INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN

Transcripción

1 INTERÉS COMPUESTO

2 INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado en un período determinado por un capital inicial (C I ) o principal a una tasa de interés (i) durante (n) periodos de imposición, de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

3 INTERÉS COMPUESTO EJEMPLO Un crédito de $100,000 se debe pagar dentro de un año. La tasa financiera es del 20% anual con interés simple, pero los intereses se deben pagar cada trimestre vencido. Elaborar el diagrama y una tabla de pagos. En este caso debemos distinguir que el periodo de pago de la deuda es anual y los periodos de liquidación y pago de intereses es trimestral. Valor préstamo P = $ Tasa anual: 20% con cobro de interés trimestral. Tasa trimestral = 20% / 4 = 5% trimestral Plazo total para pagar: un año. Inter periodos de liquidación del interés: trimestral

4 INTERÉS COMPUESTO EJEMPLO

5 INTERÉS COMPUESTO EJEMPLO

6 INTERÉS COMPUESTO EJEMPLO $ 5,000 $ 5,250 $ 5, $ 105,000 $ 110,250 $ 115, $ 5, $ 121,550.63

7 INTERÉS COMPUESTO EJEMPLO

8 INTERÉS COMPUESTO EJEMPLO Desarrollar los siguientes ejercicios de práctica

9 DEFINICIONES

10 DEFINICIONES

11 DEFINICIONES

12 DEFINICIONES

13 DEFINICIONES

14 MANEJO Y EQUIVALENCIAS DE LAS TASAS DE INTERÉS Las fórmulas o los factores que se utilizan en Matemáticas Financieras para calcular P (Valor Presente), F (Valor Futuro), A (Pagos Seriados) o G (Gradientes) siempre utilizan interés efectivo (tasa de interés realmente pagado) y vencido (es decir, al final de cada periodo). Por esta razón es necesario para cualquier cálculo que se desee efectuar, encontrar primero el interés efectivo.

15 MANEJO Y EQUIVALENCIAS DE LAS TASAS DE INTERÉS Terminología PP = Periodo de Pago PC = Periodo de Capitalización i = Tasa nominal vencida i e = Tasa efectiva vencida i a = Tasa nominal anticipada m = Número de sub períodos (inter periodos) que tiene el período de pago si éste es mayor que el de capitalización; o número de sub periodos que tiene el periodo de capitalización si este es mayor que el de pago. Casos que se presentan: PP = PC PP > PC PP < PC

16 MANEJO Y EQUIVALENCIAS DE LAS TASAS DE INTERÉS Abreviaturas T.A. = Trimestral anticipada: M.A. = Mensual anticipada C.M. = Capitalización mensual C.T. = Capitalización Trimestral M.V. = Mes Vencido T.V. = Trimestre Vencido E. = Efectiva (Tasa)

17 MANEJO Y EQUIVALENCIAS DE LAS TASAS DE INTERÉS Ejemplo: Se proyecta hacer ahorros (pagos) semestrales provenientes de la prima legal, pero la corporación financiera liquidará intereses trimestralmente PP: semestral PC: trimestral Para este caso PP > PC Por tanto m = 2

18 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS NOMINAL A UN INTERÉS EFECTIVO Primer caso: Periodo de Pago = Periodo de Capitalización (PP = PC) Fórmula i = i e Ejemplo: si en una negociación se establece una tasa del 20% anual con pagos y capitalización anual tenemos: i = 20% anual i e = 20% anual E.

