Matemática Financiera Imposiciones y Amortizaciones

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1 Matemátca Fnancera Imposcones y Amortzacones 5 Qué aprendemos Cuotas vencdas y adelantadas: fórmulas fundamentales y dervadas. Tasa de nterés: fórmula de Baly, método de Newton, resolucón con Excel. Evolucón del captal acumulado. Grafcacón. Cálculos para tempo no entero. Fórmulas Imposcones Vencdas c c c c c c Valúa la renta al momento de la últma cuota c = A Fórmula de Baly: h = Método de Newton: 1 + n 1 n = 1 = o F. Val. 1 + n 1 A ln c + 1 ln 1 + A = c 2 A n = c n A c n + 1 A c n n 1 = c s n n + 1 h n + 1 h + 12 h Imposcones Adelantadas c c c c c c Valúa la renta un período después de la últma cuota c = A n 1 n = A = c 1 + F. Val. 1+ n 1 Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 1/12 ln A c ln 1 + = c s n 2 A + c n n + 2 h + 12 Fórmula de Baly: h = 1 0 = c n n + 2 h + 12 h A + c Método de Newton: 1 = o c n A + c c n n 0

2 Amortzacones Vencdas c c c c c c F. Val n V = c c = V = c a n Valúa la renta un período antes de la prmera cuota V ln n n = c ln 1 + Fórmula de Baly h = Método de Newton: c n V 1 = 0 2 n = V c n 1 V c n n 1 n 1 h 12 2 n 1 h 12 h Amortzacones Adelantadas c c c c c c F. Val n V = c 1 + c = V 1 + = c a n Fórmula de Baly h = Método de Newton: Valúa la renta al momento de la prmera cuota ln n n = c n 1 V - c 1 = 0 2 n 1 0 = V c 1 + ln 1 + n 2 h 12 2 n 2 h 12 h V-c c n V-c c n n Resolvemos en clase 1. Calcular el captal fnal que se obtene en 3 años con aportes mensuales vencdos de $ 300 al 1% mensual. Confecconar un cuadro que muestre la evolucón del captal para los 3 últmos períodos. Representar gráfcamente. Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 2/12

3 2. Resolver el msmo ejercco anteror, pero suponendo que las cuotas son adelantadas. 3. Una deuda de $ se cancela en 3 años con cuotas mensuales vencdas al 1% mensual. Calcular la cuota y confecconar un cuadro que muestre la evolucón del saldo para los 3 últmos períodos. Representar gráfcamente. 4. Resolver el msmo ejercco anteror, pero suponendo que las cuotas son adelantadas. Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 3/12

4 5. Al 31/12/2007 un trabajador en relacón de dependenca había aportado durante 3 años la suma de $ 210 mensuales vencdos, y además en los meses de juno y dcembre de cada año exste un aporte adconal dervado de los agunaldos. Calcular el captal acumulado a esa fecha consderando: a. Que durante los 3 años la rentabldad efectva de los fondos es del 20% anual. (A = $ ,85) b. Que se descontaron $ 10 mensuales (fjos) en concepto de comsones, y que la rentabldad efectva del prmer año fue del 20% y durante el segundo y tercer año fue del 22%. (A = $ ,44) 6. Un señor que recbe una herenca de u$s los deposta en un banco que le paga la TNAV del 10,8%. Suponendo que realza retros mensuales vencdos de u$s En qué tempo agota la herenca? S obtene un tempo no entero, redondear al más próxmo y calcular el mporte del últmo retro. (n = 49,81 meses 50 meses; c 50 = u$s 2.027,39) 7. Para formar un captal de $ dsponemos de $ 500 mensuales adelantados al 0,9% mensual. Calcular el tempo necesaro. S resulta no entero, redondear al entero más próxmo, recalculando alternatvamente: (Rta.: n = 18,32 18 meses) a. La últma cuota. (Rta.: c 18 = $ 688,11). b. Las cuatro últmas cuotas. (Rta.: c 15 = c 16 = c 17 = c 18 = $ 546,40). c. Las cuatro prmeras cuotas. (Rta.: c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = $ 540,93). 8. Con 15 cuotas mensuales vencdas de $ 100 se forma un captal de $ ( (real) = 0, ) a. Calcular (0) aplcando Baly. (h = 0, ; (0) = 0, ) b. Calcular (6) aplcando Newton a partr un valor ncal estmado (0) = 10%. ( (1) = 0, ; (2) = 0, ; (3) = 0, ; (4) = 0, ; (5) = 0, ; (6) = 0, ) 9. En Daro Los Andes aparecó una publcdad de equpos de GNC, en la que solamente se ndcaban las sguentes alternatvas de pago: a) cuatro cuotas mensuales adelantadas de $ 300; o b) ocho cuotas mensuales adelantadas de $ 155. Con estos datos se le solcta: a) Formular el dagrama temporal con las alternatvas de pago. b) Calcular la tasa de nterés del comercante. Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 4/12

