Análisis de datos categóricos

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1 Regresión multinomial Universidad Nacional Agraria La Molina

2 Distribución multinomial Distribución multinomial Considere una variable aleatoria Y con J categorías cuyas probabilidades respectivas son π 1,, π J tales que π j = 1. Si existen n observaciones independientes para Y tales que y 1 corresponden a la categoría 1, y 2 corresponden a la categoría 2 y así sucesivamente, entonces: y M (n, π) donde y = (y 1,, y J ) y π = (π 1,, π J ). La función de probabilidad es: f (y n) = n! y 1!, y J! πy 1 1 πy J J

3 Distribución multinomial Distribución multinomial La distribución multinomial no cumple con los requisitos de una familia exponencial. Sin embargo existe una relación con la distribución de Poisson que permite usar los modelos lineales generalizados. Sean Y 1,, Y J v.a.i. tales que Y j P(λ j ). Si n = Y j entonces n P ( λ j ). Se puede demostrar que: ( y n M n, π j = λ ) j λj La distribución multinomial se puede considerar como la función de probabilidad conjunta del vector aleatorio de Poisson condicionado en su suma.

4 Ejemplo: Vida después de la muerte Se usa cuando no existe un orden natural entre las categorías de Y. Una de las categorías se elige como referencial. Supongamos que se trata de la primera. Los logits para las otras categorías se denen por: ( ) πj log = x T β j j = 2,, J π 1 La probabilidad para la categoría referencial es: ˆπ 1 = J k=2 exp {xt β k }

5 Ejemplo: Vida después de la muerte Las probabilidades restantes se calculan por: ˆπ j = exp { x T β j } 1 + J k=2 exp {xt β k } j = 2,, J Los residuales de Pearson son: r i = o i e i ei y pueden ser usados para determinar si el modelo es adecuado.

6 Ejemplo: Vida después de la muerte El estadístico chi-cuadrado: X 2 = N i=1 r i 2 El estadístico de devianza: ( ) D = 2 l(ˆβ max ) l(ˆβ) El estadístico chi-cuadrado de razón de verosimilitud: ( ) C = 2 l(ˆβ) l(ˆβ min ) El pseudo R cuadrado: R 2 = l(ˆβ min ) l(ˆβ) l(ˆβ min )

7 Ejemplo: Vida después de la muerte Los efectos de las variables predictoras se interpretan en términos de los odds ratios. Si se tienen J categorías y una variable predictora que representa la exposición a un factor tal que: { 1 si el factor esta presente X = 0 si el factor esta ausente El odds ratio para la categoría j relativa a la categoría de referencia con respecto a la variable predictora es: OR j = π jp π ja π 1p π 1a

8 Ejemplo: Vida después de la muerte Considere el modelo: ( ) πj log = β 0j + β 1j x j = 2,, J π 1 Si el factor de exposición esta presente: ( ) πjp log = β 0j + β 1j π 1p Si el factor de exposición no esta presente: ( ) πja log = β 0j π 1a

9 Ejemplo: Vida después de la muerte El logaritmo del odds ratio es: ( πjp log OR j = log π 1p ) ( ) πja log π 1a donde: OR j = exp {β 1j } Si β 1j = 0 entonces OR j = 1 lo cual indica que el factor de exposición no tiene efecto importante en el modelo. La elección de la categoría de referencia para Y afecta las estimaciones de los coecientes del modelo pero no las probabilidades estimadas.