19 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS NOMINAL A UN INTERÉS EFECTIVO Segundo caso: Periodo de Pago < Periodo de Capitalización (PP < PC) Fórmula i e = i / m La negociación establece un interés del 20% anual, con PC Semestral y PP trimestrales, tenemos: (PP < PC) (3 meses < 6 meses) m= 6/3 =2 Interés semestral = 20%/2 = 10% semestral i e = 10%/2 = 5% trimestral (en el semestre hay 2 trimestres)

20 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS NOMINAL A UN INTERÉS EFECTIVO Tercer caso: Periodo de Pago > Periodo de Capitalización (PP > PC) Fórmula i e = 1 + i m 1

21 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS NOMINAL A UN INTERÉS EFECTIVO En la negociación se establecen pagos anuales, con períodos de capitalización trimestrales. i = 20% anual, m = 4 trimestres Cuál es mayor PP o PC? PP > PC Qué fórmula aplica? i e = 1 + i m 1 i e = ( /4) 4 1 = ,55% anual efectivo

22 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS NOMINAL A UN INTERÉS EFECTIVO Otra forma de expresar la tasa dada y la obtenida es simplificando las palabras así: i% = 20% anual C.T. es equivalente a 21,55% anual E. Y se lee así: 20% anual, capitalizable trimestralmente, equivale 21,55% anual efectivo. Otra forma utilizada con frecuencia es: 20% anual, T.V. Se lee: 20% anual trimestre vencido

23 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS NOMINAL A UN INTERÉS EFECTIVO i e = 1 + i m 1

24 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS NOMINAL A UN INTERÉS EFECTIVO i e = 1 + i m 1

25 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS NOMINAL A UN INTERÉS EFECTIVO Resolver los ejercicios siguientes mostrados por el instructor

26 CÁLCULO DEL INTERÉS NOMINAL CONOCIENDO EL EFECTIVO i e = 1 + i m 1 Para despejar i tenemos: 1 + i m = i e + 1 m m 1 + i m = (i e + 1) 1 m Sacando raíz m nos queda: 1 + i m = (i e + 1) 1 m 1 m i m = (i e + 1) 1 1 m i = [ i e + 1-1] m

27 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO En la sección anterior se estudió la tasa nominal y la tasa efectiva, considerando en todos los casos, las tasas de interés vencidas. Sin embargo, es de uso corriente el empleo de tasas de interés anticipado en nuestro medio financiero

28 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Recordemos que una tasa del 20% anual vencida, indica que por cada peso entregado, debemos recibir $1.20 al final del año F = 1.2 F = P(1 + I) F = P( ) = AÑO P = 1 I = 20% ANUAL

29 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Consideremos ahora una tasa del 20% anual pero anticipada. Esto quiere decir que por cada $100 que prestamos, debemos retener $20 por concepto de intereses, o sea entregamos $100 - $20 = $80 y debemos recibir $100 al final del año P = 80 I = 20% ANUAL F = AÑO P = = 80 F = 100 n = 1 año i =? F = P (1 + i) 100 = 80 (1 + i) Despejando i 100/80 = (1 + i) 1.25 = 1 + i = i i = % Annual efectiva

30 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Consideremos ahora una tasa del 20% anual pero anticipada. Esto quiere decir que por cada $100 que prestamos, debemos retener $20 por concepto de intereses, o sea entregamos $100 - $20 = $80 y debemos recibir $100 al final del año F = 100 P = = 80 F = 100 n = 1 año i =? P = 80 I = 20% ANUAL 1 AÑO F = P (1 + i) 100 = 80 (1 + i) Despejando i 100/80 = (1 + i) 1.25 = 1 + i = i i = % Annual efectiva Conclusión: una tasa del 20% anual anticipada es equivalente a una tasa del 25% anual efectiva.

31 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Resumiendo F = 1 1 AÑO I a tasa de interés anticipada Tenemos F = P(1+i e ) y P = ( 1 i a ) Substituyendo P = ( 1 i a ) y F = 1 en la fórmula de arriba 1 1 = (1 i a ) (1 + i e ) 1 + i e = i e = 1 i a 1 1 i a - 1 i e = 1 1 i a 1 i a 1 i a i e = i a 1 i a

32 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Primer caso: Periodo de Pago = Periodo de Capitalización (PP = PC) i e = i a 1 i a En este caso, el i e que se obtiene es igual a i (nominal) porque el PP = PC

33 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Segundo caso: Periodo de Pago > Periodo de Capitalización (PP > PC) Ejemplo: El Banco Popular cobra una tasa del 31% anual trimestre anticipado y deseamos conocer la tasa efectiva anual. i e = m - 1 m i i e = 1 i m a - 1 a m i e = % Anual E