5 c) Calcular el preco de contado del equpo, comprobando que sea el msmo para ambas alternatvas de pago. 10. Una conocda tenda de Mendoza realzaba tempo atrás la sguente oferta:... pagos en 5 cuotas lmptas (sn nterés), o pago al contado con el 50% de descuento... Calcular la tasa de nterés mplícta en esta oferta aplcando la fórmula de Baly para las rentas vencdas y adelantadas tenendo en cuenta que el prmer pago se realza al momento de la compra. Para facltar los cálculos, suponga un preco de lsta de $ 600. ( (0) = 55,64%; (real) = 55,17%) 11. Para cancelar una deuda de $ dsponemos como máxmo de $ 500 mensuales adelantados al 0,9% mensual. Calcular el tempo necesaro. S resulta no entero, redondear al entero más próxmo, recalculando alternatvamente: (n = 21,93 22 meses) a) La últma cuota. (c 22 = $ 465,58) b) Las cuatro últmas cuotas. (c 19 = c 20 = c 21 = c 22 = $ 491,51) c) Las cuatro prmeras cuotas. (c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = $ 492,77) 12. En el sguente dagrama temporal, en donde los períodos son meses, se le solcta calcular el captal acumulado en el momento 8, con una TEA = 14,03% F.Val. 1,1% * Imposcones vencdas: A 8 = 100 s 5 1, = $ 528,17 1,1% * Imposcones adelantadas: A 8 = 100 s 5 1, = $ 528,17 1,1% * Amortzacones vencdas: A 8 = 100 a 5 1, = $ 528,17 1,1% * Amortzacones adelantadas: A 8 = 100 a 5 1, = $ 528,17 * Captales ndvduales: A 8 = , , , , ,011 3 = $ 528,17 Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 5/12

6 13. A partr de la sguente expresón, se le solcta ubcar las cuotas sobre el dagrama temporal V 1 = Resolvemos en casa 14. Para formar un captal de $ se puede ahorrar como máxmo $ 300 mensuales adelantados. Determnar el tempo mínmo necesaro, s se tene acceso a la TEA = 13% (consdere 1 año = 12 meses). Redondear al entero correspondente y comprobar el resultado recalculando todas las cuotas resultantes. (n = 18,12 n = 19 meses; c = $ 284,77 < $ 300,00) 15. José quere ahorrar $ para cambar su automóvl. Para ello ahorra durante 2 años cuotas mensuales adelantadas, y además al fnal del mes 6 recbrá un ngreso adconal de $ Calcular esta cuota mensual adelantada, consderando que tene acceso a la TNAV = 18%. (c = $ 807,32) = c 1,015 1, , , Con 25 cuotas mensuales adelantadas de $ 352,24 se forma un captal de $ ,25. Calcular (2) aplcando Newton, a partr de un (0) = 1%. ( (1) = 1,444%; (2) = 1,314%; (3) = 1,300%; (real) = 1,300%) 17. A partr de la sguente expresón, se le solcta ubcar las cuotas sobre el dagrama temporal. A 10 = Se hacen depóstos mensuales vencdos de $ 200 durante 2 años en una caja de ahorros. Los rendmentos mensuales fueron: Meses: Tasas: 1,00% 0,82% 0,78% Calcular el captal acumulado a la fecha fnal. Por ahora suponga que no tene nngún mpuesto n gasto de mantenmento. (Rta.: A = $ 5.280,56) 1% A = 200 s 8 1, , ,82% s 9 1, ,78% s 7 Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 6/12

