CAPÍTULO 3. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO. RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS.

Transcripción

1 CAPÍTULO 3. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO. RECTAS CIRCUNFERENCIAS. Ejercicios E1. Sean r la recta que pasa por los puntos. A(1, 2), B(3, 1), s la recta que pasa por el punto C(2, 2) y tiene pendiente m s = 2; halle el punto, P, de intersección de las rectas r y s dadas. E2. Averigüe y justifique si los puntos A(2, 3), B(5, 8), C(113, 188) pertenecen a una misma recta. (Sugerencia: compare las pendientes m AB, m AC ). E3. Halle la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta de ecuación 2x + 3y 7 = 0 con el semieje positivo. E4. Recordando que tg(α β) = tg(α) tg(β) tg(α)tg(β)+1 halle el ángulo δ que forman las rectas r, s, siendo r la recta de ecuación y = 2x + 7, s la recta que pasa por los puntos. A(2, 3), B(1, 6). E5. Halle la ecuación de la recta que pasa por A(2, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación y = 7x + 3. E6. Dados los puntos A(1, 2), B(3, 1), C(1, 6), D(3, 2), halle las ecuaciones de las mediatrices de los siguientes segmentos: a) AB, b) AC, c) AD. Recuerde que la mediatriz de un segmento es la recta que pasa por su punto medio y es perpendicular al segmento dado. E7. Represente con ecuaciones e inecuaciones al segmento de extremos A(1, 2), B(4, 2). E8. Halle el pie de la altura relativa al vértice A, en el triángulo de vértices A(1, 2), B(3, 4), C( 1, 5). E9. Halle la ecuación de la circunferencia de centro C(1, 2) y radio r = 3. E10. Diga justificando cuales de las siguientes ecuaciones representan una circunferencia y en caso afirmativo halle su centro y su radio. a) x 2 + y 2 + 2x = 0, 1

2 b) x 2 + y 2 4y = 0, c)3x 2 + 3y 2 + 2x 3y = 1, d) x 2 y 2 = 1, e) 2x 2 + (y + x)(y x) + x = 0, f) xy = 1. E11. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1, 0), B( 1, 2) y tiene centro sobre la recta de ecuación y + 2x = 0. Recuerde que si A, B son dos puntos de una circunferencia, el centro de la misma pertenece a la mediatriz del segmento AB. E12. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A( 3, 3), B( 2, 0), C(2, 2). E13. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(1, 2) y es tangente a las dos rectas paralelas de ecuaciones y = 2x, y = 2x + 3. E14. Halle el punto medio del segmento AB, siendo A, B los dos puntos de intersección de las circunferencias de ecuaciones x 2 + y 2 = 100, x 2 + y 2 14x 2y = 0. E15. Halle la recta tangente en A(3, 4) a la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 25 (Sugerencia: recuerde que la recta tangente en A a una circunferencia de centro Q es perpendicular al radio QA). E16. Bosqueje los conjuntos del plano representados por: a) x + y = 1, b) x + y 1, c) x 2 + y 2 = 1, d) x 2 + y 2 1, e) (x 1) 2 + (y 2) 2 1, E17. Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 2x 6y + 5 = 0 que pasan por el origen. (Sugerencia: Si los puntos de contacto de dos rectas buscadas con la circunferencia son P, Q entonces los dos triángulos COP, COQ son triángulos rectángulos de hipotenusa CO (siendo C(1, 3) el centro de la circunferencia dada). Por lo tanto los puntos P, Q pertenecen también a la circunferencia de diámetro CO y se pueden hallar intersectando la circunferencia dada con la circunferencia de diámetro CO. Otra posibilidad, que también involucra muchas 2

3 cuentas, es hallar los puntos de intersección de la circunferencia dada con una recta genérica por O, de ecuación y = mx, y luego hallar los valores de la pendiente, m, para los cuales es nulo el discriminante de la ecuación de segundo grado en x: x 2 + (mx) 2 2x 6(mx) + 5 = 0). 3

