Distribuciones de Probabilidad

Transcripción

1 Distribuciones de Probabilidad Experimento aleatorio Probabilidad Definición variable aleatoria: discretas y continuas Función de distribución y medidas Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Normal

2 Experimentos Aleatorio: Cualquier situación que, realizada en las mismas condiciones, proporcione un resultado imposible de predecir, conociendo de antemano cuáles son todos los posibles resultados. La probabilidad aparece cuando se analizan experimentos aleatorios Determinista: Cualquier experimento que al realizarse bajo condiciones específicas conduce siempre al mismo resultado: (lo contrario de un experimento aleatorio).

3 Suceso Elemental y Espacio Muestral Suceso elemental: cada uno de los posibles resultados del experimento Se suele designar de forma genérica con la letra ω. Siempre existe más de un posible resultado. Pueden ser de cualquier naturaleza (no necesariamente números). ω 1 ={ } ω 2 ={ } ω 3 ={ } ω 4 ={ } ω 5 ={ } ω 6 ={ } El conjunto de todos los sucesos elementales se denomina espacio muestral. Se suele designar de forma genérica con la letra Ω Ω={ }

4 Probabilidad Clásica: Hay un número finito de resultados igualmente verosímiles que cubren todas las posibilidades Limitado a juegos de azar por la condición exigida de que todos los resultados deben ser igualmente verosímiles.

5 Probabilidad Frecuentista: Situaciones prácticas que pueden repetirse en condiciones idénticas. Probabilidad verificable mediante experimentación. Variabilidad aleatoria a corto plazo: Los resultados varían de una realización a otra de forma impredecible. Regularidad a la larga: El cociente entre el número de veces que ocurre el suceso A (n A ) y el número total de repeticiones del experimento n parece converger a un límite cuando n crece. Probabilidad P(A) del suceso A es el límite de la frecuencia relativa n A /n del suceso A cuando el número de repeticiones n crece indefinidamente.

6 Probabilidad Dado un espacio muestral Ω, una probabilidad P es una función que hace corresponder a todo suceso del espacio muestral un número real no negativo y que verifica los siguiente axiomas: 1. La probabilidad del espacio muestral es la unidad P(Ω) =1 2. Si A 1, A 2,... A n es una sucesión de sucesos disjuntos dos a dos (A i A j =Ø i j ), entonces la probabilidad de la unión de todos ellos es la suma de sus probabilidades: P(A 1 U A 2...U A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+...P(A n ) Para cualquier suceso A definiremos su probabilidad P(A) como una medida de A que tomará un valor entre 0 y 1.

7 Propiedades de la Probabilidad 1. La probabilidad de un suceso más la de su complementario suman 1 P(A c )=1-P(A) 2. La probabilidad del suceso imposible es nula P(Ø)=0 3. Si A es un suceso que incluye al suceso B (B A), se tiene P(B) P(A) P(A-B) P(A B c )=P(A)-P(B) 4. La probabilidad de cualquier suceso no puede ser mayor de 1 P(A) 1, 5. Si A y B son dos sucesos cualesquiera se cumple (regla de la adición): P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A B)

8 Variable Aleatoria Define de forma numérica los resultados de un experimento aleatorio. (Función que asigna a cada suceso un número). 1. Número de puntos que aparece en la cara superior de un dado al lanzarlo. x {1,2,3,4,5,6} 2. Número de artículos defectuosos por lote. x {0,1,2,3,4,5,6, n} 3. Número de personas que entran al día en una tienda, x {0,1,2,3,4,5,6, n,.} 4. Altura de los alumnos de estadística x R 5. Suma que aparece al lanzar dos dados. x {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

