TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

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1 TEAS DE ATEÁTICAS Oposiciones de Secndri TEA 44 SEEJANZAS Y OVIIENTOS EN EL ESPACIO. Generliddes.. oimientos de E.. Aplicción linel socid n moimiento. 4. Crcterizción del moimiento. 5. oimientos con lgún pnto doble. 6. oimientos sin pntos dobles. 6.. L trslción 6.. Composición de simetrí especlr y trslción. 6.. Composición de giro y trslción Composición de simetrís especlres Composición de giros Composición de simetrís iles Resmen 7. Homotecis. 8. Semejnzs. /4

2 TEA 44 SEEJANZAS Y OVIIENTOS EN EL ESPACIO. GENERALIDADES. Sponemos constrido el espcio ectoril de los ectores libre del espcio V. DEF Llmremos espcio fín ordinrio n tern formd por n conjnto E el conjnto de pntos del espcio el espcio ectoril V y n plicción: E E V : A B n AB el ector libre de representnte de AB tl qe se erifiqe: A B + B C A C esto es AC+ABAC Fijdo A l plicción A ABC E : E V es biyecti. B AB n DEF Si sobre V hy definido n prodcto esclr entonces V se dice qe es el espcio ectoril eclídeo de los ectores libres del espcio E por bso del lengje el espcio fín eclídeo ordinrio. Dicho prodcto esclr permite introdcir l distnci: d A B AB AB AB y los ánglos trés de: cos AB AC AB AC AB AC. OVIIENTOS DE E. DEF Se llm moimiento tod plicción biyecti f : E E qe consere l distnci esto es si A fa B fb se erific: Con est definición se erific qe dabda B dfafb. PROP Los moimientos trnsformn pntos linedos en pntos linedos y en el mismo orden. Dem /4

3 En efecto ddos ABC pntos linedos no de ellos pertenece l splemento formdo por los otros dos p. ej. B entre A y C lego dab+dbcdac Tmbién será: da B +db C da C lego A B C linedos y B entre A y C. COROLARIO Con ello reslt obio qe los moimientos trnsformn rects en rects y tmbién plnos en plnos pesto qe n plno est determindo por pntos no linedos PROP Los moimientos consern los ánglos. Dem Si el ánglo α est determindo por semirrects OA y OB los pntos OAB formrn n triánglo si no es triil y ss trnsformdos O A B tmbién. En el primero se tiene: d A B d OA + d OB d OA d OB cosα y en el segmento: d A B d O A + d O B d O A d O B cosα y por l igldd de distncis α α. APLICACIÓN LINEAL ASOCIADA A UN OVIIENTO. DEF Ddo n moimiento f definiremos: : V V AB A B siendo A fa B fb. PROP L plicción est bien definid pes si AB CD tmbién es A B C D Dem. Si ABCD están linedos ss trnsformdos tmbién y en el mismo orden y como se consern l distnci AB CD A B C D Si AB y CD están sitdos en línes prlels determinrán n prlelogrmo y ss trnsformds erificn l conserrse distncis y ánglos por f da B dc D da D db C d A C db D /4

4 lego A B C D determinn tmbién n prlelogrmo A B C D L plicción es linel pes eligiendo representntes decds: AB + BC AC A C A B + B C AB + BC lego + + V α AB α A B α AB A B E α R lego α α α R V l plicción es biyecti por tnto n endomorfismo biyectio tomorfismo de V Dem. Pes por ser endomorfismo bst probr qe Ker { o} entonces si AB A B O d A B 0 d A B A B y por tnto ABO 4. CARACTERIZACION DEL OVIIENTO Si { } O es n referenci ortonorml de E se tiene qe E X f E y OX OO +O X OO + OX. Como los componentes de OX en l referenci son ls coordends de X f ffo+ OX Si llmmos X X f o y L mtriz de en l bse de l referenci: + Ección del moimiento en l referenci considerd. 4/4