34 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Tercer caso: Periodo de Pago < Periodo de Capitalización (PP < PC) Primero convertimos i e = i a m Luego se procede como en el caso de PP = PC

35 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Método Práctico:

36 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO

37 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Cambiar el nombre: sólo se puede hacer cuando la tasa sea nominal. Se divide por m para pasar de una tasa mayor a una menor o se multiplica por m para pasar de una tasa menor a una mayor. Si i = 30% anual C.M. y la divido por dos, tengo i = 15% semestral. C.M. Cambio nombre de anual a semestral. Conservo el apellido. Si i = 2,5% mensual C.M. y la multiplico por 12, tengo i = 30% anual, C.M. Cambio de nombre de mensual a anual. Conservo el apellido. Cambiar apellido: se hace utilizando la formula respectiva para pasar de nominal a efectiva o viceversa.

38 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS VENCIDO A UN INTERÉS EFECTIVO Ejemplo 1 Cuál es la tasa anual efectiva equivalente a una tasa del 20% anual C.M.? En este caso tenemos una tasa anual nominal vencida (punto 1) y queremos llevarla hasta la modalidad efectiva (punto 3). Se cambiará el apellido C.M. por el de efectivo. El valor de m es doce (m = 12 porque el apellido, C.M.,está contenido 12 veces en el nombre, anual). Debemos, por lo tanto, utilizar la fórmula 1 i e = 1 + i m - 1 m i e = % Anual C.M % anual E

39 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO Ejemplo 2 Cuál es la tasa anual efectiva equivalente a una tasa del 20% anual M.A.? Conocemos una tasa nominal anticipada (punto 2) y queremos llevarla hasta la modalidad efectiva (punto 3). El valor de m es menos doce (m = 12). Debemos, por lo tanto, utilizar la formula 2. i e = 1 + i e = i m a - 1 m % Anual M.A % anual E

40 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS EFECTIVO A UN INTERÉS VENCIDO Ejemplo 3 Cuál es la tasa anual C.T. equivalente a una tasa del 18% anual efectiva? Tenemos una tasa efectiva (punto 3) y queremos llevarla hasta la modalidad nominal vencida (punto 4). El valor de m es cuatro (m = 4). Debemos, por lo tanto utilizar la fórmula 1 transformada de interés efectivo a nominal. i = [ i e + 1-1] m i = [ ] * 4 1 m % Anual E % Anual CT

41 CÁLCULO DEL INTERÉS NOMINAL ANTICIPADO A PARTIR INTERÉS EF. i e = 1 + i -m m 1 1/m i e + 1 = 1 + i m = 1 + i e + 1 = m i = 1/m -1 -m/m m i m = m m i m i e +1 1/m -i = i e + 1= 1 + i -m m -1-1 i m = m m i m m i e +1 1/m -m i = m - m i e +1 1/m

42 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS EFECTIVOO A UN INTERÉS ANTICIPADO Ejemplo 4 Cuál es la tasa anual T.A. equivalente a una tasa del 18% anual efectiva? En este caso tenemos una tasa efectiva (punto 3) y queremos llevarla hasta la modalidad nominal anticipada (punto 5). El valor de m es menos cuatro (m= 4). Debemos, por lo tanto utilizar la fórmula 2 transformada de interés efectivo a nominal. i = m - m i e +1 1/m i = /4 18% Anual E % anual TA

43 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS VENCIDO A OTRO INTERÉS VENCIDO Ejemplo 5 Cuál es la tasa anual C.T. equivalente a una tasa del 24% anual C.M.? Partimos del punto 1 con un m = 12 para llegar al punto 3. De allí salimos para el punto 4 con un m = 4. En las dos operaciones utilizamos la fórmula 1. i e = 1 + i m - 1 m i e = i e = % i = [ i e + 1-1] m i = [ ] * 4 24% Anual CM m= % anual E m= % anual CT 1 m i = 24,4832%

