INTEGRACIÓN MÚLTIPLE. Introducción. El volumen bajo una superficie. V V Ci

Transcripción

1 INTEGRCIÓN MÚLTIPLE Introduccón La ntegral defnda undmensonal aporta las herramentas necesaras para calcular áreas y volúmenes. hora ben, por lo que se refere al cálculo de volúmenes, no da respuesta al problema de encontrar el volumen de una fgura trdmensonal arbtrara, pues sólo se determna el volumen de fguras con determnadas característcas. Vamos a ver, entre otras muchas aplcacones, cómo la ntegral múltple da respuesta general a este problema. En prmer lugar, vamos a ocuparnos de la ntegral doble. El desarrollo es, en líneas generales, smlar al realzado con la ntegral de una varable. Por ello, en buena medda, las defncones y resultados resultarán famlares y se podrá avanzar con certa rapdez. Posterormente, se desarrollará brevemente la ntegral trple, fnalzando el tema con el estudo de algunas aplcacones de la ntegracón múltple. El volumen bajo una superfce Consdérese una funcón no negatva f : [a, b] [c, d] R, se desea calcular el volumen del sguente subconjunto de R: = {(x, y, z) : (x, y) D, 0 z f(x, y)}, donde D denota el domno de f, es decr, el rectángulo [a, b] [c, d]. Se trata de un conjunto que tene por techo la superfce de ecuacón z = f(x, y) y cuyo suelo es el domno de f. La fgura sguente ayuda a vsualzar el conjunto cuyo volumen se quere calcular. Se traza en el rectángulo [a, b] [c, d] una malla formada por celdas sufcentemente pequeñas de forma que en cada una de estas celdas, C, la funcón f(x, y) varía de unos puntos a otros muy poco. Obvamente, el volumen buscado es la suma de los volúmenes de los prsmas (curvlíneos) que tenen por suelo cada celda y por techo el correspondente trozo de la superfce z = f(x, y) V V C donde V(C ) denota el volumen del prsma cuya base es la celda C. El volumen de cada prsma curvlíneo puede aproxmarse (tanto mejor en cuanto las celdas sean más pequeñas) por f(x, y) r(c), lberto Vara 1

2 Por tanto, una aproxmacón razonable del volumen bajo nuestra superfce vene dada por la expresón,. V f x y r C El valor de esta suma camba al tomar una malla dferente, pero a medda que las celdas son más pequeñas, el valor que se obtene da una mejor aproxmacón al volumen buscado. Esta deas llevan a defnr el volumen bajo la superfce z = f(x, y) como el límte haca el que se aproxman estas sumas. Precsamente, como se verá en las seccones sguentes, esta es la forma de defnr la ntegral doble a, bc, d La ntegral doble sobre un conjunto acotado Sea un subconjunto acotado de R 2 y f : R una funcón acotada. Para defnr la ntegral doble de f en, se necesta el concepto de sumas de Remann. Como es acotado, puede escogerse un rectángulo [a, b] [c, d] contenendo el conjunto. Para producr una malla en el rectángulo, se dvde los ntervalos [a, b] y [c, d] en partes guales de longtudes Δx y Δy, respectvamente. l trazar por los puntos de dvsón rectas paralelas a los ejes coordenados, se produce una malla cuyas celdas tenen las dmensones Δx Δy. Se denota por C 1,..,C n la celdas producdas (numeradas de abajo haca arrba y de zquerda a derecha) que nterceptan al conjunto y se escoge en cada una de ellas un punto ntermedo (x, y). f x, y dxdy lberto Vara 2

3 La suma n 1 f x, y x y se denomna suma de Remann para la ntegral doble de f en. Puede denotarse por S f, x, y, x, y o, de forma más breve, por S(f,Δx,Δy). Se drá que f es ntegrable (en el sentdo de Remann) en el conjunto s exste (y es fnto) el límte n lm, x, y0,0 1 f x y x y en cuyo caso, el valor de este límte se denota por f x, y dxdy y recbe el nombre de ntegral doble de f en el conjunto. Propedades báscas de la ntegral doble 1. Condcón sufcente de ntegrabldad. Sea R 2 un conjunto acotado medble (en el sentdo de Remann) y f : R una funcón acotada. S f es contnua en salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos cuya área es cero, entonces f es ntegrable en. 2. Lnealdad. S f y g son ntegrables en y c es una constante real, entonces f + g y cf son ntegrables en y se verfca f g dxdy f dxdy gdxdy a) b) cf dxdy c f dxdy 3. dtvdad. Sean y B dos subconjuntos de R 2. S f es ntegrable en ambos conjuntos y B tene área nula, entonces f es ntegrable en B y se verfca f dxdy f dxdy f dxdy B B 4. Monotonía. S f y g son ntegrables en y verfcan f(x, y) g(x, y), para cada (x, y), entonces f dxdy gdxdy 5. La meda ntegral. S f es ntegrable en y m f(x, y) M ( (x, y) ), entonces exste c [m, M] de modo que f dxdy c. r( ) lberto Vara 3