7 19. A qué tasa fueron mpuestas 15 cuotas mensuales vencdas de $ 458 de modo que a la fecha fnal el captal acumulado es de $ 7.500? Resolver aplcando Baly. (Rta.: (0) = 1,24% mensual) 20. Con los datos del ejercco anteror, calcular la tasa por el método de Newton (aplcar dos veces) partendo de una tasa ncal del 2% mensual). (Rta.: (1) = 1,4627% ; (2) = 1,27162% mensual) 21. Un trabajador autónomo aporta a su AFJP $ 300 mensuales vencdos durante 10 años. La rentabldad efectva de los fondos durante los 10 años fue del 15% anual. Consderando además que no aporta en concepto de agunaldo y que además descuentan $ 8 mensuales fjos en concepto de comsones, se le solcta calcular: a) el captal acumulado a la fecha fnal, b) la rentabldad neta de sus fondos (aplcando Baly). (A = $ ,01; (0) = 14,49%) 22. Cuál es la deuda que se cancela con 20 cuotas semestrales vencdas de $ 750, a la tasa del 1% mensual equvalente? (V = $ 8.497,28) 23. El 01/07/2000 Sr. JC compró una casa con el sguente plan de pagos: a) antcpo $ ; b) cuotas mensuales vencdas de $ 800 durante los próxmos 15 años; c) las cuotas de los meses de juno y dcembre de cada año son de $ (en lugar de los $ 800: cuotas agunaldo ). Calcular el valor de contado de la casa sabendo que en esta fnancacón la TEA aplcada es del 7,45%. (V = $ ,61) V = , , , , Cuál es la cuota bmestral vencda que cancela una deuda $ en 2 años de plazo a la TNAV = 12%? (c = $ 709,20) 25. En qué tempo se cancela una deuda de $ con cuotas mensuales vencdas de $ 400 al 1% mensual? S obtene una solucón entera redondear el resultado al entero más próxmo, recalculando alternatvamente: a) todas las cuotas; b) la prmera cuota. (n = 5,15 meses 5 meses; a) c = $ 412,08; b) c 1 = $ 459,21) 26. Calcular (1) (por el método de Newton) partendo del (0) = 4% mensual, sabendo que la deuda que se cancela es de $ en 30 meses con cuotas vencdas de $ 75. ( (1) = 2, % mensual) 27. Se depostan $ a la TEA del 8%, para agotarlos en 4 años con extraccones mensuales vencdas. Calcular el mporte de cada extraccón. (c = $ 2.549,62) 28. Qué es más convenente: comprar un automóvl pagando al contado el preco total de $ , o comprarlo con la fnancacón de la agenca en 24 cuotas mensuales adelantadas de $ 900? Tenga en cuenta que nuestra tasa de costo de oportundad es del 0,85% mensual.obtener la respuesta correspondente: a) Por comparacón de los valores actuales; b) Por comparacón de las tasas de nterés (aplque Baly). (Me convene que me fnance la agenca: a) V (agenca) = $ ,26 - V (contado) = $ ,00 b) (agenca) = 0,68% mensual ; (propo) = 0,85% mensual) 29. Calcular la cuota trmestral adelantada que permte agotar un captal de $ en 2 años, a la TEA = 10,3813%. (c = $ 680,33) Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 7/12

8 30. En qué tempo se cancela una deuda de $ 3.680,91 medante el pago de cuotas mensuales adelantadas de $ 153,27 a la TNAV =18%? (n 29 meses) 31. Un colego cobra 10 mensualdades adelantadas de $ 500 en carácter de cuota para el cclo prmaro. El padre de un alumno ofrece pagar las 10 mensualdades por adelantado, solctando una reduccón del 10% del mporte total a pagar. Las autordades del colego contestan que no precsan efectvo y que no les convene la propuesta. a. Quén tene razón, s la tasa de costo de captal del colego es del 1% mensual? (El colego tene razón) b. Cuál es el mporte mínmo por debajo del cual no le convene aceptar al colego? ($ 4.783,01) V = 500 1,01 1 1, ,01 = $ 4783, Calcular (aplcando Baly) la tasa de nterés mplícta en la sguente oferta (tenga en cuenta que el prmer pago se realza al momento de la compra). ( 0 = 5,3588% mensual) 0% de nterés En tres pagos guales 5% descuento Por pago contado 33. En el sguente dagrama temporal, en donde los períodos son meses, se le solcta calcular el captal acumulado en el momento 9, con una tasa del 2% mensual equvalente. (A 9 = $ 530,40) % * Imposcones vencdas: A 9 = 60 s 7 1,02 2 6,12% + 20 s 3 1,02 2 = $ 530,40 2% 6,12% * Imposcones adelantadas: A 9 = 60 s 7 1, s 3 1,02 1 = $ 530,40 * Captales ndvduales: A 9 = , , , , , , ,02 2 = $ 530,40 A 9 = cualquera otra manera técncamente correcta 34. En el sguente dagrama temporal, en donde los períodos son meses, se le solcta calcular el valor de la renta en el momento 0, con una TEA = 26,83% F.Val % * Imposcones vencdas: V 0 = 100 s 5 1,02 7 = $ 453,04 Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 8/12