10 Ejemplo: Vida después de la muerte Ejemplo: Vida después de la muerte Se clasicaron las respuestas de un grupo de estudiantes de acuerdo al género, raza y sobre su opinión acerca de la vida después de la muerte. Los datos se encuentran en el aula virtual del curso. Tabla 1: Opinión sobre la vida después de la muerte Raza Género Si No sabe No Blanca Femenino Masculino Negra Femenino Masculino

11 Ejemplo: Vida después de la muerte > library(nnet) > attach(opiniones) > m1 <- multinom(opinion ~ Raza + Genero, weights=frec) > tted.values(m1) Cambio de categoría referencial > Raza <- relevel(raza, "Negra") > Genero <- relevel(genero, "Masculino") > Opinion <- relevel(opinion, "Nosabe") > m2 <- multinom(opinion ~ Raza + Genero, weights=frec) > tted.values(m2)

12 Modelo de categorías adyacentes Si existe un orden natural entre las categorías de Y entonces deben ser tomadas en cuenta en la construcción del modelo. En algunas situaciones existen variables aleatorias difíciles de medir tales como la severidad de una enfermedad. Se pueden identicar puntos de corte C j para una variable latente Z. Los pacientes con valores pequeños de Z son clasicados como no tiene enfermedad y aquellos con valores grandes de Z son clasicados como enfermedad leve o enfermedad moderada. Los puntos de corte C 1,, C J 1 denen J categorías ordinales con probabilidades asociadas π 1,, π J.

13 Modelo de categorías adyacentes El odds acumulativo para la categoría j es: Pr (Z C j ) Pr (Z > C j ) = π 1 + π π j π j+1 + π j π J El modelo logit acumulativo es: ( ) π1 + π π j log = x T β π j+1 + π j π j J

14 Modelo de odds proporcionales Modelo de categorías adyacentes Suponga que en el predictor lineal solo el intercepto depende de la categoría j. El modelo de odds proporcionales es: ( ) π1 + + π j log = β 0j + β 1 x β p x p π j π J El modelo anterior se basa en el supuesto que los efectos de las variables predictoras son iguales para cualquiera de las categorías.

15 Modelo de categorías adyacentes Modelo de categorías adyacentes Se puede considerar ratios de probabilidad para categorías consecutivas, por ejemplo: π 1 π 2, π 2 π 3,, π J 1 π J El modelo logit de categorías adyacentes es: ( ) πj log = β 0j + β 1 x β p x p π j+1 El efecto de cada variable predictora se asume que es el mismo para categorías adyacentes.

16 Otros modelos Introducción Modelo de categorías adyacentes Otra alternativa es modelar: π 1 π 2,,, π J 1 π π J π π J π J El modelo sería: ( ) π j log = x T β π j π j J

17 Modelo de categorías adyacentes Se realizó un estudio de salud mental para una muestra aleatoria de adultos residentes de Florida. El estudio intenta relacionar la discapacidad mental de los pacientes con dos variables explicativas. La discapacidad mental se considera una varible ordinal con categorías: ausente, leve, moderado y presente. La variable explicativa X 1 mide el número de eventos importantes en la vida del paciente como el nacimiento de los hijos, cambio de trabajo, divorcio, fallecimiento en el entorno familiar, etc durante los últimos tres años. La variable explicativa X 2 mide el nivel socioeconómico del paciente (1 = alto y 0 = bajo).

18 Modelo de categorías adyacentes > attach(mental) > Discapacidad <- ordered(discapacidad, labels=c("ausente", "Leve", "Moderado", "Presente")) > library(vgam) > m1 <- vglm(discapacidad ~ x1 + x2, family=cumulative) Modelo de odds proporcionales > m2 <- vglm(discapacidad ~ x1 + x2, family=cumulative(parallel=true))

19 Ejemplo: Cinturón de seguridad Modelo de categorías adyacentes Se tiene información correspondiente a accidentes de automóviles y camiones ocurridos en el estado de Maine en Los conductores fueron clasicados por género, ubicación del accidente y el uso del cinturón de seguridad. La variable respuesta es la condición del conductor luego del accidente: (y1) no resulto herido, (y2) herido pero no transportado por servicios médicos de emergencia, (y3) herido, transportado por los servicios médicos de emergencia pero no hospitalizado, (y4) herido y hospitalizado y (y5) fallecido. Los datos se encuentran en el aula virtual del curso.

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