4 rea de un recnto plano Se ha vsto cómo la ntegral doble puede usarse para calcular volúmenes. Pero esta no es la únca aplcacón geométrca. En ese apartado se verá que la ntegral doble tambén puede usarse para calcular áreas de recntos planos. Concretamente, se va a mostrar que 1dxdy representa el área del recnto (acotado) bdmensonal. S I = [a, b] [c, d] es un rectángulo contenendo, consdérese una malla con celdas C de dmensones Δx y Δy. Nótese que S 1, x, y xy con la suma extendda a todas los celdas que cortan al conjunto. Como éstas recubren, se sgue que S(1,Δx,Δy) es una aproxmacón por exceso al á rea de n 1 Por últmo, basta tener en cuenta que, s la ntegral 1dxdy exste, se puede escoger una malla sufcentemente fna (Δx y Δy pequeños) como para que las sumas de Remann sean tan próxmas como se quera al valor de la ntegral anteror, cualquera que sea la eleccón de los puntos ntermedos. Esto, junto con las deas anterores, justfcan que se tome la ntegral como el área del recnto. Cuando la funcón constantemente gual a 1 es ntegrable sobre un conjunto, se dce que el conjunto es medble (en el sentdo de Remann). Sólo sobre estos conjuntos tene sentdo consderar la ntegral doble. La ntegral doble sobre conjuntos proyectables Se va a consderar dos tpos de conjuntos medbles para los que la ntegral doble puede calcularse por ntegracón reterada. Defncón (Conjuntos x-proyectables). Un subconjunto de R 2 se dce que es x-proyectable s es de la forma = {(x, y) R 2 : a < x <b, f 1 (x) y f 2 (x)}, donde f 1 y f 2 son funcones contnuas en [a, b] que verfcan f 1 (x) f 2 (x), para cada x [a, b]. lberto Vara 4

5 S exsten las ntegrales nvolucradas, se verfca: b y f2x f x, ydxdy f x, ydydx a y f1 x 2 Ejemplo. Calcular x y dxdy ; sendo = {(x, y) R 2 : 0 x 1, 0 y x}. es el conjunto x-proyectable. plcando la fórmula anteror se obtene 1 x 1 3 y x y dxdy x y dydx xy dx y0 2 2 yx 1 3 yx y 2 x x x 5 xy dx x dx y Defncón. (Conjuntos y-proyectables). Un conjunto R 2 se llama y-proyectable s es de la forma = {(x, y) R 2 : c y d, g 1 (y) x g 2 (y)}, sendo g 1 y g 2 funcones contnuas en [c, d] que verfcan g 1 (y) g 2 (y), para todo y [c, d]. lberto Vara 5

6 Gráfcamente, los conjuntos y-proyectables tenen la forma que se ve en la fgura. Igual que en el caso anteror, s exsten las ntegrales nvolucradas se verfca: b y f2x f x, ydxdy f x, ydydx a y f1 x Cambo de varables en la ntegral doble l gual que en el caso undmensonal, exste una fórmula de cambo de varables para la ntegral múltple. Para abordar esta fórmula para el caso de la ntegral doble, debe recordarse el enuncado en el caso de una varable. Teorema. (Cambo de varables en la ntegral doble).- Sea R 2 un conjunto medble y consderemos el cambo de varables defndo por u : (x 1, x 2 ) (u 1 (x 1, x 2 ), u 2 (x 1, x 2 )). S u es dferencable con contnudad, nyectva y su jacobano, (u 1,u 2 )/ (x 1,x 2 ), no se anula en, entonces se verfca la gualdad Obervacones: 1. El Teorema es certo aún en el caso de que el jacobano se anule en un conjunto de área Cuando u 0, en el Teorema relatvo al cambo de varable en la ntegral undmensonal no se exge que u sea nyectva en [a, b]. Pero, nótese que u es estrctamente crecente o decrecente y, por tanto, es forzosamente nyectva. S se tene ésto presente, se ve que la fórmula de cambo de varables para la ntegral doble presenta una gran analogía con la correspondente del caso de una varable, basta susttur u (x) por det(u (x 1, x 2 )) = (u 1,u 2 )/ (x 1,x 2 ). Ejemplo. Calcular sendo B = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4}. B 2 2 x y dxdy La forma del conjunto B aconseja realzar el cambo de las coordenadas cartesanas por las polares: x = ρ cos ω, y = ρ sen ω. La funcón vectoral que camba de coordenadas está defnda por (ρ, ω) [1, 2] [0, 2π] (x, y) = (ρ cos ω, ρ sen ω) B. Es fácl convencerse de que transforma bunívocamente el conjunto = [1, 2] [0, 2π] sobre B (basta tener en cuenta que ρ 2 = x 2 + y 2, por lo que las coordenadas polares, (ρ, ω), de cualquer punto (x, y) B tenen que verfar las relacones 1 ρ 2 y 0 ω 2π). S se aplca la fórmula de cambo de varables de dereha a zquerda: B xy, x y dxdy dd, dd d d d lberto Vara 6

