DISTRIBUCIONES BINOMIAL, DE POISSON Y NORMAL

Transcripción

1 BNP DISTRIBUCIONES BINOMIAL, DE POISSON NORMAL Dstrbucó bomal BNP I a. S ucará acá d uvo l problma ya cosdrado NP X : Dado u sucso A cuya probabldad d ocurrca ua pruba aslada s p, s qur hallar la probabldad d qu prubas dpdts A ocurra xactamt vcs. Sgú dducdo al rsolvr dcho problma: P( ocurrcas d A prubas dpdts p ( p [] Supógas ahora qu a la catdad d ocurrcas d A las prubas s l asoc la varabl alatora X. Etocs, por [] s tdrá qu: P( X p ( p [] Evdtmt: Por fórmula dl dsarrollo bomal tal como ra d atcpar. ( X ( P p p 0 0 [ p ( p ] b. Itrsa ahora calcular l valor mdo y la varaza d la varabl alatora X. S chará mao dl sgut artfco: Sa X, X,..., X varabls alatoras corrspodt rspctvamt a las prubas ª, ª,..., ª. S df qu: P (X j 0 s la pruba j NO ocurr l sucso A P (X j s la pruba j SI ocurr l sucso A Evdtmt P (X j 0 p, P (X j p [3] y tocs srá: j X j m X j 0.( p. p p (0 p ( p ( p p p.( p j [4]

2 BNP c. Ahora b, como vdtmt s t qu: º X, X,..., X so dpdts tr sí º X X X... X [5] tocs, por lo vsto [] y [] d VAM IX s t qu: m m m... m. p [6] X X X X. p( [7] X X X... p X. p( p [8] X BNP II Aplcacó d la dstrbucó bomal a u procso d spccó por atrbutos a. Sa u lot grad d objtos smlars. Supógas qu u objto cualqura pud sr dclarado buo o malo bas a ua pruba coclusva (ua lámpara prd o o prd, ua pza pasa o o pasa por u calbr fjo, tc.. Supógas ahora tr l lot ua proporcó p d objtos malos, por l momto dscoocda. Supógas qu tr fabrcat y cosumdor s llgu a u acurdo acrca d ua proporcó máxma d malos, p t, qu sría tolrabl u lot, covédos qu s s p p t l lot srá acptado, y qu s s p > p t l lot srá rchazado. Evdtmt, sto sgfca qu para acptar o rchazar l lot s hac csaro hallar l valor xacto d p, lo qu mplca sayar todos los lmtos dl lot. Esto pud rsultar crtos casos atcoómco, y otros dscabllado (por jmplo l caso d prubas dstructvas, como sr d fósforos. Co lo qu rsulta qu l atdcho acurdo tr fabrcat y cosumdor pud o sr adcuado dsd u puto d vsta técco. Etocs, supógas qu como acurdo altratvo s acpt l juco dl sgut mcasmo d acptacó rchazo: Dl lot (grad s saca ua mustra d jmplars, y s dcha mustra hay c o mos jmplars malos l lot srá acptado. E caso cotraro, srá rchazado. E lo qu sgu s aalzará las mplcacos d st mcasmo. Supógas qu los jmplars d la mustra sa xtraídos uo a uo y probados. A stos lmtos s ls rá asocado varabls alatoras, X,... X, tals qu: X j 0 s l lmto j rsulta buo X j s l lmto j rsulta malo.

3 BNP 3 S p s la proporcó (dscoocda d lmtos malos d la mustra, s stablc qu u rfljo fl d la raldad s: P(X j 0 p P(X j p P(X j x 0 para x 0 ; j [] E rgor, [] srá ua copa fl d la raldad sólo cuado l lot sa fto, ya qu l caso d u lot fto la proporcó d lmtos malos qu quda l lot va cambado d xtraccó xtraccó, y por lo tato asgar P(X j p, j o s rgurosamt corrcto. Pro por otra part l caso d lots muy grads, y cuado la catdad d lmtos d la mustra s mucho mor qu la catdad d lmtos dl lot, s t qu la atdcha proporcó quda práctcamt altrada d xtraccó xtraccó, y por lo tato [] s ua copa sufctmt fl d la raldad. Por stos motvos pud stablcrs qu: X,..., X so dpdts [] Etocs, s s po: X X... X por lo vsto BNP I rsulta d [] y [] qu: P( X p ( p para 0,,..., P(X x 0 para x 0,,..., y tocs: c P ( X c p ( p para c 0,,..., [3] 0 Esta probabldad P( X c s la probabldad d tr c o mos lmtos malos la mustra xtraída, y por lo tato costtuy la probabldad d acptacó dl lot. La fórmula [3] s cutra tabulada l omograma d la fgura BNP II a (publcado por la Wstr Elctrc IEEE Spctrum, Dcmbr d 966 l cual s sufctmt xacto para las aplcacos comus. E caso d dsars mayor prcsó, cosultar a: ROMIG Bomal Tabls Ed Wly