9 2% * Imposcones adelantadas: V 0 = 100 s 5 1,02 8 = $ 453,04 2% * Amortzacones vencdas: V 0 = 100 a 5 1,02 2 = $ 453,04 * Amortzacones adelantadas: V 0 = 100 a 2% 5 1,02 3 = $ 453,04 * Captales ndvduales: V 0 = , , , , ,02 7 = $ 453, Con los datos del sguente dagrama en el que los períodos son meses, se le solcta calcular el valor actual de la renta al momento 0, con una tasa del 1% mensual equvalente V 0 = 70 a 1% a 1% 5 1,01 4 = $ 746,94 V 0 = 70 a 1% a 1% 5 1,01 4 = $ 746,94 V 0 = 100 a 1% 9 30 a 1% 4 = $ 746,94 1% 1% V 0 = 70 a 4 1, a 5 1,01 3 = $ 746,94 1% 1% V 0 = 70 a 9 1, a 5 1,01 3 = $ 746,94 1% 1% V 0 = 100 a 9 1,01 30 a 4 1,01 = $ 746,94 V 0 = , , , , , , , ,01 8 = $ 746,94 V 0 = cualquera otra manera técncamente correcta 36. A partr de la sguente expresón: V 0 = Se le solcta ubcar las cuotas sobre el sguente dagrama temporal Opcones múltples: para cada afrmacón se brndan tres alternatvas, en todos los casos solo una es la correcta. a. Un captal de $ 400 se obtene medante la mposcón de 4 cuotas de: O $ 98,00 O $ 100,00 O $ 102,00 b. El captal fnal de una mposcón (valuado a la fecha fnal) es la suma de sus: O cuotas menos ntereses O cuotas O cuotas más ntereses c. Un captal de $ 400 se agota medante 4 extraccones de: Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 9/12

10 O $ 98,00 O $ 100,00 O $ 102,00 d. El valor actual de una amortzacón (valuado a la fecha ncal) es la suma de sus: O cuotas menos ntereses O cuotas O cuotas más ntereses e. En una amortzacón de 5 cuotas mensuales adelantadas de $ 100 a una certa tasa de nterés, el valor actual de la amortzacón es de: O $ 475 O $ 500 O $ 513 f. Durante 20 períodos se depostan a una certa tasa cuotas vencdas de $ 200 los 10 prmeros y de $ 250 los 10 últmos, acumulándose un captal de $ 4.926,91. S los 10 prmeros depóstos fueran de $ 250 y los 10 últmos de $ 200, el captal acumulado sería: O $ 4.843,61 O $ 4.926,91 O $ 4.981,64 g. Durante 20 períodos se pagan al 1% cuotas vencdas de $ 200 las 10 prmeras y de $ 250 los 10 últmas, cancelándose una deuda de $ 4.037,82. S los 10 prmeros pagos fueran de $ 250 y los 10 últmos de $ 200, la deuda cancelada sería: O $ 4.001,64 O $ 4.037,82 O $ 4.082,68 h. Con cuotas trmestrales adelantadas de $ 300 en 3 años se consttuye un captal de $ 3.962,54, al 6 % anual. Con una tasa equvalente, en el msmo tempo y cuotas bmestrales adelantadas de $ 200, se consttuye un captal de: O $ 3.952,95 O $ 3.962,94 O $ 3.972,13. El captal fnal de una mposcón adelantada es A = $ S calculáramos este captal fnal con una tasa de nterés mayor (mantenendo constante todo lo demás) el nuevo captal fnal A resultante sería de: O $ O $ O $ j. El valor actual de una amortzacón vencda es V = $ S calculáramos su valor actual con una tasa de nterés mayor (mantenendo constante todo lo demás) el nuevo valor actual V resultante sería de: O $ O $ O $ k. El valor actual (V) de una amortzacón vencda es de $ 4.652,38. S en su lugar las cuotas fueran adelantadas (mantenendo los demás elementos constantes), el valor actual sería de: O $ 4.583,63 O $ 4.652,38 O $ 4.722,17 l. Con cuotas bmestrales vencdas de $ 200 en 3 años se cancela una deuda de $ 3.286,90, al 6 % efectvo anual. Alternatvamente, esta deuda se puede cancelar con cuotas mensuales vencdas de: O $ 99,76 O $ 100,00 O $ 100,24 m. Con cuotas bmestrales adelantadas de $ 200 en 3 años se cancela una deuda de $ 3.318,97, al 6 % efectvo anual. Alternatvamente, esta deuda se puede cancelar con cuotas mensuales adelantadas de: O $ 99,76 O $ 100,00 O $ 100,24 n. Con cuotas bmestrales adelantadas de $ 200 en 3 años se cancela una deuda de $ 3.318,97, al 6 % efectvo anual. Alternatvamente, esta deuda se puede cancelar con cuotas bmestrales vencdas de: O $ 198,07 O $ 200,00 O $ 201,95 Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 10/12