5 5/4 Hst hor nd distinge ests ecciones de ls ecciones de n trnsformción fín clqier pero tiene n prticlridd: conser el prodcto esclr pes: V Entonces: notción mtricil ntción mtricil y como el prodcto esclr de dos ectores en bse ortonorml es: + + se tiene: I T T T T T y tmbién I T lego es n mtriz ortogonl. De qí: det det det ± T Aqellos mo imientos en los qe l plicción linel socid tiene n mtriz con determinnte igl l llmremos moimientos directos y los moimientos qe lo tienen igl moimientos inersos o psedomoimientos. Vmos estdir los moimientos clsificándolos en primer lgr en dos grpos: los qe tienen lgún pnto doble y los qe no. 5. OVIIENTOS CON ALGÚN PUNTO DOBLE. Tomndo n referenci ortonorml R { } O ls ecciones de moimiento qedrín en dich referenci l tener l menos n pnto doble tommos como tl l Ofo con lo qe es totlmente nálogo en este cso estdir qe el moimiento f.

6 Estdiremos hor los ectores inrintes por : Un ector r inrinte por cmplirá: r r I r lego -I r O r y como -I es tmbién n plicción linel estdir los ectores inrintes por eqile hllr Ker-I. Peden sceder csos: dim ker -I y en este cso todos los ectores serin inrintes lego todos los pntos serin dobles. El moimientos es l identidd. b dim Ker-I. en este cso hy n sbespecie V plno ectoril de ectores inrintes lego el plno determindo por A y V es todo de pntos dobles. Entonces Elijmos hor n referenci mejor: { A } donde son n bse ortonorml de V y n ector norml l plno de modlo y bien orientdo. ± recerd qe se conser el prodcto esclr como no pede ser entonces. L mtriz de f seri y el moimiento se llm simetrí especlr o simetrí respecto l plno A+V. Obimente es n moimiento inerso pes det- demás inierte el sentido de l referenci c dim ker-i. En este cso hy n sbespcio V rest ectoril de ectores inrintes y l rect A+Vr es tod de pntos dobles. α A donde es n ector director norml de l rect V dos ectores qe sen ortogonles entre sí Tomemos n referenci { } y ortogonles de módlo A. Clqier combinción linel de y es ortogonl lego tmbién serán y ortogonles. 6/4

7 c + b + d + b c + bd 0 c + d de qí b + b + + b tomndo 0 θ < tl qe cosθ seri senθb y l mtriz de f es cosθ senθ 0 senθ cosθ el moimientos es n giro de eje r y mplitd θ. Se trt de n moimiento directo. d dim Ker-I0. En este cso hy ectores inrintes. Se X no nlo y consideremos l simetrí S respecto l plno bisectriz del ánglo determindo por X y X. El moimient ox hemos identificdo el moimiento con s plicción linel socid. Verific S oxx lego dim ker S o-i si fese l dimensión igl entonces S o S y de qí: S o S o S S. y seri n giro contrdicción pes no tiene pntos dobles. Lego: dim Ker S o-i Entonces S o es n giro qe se pede escribir como comprción de dos simetrís respecto plnos. De donde S todos estos moimientos son inersos. De todos estos moimientos el más interesnte es l simetrí centrl de centro A. En este moimientos erific: y ls ecciones Es eidentemente n moimiento inerso. V 7/4