4 BNP 4 Nomograma para l cálculo d: c P( X c p ( p 0 Fgura BNP II.a

5 BNP 5 P ( X c P (ACEPTACIÓN 0,4 0,8 0,6 00 (Tamaño d la mustra c 7 (Máxmo admsbl d lmtos malos 0,4 0, 0,86 0,05 Supógas qu [3] s matga fjos (tamaño d la mustra y c (máxmo admsbl d lmtos malos. Rsultará tocs qu P( X c (probabldad d acptacó srá úcamt fucó d p (proporcó d malos. Así, la fgura BNP II.b, y mdat l uso dl omograma d la fgura BNP II.a, s ha trazado la curva P( X c vs p para 00 y c 7. A st tpo d curva s la llamará dagrama d opracó dl procso d spccó. E l dagrama d opracó d la fgura BNP II.b pud obsrvars lo sgut: º A mos d sr prfcto (p 0, cualqur lot, por buo qu sa, t ua crta probabldad d sr rchazado. Así, u lot co p 0,05 t ua probabldad d 0,86 d sr acptado y, por lo tato, ua probabldad d 0,4 d sr rchazado. º A la rcíproca, cualqur lot, por malo qu sa, t ua crta probabldad d sr acptado. Así, u lot co p 0, t ua probabldad d 0,8 d sr acptado. b. Supógas qu tr fabrcat y cosumdor s covga lo sgut: 0, º U valor p b (por jmplo 0,0 tal qu l lot sa cosdrado dcddamt buo (DB lo sucsvo cuado sa p < p b. º U valor p m (por jmplo 0,05 tal qu l lot sa cosdrado dcddamt malo (DM lo sucsvocuado sa p < p m. 3º Ua probabldad máxma d rchazo d u lot DB, r f, a la qu s llamará rsgo dl fabrcat (por jmplo: r f 0,05. 4º Ua probabldad máxma d acptacó d u lot DM, r c, a la qu s llamará rsgo dl cosumdor (por jmplo: r c 0,0. S tratará d dsñar u xprmto (s dcr lgr u y c qu tga u dagrama d opracó qu cumpla co lo rcé dcado. Para hacrlo, sobr l omograma d la fgura BNP II.c (qu s l msmo qu la fgura BNP II.a trács ua prmra rcta qu ua l valor d p b (0,0 sobr la scala d p co l valor d r f ( 0,05 0,95 sobr la scala d P( X c, y trács ua sguda rcta qu ua l valor d p m (0,05 sobr la scala d p co l valor d r c (0,0 sobr la scala d P( X c. 0,8 p (PROPORCIÓN DE ELEMENTOS MALOS Fgura BNP II.b

6 BNP 6 Nomograma para l cálculo d: c P( X c p ( p 0 Fgura BNP II.c

7 BNP 7 E l puto qu s corta ambas rctas, léas los valors d y c corrspodts ( 300 y c 0, rsultado vdt qu, por costruccó, dchos valors dtrma u xprmto qu cumpl co los rqurmtos arrba dcados. El dagrama d opracó corrspodt s l dcado la fgura BNP II.d. Obsrvacos: º No hay gua garatía d qu las dos rctas trazadas sobr l omograma s cort justo sobr la trsccó d ua curva y ua curva c, lo qu mplcaría qu s db tomar valors d y/o c qu o so tros. Como sto s mposbl, lo qu s db hacr s rajustar lgramt uo d los datos (p b, p m, r f o r c para salvar st covt. º El xprmto srá tato más laborado ( más grad cuato mors s tom r f y r c y cuato más próxmos tr sí sté p b y p m, s dcr cuato más sguro y slctvo sa. P( X c 0,95 r f 0, c 0 0,68 0, 0,03 r c 0,0 DB p b 0,0 p m 0,05 DM p Fgura BNP II.d BNP III Dstrbucó d Posso a. Sa l msmo caso dcado BNP I. Allí s halló qu: P( X p ( p para 0,,,... [] Esta fórmula pud sr pusta bajo la forma: [ ] (... p P ( X ( p ( p!

8 BNP 8 p p p p p... ( (! [] Supógas ahora qu: º sa muy grad º << 3º p << (lo qu mplca qu p 0 Etocs, como stas codcos s t qu: d [] rsulta qu: º,..., º ( p p 3º p p P( X [3]! Rsumdo: P( X cuado! p 0 p valor lm, fto [4] b. Como s t qu: 0! 0! s vrfca qu [4] s la f. d p. d ua dstrbucó dscrta a la qu s llamará dstrbucó d Posso. Sa ua varabl X a la cual s asoca ua dstrbucó d Posso. Etocs:

9 BNP 9 m 0! (! X [5] Admás:! 0! X X m [ ]!! (! ( 0 0!!! (! ( [ ] [6] Etocs, por [5] y [6]: X X m [7] c. Sgú vsto a, la dstrbucó d Posso s ua bua aproxmacó d la bomal cuado la catdad d varabls lmtals s muy grad, tdo cada ua d llas ua probabldad p muy baja d asumr l valor, y tédos admás qu p rsult u valor razoabl. El úco dato csaro para qu la dstrbucó sté compltamt dtrmada s l valor d, l cual s gual al valor mdo y a la varaza d la varabl. d. Pud dmostrars (vr apédc A.BNP I dl prst capítulo qu s X,..., X so dpdts y t dstrbucos d Posso cuyos parámtros so,..., rspctvamt, tocs la varabl: Z X... X Tdrá ua dstrbucó d Posso co parámtro (.... BNP IV Aplcacos d la dstrbucó d Posso a. E la Argta, como promdo mur vacas msualmt lctrocutadas por rayos. Idcar la probabldad d qu u ms dtrmado mura 4 vacas (supor qu o hay fluca stacoal o gográfca la posbl catdad d accdts. E st caso, la catdad d varabls lmtals s muy grad (ua varabl por cada vaca, y u modlo qu sa rfljo fl d la raldad, la probabldad P(X j p s muy baja. Como admás s: p s stá dtro d las codcos qu garatza ua bua aproxmacó por la dstrbucó d Posso. Etocs: X m por [5]

10 BNP 0 4 P ( X 4 0,09 4! b. (Extraída dl lbro d B. Gdko: Toría d las probabldads. La probabldad d dar l blaco co u úco tro d u rfl s d 0,00. Idcar la probabldad d dar o más vcs l blaco cuado s tra 5000 tros smultáamt. E l prst caso: 5000 p ,00 5 valors tals qu mplca obtr ua bua aproxmacó usado la dstrbucó d Posso. Etocs: 5 5 P (X 5! y por lo tato: Dstrbucó ormal a. S vrfcará qu: P(X P(X 0 X P(X 0 P(X !! F ( m; (x 6 5 0,9595 BNP V π [ P(X 0 P(X ] t dt x m N [] s la xprsó d ua F. d D. (Cosdrar por l momto qu m s u úmro cualqura, y qu s u úmro postvo cualqura, ambos s gú sgfcado partcular. b. Para mpzar como l tgrado s uformmt postvo para todo t s t qu: F N( m; (x s ua fucó cotua y moótoa crct [] c. Cotuado, s vdt qu: lm F N( m; (x 0 [3] x d. Etocs, para la vrfcacó d qu F N(m; (x s fcto ua F. d D. Falta úcamt probar qu: F N ( m; ( lm FN( m; (x [4] x Esta dmostracó s rlatvamt laborosa. Ha sdo rlgada al apédc A.BNP II dl prst capítulo.. La f. d d. corrspodt a la F. d D. F N( m; (x s:

11 BNP d N( m; (x FN( m; (x [ FN( m; (x Δx FN( m; (x] dx Δx 0 Δx f lm Δ m t m Δ t x x x x lm Δ Δ dt lm Δ Δ dt x 0 x π x m x 0 x π x m ( Δx ξ π Δx 0 Δx lm ; x m lm ξ Δx 0 Por lo tato: ( x m N( ; (x f m [5] π f. Por [5] s t qu: x m x N( m; (x x x x [6] m X f d d m π X (x m f N( x m ( (x x (x x m ; d m d [7] π s dcr qu toda varabl alatora a la qu s asg ua F. d D. F N( m; (x tdrá u valor mdo gual a m y ua varaza gual a, s dcr ua dsvacó típca gual a. D ahí los dcatvos (mmotéccos m y qu fgura los ombrs d la F. d D. F N( m ; (x y d la f. d d. f N( m; (x. g. E lo sucsvo s llamará ormal (m, a: La F. d D. F N( m; (x y la f. d d. f N( m; (x Todas las varabls a las cuals s asoc la F. d D. F N( m ; (x La dstrbucó d probabldad a la cual corrspod la F. d D. F N( m ; (x [8] h. Etr las dstrbucos ormals, la más popular s la ormal (0, ya qu s la úca cuyas F. d D. y f. d d. stá tabuladas, y ya qu todas las F N( m ; (x y f N( m; (x, (m, pud sr dducdas d la tabulacó atdcha. Evdtmt: (vr [] y [5]: x t x F N(0; (x dt ; fn(0; (x [9] π π y comparado stas fórmulas co las [] y [5] rsulta: x m x m FN ( m; (x FN( 0; ; fn( m; ( x fn( 0; [0]

12 BNP Estas fórmulas so mportatísmas ya qu prmt hallar l valor d F N( m ; (x y d f N( m; (x bas a la tabulacó d F N(0; (x y d f N(0; (x. S t qu: X ormal ( m, m t x X - m x m P π π t y X m P π x m t ( X x dt P dt ( y dt ormal ( 0, ormal( 0, X - m x - m, y j. Rsumdo: X m X ormal ( m; ormal( 0; [] t x t t FN( 0;( x dt dt dt π π π x π x x π t dt FN 0; ( ( x τ dτ Hacdo l cambo d varabl t -τ Rsumdo: FN [] ( 0;( x FN( 0; ( x k. Supógas qu X sa ua varabl alatora ormal (m;. Sa ua uva varabl: -X Etocs: Por sr X cotua P ( x P( X x P(X x P(X < x F N( m; ( x m t x t t dt dt dt π π π x m FN( m, ( x Hacdo l cambo d varabl t -τ

13 BNP 3 (x ; F N( ( x x x τ τ π τ τ π τ τ π m m d m d m d Es dcr qu s X s ua varabl alatora ormal (m,, tocs (-X s ua varabl alatora ormal (-m,. [3]

14 BNP 4 BNP VI Suma d varabls alatoras ormals Sa X varabls dpdts y ormals, rspctvamt ( m ; y ( m ; S pud probar (co mucho trabajo qu: (X s ormal [( m m ; ( ( ] X Esto pud sr gralzado fáclmt al caso d varabls. Así, s X,..., X so varabls dpdts y ormals, rspctvamt ( m ;,..., ( m ; s t qu: X s ormal [( m... m ; ( (... ] ( X... X X X X X X X X X X X BNP VII Torma ctral dl límt BNP VII. Vrsó d Ldbrg a. Sa X, X,..., X u cojuto d varabls alatoras dpdts. Supógas qu todas llas tga ua msma F. d D. cualqura (qu pud sr dscrta, cotua, tc., tal qu las varabls tga valor mdo y varaza ftas. Evdtmt todas stas varabls tdrá u msmo valor mdo y ua msma varaza: Sa la varabl: m m... m m [] X X X [] X X... X m m X X... [3] S s llama F (x a la F. d D. d, l torma d Ldbrg xprsa: lm F (x F. d D. ormal (0,, uformmt todo trvalo crrado. La dmostracó d st torma stá más allá dl alcac d st lbro. Pud cotrársla : H. Cramr, Métodos Matmátcos d la Estadístca, Capítulo XVII, párrafo 7-4.

15 BNP 5 b. Pógas: Sgú [3] s:... X X X [4] X (X... X m X m X m X m y tocs: x m P( X x P( m x P Como, sgú vsto a, s t qu para muy grad la F. d D. d s aproxmadamt ormal (0,, rsulta qu: x m P( X x FN(0; F (x N( m; para grad y por lo tato:... Vr [0] d BNP V Por [4]... X X Para grad, la varabl alatora X s aproxmadamt ormal (m ;, sdo m y l valor mdo y la dsvacó típca d todas las varabls X,..., X. [5] BNP VII. Vrsó d Lapuoff a. E sta vrsó dl torma ctral dl límt s amplía otablmt las codcos d valdz. Sa X, X,..., X varabls alatoras dpdts. Cada ua d llas t su F. d D. propa, su valor mdo propo y su varaza propa. Sa la varabl: (X m... (X m X (... X X X [6] a cuya F. d D. s la llamará F (x.