9 Variable Aleatoria Una variable aleatoria unidimensional es una función definida para todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio tal que se verifican las siguientes condiciones: 1) Los valores de la función son números reales 2) La probabilidad P(X x) del suceso {X x} está definida de forma única y consistente con el espacio de probabilidad. Discretas: Entre dos valores próximos toma a lo sumo un número finito de valores. E.g. número de artículos defectuosos Continuas: Entre dos valores próximos toma un número infinito de valores. E.g. peso de los individuos de una población. Ejemplo: Experimento aleatorio: lanzar dos dados (no trucados) Variable aleatoria: función que hace corresponder a cada resultado del experimento la suma de ambos dados. sucesos Variable aleatoria (x i )

10 V.A. Discreta: fc. Probabilidad Asigna a cada posible valor de la variable discreta su probabilidad, p X (x). Cumple las siguientes propiedades 1. p X (x) = P(X=x) 2. p X (x) 0 3. p X (x i ) = 1 i 4. P(a<X b) = p X (x i ) 5. Son valores adimensionales (probabilidad) Ejemplo: CC CX XC XX a<x i b Número de cruces al lanzar 2 monedas X p Suceso elemental X (x) R [ 0,1 ] ω /4 1/2 1/4 x i P(X=x i ) p X (x) = ¼ si x=0 o x=2 ½ si x=1 0 en otro caso

11 V.A. Continua: fc. Densidad f X (x), es una función que cumple: 1. f X (x) 0 f (x) X 2. f X (x) = 1 R b 3. P(a<X b) = f X (x)dx a a b 4. La función densidad no es la probabilidad de x. 5. Su valor tiene dimensiones del inverso de la variable Identificamos la probabilidad de un intervalo como el área bajo la f. densidad Ejemplo: f X (x) = ax 2 /27 si 0<x<a 0 en otro caso Determinar el valor de la constante de normalización a

12 Función de Distribución F X (x), función que asigna a cada valor de X la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales que x: F X (x) = P(X x) v. a. discreta: F X (x) = P(X x)= p X (x i ) x i x Ejemplo: v. a. continua: F X (x) = P(X x)= f X (x') dx' Número de caras al lanzar 2 monedas sucesos V.A. (x p X (x i ) i ) CC 0 1/4 F CX X (x) = 1 1/2 XC 2 1/4 XX x - 0 si x<0 ¼ si 0 x<1 ¾ si 1 x<2 1 si 2 x

13 Propiedades de Fc. Distribución 1. F X (- ) = 0 2. F X ( ) = 1 3. Monótona no decreciente 4. Continua por la derecha 5. P(a<X b) = F X (b) - F X (a) 6. P(X=x) = F X (x) F X (x - ). En particular, si X es una v.a. continua P(X=x)=0 x

14 Fc. Distribución V.A. discreta: Número caras al lanzar 4 monedas V.A. continua: Altura de los individuos de una población

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17 Medidas de una distribución Valores numéricos que describen la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Método más sencillo que el uso de funciones (distribución, probabilidad, densidad) Descripción incompleta. Medidas de posición: Cuantiles, deciles, cuartiles. Medidas de localización: Informan sobre la localización de la distribución. Media y mediana. Medidas de dispersión: Miden el grado de variabilidad de la distribución. Varianza, desviación típica, rango intercuartílico.

18 Medidas de Localización Esperanza matemática o media, E(X) o μ X V.A. Discreta: E ( X ) μ = x p ( x ) X i i X i V.A. Continua: E ( X ) μ = x f ( x)dx E(aX+bY+c) = ae(x)+be(y)+c donde X e Y son v.a. y a,b,c en R X X Ejemplo: p X (x) = 0,2 para x=0 0,8 para x=1 0 en otro caso E(X) = 0*0,2+1*0,8 = 0,8 f X (x) = 1 para 0 x 1 0 en otro caso 1 E(X) = x*1dx = 0,5 0