44 TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS ANTICIPADO A OTRO INTERÉS ANTICIPADO Ejemplo 6 Cuál es la tasa anual T. A. equivalente a una tasa del 24% anual M. A.? i e = 1 + Partimos del punto 2 con un m = 12 para llegar al punto 3. Usando la Formula 2a De allí salimos para el punto 5 con un m = 4. Utilizamos la fórmula 2b. i e = i e = % i = m - i = 4 - i = 23,5232% i m a - 1 m 12-1 m i e +1 1/m /4 24% Anual MA m= % anual E m= % anual TA

45 EJERCICIO DE PRÁCTICA a) 23% anual T.A. expresarla en semestral M.A. i e = 1 + i e = i m a - 1 m 4-1 i e = % anual E i = m - i = 12 - m i e +1 1/m /12 i = % 2 = 11.73% 23% Anual TA m= % anual E m= % 2 =11.73% Sem MA

46 EJERCICIO DE PRÁCTICA b) 17.4% anual B.A. expresarla en semestral T.A. Vamos de una tasa Anticipada a otra Anticipada i e = 1 + i e = i m a - 1 m 6-1 i e = 19.31% anual E i = m - i = 4 - m i e +1 1/m i = 17.27% 2 = 8.64% 17.4% Anual BA m= % anual E m= % anual TA 2 = 8.64% sem TA /4

47 EJERCICIO DE PRÁCTICA c) 21.6% anual M.A. expresarla en semestral T.A. Vamos de una tasa Anticipada a otra Anticipada i e = 1 + i e = i m a - 1 m 12-1 i e = 24.35% anual E i = m - i = 4 - m i e +1 1/m i = 21.21% 2 = 10.61% 21.6% Anual MA m= % anual E m= % anual TA 2 = 10.61% sem TA /4

48 EJERCICIO DE PRÁCTICA d) 17.76% anual T.A. expresarla en cuatrimestral B.A. Vamos de una tasa Anticipada a otra Anticipada i e = 1 + i m a - 1 m i e = i e = 19.92% anual E i = m - i = 6 - m i e +1 1/m /6 i = 17.89% 3 = 5.96% 17.76% Anual TA m= % anual E m= % anual BA 3 = 5.96% cuatr BA

49 EJERCICIO DE PRÁCTICA e) 28.4% anual B.A. expresarla en semestral M.A. Vamos de una tasa Anticipada a otra Anticipada i e = 1 + i e = i m a - 1 m 6-1 i e = % anual E i = m - i = 12 - m i e +1 1/m /12 i = 28.74% 2 = 14.37% 28.4% Anual BA m= % anual E m= % anual MA 2 = 14.37% sem MA

50 TASAS COMBINADAS (IC) Existen algunas situaciones en las cuales el interés se debe reconocer sobre una unidad monetaria cuyo valor aumenta con el tiempo, en un porcentaje determinado. Ejemplo: Dólar, UDI. Aquí estamos ante la combinación de dos factores que determinan la verdadera tasa de interés cobrada (tasa efectiva) y son: el porcentaje (tasa de variación de la unidad monetaria y la tas de interés financiera

51 TASAS COMBINADAS (IC) Ejemplo: hallar la tasa efectiva anual que pagamos por un crédito hoy de US$100,000 para pagar dentro de un año a una tasa del 15% anual. Si estimamos la devaluación del peso con respecto al dólar en 30% anual y el dólar al momento de la compra se cotizaba a $350 tenemos: Valor presente de la obligación en pesos ($)P = 350 x = $ Valor del dólar dentro de un año: Valor = 350 ( ) = $ : Índice de devaluación (f%) Valor de la obligación en un año sin interés $455 x 100,000 = 45,500,00

52 TASAS COMBINADAS (IC) Por efecto de la devaluación la deuda se ha incrementado en: = $ lo que en últimas corresponde a un interés bajo la denominación de devaluación. Valor de los intereses: i = 0.15 x 45,500,000 = $6,825,000 Valor total al cancelar en pesos al finalizar el año: 45,500, ,825,000 = $52,325,000 Valor en dólares = 52,325,000/455 = US $115,000