16 BNP 6 El torma d Lapuoff xprsa ( forma muy tutva: lm F (x F. d D. ormal (0, uformmt todo trvalo crrado cuado al tdr td a cro la cotrbucó d cada ua d las varabls a u vtual rsultado o ulo. E otras palabras, xstrá l límt cuado o haya gua varabl o cojuto fto d varabls qu codco ssblmt l rsultado dl xprmto. [7] Pud cotrars ua dmostracó rgurosa dl torma d Lapuoff : J. V. Uspsky, Matmátcas d las Probabldads, pága 3, y B. Gdko, Toría d las Probabldads, Capítulo 8. b. Por [6] s t qu: P(X... X P ( x ( m ( x P([ X X... m... ( X X X.... ( m... m F N(0; ( X x ( m ( X X X... m... X X X ] x F N(0; ( x ( m X... X X... X Para grad, X,, X dpdts y gua d llas prpodrat. BNP VII.3 Rsumdo, para grad, X,, X dpdts y gua d llas prpodrat s: x ( m X... X P(X X x FN(0; ( X... X E la mayoría d los casos qu s prsta la práctca, por mdos xprmtals pud hallars ua stmacó mas o mos aproxmada d m y d. X... X X... X Las F. d D. ormals so s duda las F. d D. más populars dl cálculo d probabldads. Los motvos d st hcho surg dl torma ctral dl límt. Para mpzar, todo problma qu haya qu sumar ua gra catdad d varabls co ua msma F. d D. s t qu la F. d D. d la varabl suma podrá sr aproxmada por ua F. d D. ormal (vr BNP VII.. Admás, muy a mudo fómos físcos aparc spotáamt la F. d D. ormal. Esto s db a qu la varabl qu s copa fl dl fómo físco pud sr cosdrada como la suma d ua gra catdad d varabls lmtals dpdts, tr las cuals o hay gua qu sa prpodrat. S tra tocs dtro d las codcos dl torma d Lapuoff (vr BNP VII. y ést dca qu la varabl rsultat td a sr ormal. Ejmplos d st tpo d casos sría los sguts:

17 BNP 7 º La varabl alatora corrspodt al sumstro d rgía d ua usa a las 8 hs., la cual s la suma d las varabls alatoras qu corrspod a los cosumos dvduals d ua gra catdad d usuaros. º La varabl alatora corrspodt al total d dmzacos qu paga ua compañía d sguros u año, la cual s la suma d las varabls corrspodts a lo pagado a cada uo d los asgurados. Etc. BNP VIII Cosdracos adcoals sobr las F. d D. ormals a. La F. d D. ormal (0; stá grafcada y tabulada la fgura BNP VIII.b, y la f. d d. ormal (0; lo stá la fgura BNP VIII.c. Notar qu la tabla d f N (0; (x sólo fgura valors postvos d x. Esto s dbdo a qu como: x f ( x ( x N(0; fn(0; [] π rsulta suprfluo tabular fn(0; (x para valors gatvos d x. Así, para hallar fn(0; (-3 s busca la tabla f N(0; (3, valor gual al d f N(0; (-3. b. Tabulada la F. d D. ormal (0, quda tabulada por mplcacó cualqur F. d D. ormal. Así, por jmplo: 3 F N (; (3 FN(0; FN(0; ( 0,8434 Por [0] d BNP V 5 F N (; ( 5 FN(0; FN(0; ( 3 0,003 c. Lo msmo ocurr para las f. d d. ormals. Así: 3 0,497 f N (; ( 3 fn(0; fn(0; ( 0,0985 Por [0] d BNP V 5 0,0443 f N (; ( 5 fn(0; fn(0; ( 3 0,005

18 BNP 8 d. A título lustratvo s mustra la fgura BNP VIII.a los gráfcos d alguas f. d d. ormals. f N (x f N(0 ; 0,43 (x f N(3 ; (x f N(0 ;,45 (x x Fg. BNP VIII.a

19 BNP 9 Tabla d la fucó: t x FN(0; (x dt π x x Fg. BNP VIII.b

20 BNP 0 Fg. BNP VIII.b (cotuacó Fg. BNP VIII.c Fg. BNP VIII.c

21 BNP BNP IX Aplcacos d las F. d D. ormals BNP IX. Smaalmt, u pusto d cgarrllos s vd ua mda d 300 cartos d ua crta marca, co ua dsvacó típca gual a 4. El mayorsta vsta l pusto todos los Lus por la mañaa. Idcar la catdad d cartos qu db comprar l duño dl pusto al mayorsta para tr ua probabldad dl 0,95 d o qudars s cgarrllos d la marca custó. Sa la varabl corrspodt a la vta cartos d la marca atdcha. Dcha varabl s la suma d todas las varabls corrspodts a los cosumos dvduals d ua gra catdad d clts. Rsulta tocs qu sgú l torma d Lapuoff, la F. d D. d, F (y, ha d sr aproxmadamt ormal (300;4. Sa y la catdad d cartos a tr stock los lus a la mañaa para tr ua probabldad gual a 0,95 d qu o s acab durat la próxma smaa. Es dcr, sa y tal qu: P ( y 0,95 Supodo qu sa ormal (300;4: v. a. ormal (300;4 Vr [0] d BNP V y 300 P ( y FN (300;4 (y FN(0; 0,95 [] 4 D la tabla d la F. d D. ormal (0; pud obtrs l valor d Etrado dcha tabla co p 0,95 s obt qu db sr: y 300,65 y 4, , Por lo tato: Dato y300 4 qu satsfac a []. Cartos a comprar 307 Rmat d la smaa atror (s xst. Obsrvacó: Notar qu la part dl ucado Smaalmt s vd ua mda d 300 cartos co ua dsvacó típca gual a 4 s bastat artfcal. E fcto, los vrdadros valors d la mda y la dsvacó so dscoocdos y srá smpr dscoocdos. Lo úco qu s pud hacr s stmar dchas magtuds bas a u xprmto cuya matra prma s llvar cuta d la vta a lo largo d ua crta catdad d smaas. Notar al rspcto qu s por dos vcs s llva la cuta a lo largo d smaas, los rsultados obtdos srá cas sguramt dsttos, y por lo tato s obtdrá dos stmacos dsttas d la mda y la dsvacó. Pud dmostrars (pro o s prtdrá hacrlo qu cuato mayor sa l príodo durat l cual s llv la cuta d la vta, mayor probabldad s tdrá d tr ua stmacó prcsa. Rsulta así qu s l problma propusto s llvara al plao práctco, habría dos futs d rror:

22 BNP. La rlatva vracdad dl valor mdo y dsvacó utlzados.. Como la catdad d clts s fta, la F. d D. ormal srá solo ua aproxmacó d la vrdadra F. d D. S hac costar qu st stado d rlatva crtdumbr s moda corrt la Estadístca. BNP IX. Ua crta fábrca t ua produccó d js cuyos dámtros sgu ua dstrbucó ormal cuyo valor mdo y varaza so 00,05 y 0,0 rspctvamt. El comprador d dchos js los pruba a todos, uo por uo, mdat dos calbrs d 99,9 y 00, mm rspctvamt. U j s acptabl cuado o pasa por l prmr calbr y sí lo hac por l sgudo. Idcar la probabldad d qu u j tomado al azar sa acptado. S s la varabl asocada al dámtro d los js, la probabldad d qu u j tomado al azar sa acptado s: P ( 99,9 < < 00, F (00, F (99,9 Como, sgú los datos dl problma, s ua varabl ormal (00,05; 0, 0 : P(99,9 < < 00, Por [0] d BNP V F N (00,05; 0, (00, FN(00,05; 0, (99,9 00, 00,05 99,9 00,05 F N (0; FN(0; FN(0; (0,5 FN(0; (,5 0, 0, 0,695 0,0668 0,647 Esta probabldad s la suprfc dl ára sombrada d la fgura BNP IX..a. f (y 99,9 00,05 00, y Fg. BNP IX..a

23 BNP 3 BNP IX.3 Ua fábrca maufactura motors cuya potca sgu la dstrbucó ormal. Supodo qu l 0 % d los motors dsarrolla 90 HP o mos y qu l 5% dsarrolla más d 0 HP, dcar l valor mdo y la varaza d dcha dstrbucó. Sa la varabl alatora corrspodt a la potca. Esta varabl s ormal ( m ;, sdo m y por l momto dscoocdos. Sgú los datos dl problma: Por [0] d BNP V v. a. ormal (m ; 90 º 0, ( 90 F N( ; (90 m P m F N(0; ( [] º 0,05 P( > 0 0,95 0 m P ( 0 FN( m ; (0 FN(0; [] v. a. ormal (m ; Por [0] d BNP V Sgú la tabla d la F. d D. ormal (0;, los valors d rspctvamt satsfac a [] y [] so: 90 m y 0 m qu 90 m,8 0 m ;, 65 D stas xprsos s dduc l sstma d cuacos lals: m m dl cual s obt: BNP IX.4,8, ,089 ; m 96, 5 El dámtro d los graos d u crto producto químco t ua dstrbucó ormal (0, ; 0,05. Para uformar l producto s dsa lmar l 0 % d dámtro mayor y l 5 % d dámtro mor mdat l uso d tamcs. Idcar l tamaño d la malla d stos. Sa la varabl alatora corrspodt al dámtro d los graos. Evdtmt, srá ormal (0, ; 0,05. Sgú los datos dl problma, lo qu db buscars so dos valors y y tals qu: P( < y 0,05 P( > y 0,0 P ( y 0, 0, 9

24 BNP 4 Etocs: v. a. ormal (0, ; 0,05 vr [0] d BNP V y 0, º 0,05 P ( < y F (y F N(0,; 0,05 N(0; 0,05 [] y 0, º 0,9 P ( y F (y F N(0,; 0,05 N(0; 0,05 [] v. a. ormal (0, ; 0,05 vr [0] d BNP V Sgú la tabla d la F. d D. ormal (0;, los valors d satsfac a [] y [] so: y 0, 0,05 y y 0, 0,05 qu rspctvamt y 0,,65 0,05 ; y0,, 8 0,05 D dod s dduc: y -,65. 0,05 0, 0,05875 y,8. 0,05 0, 0,3 Co lo qu rsulta qu la sparacó tr alambrs ha d sr d 0,3 mlímtros para l tamz más grad y 0,05875 para l tamz más chco. BNP IX.5 La aplcacó qu sgu ha sdo sacada d la obra d G. Gamow, Jux Mathmatqus. E Almaa, dspués d la últma gurra, l pa staba racoado y toda prsoa tía drcho a 00 gr. d pa por día. Los paadros tía molds ofcals para obtr pas d 00 gr., rsultado así qu toda prsoa tía drcho a uo d sos pas por día. El profsor XX todos los días pasaba por la paadría a buscar su racó d pa. U día l djo al paadro qu sus molds o ra los ofcals ya qu durat muchos días había psado l pa qu s l vdía la balaza d su laboratoro, y había obtdo ua mda d 90 gr.. El paadro l rspodó qu ra vtabl qu hubra alguas pquñas dfrcas d pa a pa, a lo qu l profsor l cotstó qu s b so ra crto, l cúmulo d vdca ra totalmt codatoro. A cotuacó procdó a xplcar al paadro los mstros d la dstrbucó ormal, y a mostrarl los rsultados d sus mdcos, los cuals ra tal como dcado la fgura BNP IX.5.a.

25 BNP 5 Catdad d pas Etr 6,5 y 67,5 gr 67,5 y 7,5 gr 7,5 y 77,5 gr 77,5 y 8,5 gr 8,5 y 87,5 gr 87,5 y 9,5 gr 9,5 y 97,5 gr 97,5 y 0,5 gr 0,5 y 07,5 gr 07,5 y,5 gr,5 y 7,5 gr Fg. BNP IX.5.a Al vrs dscubrto, l paadro rcoocó su culpa y promtó mdars. Trascurrdo u crto tmpo, l profsor ducó al paadro a la polcía. El paadro fu llvado at u trbual y codado a pagar ua multa y a sufrr ua brv stca prsó. E l curso dl juco, l abogado dfsor dl paadro prgutó al profsor s, dsd qu l paadro promtó mdars, había rcbdo algú pa d mos d 00grs. El profsor cotstó qu o, pro qu ra vdt qu l paadro o había cambado sus molds, y qu lo qu hacía ra rsrvar para él los pas más psados d su produccó ormal. Al prgutarl l abogado qu cómo podía habr llgado a smjat coclusó, l profsor prstó los rsultados d sus mdcos a partr dl momto d la supusta mda. Estas mdcos ra tal como dcado la fgura BNP IX.5.b y bastaro para codar al paadro. Catdad d pas Etr 97,5 y 0,5 gr 0,5 y 07,5 gr 07,5 y,5 gr,5 y 7,5 gr Fg. BNP IX.5.b