19 Medidas de Dispersión Varianza var(x) o σ 2 var ( ) 2 ( X ) σ 2 = E ( ) X μ X X V.A. Discreta: V.A. Continua: Desviación típica, dev(x) o σ: raiz cuadrada de la varianza Ejemplo: p X (x) = 0,2 para x=0 0,8 para x=1 0 en otro caso f X (x) = 1 para 0 x 1 0 en otro caso 1 Var(X) = (0-0,8) 2 *0,2+(1-0,8) 2 *0,8 = 0,16 Var(X) = (x-0,5) 2 *1dx = 0,08 0 -

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21 Media y Varianza Sea Y=aX+b, donde a y b son contantes y X e Y variables aleatorias Se puede pasar de una variable aleatoria X de media μ X y varianza σ 2 a otra Y=(X-μ X )/σ con media 0 y varianza 1. Estandarización de la variable aleatoria X.

22 Ejercicio La demanda, expresada en toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuya función de densidad es : x/6 2 x 4 f X (x) = 0 en otro caso Cuales son la media y la varianza de esta demanda? Suponiendo que los beneficios Y del producto pueden obtenerse a partir de la demanda mediante la fórmula Y=c+dX, se pide: 1. Calcular los beneficios esperados 2. Calcular la varianza de los beneficios

23 Distribuciones comunes Un experimento aleatorio tiene asociada una distribución de probabilidad arbitraria. Existen numerosos problemas reales con características similares que tienen asociados una misma distribución de probabilidad común a todos ellos (salvo quizá algún parámetro para adecuarla al problema concreto). Cambio de notación: Variable aleatoria: X A partir de ahora, algunas X tendrán nombre. e.g: B(n,p) G(p)

24 Suceso de Bernoulli Es el experimento aleatorio más sencillo en el que sólo son posibles dos resultados: x=1 (éxito) x=0 (fracaso). El éxito se obtiene con probabilidad p. Ejemplo: Lanzar una moneda al aire y ver si sale cara (éxito). p=0.5 Experimentos con más valores posibles pueden reducirse al de Bernoulli: Lanzar un dado Obtener un 6 (éxito, p=1/6) o no (fracaso, q = 1-p = 5/6)

25 Ejemplo: Binomial B(n,p) Una variable aleatoria X se llama binomial si su valor es igual al número de éxitos que ocurren en n pruebas independientes de Bernoulli teniendo todas la misma probabilidad de éxito p. Sucesión de n intentos idénticos. En cada intento sólo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. La probabilidad de éxito (p) es la misma en todos los intentos. Los intentos son independientes. El número de caras obtenido al lanzar una moneda al aire 20 veces es una variable Binomial de parámetros B(20, 0.5)

26 Binomial B(n,p) Una variable aleatoria X se llama binomial si su valor es igual al número de éxitos que ocurren en n pruebas independientes de Bernoulli teniendo todas la misma probabilidad de éxito p. Propiedad reproductiva respecto al parámetro n: Si X~B(n 1, p) e Y~B(n 2, p) son variables aleatorias independientes, entonces: X+Y ~ B(n 1 +n 2, p)

27 Binomial B(n,p) Función de probabilidad: Combinaciones posibles con x éxitos Probabilidad de obtener x éxitos En la calculadora: ncr choose(n,x)

28 Binomial B(n,p) Función de probabilidad: Función de distribución: No tiene forma analítica sencilla dbinom(x,n,p) pbinom(x,n,p) Valor esperado Varianza

29 Binomial B(10,0.2) R tip > n <- 10; p <- 0.2; x.i <- 0:10 > barplot(dbinom(x.i,n,p), names.arg=x.i) > curve(pbinom(x,n,p),-1,10,1000,ylim=c(0,1))

30 Poisson, Po( ) Una variable aleatoria de Poisson cuenta el número de ocurrencias de un suceso (de Poisson) en un cierto intervalo de tiempo o tramo del espacio. Ejemplo: X: Número de camiones que pasan por un punto de una carretera en una hora Y: Número de peticiones a un servidor web en un día Z: Número de baches en cada kilómetro de una carretera X, Y, Z ~ Po

