TEMA 1.2.3: INTEGRALES IMPROPIAS Programa detallado:

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1 Asigntur: Mtemátics I Profesor: Roque Molin Legz TEMA 1.2.3: INTEGRALES IMPROPIAS Progrm detlldo: - Integrles impropis de primer especie. - Integrles impropis de segund especie. - Criterios de convergenci. - Ejercicios resueltos. - Ejercicios propuestos. Al definir l integrl de Riemnn (o integrl definid) siempre se hn considerdo funciones cotds definids en intervlos compctos. Por tnto, si l función de prtid no está cotd (por ejemplo, por tener un síntot verticl), o ien si el intervlo no está cerrdo y/o cotdo (por ejemplo, por ser funciones definids en,), crecerán de sentido los rzonmientos y desrrollos relizdos en el tem nterior. Por ello, en este tem ordmos l mplición del concepto de integrl, tendiendo los dos spectos siguientes: - Que el intervlo de integrción no se cotdo: Otendremos lo que se conoce como integrles impropis de 1ª especie. - Que el intervlo se cotdo, pero que l función no lo está: Aprecerán lo que se conoce como integrles impropis de 2ª especie. En mos csos nos limitremos estudir como se pueden clculr ls misms, sin estlecer Criterios de Convergenci pr ests integrles, y que pueden encontrrse en el Aneo (donde se incluye tem completo desrrolldo). Integrles impropis de primer especie. Definition Se f :, un función integrle en culquier intervlo compcto de l form,, con. Se define l integrl impropi de primer especie, y se representrá por f, como el resultdo del cálculo del siguiente límite f lim ftdt Si este límite es finito, se dice que l integrl impropi es convergente (y que su vlor es el de dicho límite); si este límite es infinito, se dirá que l integrl impropi es divergente.

2 Remrk Notemos que los conceptos convergente/divergente, no tienen ningún sentido en el tem nterior de l integrl definid, y que l mism se define de form que su resultdo nos d el áre comprendid entre l curv f yls rects y (suponiendo que l curv es positiv), y este áre siempre es finit (y que l curv es cotd y el intervlo es compcto,), por lo que ls integrles del tem nterior siempre son, trivilmente, convergentes. Emple Clculr e 1 c 2 4 d e sin Proposition (Generlizción de l regl de Brrow pr integrles impropis de 1ª especie) Se f :, un función continu y se G un primitiv suy pr todo. Entonces se verific f G G G donde por G representmos el resultdo de G lim G Emple Volver resolver ls integrles del ejemplo nterior. Remrk De form nálog se puede trjr con integrles impropis de l form f : Si f :, es un función integrle en culquier intervlo compcto de l form,, con, se define f lim ftdt

3 Si este límite es finito, se dice que l integrl impropi es convergente (y que su vlor es el de dicho límite); si este límite es infinito, se dirá que l integrl impropi es divergente. De igul form se puede estlecer un versión generlizd de l regl de Brrow pr este tipo de integrles: Se verific que f G donde por G representmos el resultdo de G lim G G G Emple Clculr e Remrk Tmién podemos considerr integrles impropis de l form f, unque en este cso cturemos de form un poco distint, como vemos continución: Si f :, es un función integrle en culquier intervlo compcto de l form,y, pr clculr l integrl f, cturemos como sigue: Descompondremos el intervlo, en dos intervlos de l form, y,, de mner que plicremos que f f f y clculremos cd un de ells por seprdo, tlycomohemosvistoenlos prtdos nteriores. De est form, si ms integrles fy fson convergentes, tmién lo será f, siendo su vlor l sum de ls dos nteriores; por el contrrio, en cunto un de ls dos ( fó f) se divergente, tmién lo será f.

4 Remrk Pr este último cso f NO utilizmos, como podrí ser lógico f lim ftdt ni tmpoco usmos l regl de Brrow generlizd en l form f G G G y que el vlor de este límite no tiene porqué coincidir con el de De hecho, l vlor de lim ftdt se le llm Vlor Principl de f, y se prue que coincide con el verddero vlor de fsilintegrlimpropi es convergente. f. Emple Clculr e e Emple Estudir, en función de,, l convergenci de e Integrles impropis de segund especie. Este cso se corresponde con situciones como ls descrits por ls gráfics siguientes:

5 Notemos que en el Cso I, l función tiene un síntot verticl en l rect, mientrs que en los Csos II y III ls síntots verticles están, respectivmente, en ls rects y c. Vemos como se pueden formlizr ls integrles correspondientes: Definition Se f :, un función no cotd en el punto, pero cotd e integrle en culquier intervlo compcto de l form,, con. Se define l integrl impropi de segund especie, y se representrá por f, como el resultdo del cálculo del siguiente límite f lim ftdt Si este límite es finito, se dice que l integrl impropi es convergente (y que su vlor es el de dicho límite); si este límite es infinito, se dirá que l integrl impropi es divergente. Su gráfic es l que corresponde l Cso I. Emple Clculr 2 /2 cos sin Proposition (Generlizción de l regl de Brrow) Se f :, un función continu no cotd en y se G un primitiv suy pr todo,. Entonces se verific f G G G donde por G representmos el resultdo de G lim G Remrk De form nálog se puede trjr con integrles impropis de l form f : Si f :, es un función no cotd en el punto, pero cotd e

6 integrle en culquier intervlo compcto de l form,, con, se define f lim ftdt Si este límite es finito, se dice que l integrl impropi es convergente (y que su vlor es el de dicho límite); si este límite es infinito, se dirá que l integrl impropi es divergente. Su gráfic es l que corresponde l Cso II. De igul form se puede estlecer un versión generlizd de l regl de Brrow pr este tipo de integrles: Se verific que f G G G donde por G representmos el resultdo de G lim G y donde estmos suponiendo que f :, es un función continu no cotd en y G es un primitiv suy pr todo,. Emple Estudir l convergenci de 1 log Remrk Un último cso lo tendremos pr integrles de l form f, donde l función no está cotd en un punto c,. Bsándonos en lo nterior, cturemos de l form siguiente: Pondremos c f f c f y clculremos cd un de ells por seprdo, tl y como hemos visto. De c est form, si ms integrles ( fy c f) son convergentes, tmién lo será f, siendo su vlor l sum de ls dos nteriores; por el contrrio, en cunto c un de ls dos ( fó c f) se divergente, tmién lo será f. Su gráfic es l que corresponde l Cso III. Emple Pror que l siguiente integrl es divergente 3 1 2

7 Emple Estudir l convergenci de 1 1 (Not: Se trt de un integrl impropi -el integrndo tiene un discontinuidd en 1, y que es convergente -con vlor -; éste es el mismo resultdo que se otiene si se resuelve l integrl de form direct -sin tener en cuent que es impropi-, pero no es correcto clculrl de est segund form). 3 Criterios de convergenci. En muchs ocsiones es imposile clculr ls correspondientes integrles impropis (por el hecho de que no semos como otener un primitiv suy), pero sí que es posile decir si l integrl es convergente o divergente (independientemente del cálculo de l mism; sí, si semos que l integrl es divergente, evidentemente su resultdo vldrá ; sin emrgo, si conociésemos que es convergente, podrímos plicr un método proimdo -por ejemplo, un método numérico- pr proimr su vlor). Los principles Criterios de Convergenci pr este tipo de integrles impropis (y sen de 1r o 2d especie), y que, ásicmente, nos dicen si ls misms son convergentes o divergentes ríz de nlizr como son ls funciones que precen en el integrndo de este tipo de integrles, se pueden ver en el Aneo 1.2.3, que se incluye junto este tem en el Aul Virtul. Ejercicios resueltos. 1. (1er Prcil. Ferero 217) Clculr Solución: Relizremos el cmio de vrile t 2, de mner que (oservr que se otienen los mismos límites de integrción pr l vrile t que pr, y que si 1, entonces t 1; idem pr ) t 2 1 t 2 2 2tdt 1 1 t 2 2 dt Est últim integrl l resolvemos por el método de Hermite (y que el denomindor tiene ríces complejs múltiples): Aplicndo l descomposición de este método, tendremos es decir 1 t t 2 2 At B 1 t 2 d dt Ct D 1 t 2 At B 1 t 2 C1 t2 Ct D2t 1 t 2 2 y operndo y clculndo los coeficientes, result A, B 1, C 1 yd, por lo

8 que 1 t 2 2 t 1 1 t 2 d dt Por todo lo nterior 1 1 t 2 dt t 2 d dt 1t 1 t t 2 d dt t 1 t 2 t dt rctnt t 1 t 2 1 t 2 1 lim t rctnt t 1 t 2 rctn Ejercicios propuestos. Ver los Ejercicios Propuestos en el Tem

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