, x es un suceso de S. Es decir, si :

Transcripción

1 1. Objetvos: a) Aprender a calcular probabldades de las dstrbucones Bnomal y Posson usando EXCEL. b) Estudo de la funcón puntual de probabldad de la dstrbucón Bnomal ~B(n;p) c) Estudo de la funcón puntual de probabldad de la dstrbucón de Posson ~P( λ ) d) Construccón de la Funcón de dstrbucón de la Bnomal. e) Construccón de la Funcón de dstrbucón de la Bnomal. f) Cálculo de la Esperanza y la Varanza de ambas dstrbucones. 2. Introduccón a varables aleatoras: El concepto de varable aleatora es fundamental en el cálculo de probabldades y, en consecuenca, para sus posterores aplcacones en la nferenca estadístca. A partr de las varables aleatoras se modelzan los resultados de un epermento aleatoro en el conjunto de los números reales. En el tema de probabldad se estudan las característcas generales de los espacos de probabldad (Ω, S, P), donde Ω es el espaco muestral, S una σ-álgebra y P una funcón de probabldad. Esta funcón P, al ser una funcón de conjuntos, no es fáclmente manejable. Además, en la práctca lo que se suele necestar es una funcón que nos descrba alguna característca de los sucesos elementales. Así por ejemplo, cuando se lanza repetdamente una moneda, en general no es de nuestro nterés conocer en qué lanzamento o lanzamentos se ha obtendo cara sno que suele resultar más nteresante conocer el número de caras (o de cruces) que se han obtendo al lanzar n veces una moneda. En consecuenca, parece deseable ntroducr una funcón defnda sobre el espaco muestral para estudar este tpo de observacones. Para ellos se ntroduce el concepto de varable aleatora que damos a contnuacón: DEFINICIÓN: Consderemos el espaco probablístco (Ω, S, P). Dremos que una funcón X defnda de : X : Ω R es una varable aleatora s la magen nversa medante X de, es un suceso de S. Es decr, s : cualquer ntervalo de la forma ( ] X 1 {(, X ]} = { w Ω / X ( w) } S 1 Por comoddad de notacón, llamamos: X {(, X ]} = { X ( w) } = { X } Intutvamente una varable aleatora es una cantdad medda en relacón con un epermento aleatoro. S w es un resultado de una realzacón del epermento aleatoro, llevamos a cabo un proceso de medda (número de caras obtendas cuando lanzamos n monedas) y obtenemos X(w). Por motvos hstórcos, se utlza el nombre de varables aleatoras, en lugar del de funcones, que es lo que realmente son, y en lugar de representarse medante letras mnúsculas como las funcones, se descrben medante las últmas letras del abecedaro U,V,W,X,Y,Z, sempre en mayúsculas. El térmno aleatora se utlza para dferencarlas de su antecedente hstórco: la varable estadístca, objeto de estudo es Estadístca Descrptva. 1

2 Esquemátcamente podemos resumr la característcas de las varables aleatoras: VARIABLE ALEATORIA:X FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE X = V.A. DISCRETA V.A. CONTINUA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: F() ESPERANZA Y VARIANZA BERNOUILLI BINOMIAL POISSON 3.Funcón de dstrbucón Sea X una v.a. defnda sobre el espaco probablístco (Ω, S, P). Asocada a ella defnmos una funcón F, dada por: F : R R F( ) = P( X ) = P( { w Ω / X ( w) } ) para todo R y la denomnaremos funcón de dstrbucón de la v.a. X. 4. Tpos de varables aleatoras Sea X una v.a. defnda sobre el espaco probablístco (Ω, S, P) y sea F su funcón de dstrbucón. La v.a. X podrá ser de tpo dscreto o de tpo contnuo.. X será una v.a. dscreta cuando sólo puede tomar un número fnto o nfnto, pero numerable, de valores. Estas v.a. son objeto de estudo en esta práctca.. X será una v.a. contnua cuando puede tomar todos los valores posbles de un ntervalo, fnto o nfnto. Este tpo de varables las estudaremos en la práctca Varables aleatoras dscretas DEFINICIÓN : Dremos que una varable aleatora X : Ω R es de tpo dscreto s el conjunto magen de Im( X ) = X Ω = t / X w = t, es fnto o numerable. X, ( ) { ( ) } DEFINICIÓN : S X : Ω R es v.a. dscreta y el conjunto C = Im( X ) = X ( Ω) = { 1, 2,..., n }, es fnto, podremos escrbr: n n P( C) = P = P( X = ) = 1 = 1 = 1 Trvalmente se etende la defncón al caso numerable. La funcón p() =P(X= ) se llama 2