31 Poisson, Po( ) Un proceso de Poisson homogéneo debe satisfacer: El número de ocurrencias del suceso en dos periodos de tiempo (tramos del espacio) no solapados son variables aleatorias independientes. La probabilidad de ocurrencia de un número x de sucesos de Poisson en dos intervalos de la misma duración t (o longitud) es la misma. La probabilidad de que ocurra un único suceso en un intervalo pequeño Δt es proporcional al tamaño del intervalo: La probabilidad de que ocurra más de un suceso en un intervalo pequeño Δt es despreciable frente a la anterior. es la tasa de ocurrencia (unidades: [tiempo] -1 o [espacio] -1 ) y = t es el número medio de ocurrencias (adimensional) en un intervalo de tiempo t fijado en la definición de la v.a.

32 Poisson, Po( ) no tiene forma analítica sencilla Propiedad reproductiva respecto a su parámetro: Si X~Po( 1 ) e Y~Po( 2 ) son v.a. independientes X+Y ~ Po( )

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34 Normal o gaussiana, N(, 2 ) Es (posiblemente) la distribución más importante: Multitud de fenómenos se comportan según esta distribución: distribución de pesos, alturas, coeficientes de inteligencia, errores en la medida,... (Teorema del límite central) Además, se utiliza para aproximar otras distribuciones.

35 Normal o gaussiana, N(, 2 ) Depende de dos parámetros, valor medio de la distribución (centro de la curva) y la desviación standard (dispersión respecto de la media). R tip E[X] = Var[X] = 2 xmin <- -4 xmax <- 4 curve(dnorm(x, 0, 1),xmin,xmax) La curva de densidad es simétrica y con forma de campana.

36 Normal o gaussiana, N(, 2 ) Función de densidad: dnorm(x,mean=0,sd=0.5)

37 Teorema del límite central La suma de n variables aleatorias, (casi) independientemente de su distribución, sigue una distribución Normal cuando n

38 Teorema del límite central La suma de n variables aleatorias, (casi) independientemente de su distribución, sigue una distribución Normal cuando n

39 Normal o gaussiana, N(, 2 ) La v.a. Normal es reproductiva respecto de sus dos parámetros: Si X~N( 1, 2 ) e Y~N(, ) son variables aleatorias independientes, entonces: X+Y ~ N( 1 + 2, ) 2 Lamentablemente, la función de distribución normal no tiene una expresión analítica y hay que recurrir a tablas o a un ordenador para su cálculo. pnorm(x,mean=0,sd=0.5)

40 Normal o gaussiana, N(, 2 ) Las tablas de la función de distribución normal listan únicamente la distribucion normal tipificada N(0,1) Para buscar en la tabla procederemos a tipificar nuestra v.a:

41 Normal o gaussiana, N(, 2 )

42 Normal o gaussiana, N(, 2 ) P(Z < -1.02)? x =1 x 0,8461 1,02 Z Notación habitual: P X 1.02 =1 P X 1.02 = = =0.1539

43 Normal o gaussiana, N(, 2 ) P(-1,02<Z<1,13)= = P(Z < 1.13) P(Z < -1.02) = = =

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45 Aproximaciones con la normal Si una variable X ~ B(n,p), tiene parámetro n grande y ni p ni (1-p) están próximos a 0, la función de distribución B(n,p) puede aproximarse por una normal: N(np, np(1-p)) Es decir: Esta aproximación es tanto mejor cuanto mayor es n. En la práctica se conviene que una distribución binomial puede aproximarse por la Normal cuando np>5 y n(1-p)>5

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47 Aproximaciones con la normal Cuando en una distribución Po( ), tiende a infinito, la función de distribución Po( ) puede aproximarse por una N(, ) Es decir: En la práctica se conviene que una distribución de Poisson puede aproximarse por la Normal cuando >5