7 La ntegral trple Dada la gran analogía entre las ntegrales doble y trple, en este apartado se va a hacer un desarrollo rápdo de la ntegral trple con un detenmento especal en las técncas, que por ser más propas de la ntegral trple, lo requeran. I) Sumas de Remann. El punto de partda es el concepto de ntervalo trdmensonal. Se llama así a un conjunto de la forma I = [a, b] [c, d] [e, f]. Se trata de un paralelepípedo con caras paralelas a los planos coordenados. S, sobre cada eje, dvdmos los ntervalos [a, b], [c, d] y [e, f] en partes guales de longtud Δx, Δy y Δz, respectvamente, los planos paralelos a los planos coordenados pasando por los puntos de dvsón producen una malla con celdas de dmensones Δx Δy Δz. El volumen de cada celda es Δx Δy Δz. Dados un conjunto acotado R3 y una funcón acotada f : R, denotando por C 1,..,C n las celdas que nterceptan al conjunto. Escogdo en cada una de ellas un punto (x, y, z ), se defne la suma de Remann como: n S f, x, y, z f x, y, z xyz 1 Obsérvese que cada sumando es el producto del volumen de una celda C por el valor de f en un punto de C. La fgura sguente puede ayudar a comprender mejor el sgnfcado geométrco. lberto Vara 7

8 II) Defncón de la ntegral trple. De forma análoga al caso de la ntegral doble, se drá que f es ntegrable en s exste el límte (y es fnto) de las sumas de Remann y dcho límte se denota por f x, y, Cuando exste la ntegral 1dxdydz el conjunto se llama medble. Se va a mostrar que la ntegral anteror representa el volumen del conjunto. Para ello, consderamos una malla con Δx, Δy y Δz pequeños e nterpretamos geométrcamente la suma n 1 f x, y, z xyz En este caso la funcón ntegrando es constantemente gual a 1, por tanto, la suma tene la forma S f, x, y, z xyz Es decr, una suma de Remann es exactamente la suma de los volúmenes de todas las celdas que cortan al conjunto y, por tanto, representa una aproxmacón (por exceso) al volumen de. n 1 Esta aproxmacón mejora tanto más en cuanto más fna es la malla. Los subconjuntos de R 3 medbles son los úncos para los que tene sentdo consderar la ntegral trple f x, y, Las propedades de esta ntegral son las msmas que ya se han vsto al estudar la ntegral doble, con los cambos oportunos. lberto Vara 8

9 III) Cálculo de ntegrales trples. Los conjuntos más smples que se pueden consderar son los que se denomnarán proyectables. 1) Conjuntos xy-proyectables. Un conjunto se llama xy proyectable s es de la forma {(x, y, z) : (x, y) D, g 1 (x, y) z g 2 (x, y)}, donde D R 2 es medble y g 1, g 2 : D R 2 R son dos funcones contnuas que verfcan g 1 (x, y) g 2 (x, y), para cada (x, y) D. Nótese que está formado por los segmentos paralelos al eje OZ que tenen sus extremos en sendos puntos de las superfces z = g 1 (x, y) y z = g 2 (x, y). Es fácl probar que la ntegral sobre se calcula como sgue zg2x f x, y, zdxdydz f x, y, zdzdxdy D zg1 x en el caso de que exstan las ntegrales nvolucradas (lo que ocurre, por ejemplo, s f es contnua en salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos con volumen 0). De forma smlar se procede para calcular una ntegral trple sobre un conjunto xz-proyectable (caso II), e yz-proyectable (caso III). Ejemplo. Calcular el volumen del conjunto lmtado por las superfces z = x 2 + y 2 y x 2 + y 2 + z 2 = 2 (nteror al parabolode). lberto Vara 9