8 6. OVIIENTOS SIN PUNTOS DOBLES Estdiremos en primer lgr n moimiento especil. 6. L trslción DEF Se llm trslción todo moimiento en el qe l plicción linel socid es l identidd. Ss ecciones serin en n referenci ortonorml { O } + OBS Obimente l trslción qed definid cndo se conoce l imgen de n pnto por ejemplo O pes entonces OX OO +O X OO +OXOO +OX OX -OXXX OO DEF Entonces tmbién pede definirse l trslción de ector r como el moimiento qe trnsform en siendo r. PROP Todo moimiento f pede considerrse como n composición de n moimiento f con n pnto doble O segido de n trslción de ector OO O fo. Dem. Considermos f como el moimiento con n pnto fijo O y plicción linel socid l plicción socid f. Entonces en n referenci A { O } l trslción OO t tiene R { } O ls ecciones ls ecciones de f son: + f O y eidentemente f t OO o f. Esto nos simplific l tre pes bst estdir ls composiciones de los moimientos nteriores con trslciones pr tener estdids todos los moimientos. 8/4

9 6. Composición de simetrí especlr y trslción. Probremos qe en este cso el moimiento se pede redcir l composición de n simetrí respecto n plno y n trslción de ector prlelo l dirección de. El ector de l trslción r se pede descomponer de form únic como r r + r donde r es prlelo l dirección de y r prlelo l dirección perpendiclr. Así l trslción de ector r / trnsform l simetrí especlr S en n simetrí S plno prlelo resltnte de l trslción. Segidmente l trslción de ector r complet el moimiento. t t es n moimiento inerso y demás l composición es conmtti. 6.. Composición de giro y trslción Probremos qe en este cso el moimiento se redce n giro de cierto eje qe determinremos y trslción de ector prlelo l dirección del eje de giro. El ector r de l trslción se descompone iglmente como r + r r de l dirección de e r de l dirección perpendiclr. l trslción t / trnsform el giro de eje e en otro giro de eje e prlelo de e y l mism mplitd y segidmente l trslción de ector r complet el moimiento t o G e α t o G e α. Es n moimiento directo y recibe el nombre especil de moimiento helicoidl. Iglmente l composición es conmtti. 6.4 Composición de simetrís especlres. A De plnos prlelos. X X' ' X" ' Si llmmos l proyección de X sobre y l proyección de X sobre se tiene qe XX lego l comprción de S o S es n trslción de ector. 9/4

10 B De plnos secntes. e En este cso los plnos y se cortrn en n rect e y determinrn n ánglo diedro γ. X ' X" n Si por y trzmos perpendiclres l eje e se cortrn en n pnto ngxx γ siendo s orientción l determind por l composición de. X' S o S G l. γ Reciproco. Recíprocmente tod trslción de ector r pede escribirse como n composición de simetrís respecto plnos prlelos los plnos serán perpendiclres l dirección r y distrn entre si r. Iglmente todo giro de eje e y mplitd α pede escribirse como n composición de simetrís respecto plnos secntes en e. En este cso no de los plnos pede fijrse olntd. El otro formr con el nterior n diedro de ánglo α en el sentido de l composición. OBS SIETRÍAS AXIALES. Son giros de ánglo y por lo nterior bst determinrls como composición de simetrís respecto plnos perpendiclres. 6.5 Composición de giros. A Del mismo eje. En este cso es triil qe G l β o G l α G l α + β B De ejes prlelos. Si G l α y G l β son los giros en cestión como podemos elegir no de los plnos qe por composición determinn los giros tomremos el plno qe contiene l y l. 0/4

11 e" γ α+β/ " e' β/ e α/ ' Hllmos hor plnos y tles qe: G l α S G l β S G l α o G l β S S o S * G l γ si ' y"se cortn en e" ** Trslción si' y " son prlelos α + β G l γ si y se cortn en l. γ γ α + β ** Esto ocrrirá cndo α+ β k siendo k entero. B De ejes qe se cortn. En este cso l composición es n moimiento directo triilmente con n pnto doble el de corte y sbemos qe si esto es sí debe hber n rect de pntos dobles. El moimientos resltnte de enorme complejidd es n giro como eje es n rect qe ps por el pnto de corte. C De ejes qe se crzn. En este cso trzndo l perpendiclr PP y plicr n trslción de ector P P con lo qe el giro de eje l y ánglo α se trnsformr en otro giro de eje l prlelo l y el mismo ánglo. L composición de los giros de ejes l y l es otro giro. El moimiento resltnte es composición de n giro y n trslción. Es n moimiento helicoidl. Es fácil sin embrgo determinr l composición de ls simetrís socids giros de 80º cndo los ejes se cortn o se crzn. 6.6 Composición de simetrís iles. A De ejes qe se cortn. En este cso si ls simetrís iles son de eje r y r y se cortn podemos determinr /4

