocraderos de guanas, cada uno con 00 guanas. En el zoocradero A los anmales son almentados con una mezcla de sorgo-yerbas-harna de plátano, mentras que los anmales del zoocradero B son almentados con una mezcla de maíz-yerbas-harna de yuca. Estas dferencas en la almentacón han acarreado desarrollos desordenados en las guanas. Dos empleados, Anatoly y Bors, son encargados de observar, medr y clasfcar los anmales. Anatoly se encargó del zoocradero A y Bors del zoocradero B. Los empleados entregaron las sguentes tablas: En cuál de los dos zoocraderos se presenta mayor desorden en el desarrollo de los anmales? Peso (lb) Cantdad [.5-.0) 5 [.0-.5) 0 [.5-3.0) 5 [ ) 30 [ ) 30 [ ) 35 [ ) 45 Longtud (cm) Cantdad [ ) 45 [ ) 35 [ ) 30 [ ) 30 [ ) 5 [ ) 0 [ ) 5 Dscusón. Vale aclarar que para comparar la dspersón de dos conjuntos de datos en donde se manejen dferentes undades de meddas, se debe usar el coefcente de dspersón de Pearson

16 Como los datos están agrupados y las varables son contnuas se requeren las marcas de clases, las cuales aparecen en las sguentes tablas para los dferentes ntervalos de clases. Peso (lb) Cantdad Marcas [.5-.0) 5.75 [.0-.5) 0.5 [.5-3.0) 5.75 [ ) [ ) [ ) [ ) Longtud (cm) ( Cantdad Marcas [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Sea P la varable Peso (en lbras) y L la varable longtud (en centímetros). S f y M son las frecuencas absolutas y las marcas de clases, respectvamente, entonces son las medas artmétcas de las varables P y L. Las varanzas de las varables P y L son = 7 ( ) f M L = 7 f M = P = = = 7 = P y ( ) f M P = 7 f M = L = = S = = = S = = , y las desvacones estándar son S L P = y S L = Por lo tanto, los 00 coefcentes de varacón son respectvamente. S SL = = y CV = = 0.7, para las varables P y L L P L P CV P Como se puede aprecar, los desarrollos han sdo muy smlares en los dos conjuntos de datos, presentándose lgeramente mayor varacón en el zoocradero de Bors. y Ejemplo 9. 9 La recta r que mejor se ajusta a los puntos. Se tenen dez puntos y dos rectas. Los puntos son A(,4), B(,), C(3,5), D(4,3), E(5,6), F(6,4), G(7,6), H(8,4), J(9,8) y K(0,4). Las ecuacones de las rectas son -4x+5y=45 y -4x+5y=47. Cuál de las dos rectas se ajusta mejor al conjunto de puntos? - 6 -

17 Dscusón. Una manera de determnar cuál de las dos rectas se ajusta mejor al conjunto de puntos es consderar las dstancas vertcales entre los puntos y cada una de las rectas, y luego calcular la varanza o desvacón estándar de estas dstancas para cada recta. Por ejemplo, la dstanca vertcal entre un punto P(x,y ) y una recta con ecuacón y=mx+b es mx + b y. Al conjunto de dstancas se le calcula la meda artmétca y fnalmente se calcula la desvacón estándar. El conjunto de dstancas con menor dspersón corresponde a las dstancas de la recta que mejor se ajusta, la cuál es la recta más cercana al conjunto de puntos. A contnuacón se presentan estos cálculos para las rectas x y = y x y =. 5 X Y Y X = 5 Y Y Y Y 4 3,67 0,733 0,360 3,533,533 0, ,800,00 0, ,067,067 0, ,333,667 0, 6 4 4,600 0,600 0, ,867,33 0, ,33,33 0, ,400,600, ,667,667 0, La meda artmétca de las dstancas Y Y es La varanza de las dstancas Y Y es S(Y)=0.54. Tabla: Dstancas con respecto -4x+5y=45. = 7 Y Y = Y = =.333 = 7 = 0 Y Y S (Y) = = ; y la desvacón estándar es X Y Y X = 5 Y Y Y Y 4 3,400 0,600 0,538 3,667,667 0, 3 5 3,933,067 0, ,00,00 0, ,467,533 0,

18 6 4 4,733 0,733 0, ,000,000 0, 8 4 5,67,67 0, ,533,467, ,800,800 0,8 Tabla: Dstancas con respecto -4x+5y=47. La meda artmétca de las dstancas Y Y es La varanza de las dstancas Y Y es S(Y)=0.55. = 7 Y Y = Y = =.333 = 7 = 0 Y Y S (Y) = = ; y la desvacón estándar es Al comparar las dspersones se concluye que la recta que mejor se ajusta al conjunto de puntos es - 4x+5y= Ejerccos.. A contnuacón se presenta la nformacón dada por dez estudantes con respecto a la dstanca, medda en cuadras, del lugar en donde ellos vven, al colego en donde estudan a) Con qué meddas estadístcas se puede resumr la dstanca que tene que recorrer un estudante para r de su hogar al colego? Alguna de esas meddas es más apropada? Explque. b) Con base en qué medda estadístca se puede resumr la varabldad de las dstancas recorrdas por los estudantes? Alguna de esas meddas es más apropada? Explque. c) Qué representacones gráfcas se podrían utlzar para lustrar la stuacón? Alguna de esas representacones gráfcas es más apropada? Explque.. La sguente nformacón presenta los datos en mles de pesos de los salaros de secretaras que trabajan en cuatro empresas dferentes: Empresa : Empresa : Empresa 3: Empresa 4: Con qué meddas estadístcas de tendenca central y de dspersón sería apropado resumr el comportamento de los salaros de las secretaras de cada una de las empresas anterores? - 8 -