26 BNP 6 BNP IX.6 Ua fábrca maufactura js cuyos dámtros sgu ua dstrbucó ormal (0,50 ; 0,03, y otra maufactura cojts cuyos dámtros sgu ua dstrbucó ormal (0,55 ; 0,04. U cojt s adapta a u j s su dámtro xcd al dl j tr 0,005 y 0,035. Idcar la probabldad d qu u j y u cojt lgdos al azar s adapt b. Sa Z la varabl alatora ormal (0,50 ; 0,03 asocada al dámtro d los js. Sa la varabl alatora ormal (0,55 ; 0,04 asocada al dámtro d los cojts. Evdtmt, la solucó dl problma cosst hallar: P(0,005 < Z < 0,035 P(0,005 < (- Z < 0,035 Como: º s ormal (0,55 ; 0,04. º Por sr Z ormal (0,50 ; 0,03, s t (vr [3] d BNP V qu (- Z s ormal (-0,50 ; 0,03. 3º Por lo dcado BNP VI s t qu: y rsulta qu: (- Z s ormal ( 0,55 0,50; (0,04 (0,03 P (0,005, s dcr ormal (0,05 ; 0,05 < Z < 0,035 F N(0,05 ; 0,05 (0,035 F N(0,05 ; 0,05 (0,005 0,035 0,05 0,005 0,05 F N (0; FN(0; FN(0; (0,4 FN(0; ( 0, 0,05 0,05 0,6554 0,407 0,347 Es dcr qu s t ua probabldad d solo 0,347 d qu u cojt y u j tomados al azar s adapt, lo cual s muy pobr. BNP X Aproxmacó d la dstrbucó bomal por la dstrbucó ormal a. Sa l msmo problma cosdrado BNP I. Tal como allí s vo: º. Las varabls dpdts X,, X corrspod rspctvamt a las prubas ª,, ª. º. P (X 0 s la pruba o ocurr l sucso A. 3º. P (X s la pruba s ocurr l sucso A. 4º. P (X 0 p, P(X p [] 5º. Para todos los X : m m p, p( p [] Evdtmt: X Ocurrcas d A las prubas X X [3] X Vr [0] d BNP V

27 BNP 7 b. Supógas qu trsa coocr la probabldad: P(a Ocurrcas d A las prubas b P(a X X b [4] S t qu: P(a X X b P(a p (X X p b p a p ( P X... X p b p p( p p( p p( p [5] y como por [] s: (... X X m m m (X... X rsulta por l torma d Ldbrg qu la varabl td a la ormal (0 ; cuado td a fto. Etocs, por [5]: N(0 ; P(a X X b P a p b p p( p p( p [6] b p F N(0; FN(0; p( p a p p( p para grad c. Ejmplo. S pd calcular la probabldad d qu al trar 0000vcs ua moda s obtga tr 4800 y 500 caras. E st caso l sucso A cosst sacar cara. Evdtmt: p P( A Evdtmt, los 0000 tros d moda so otras tatas prubas dpdts. Sa X la varabl alatora corrspodt a la catdad d caras obtdas los 0000 tros. S t qu st caso: 0000 y como st úmro d prubas s muy grad, pud usars ua aproxmacó ormal para la F. d D. d X. Etocs por [6] s t qu:

28 BNP P(4800<X < 500 F F N (0; N(0; 0000 ( 0000 ( F N (0; ( FN(0; ( 4 0,9775 0, ,977 d. Ejmplo U dstrbudor d smllas sab qu l 5% d las smllas qu vd o grma. Vd paquts d 00 smllas garatzado u 90% d grmacó. S pd dcar qu probabldad xst d qu l dstrbudor cumpla co la garatía u paqut d smllas tomado al azar. E st caso s cosdrará qu l sucso A cosst qu ua smlla dl paqut o grm. Por lo tato: p P( A 0,05 Evdtmt, como la grmacó o o grmacó d ua smlla o dpd d la grmacó o o grmacó d las rstats, s t qu al probar las 00 smllas d u paqut s fctúa 00 prubas dpdts. E st caso 00 Como st úmro d prubas s grad (auqu o tato, pud usars ua aproxmacó ormal para la F. d D. d X, varabl alatora corrspodt a la catdad d smllas qu o grma. Etocs, por [6] s t qu: P(cumplr co la garatía P(90% o más d las 00 smllas grm P(o grm a lo sumo 0 smllas P(X < 0 0 p F N(0; p( p ,05 F N (0; FN(0; (3,5 0, ,05( 0,05 Est msmo problma pud sr rsulto mdat l omograma d la fgura BNP II.a. Allí, para: s obt: 00 c 0 p 0,05 P ( X 0 0,9975 Esto da ua da d la prcsó obtda mdat l uso d la aproxmacó ormal d la dstrbucó bomal. S hac costar qu pud dmostrars qu la prcsó aumta la rgó p 0,5 y dsmuy cuado p s muy chco (como l caso aalzado, o muy grad.

29 BNP 9. Supógas ahora qu trs calcular mdat ua aproxmacó d la ormal a la bomal la probabldad d qu la varabl alatora X, corrspodt a la catdad d ocurrcas, asuma u valor fjo dfdo, s dcr trsa hallar: P(X c Por jmplo, supógas qu l caso d trs calcular la probabldad d qu o grm xactamt 0 smllas. S cha mao dl sgut artfco: P(X0 P (0 0,5 < X 0 0,5 0,5 00 0,05 9,5 00 0,05 F N(0; FN(0; 00 0,05( 0, ,05( 0,05 0,5 0,5 F N(0; FN(0; FN(0; (0,6 FN(0; ( 0,6 3,08 3,08 0,5636 0,4364 0,7 A título d vrfcacó s calculará drctamt dcha probabldad mdat la fórmula bomal: 00 P ( X 0 (0,05 0 ( 0, ,84 0

30 BNP 30 APÉNDICES A.BNP I a. Sa X varabls alatoras dpdts qu t dstrbucos d Posso cuyos parámtros so y rspctvamt. Sa la varabl: Z X S t tocs qu: P(ZP(X0 P(X P(X...P(X 0 P(X0P(P(XP( P(XP(...P(XP(0 0! 0!...! (!! (!! 0! 0!!(...!!(!!(! (!!(!...!!(!!!(!! (... 0! ( (! ( y por lo tato Z X t ua dstrbucó d Posso co parámtro. b. Evdtmt, por l prcpo d duccó complta, lo rcé dmostrado pud sr amplado al caso gérco. Así, s las varabls alatoras dpdts X,..., X t todas dstrbucos d Posso co parámtros,..., rspctvamt, s t qu la varabl: Z X... X tdrá ua dstrbucó d Posso co parámtro: Z...