3 funcón puntual de probabldad. En ocasones usaremos la notacón p =P(X= ). PROPIEDADES:. 0 p = P( X = ) 1, al ser una probabldad.. P( X = ) = 0 = p para todo Im(X ). P ( X = ) = 1 6. Característcas de una varable aleatora dscreta a) Esperanza Matemátca o valor esperado Se representa por E(X) y se calcula, en el caso dscreto, medante la fórmula: ( X ) 1 p1 + 2 p2 + = P( X = ) = E... = p La denomnacón esperanza tene sus raíces hstórcas en los juegos de azar. Nos calcula la gananca que un jugador espera obtener cuando el juego se repte muchas veces. En defntva, nos srve para calcular el valor medo esperado para la varable aleatora X. b) Varanza Se representa por Var(X)=σ 2 y se calcula, en el caso dscreto, medante la fórmula: ( X ) = E( X 2 ) E( X ) 2 Var 2 2 donde E( X ) = P( X = ). La desvacón típca σ se calcula como la raíz cuadrada de la varanza. 7. Modelos de varables aleatoras dscretas a) Dstrbucón Bernoull : X~b(p) Se defne un epermento Bernoull como aquel que solo puede dar lugar a dos resultados posbles, uno de los cuales suele denomnarse éto y el otro fracaso. La varable aleatora asocada a este epermento es aquella que toma el valor 1 s ocurre el éto ( con probabldad p) y 0 s ocurre el fracaso ( con probabldad 1-p=q) CARACTERÍSTICAS:. Parámetro : 0 < p < 1 1. Funcón puntual de probabldad : ( ) ( ). v. Meda : E(X) = p Varanza : Var (X)= pq P X = = p 1 p con =0,1 b) Dstrbucón Bnomal : X~B(n;p) Supongamos que realzamos un epermento Bernoull (con probabldad de éto gual a p) n veces. Se defne la v.a. X (Bnomal de parámetros n y p) como el número de étos obtendos en la realzacón de n pruebas ndependentes Bernoull. 3

4 CARACTERÍSTICAS:. Parámetro : 0 < p < 1, n Ν. n n Funcón puntual de probabldad : P( X = ) = p ( 1 p) con =0,1,2.,n. n k Funcón de dstrbucón : F( ) = P( X ) = p k q n k = 0 k v. Meda : E(X) = np v. Varanza : Var (X)= npq c) Dstrbucón de Posson : X~P(λ) Normalmente se utlza esta dstrbucón par medr el número de ocurrencas en un ntervalo de tempo de un certo fenómeno bajo certas hpótess; por ejemplo, los procesos de llegada de muchos fenómenos de espera (número de personas en una cola de un supermercado, número de llamadas a una central telefónca, etc.) CARACTERÍSTICAS:. Parámetro : λ > 0. λ e λ Funcón puntual de probabldad : P( X = ) = con =0,1,2,3,..!. λ k e λ Funcón de dstrbucón: F( ) = P( X ) = k = 0 k! v. Meda : E(X) = λ v. Varanza : Var (X)= λ 8. Varables aleatoras dscretas usando EXCEL: 8.1. Dstrbucón Bnomal = DISTR.BINOM(núm_éto;ensayos;prob_éto;acumulado) Devuelve la probabldad de una varable aleatora dscreta sguendo una dstrbucón bnomal. Se utlza DISTR.BINOM en problemas con un número fjo de pruebas o ensayos, cuando los resultados de un ensayo son sólo éto o fracaso, cuando los ensayos son ndependentes y cuando la probabldad de éto es constante durante todo el epermento. Por ejemplo, DISTR.BINOM puede calcular la probabldad de que dos de los prómos tres bebés que nazcan sean hombres. Sntas =DISTR.BINOM(núm_éto;ensayos;prob_éto;acumulado) donde : Núm_éto es el número de étos en los ensayos. Ensayos es el número de ensayos ndependentes. Prob_éto es la probabldad de éto en cada ensayo. Acumulado es un valor lógco que determna la forma de la funcón. S el argumento acumulado es VERDADERO, DISTR.BINOM devuelve la funcón de dstrbucón acumulada (FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN) que es la probabldad de que esta el mámo número de étos; s es FALSO, devuelve la funcón PUNTUAL de probabldad, que es la probabldad de que un evento se reproduzca un número de veces gual al argumento núm_éto. 4