4 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 3 SE1. Las rectas r, s tienen ecuaciones, respectivamente 3x + 2y 7 = 0, 2x y 2 = 0; como la intersección de dos curvas en el plano se obtiene resolviendo el sistema de sus ecuaciones, obtenemos el punto de intersección pedido: P ( 11 7, 8 7 ) SE2. m AB = 5 3, m AC = y C y A x C x A 108 = 5 3. Como las dos pendientes son iguales los tres puntos pertenecen a la misma recta. = = 180 SE3. Escribiendo la ecuación en forma explicita: y = 2 3 x el coeficiente de x es la pendiente de la recta y la tangente trigonométrica del ángulo α que forma la recta con el semieje x positivo, por lo tanto tg(α) = 2 3. SE4. Como las pendientes de las dos rectas dadas son m r = 2, m s = m AB = 3, tenemos: tg(δ) = tg(α β) = mr ms 1+m rm s = = 1; el ángulo pedido tiene tangente tg(δ) = 1 = 1 y por lo tanto δ es un ángulo de 45 0 (ó π 4 radianes). SE5. y 3 x 2 = 1 7 ; x + 7y 23 = 0. SE6. a) Punto medio de AB: M AB (1, 1 2 ); pendiente de AB: m AB = = 3 2 ; ecuación de la mediatriz de AB: y 1/2 x 1 = 2 3 ; 4x 6y 1 = 0. b) Punto medio de AC: M AC (1, 4); como el segmento AC es paralelo al eje, la mediatriz de AC resulta ser paralela al eje y tiene por lo tanto ecuación y = 4. c) Punto medio de AD: M AD (2, 2); como el segmento AD es paralelo al eje, la mediatriz de AD es paralela al eje y su ecuación es x = 2. SE7. La ecuación de la recta que pasa por AB es y 2 x 1 = 5 6, 5x+6y 17 = 0 y los puntos del segmento tienen coordenadas x tal que 1 x 7. Por lo 5x + 6y 17 = 0 tanto una posible representación de AB es : o en 1 x 7 5x + 6y 17 = 0 forma parecida:. 3 y 2 4

5 SE8. El punto A se obtiene como intersección del lado BC con la recta r que pasa por A y es perpendicular al lado BC. La recta s, que pasa por B, C tiene pendiente m BC = = 1 y 4 4 y ecuación x 3 = 1 4 ; la recta, r que pasa por A y es perpendicular al lado BC, tiene pendiente 4 y ecuación y 2 x 1 = 4; por consiguiente las coordenadas del pie de la altura relativa al x + 4y 19 = 0 vértice A se obtiene resolviendo el sistema P ( 27 17, ) 4x y + 4 = 0 SE9. (x 1) 2 + (y 2) 2 = 9, x 2 + y 2 2x 4y 4 = 0. SE10. a) Circunferencia de centro ( 1, 0) y radio 1. b) Circunferencia de centro (0, 2) y radio 2, c) Circunferencia de centro ( 2 6, 3 6 ) y radio 41 6, d), f) no son ecuaciones de circunferencias, e) La ecuación se puede escribir en la forma: x 2 + y 2 + x = 0, luego representa la circunferencia de centro ( 1 2, 0) y radio 1 2. SE11. El punto medio del segmento AB es M AB (0, 1); la pendiente del segmento AB es m AB = 1; la mediatriz del segmento AB tiene ecuación y+1 x 0 = 1; el centro de la circunferencia es el punto C(1, 2) cuyas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema. El radio de x + y + 1 = 0 y + 2x = 0 la circunferencia es r = AC = BC = 2; la ecuación de la circunferencia es (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 4; x 2 + y 2 2x + 4y + 1 = 0. SE12. El centro de la circunferencia es punto de intersección de las mediatrices de los segmentos AB, BC. M AB = ( 5 2, 3 2 ); M BC = (0, 1), m AB = 3, m BC = 1 2 ; ecuación de la mediatriz de AB: y 3/2 x+5/2 = 1 3 ; y+1 x 3y + 7 = 0; ecuación de la mediatriz de BC: x = 2, 2x y 1 = 0; x 3y + 7 = 0 x = 2 intersección de las dos mediatrices: 2x y 1 = 0 y = 3 Centro Q(2, 3) radio r = AQ = BQ = CQ = 5; ecuación de la circunferencia: (x 2) 2 + (y 3) 2 = 25, x 2 + y 2 4x 6y 12 = 0. 5