31 BNP 3 A.BNP II S dmostrará qu: t N ( m; ( lm FN( m; (x dt x π F Co st f, como: t v t v [ F ( ] dt dv dt dv N( m; hacdo l cambo d varabls: π π π t v t ρ Cos α v ρ S α y como: º dt dρ dv dρ dt dα dv dα Cosα Sα ρsα ρ ρcosα º {(t,v/(- < t < (- < v < }{(ρ,α/(0 ρ < (0 α < π} s obt ρ ρ [ F ( ] ρ ρ dρ dα d N( m; π ρ 0 π 3 α 0 π ρ 0 y por lo tato s: F N ( m; (

32 BNP 3 Problmas sobr las dstrbucos Bomal, d Posso y Normal BNP BNP BNP 3 BNP 4 BNP 5 BNP 6 BNP 7 BNP 8 U sñor qu va y v d su trabajo automóvl t qu pasar por u crto smáforo 4 vcs por día. Est smáforo da altratvamt luz vrd y luz roja durat 40 y 60 sgudos a la call por la cual db crcular dcho sñor. Idcar la probabldad d qu cutr l smáforo vrd 0,,, 3 y 4 vcs u msmo día. Ua fábrca t ua produccó d torllos cuyo porctaj d dfctuosos s dscoocdo. S toma d ua partda (qu s supo muy grad torllos, y s tr llos hay k ó mos dfctuosos, la partda s acpta. Calcular y k tals qu: a S l porctaj d dfctuosos s fror al %, s tga ua probabldad o mor d 0,9 d acptar la partda. b S l porctaj d dfctuosos s supror al %, s tga ua probabldad o mor d 0,9 d rchazar la partda. Sa ua produccó d bombas d luz co u promdo dl % d dfctuosas. Sa u lot grad d dchas bombas. D dcho lot s saca ua mustra d 00 bombas. S hay 0 ó dfctuosas s acpta, rchazádolo s hay 3 ó más dfctuosas. S hay dos dfctuosas s toma otra mustra d 00 bombas. S sta ª mustra hay 0 ó dfctuosas, l lot srá acptado, sdo rchazado caso cotraro. Idcar la probabldad d acptacó dl lot. Supodo qu l cofct d tlgca dl géro humao tga ua dstrbucó ormal (00 ; 8, dcar la probabldad d qu u hombr tomado al azar tga u cofct d 40 o más. El cotdo d bactras d crta cosrva db sr mor qu 70 para qu sa acptabl. S la F. d D. dl cotdo d bactras s ormal (68 ; 0,9 dcar la proporcó d latas qu db sr dclarada o acptabl. S X s ormal ( ; 0,4, hallar: a P(X < 0 b P(0, < X <,8. S la vda mda d ua coloa d bactras s ormal (600 ;60, dcar qu porctaj d bactras durará tr 500 y 800 días. S u crto volum d sagr d u hombr sao aparc como mda 0 glóbulos blacos, y la dsvacó típca tr mustras s gual a, dcar la probabldad d qu ua mustra d dcho volum aparzca 4 o mos glóbulos. BNP 9 Supógas qu ua crta pza s dclarada bua s pasa por u crto calbr d 5 mm d dámtro. Sa ua produccó d dchas pzas, cuyos dámtros t ua dstrbucó ormal (4,8 ; 0,. Idcar qu porctaj d sta produccó srá dclarado buo. BNP 0 El volum d produccó d u crto artículo s ormal (m ;. S u 60% d los días s produc mos d 50t, l 35% d los días s produc tr 50 y 60t, y los mjors días s pasa las 60 t, hallar l valor mdo y la varaza d la produccó.

33 BNP 33 BNP S la varabl X s ormal (m ;, hallar u úmro k tal qu: P ( m k < X m k 0,95 BNP S md varos trozos sucsvos d mrdao, cuyas logtuds rals so α, α,..., α k. Los valors mddos so varabls alatoras ormals (α ;, (α ;,..., (α k ; k rspctvamt. Idcar la probabldad d qu la suma total d los valors mddos tga u rror mor qu 0-6. BNP 3 Ua produccó d js t u dámtro qu sgu ua dstrbucó ormal (50 ; 0,. S toma ua mustra d 00 js. Idcar: a El valor mdo y la varaza dl promdo d los dámtros d la mustra. b Supodo qu ua partda sa rchazada s l promdo d sus dámtros s fror a 49,999 o supror a 50,00, dcar la probabldad d rchazo. BNP 4 BNP 5 BNP 6 BNP 7 BNP 8 BNP 9 BNP 0 La vda d u trasstor t ua dstrbucó ormal (80hs ;. Idcar l valor máxmo admsbl d s s dsa qu l trasstor tga ua probabldad míma d 0,8 d vvr tr 40 y 30 horas. U avó Arbus 30 t u pso prmtdo d dspgu d 60 t. El pso vacío dl avó s d 00 t. El pso dl combustbl, trpulacó, vívrs, tc., s d 40 t. El avó t ua capacdad d 00 pasajros. Sgú studos, l pso mdo d u pasajro co su qupaj s ormal (90 ; 0. Idcar la probabldad d qu l avó trat d dspgar co u pso mayor qu l prmtdo. (Caso ral. La vta smaal d afta ( toladas d ua stacó d srvco s ormal (00 ; 0. Supodo qu l camó d sumstro v ua vz por smaa, dcar la capacdad qu db tr la cstra d la stacó para tr ua probabldad d 0,999 d podr dspachar a todos sus vtuals clts. La vga prcpal dl ala d u avó comrcal stá calculada a la fatga d mara tal qu aguat 6 x 0 6 vrsos d momto flctor. La catdad d vrsos qu dcha vga t qu aguatar por hora d vulo s ormal (00 ; 0. Supodo qu l avó vul 00 horas msuals, dcar la vda dl avó mss d mara tal d tr ua probabldad d 0,999 d o tr ua rotura por fatga. E u partdo d fútbol d ª dvsó, la pérdda d pso kg. d u dlatro s ormal (5 ;. U jugador tra coflcto co su club, y l próxmo partdo prd solo 3 kg. Idcar la probabldad d qu sto ocurra, la hpótss d qu dcho jugador o haya do a mos. Sa u pco d caudal costat d ltro/sg usado ua plata mbotlladora. Sa T la varabl alatora corrspodt al tmpo qu ua botlla stá dbajo dl pco. Supógas qu T sa ormal (m ; 0,0, sdo m l valor d ajust d u dspostvo qu hac crcular las botllas. Supógas qu las botllas sa d u ltro. a Idcar qu valor d ajust ha d tomars para tr ua probabldad d 0,999 d qu l líqudo o rbals. b Tomado l valor d ajust rcé hallado, dcar la probabldad d qu ua botlla tomada al azar tga mos d 950 cc. El pso d las udads d ua crta maufactura s ormal (0 ; 8. Las udads s mpaquta d a 4 cajas d cartó cuyo pso s d 300 gr. (pso costat. E la