5 S el argumento acumulado = FALSO: P n p k k k q n ( = ) = ( Funcón puntual) X k S el argumento acumulado =VERDADERO: F( ) = P X ) = k ( p k q n (Dstrbucón) Ejemplo El ejemplo puede resultar más fácl de entender s lo copa en una hoja de cálculo en blanco. k = 0 n k Datos Descrpcón 6 Número de étos de los ensayos 10 Número de ensayos ndependentes 0.5 Probabldad de éto de cada ensayo Fórmula =DISTR.BINOM (A2;A3;A4;FALSO) Descrpcón (Resultado) La probabldad de que eactamente 6 de 10 ensayos tengan éto es 0, Dstrbucón de Posson = POISSON(;meda;acumulado) Devuelve la dstrbucón de Posson. Una de las aplcacones comunes de la dstrbucón de Posson es la predccón del número de sucesos en un determnado período de tempo, como por ejemplo, el número de automóvles que se presenta a una zona de peaje en el ntervalo de un mnuto. Sntas =POISSON(;meda;acumulado), donde: X es el número de sucesos. Meda es el valor numérco esperado. Acumulado es un valor lógco que determna la forma de la dstrbucón de probabldad devuelta. S el argumento acumulado es VERDADERO, POISSON devuelve la probabldad de Posson de que un suceso aleatoro ocurra un número de veces comprenddo entre 0 y nclusve (FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN) ; s el argumento acumulado es FALSO, la funcón devuelve la probabldad de Posson de que un suceso ocurra eactamente veces ( FUNCIÓN PUNTUAL DE PROBABILIDAD). S el argumento acumulado = FALSO: P( X e ) = λ! λ = ( Funcón puntual) S el argumento acumulado =VERDADERO: F( ) = P( X ) = e λ λ k k = 0 k! ( Dstrbucón) Ejemplo Datos Descrpcón 2 Número de sucesos 5

6 5 Meda esperada Fórmula Descrpcón (Resultado) =POISSON(A2;A3;VERDADERO) Probabldad de Posson acumulada con los térmnos anterores (0,124652) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =POISSON(A2;A3;FALSO) Funcón de probabldad de Posson con los térmnos anterores (0,084224) = P(X=2) 9. Caso práctco 9.1. Cálculo de probabldades, funcón puntual de probabldad y funcón de dstrbucón en una v.a. Bnomal: a) Crea una hoja de cálculo (HOJA1) que halle la probabldad de obtener k étos al realzar n epermentos Bernoull con una probabldad de éto gual a p. Utlzando la HOJA1 calcula las sguentes probabldades:. En una B(5;0,4), P(X=3) =. En una B(20;0,3), P(X=10)=. En una B(7;0,56), P (X 5) = v. En una B(50;0,22), P(X<11) = b) Crea otra hoja de cálculo (HOJA2) que contenga los valores de las funcones puntuales de probabldad y de las funcones de dstrbucón de las varables aleatoras B(10;p) con p tomando los valores 0,01;0,05; 0,10...; 0,5. Utlzando la HOJA2 haz la representacón gráfca de las funcones:. Funcón puntual de B(10;0,4). Funcón de dstrbucón de B(10;0,55), 9.2. Resolucón de problemas usando la Bnomal: Crea una hoja de cálculo (HOJA3) medante la cual puedas resolver el sguente problema: Un proveedor afrma que sólo el 5% de sus productos resultan defectuosos. Tomamos una muestra de tamaño 10. Calcular: a) La probabldad de que haya eactamente 3 defectuosos. b) Cuál es la probabldad de obtener 5 o más defectuosos? c) Número de productos defectuosos esperado Cálculo de probabldades, funcón puntual de probabldad, funcón de dstrbucón y resolucón de problemas en una v.a. Posson: 6

7 a) Crea una hoja de cálculo (HOJA4) que halle la P(X=k) sendo X ~P(λ).Utlzando la HOJA4 calcula las sguentes probabldades:. En una P(0,4), P(X=3) =. En una P(20), P(X=10)=. En una P(7), P (X 5) = v. En una P(50), P(X<25) = b) Crea otra hoja de cálculo (HOJA5) que te srva para resolver el sguente problema: El número de accdentes en una determnada localdad durante un fn de semana sgue una dstrbucón de Posson de parámetro 5. Calcula las probabldades de:. Que se produzcan entre 3 y 6 accdentes durante un fn de semana.. Que se produzcan menos de 8, sabendo que se han producdo el menos 5 accdentes.. v. Promedo de accdentes los fnes de semana. Número mámo de accdentes en el 90% de los fnes de semana. 7