53 TASAS COMBINADAS (IC) Fórmula para calcular la tasa combinada

54 PROBLEMAS SOBRE TASAS DE INTERÉS Problema 1a) Usted, como gerente de una entidad de crédito, fue autorizado por la junta directiva para otorgar créditos al 42,1% anual C.T. Qué tasas de interés debe dar a sus clientes para estos planes? a) Semestral E. Primero convertimos Anual a Semestral, o sea = 21.05% Para CT m = 2 i e = 1 + i m - 1 m i e = i e = % Anual C.T % semestral E

55 PROBLEMAS SOBRE TASAS DE INTERÉS Problema 1b) Usted, como gerente de una entidad de crédito, fue autorizado por la junta directiva para otorgar créditos al 42,1% anual C.T. Qué tasas de interés debe dar a sus clientes para estos planes? b) Bimestral anticipado. obtenemos la efectiva anual con capitalización bimestral (P = 6) Después vamos a una tasa nominal anticipada (Fórmula 2b) i e = 1 + i m - 1 m i e = i e = i = m - i = 6 - i = % m i e +1 1/m /6 42.1% Anual E m= % anual E m= % anual BA

56 PROBLEMAS SOBRE TASAS DE INTERÉS Problema 2a. Usted, como gerente de una entidad de crédito, fue autorizado por la junta directiva para otorgar créditos al 39,7% efectivo. Qué tasas de interés debe dar a sus clientes para estos planes? a) Trimestre anticipado. Vamos de una tasa efectiva a una tasa anticipada i = m - i = 4 - m i e +1 1/m /4 i = % Anual E % anual TA 4 = 8.018% Trimestral TA

57 PROBLEMAS SOBRE TASAS DE INTERÉS Problema 2b. Usted, como gerente de una entidad de crédito, fue autorizado por la junta directiva para otorgar créditos al 39,7% efectivo. Qué tasas de interés debe dar a sus clientes para estos planes? b) Semestral Nominal. Vamos de una tasa efectiva a una nominal vencida. i = [ i e + 1-1] m 1 m i = [ ] * 2 i = 36.39% % Anual CS 2 = % Semestral CS

58 PROBLEMAS SOBRE TASAS DE INTERÉS Problema 2c. Usted, como gerente de una entidad de crédito, fue autorizado por la junta directiva para otorgar créditos al 39,7% efectivo. Qué tasas de interés debe dar a sus clientes para estos planes? c) Nominal Mensual. Vamos de una tasa efectiva a una nominal vencida. i = [ i e + 1-1] m i = [ ] * 12 1 m i = % % Anual CM 12 = 2.825% Mensual CM

59 PROBLEMAS SOBRE TASAS DE INTERÉS Problema 2d. Usted, como gerente de una entidad de crédito, fue autorizado por la junta directiva para otorgar créditos al 39,7% efectivo. Qué tasas de interés debe dar a sus clientes para estos planes? d) Semestral Anticipado. Vamos de una tasa efectiva a una nominal vencida. i = m - i = 2 - m i e +1 1/m /2 i = % Anual SA 2 = 15.39% Semestral SA

60 PROBLEMAS SOBRE TASAS DE INTERÉS Problema 3a Usted debe generar un plan para la emisión de bonos, si la junta directiva de su empresa fijó los intereses de emisión de un 36% anual efectivo y si se le debe ofrecer a los inversionistas plazos de pago así: a) Mes vencido anual M.V. mensual. C.M. i = [ i e + 1-1] m 1 m i = [ ] * i = % % Anual MV 12 = 2.595% Mensual CM

61 PROBLEMAS SOBRE TASAS DE INTERÉS Problema 3b Usted debe generar un plan para la emisión de bonos, si la junta directiva de su empresa fijó los intereses de emisión de un 36% anual efectivo y si se le debe ofrecer a los inversionistas plazos de pago así: b) Trimestre vencido R/ 31,961% anual T.V. 7,99% trimestral. i = [ i e + 1-1] m 1 m i = [ ] * i = % % Anual TV 4 = 7.99% Trimestral TV