6 SE13. Como el punto A(1, 2) pertenece a la recta de ecuación y = 2x, el centro de la circunferencia se halla sobre la recta, r, que pasa por A(1, 2) y es perpendicular a las dos rectas dadas. La ecuación de la recta r es y 2 x 1 = 1 2, x + 2y 5 = 0; la recta r intersecta a la recta de ecuación y = 2x + 3 en el punto B( 1 5, 13 5 ). El centro de la circunferencia es el punto medio, Q, del segmento AB, luego Q( 2 5, ); el radio es r = AQ = BQ = la ecuación pedida es: (x 2 5 )2 + (y )2 = , 5x2 + 5y 2 4x 23y + 25 = 0. SE14. El conjunto de los puntos de intersección de dos curvas se obtiene resolviendo el sistema de sus ecuaciones. Por lo tanto: x 2 + y = 0 x 2 + y 2 14x 2y = 0 x 2 + y = 0 x 2 + y = 0 14x 2y = 0 y = 50 7x x 2 + ( x + 49x 2 ) 100 = 0 50x 2 700x = 0 y = 50 7x y = 50 7x x 2 14x + 48 = 0 x 1 = 6, x 2 = 8, y 1 = 8, y 2 = 6; y = 50 7x A(6, 8), B(8, 6), M AB = ( x A+x B 2, y A+y B 2 ) = (7, 1) SE15. La recta tangente pedida es perpendicular al segmento QA. Como el centro Q de la circunferencia es el origen, se tiene m QA = y A y Q x A x Q = 4 3 y la pendiente de la recta tangente pedida es entonces m = 3 4 y la ecuación y 4 x 3 = 3 4, 3x + 4y 25 = 0. SE16. a) Observemos que en el primer cuadrante, donde x 0, y 0, la ecuación se escribe x+y = 1 y representa la recta que pasa por los puntos A(0, 1), B(1, 0) de la cual pertenece al primer cuadrante el segmento AB. En forma análoga se averigua lo que pasa en los otros tres cuadrantes. Por ejemplo en el tercer cuadrante obtenemos el segmento CD siendo C(0, 1), D( 1, 0) puntos de la recta de ecuación x y = 1. El conjunto representado por la ecuación dada es la poligonal ABCDA. 6

7 SE16 a) D(-1,0) A(0,1) B(1,0) C(0,-1) SE16 b) A D B C SE16 c) 0 SE16 d) 0 7

8 SE16 e) 0 SE17. La circunferencia de diámetro CO tiene centro R( 1 2, 3 2 ) y radio 10 r = 2 por lo cual su ecuación es x 2 + y 2 x 3y = 0. Resolviendo x 2 + y 2 2x 6y + 5 = 0 el sistema se obtienen los puntos P ( 1, 2), x 2 + y 2 x 3y = 0 Q(2, 1). Por consiguiente las dos rectas tangentes pedidas son las rectas que pasan por el origen, y respectivamente, por los puntos P, Q y sus ecuaciones son: y = 2x, y = x 2. Con el segundo método sugerido se tiene: (1 + m 2 )x 2 2x(1 + 3m) + 5 = 0 = b 2 4ac = 4(1 + 3m) 2 4.5(1 + m 2 ) = 0, 1 + 6m + 9m 2 5 5m 2 = 0, 4m 2 + 6m 4 = 0, 2m 2 + 3m 2 = 0 m 1,2 = 3± = 3±5 4 m 1 = 2, m 2 =