19 3. Construya un conjunto de dez datos que tenga un promedo de 39.9 y una desvacón estándar de Proponga tres conjuntos, cada uno de 0 datos que satsfagan las sguentes condcones: promedo 6 y desvacón estándar ; promedo 0 y desvacón estándar ; promedo 7 y desvacón estándar. 5. Construya un conjunto de dez datos con las sguentes característcas: promedo 39.9; que todos los datos sean dferentes; y que la dstanca entre cualquer par de datos contguos, una vez ordenados de manera ascendente o descendente, sea la msma. Con respecto al valor de la desvacón estándar que se obtuvo con los datos ncales del ejercco, qué relacón de orden espera encontrar entre las desvacones estándar correspondentes a la dstrbucón del ejercco y a la que acaba de construr? qué efecto puede tener sobre la desvacón el aumentar o dsmnur la dstanca entre los datos? 6. Construya un conjunto de dez datos con las sguentes tres característcas: promedo de 39.9; que los datos contengan sólo dos valores dferentes, y tal que los dos valores dferentes ocurran con dstnta frecuenca. Bajo las condcones anterores, ntente establecer una relacón entre los dos valores de frecuencas de los datos y las dos dstancas de los datos al promedo. 7. A contnuacón se presenta la representacón gráfca de un par de dstrbucones: Dstrbucón. Dstrbucón. Cuál de las dos dstrbucones le parece que es más dspersa? Qué efecto puede tener sobre los valores de las meddas de dspersón, el que las frecuencas de los valores de las dstrbucones anterores se camben pero mantenéndose la msma relacón de 3 a que se nsnúa en las gráfcas? 8. Construya un conjunto de dez datos con las sguentes tres característcas: promedo de 39.9; que los datos contengan sólo dos valores dferentes, y tal que los dos valores dferentes ocurran con gual frecuenca. Luego calcule el rango y la desvacón estándar. Luego, proponga otros conjuntos que satsfagan las msmas condcones anterores y trate de dentfcar un patrón de relacón entre la desvacón estándar y el rango. 9. Construya dos nuevos conjuntos de datos U y V, que satsfagan smultáneamente la sguentes condcones: la desvacón estándar de los elementos de U debe ser mayor que la desvacón estándar de los elementos de V, el rango de los elementos de U debe ser menor que el rango de los elementos de V. 0. En un zoocradero destnado a la cría de chgüros se ha descudado la almentacón de estos anmales y se ha presentado un desarrollo nesperado. Se han clasfcado los anmales en 0 grupos, tenendo en cuenta sus pesos en logramos. La sguente tabla muestra la cantdad de anmales en cada categoría de pesos: - 9 -

20 Pesos Cantdad de anmales a) Calcule la meda y la desvacón estándar para estos datos y evalúe la representatvdad de la meda como medda de tendenca central, Será preferble la medana? b) Verfque la versón frecuencal de la desgualdad de Tchevchev para los casos de dos desvacones respecto a la meda y tres desvacones respecto a la meda. En un colego, los estudantes de grado 0 se reparten en cuatro grupos {A, B, C, D} de gual cantdad de estudantes para las asgnaturas no deportvas. Se practca el examen fnal de físca. La sguente tabla muestra las calfcacones obtendas por los estudantes en cada grupo: A B C D a) Qué porcentaje x de las notas de los estudantes satsface las desgualdades? (I) x σ < x < x + σ (II) x σ < x < x + σ (III) x 3σ < x < x + 3σ b) En cuál de las asgnaturas se presenta mayor dspersón?. Como parte de un programa de control de caldad en la produccón de baterías para usar en dferentes aparatos eléctrcos, se someten a una prueba de duracón 64 baterías de tpo A y 05 baterías de tpo B, provenentes de dos fabrcantes dferentes. Los resultados obtendos se organzan en la sguente tabla: - 0 -