34 BNP 34 spccó fal s psa las cajas, y s rchaza toda caja cuyo pso total sa fror a 3.0 gr. Idcar: a La probabldad d qu o s dtct cuado por rror s mpaqut 3 udads vz d 4. b D qu sa rchazada ua caja co 4 udads. BNP BNP BNP 3 La statura d los hombrs d Buos Ars s ormal (7 ;. S lg 3 hombrs al azar y s los md. Hallar la F. d D. d la varabl alatora corrspodt al más bajo d los mddos (o, caso d qu haya mpat, la F. d D. d la varabl d los ó 3 más bajos. Sa ua coscha d graos cuyo dámtro sa ormal (3 ; 0,. Esta coscha s pasa por u tamz cuyos agujros so d φ. Lo qu NO pasa s mtdo u slo. Idcar la F. d D. dl dámtro d los graos cotdos l slo. Sa ua prsa d drvacó (o hay almacamto d agua costruda ua corrt cuyo caudal m 3 /sg s ormal (0 ;, y d la cual s saca toda l agua para sr usada rgo, hasta u máxmo d m 3 /sg. Idcar la F. d D. dl caudal qu fluy por l vrtdro (xcso dl agua qu llga sobr l cosumo. BNP 4 La rsstca al avac d u avó s proporcoal al cubo d su vlocdad (k.v 3. Sabdo qu s ormal (750 ; 0 la varabl alatora corrspodt a la vlocdad d crucro dl avó, s pd hallar la F. d D. d la varabl qu da la rsstca al avac. BNP 5 BNP 6 BNP 7 BNP 8 BNP 9 BNP 30 Ua trturadora d pdra s tal qu s D s la varabl alatora corrspodt a los dámtros d las partículas rsultats, s t qu lg D s aproxmadamt ormal (m ;. Hallar la F. d D. d D. Idcar u α tal qu tros d dado s tga qu: Catdad d Valor mdo d la P ass catdad d ass a < α 0,9 xp. obtdos obtr l S la probabldad d sacar cara u tro d moda s /, co qué catdad d catdad d prubas s garatza ua probabldad d 0,999 d qu la frcuca rlatva d aparcó d cara dfra d / mos d 0,? S u hombr juga 0000 partdos d pas glés y apusta $ por partdo, dcar la probabldad d qu prda mos d $300 los 0000 partdos. (La probabldad d gaar u úco partdo s 0,49. E ua crta cudad grad, como promdo mur prsoas por día lctrocutadas. Idcar la probabldad d qu mañaa mura 3. Ua compañía d sguros sab qu l 0,0005 d la poblacó mur aualmt u crto tpo d accdt qu paga sguro dobl. S la compañía t 0000 asgurados, dcar la probabldad d qu tga qu pagar más d 3 sguros d st tpo.

35 BNP 35 BNP 3 BNP 3 BNP 33 BNP 34 Ua fábrca produc torllos co u % d dfctuosos. U frrtro qu compra partdas grads saca d cada ua d llas ua mustra d 00 y rchaza la partda s cutra algú torllo dfctuoso. Idcar la probabldad d rchazo qu t sas partdas. Ua fábrca produc torllos d ua caldad bua, pro s dscooc cual s l porctaj ral d dfctuosos. S toma d cada partda ua mustra d torllos, y la partda s rchaza s s cutra algú dfctuoso. Idcar l valor d para qu l caso qu l porctaj d dfctuosos suba d % s tga ua probabldad míma d rchazo gual a 0,90. E ua computadora falla como promdo dos trasstors por hora. Mtras mos d 7 trasstors sté fallados la computadora sgu fucoado ormalmt, parádos caso cotraro. Idcar la probabldad d qu la computadora puda compltar u cálculo qu sum 3 horas. Los rrors d mprta d ua crta dtoral so d por pága. S u crto lbro t 300 págas, dcar la probabldad d qu algua d llas haya 5 o más rrors. BNP 35 BNP 36 BNP 37 BNP 38 BNP 39 BNP 40 E ua fábrca co u prsoal muy umroso, la tasa mda d accdts s d 3 por smaa. S pd hallar la probabldad d qu haya 6 o más accdts u príodo d smaas. La tasa msual d sucdos ua cudad d habtats s d S pd hallar: a La probabldad d qu u crto ms s sucd 6 o más prsoas. b El porctaj d mss co 6 o más sucdos. La sustaca radoactva A prsta fsó por mg y por sgudo, y la sustaca radoactva B prsta / fsos por mg y por sgudo. Idcar l valor mdo y la varaza d la catdad d fsos d ua mzcla d 3 mg d la sustaca A y mg d la sustaca B. E la playa d Vct Lópz, como promdo hay qu auxlar a u adador por domgo d vrao. Supodo qu la playa sté abrta 0 horas y qu la úca lacha d salvataj tom mda hora por opracó, dcar la probabldad d qu o haya auxlo dspobl cuado sa rqurdo. U bar d ua stacó d frrocarrl t ua vta msual d 5 botllas d ua gasosa poco comú. Idcar cuátas botllas s db tr al prcpo d cada ms para tr ua probabldad mayor d 0,75 d abastcr la dmada. Ua flota d camos t ua tasa d avrías d 3 por día. El tmpo d rparacó d u camó s d día. Idcar cuatos mcácos s csaro cotratar para tr ua probabldad mayor qu 0,95 d qu u camó avrado sa atddo l acto. Supor qu u camó qu o puda sr atddo l acto sa drvado a otro tallr.