12 e ' S S r r S S o S o S r' α " r S r o S r S S o S G l α l es l perpendiclr común ls dos rects por el pnto de corte α ánglo de r y r. en ese orden. B De ejes qe se crzn. Bst trzr plnos y qe contengn respectimente r y r y prlelos. y son perpendiclres y qe contienen respectimente r y r. Lego el moimiento es composición de n trslción y n giro. moimiento helicoidl. En efecto 6.7. Resmen. S r o Sr S o S S o S... S otl Tl S Tl o G lα De todo lo dicho reslt qe: Ls simetrís n plno son ls trnsformciones fndmentles pesto qe clqier moimiento ped redcirse n composición de ells. Resltrí el sigiente cdro resmen: No hy pntos fijos Un pnto fijo Un rect de pntos fijos Un plno de pntos fijos Todo el espcio de pntos fijos oimientos directos Trslción o moimiento helicoidl gir + trslción No hy Giro No hy Identidd oimientos inersos Simetrí + trslción composición de simetrís especlres Composición de tres simetrís especlres los plnos se cortn en n pnto No hy Simetrí respecto n plno o sin especlr No hy /4

13 7. HOOTECIAS. DEF Se llm homoteci de centro C y rzón k l plicción EB E Hck: A A B tl qe CA k CA. Si k>0 l homoteci se llm direct y en cso contrrio iners. Obimente no son moimientos slo si k pero triilmente trnsformn rects de l mism dirección y plno en plno de l mism dirección. Lego conser los ánglos. Ecciones En l referenci ortonorml { } trnsformd por l homoteci. O se X X s Entonces CX k CX OX OC k OX OC OX k OC + k OX. lego si C c c qed: c c k k c k c k + k c + 0 c k k c 0 Prodcto de homotecis. Del mismo centro. Sen HC k HC k dos homotecis del mismo centro: 0 k H C k H C k CX k CX CX k CX CX kk CX lego HC k o HC k en otr homoteci de centro C y rzón k k. b De distinto centro. Probremos qe el prodcto de dos homotecis de distinto centro es otr homoteci cyo centro est linedo con los centros de ls homotecis dds y s rzón el prodcto de ls rzones de mbs o bien n trslción de ector prlelo l líne de centros. Se X el trnsformdo de X por HC k de X por HC k C X k C X. Se tiene: CX k CX y X el trnsformdo /4

14 X' X X" C C' C C X C C + C X C C + k C X C C + k C C + CX C C + k C C + k k CX C C + k C C + k k CC + C X C X C C + k CC + k k CC + k k C X * Como C X y C X tiene l mism dirección y l epresión entre prámetros l dirección de CC en el cso qe sen independientes será C C + kc C + kkcc O y C X kkc X homoteci de centro C y rzón k k. C est relciondo con C y C por l igldd: C C k k CC pes C C + kc C + kk CC + C C O kk CC kk k k CC kk Si k k de * se dedce qe X C C + k C C + CC + C X. C X X" Trslción de ector: CC + kc C + CC k CC. C Todí pede simplificrse ms pero es tedioso. 8. SEEJANZAS. Se llm semejnz de rzón k tod comprción de homoteci de rzón k y n moimiento. Iglmente pede definirse semejnz de rzón k como l plicción tl qe dfafbkdab. f : E B E B Ls propieddes de ls semejnzs se dedcen triilmente de ls de ls homotecis y de los moimientos 4/4

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