21 Tempo de duracón (en días) Tpo A (frecuenca) Tpo B (frecuenca) [90; 0) 6 7 [0; 50) 9 [50; 80) 8 3 [80; 0) 9 [0; 40) 7 [40; 70) 3 4 a) Compare la varabldad de ambas dstrbucones de datos en térmnos de coefcentes de dspersón relatva. b) Comente acerca de la fabldad de los coefcentes que fueron consderados en el lteral anteror. 3. Un examen de Cálculo se aplcó a los cuatro grupos de grado de una nsttucón. En la sguente tabla se presentan las frecuencas absolutas. otas Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D [ ) 8 4 [0.5.0) [.0.5) [.5.0) [.0.5) 4 5 [.5 3.0) [ ) [ ) [ ) [ ] Calcular para cada grupo el Coefcente de Varacón de Pearson y ordénelos de menor a mayor grado de heterogenedad. 4. En un zoocradero destnado a la cría de chgüros para exportacón se ha descudado la almentacón de los anmales y se ha presentado un desarrollo nesperado en estos. Se han clasfcado los anmales en 0 grupos, tenendo en cuenta sus pesos en logramos. La sguente tabla muestra la cantdad de anmales en cada categoría de pesos: Pesos Cantdad de anmales

22 a) Calcule la meda y la desvacón estándar para estos datos y evalúe la representatvdad de la meda como medda de tendenca central, Será preferble la medana? b) Verfque la versón frecuencal de la desgualdad de Tchevchev para los casos de una desvacón respecto a la meda y dos desvacones respecto a la meda 5. Se tenen dos zoocraderos (A y B) de guanas, cada uno con 00 guanas. En el zoocradero A los anmales son almentados con una mezcla de sorgo-yerbas-harna de plátano, mentras que los anmales del zoocradero B son almentados con una mezcla de maíz-yerbas-harna de yuca. Estas dferencas en la almentacón han producdo desarrollos desordenados en las guanas. Dos empleados, Anatoly y Bors, son encargados de observar, medr y clasfcar los anmales. Anatoly se encargó del zoocradero A y Bors del zoocradero B. Desafortunadamente Anatoly tomó los pesos y Bors tomó la longtud narz-cola, y con eso entregaron las sguentes tablas: Pesos (g) Cantdad Longtudes (cm) Cantdad [4,00-6,50) 0 [50-57) 0 [6,50-9,00) 35 [57-64) 0 [9,00-,5) 55 [64-7) 0 [,5-4,0) 40 [7-78) 5 [4,0-6,5) 5 [78-85) 45 [6,5-8,0) 5 [85-9) 55 [8,0-0,5] 0 [9-99] 5 De acuerdo al coefcente de varacón, en cuál de los dos zoocraderos se presenta mayor desorden en el desarrollo de los anmales? 6. El sguente dagrama representa la dstrbucón de frecuencas de los valores de una varable contnua X. Calcule el coefcente de varacón de Pearson [ 00, 0 ) [ 0, 0 ) [ 0, 30 ) [ 30, 40 ) [ 40, 50 ) [ 50, 60 ) [ 60, 70 ) [ 70, 80 ] 7. La sere fnal de un campeonato de bésbol fue dsputada por los equpos A y B, durante la temporada en cada equpo partcparon 40 jugadores. Al fnal de la sere se contablzaron los batazos de ht - -

23 conectados por los dos equpos y se construyeron las dstrbucones que se muestra en las sguentes tablas: Equpo A Hts Jugadores Equpo B Hts Jugadores En cuál de los dos equpos el rtmo de bateo fue más homogéneo durante la temporada? 8. Un embarque de 0 computadoras smlares que se envía a un dstrbudor contene 8 aparatos defectuosos. Una escuela escoge aleatoramente 0 de estas computadoras y las compra. Se defne la varable aleatora X como el número de computadoras defectuosas entre las computadoras compradas. Cuál es la varanza de la varable X? 9. Un juego consste en lanzar cnco dados, apostar $000 y ganar $000 por cada cnco que aparezca, es decr, s le salen n cncos se gana 000n pesos. Otro juego consste en lanzar ses dados, apostar $50 y ganar $50 por cada cnco que aparezca, es decr, s le salen n cncos se gana 50n pesos. En ambos juegos, s al jugador no le sale el número apostado, entonces perde el doble del dnero apostado. En cual de los dos juegos varía en mayor grado la gananca? 0. En un salón de juegos se encuentran dos objetos (A y B) de tro al blanco, los cuales están formados por 5 círculos concéntrcos de rados 0 cm, 0 cm, 30 cm, 40 cm y 50 cm. Un hombre que dspara al blanco en el objeto A recbe 50 puntos, 40 puntos, 30 puntos, 0 puntos o 0 puntos, según pegue en la zona (círculo pequeño), zona, zona 3, zona 4 o zona 5 (anllos crculares). Un hombre que dspara al blanco en el objeto B recbe 45 puntos, 40 puntos, 35 puntos, 30 puntos o 0 puntos, según pegue en la zona (círculo pequeño), zona, zona 3, zona 4 o zona 5 (anllos crculares). La probabldad de que el dsparo haga contacto con cualquera de las 5 zonas del blanco es /3, y la probabldad de no dar en el blanco es /3. S X se defne como el puntaje ganado por jugador que dspara en el objeto A, y Y se defne como el puntaje ganado por un jugador que dspara en el objeto B, En cuál de los dos objetos hay mayor varabldad en las ganancas obtendas? - 3 -