10 z = x 2 +y 2 es un parabolode con eje de revolucón el eje OZ y x 2 +y 2 +z 2 = 2 es una superfce esférca de centro el orgen y rado 2. En la fgura se ha representado gráfcamente el conjunto nterseccón de con el prmer octante, que denotamos por B. El volumen peddo vene dado por vol( ) 4 1dxdydz B es xy proyectable sobre el conjunto D. Por tanto, se puede calcular vol() como sgue vol( ) 4 B 2 2 z 2 x y D 2 2 zx y dzdxdy x y x y dxdy D Como ayuda al cálculo de la ntegral doble anteror, se puede representar gráfcamente el conjunto D en una fgura aparte. Por la forma del conjunto D y del ntegrando, es convenente hacer un cambo a coordenadas polares. S (x, y) es un punto de D y (ρ, ω) son sus coordenadas polares, entonces (ρ, ω) pertenece al conjunto T = [0, 1] [0, π/2 ] y vceversa. Por tanto, la ntegral doble se converte en vol( ) 4 d 2 d IV) Cambo de varables en la ntegral trple. Teorema. Sea R 3 medble y consderemos el cambo de coordenadas defndo por u(x 1, x 2, x 3 ) = (u 1 (x 1, x 2, x 3 ), u 2 (x 1, x 2, x 3 ), u 3 (x 1, x 2, x 3 )), sendo u dferencable con contnudad en, nyectva y con jacobano (x 1,x 2,x 3 )/ (u 1,u 2,u 3 ) no nulo. S f está defnda y es contnua en u(), entonces se verfca la gualdad u( ) x, x, x f u x, x, x dx dx dx u1, u2, u3 f u, u, u du du du Nota. El Teorema es certo aún en el caso de que el jacobano se anule en un conjunto de volumen 0. Ejemplo. Calcular z = 0 y z = 2. xydxdydz, sendo el conjunto lmtado por el clndro x 2 + y 2 = 1 y los planos En este caso, lo apropado es un cambo a clíndrcas. S P(x, y, z) es un punto que pertenece al conjunto, entonces su proyeccón sobre el plano OXY es el punto de coordenadas (x, y, 0), que pertenece al círculo de centro el orgen y rado 1. Por tanto, sus coordenadas polares (ρ, ϕ) verfcan: 0 ρ 1 y 0 ϕ 2π. Es decr, cuando (x, y, z) recorre el conjunto, la terna (ρ, ϕ, z) recorre el ntervalo trdmensonal I = [0, 1] [0, 2π] [0, 2]. Luego la ntegral trple se transforma de la forma sguente lberto Vara 10

11 Ejemplo. Calcular 2 xydxdydz cos sen dddz I x, y, z cos sen dd dz sen2 d d dz 0 2 I zdxdydz,, z, sendo el prmer octante de la esfera undad. S (x, y, z) pertenece al prmer octante de la esfera undad, entonces la terna (r, ϕ, θ) pertenece al ntervalo trdmensonal I = [0, 1] [0, π/2 ] [0, π/2 ]. Por tanto, la ntegral se transforma como sgue 2 zdxdydz sen d d d I I 3 sen cosd dd x, y, z,, 16 plcacones de la ntegral m_ultple I) Cálculo de áreas y volúmenes. a) Cálculo de áreas. El área de cualquer conjunto acotado R 2 puede determnarse medante una ntegral doble. Con anterordad, se ha mostrado que 1dxdy representa el área del conjunto, caso de que la ntegral exsta y entonces se llama medble. b) Cálculo de volúmenes. Podemos determnar el volumen de cualquer subconjunto acotado R 3 por medo de una ntegral trple. Concretamente, se ha mostrado que vol() vene dado por 1dxdydz caso de que exsta la ntegral y entonces se llama medble. El volumen de algunos conjuntos puede calcularse tambén medante una ntegral doble. l comenzo del tema, se ha vsto que f x, y dxdy es el volumen del cuerpo clíndrco cerrado por arrba por la superfce z = f(x, y) y por la porcón del plano OXY que determna el conjunto (s f(x, y) 0). II) plcacones a las cencas expermentales. a) Masa de un sóldo con densdad varable. Supóngase que en certo sóldo R 3, la masa no está dstrbuda homogéneamente y que se conoce la densdad ρ(x, y, z), entonces la masa M del sóldo vene dada por M S ρ (x, y, z) es constante e gual a ρ, entonces x, y, M dxdydz 1 dxdydz. vol( ) lberto Vara 11

12 b) Solucones no homogéneas. Consdérese un depósto que contene certa solucón no homogénea, es decr, la concentracón de soluto no es constante sno que es certa funcón C(x, y, z). S el nteror del depósto tene la forma de certo conjunto R 3, la cantdad de soluto que contene el depósto vene dada por C x, y, c) Las coordenadas del centro de masas del sóldo venen dadas por x y z C C C x x, y, x, y, y x, y, x, y, z x, y, x, y,,, lberto Vara 12