11 o. Una deuda de $ se cancela medante 10 pagos mensuales constantes, al 1 % mensual. El saldo después del prmer pago es: O $ 8.955,83 O $ 9.000,00 O $ 9.044,17 p. En 2 años, al 0,5 % mensual, con depóstos mensuales de $ se acumulan $ ,12; con depóstos bmestrales a la tasa bmestral equvalente en el msmo plazo se acumulan $ ,85. Las dos rentas son: O vencdas O adelantadas O mposble saber q. Una deuda puede cancelarse con 18 cuotas bmestrales de $ 200 o con 36 cuotas mensuales de $ 99,76. Ambas rentas son: O vencdas O adelantadas O mposble saber r. Una deuda puede cancelarse con 18 cuotas bmestrales de $ 200 o con 36 cuotas mensuales de $ 100,24. Ambas rentas son: O vencdas O adelantadas O mposble saber s. Al 0,92 % mensual, una deuda de $ se cancela medante 12 pagos mensuales de $ 221. Alternatvamente, puede amortzarse con 6 pagos bmestrales: los 5 prmeros de $ 442 y el últmo de $ 454,79. En los dos casos las rentas son: O vencdas O adelantadas O mposble saber t. Al 12 % efectvo anual, una deuda puede cancelarse con 6 pagos bmestrales vencdos de $ 200, o con 12 pagos mensuales vencdos, los 11 prmeros de $ 100 y el últmo de: O $ 94,03 O $ 100,00 O $ 105,97 u. Débora y Macarena compran cada una, un artículo de $ 500. Débora pagará 24 cuotas mensuales adelantadas de $ 24, con ntereses al 16,37 % efectvo anual. Para Macarena, que pagará 12 cuotas bmestrales adelantadas de $ 48, resulta una tasa efectva anual: O 15,89% O 16,37% O 17,22% Fuentes de consulta LÓPEZ DUMRAUF, Gullermo, Cálculo Fnancero Aplcado: un enfoque profesonal (Buenos Ares, La Ley; 2006), 2 ed. CASPARRI, María Teresa y ots.: Matemátca Fnancera utlzando Mcrosoft Excel, (Omcrón, Buenos Ares, 2005) FERNÁNDEZ, Néstor H. y YUNGER, Hernán, Excel para Contadores (Errepar, Buenos Ares, 2005) FERNÁNDEZ, Néstor H., Funcones Fnanceras de Excel (Errepar, Buenos Ares, 2003) FERNÁNDEZ, Néstor H. y SIRENA, José Lus, Matemátca fnancera aplcada con Excel (Errepar, Buenos Ares, 2005) TULIÁN, Elseo César, Rentas certas, (U.N.Cuyo, Mendoza) AYRES, Frank, Matemátcas Fnanceras (Mc. Graw Hll, 1963) Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 11/12

12 GARCÍA, Jame A., Matemátcas Fnanceras (Bogotá, Pearson, 2000) GONZÁLEZ GALÉ, José, Matemátcas fnanceras, (Macch, Buenos Ares) Prof. Carlos Maro Frías T. Práctco N 5 Dctado 2010 Pág. N 12/12

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