( ) ( ) Examen de Geometría analítica del plano y funciones Curso 2015/16 0, + 4 ( 4, 0) y = = +, se pide lo siguiente: Estudia su dominio.

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1 Eamen de Geometría analítica del plano y funciones Curso 5/6 Ejercicio Dada la función f ( ) ln ( 4) Estudia su dominio +, se pide lo siguiente: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva y f ( ) que es paralela a la recta y ln ( + 4 ) f R El dominio de la función son los R tales que f + 4 > + 4 > (, 4) 4 ( 4, ), + + ( + 4) ( + 4) + + (, 4) (, ) Por tanto, Dom f + y es una recta cuya pendiente es m La recta tangente a y f ( ) en el punto tiene pendiente m f ( ) Como esa recta tangente debe ser paralela a y tienen que tener la misma pendiente y el punto de tangencia lo sacaremos de la ecuación f ( ) f ( ) ln ( + 4 ) f ( ) ; ( + 4) ( + 4) ( ( )) punto de tangencia, f, ln ln 4 ln + rtg y r y puesto que Dom f tg wwwjlmates [] Matemáticas I

2 Eamen de Geometría analítica del plano y funciones Curso 5/6 Ejercicio Un rombo tiene una diagonal sobre la recta r y +, y uno de sus vértices es el punto A( 5,4) Hállense los demás vértices y los ángulos del rombo, sabiendo que tiene perímetro El punto A no está en la recta r puesto que no verifica su ecuación A pertenece a la otra diagonal, s, que es perpendicular a r ( ) v (, ) A 5, y 4 r y s s s + y + 6 A s ; s r Sea M el punto de corte de las dos diagonales del rombo, M r s y M (,) + y 6 y Ahora M es el punto medio entre los vértices A y C ( ) (, y ) A 5, y, C y 4 (,) C (, 4) Buscamos los otros dos vértices, B y D, que están en la recta r Como r y + los puntos de r verifican que ( 5, 4) (, ) y tanto B como D son de la forma y, y El rombo tiene perímetro sus lados tienen longitud 5 A AB 5 ; AB ( y +, y 4) B y y AB y + + y 4 y + + y 4 5 5y 5 y + + y 4 5 4y + 8y y 8y y y y 5 Entonces los vértices son B (,) y D ( 5, ) Los ángulos opuestos del rombo son iguales y los ángulos contiguos suplementarios α es el ángulo que forman los vectores AB ( 4, ) y AD (, 5) AB AD AB AD cosα ( ) + ( 5) cosα 5 5 cosα cosα 5 Dos ángulos miden α 5, y los otros dos miden β 8 α β 6,87 5 α cos 5, wwwjlmates [] Matemáticas I

3 Eamen de Geometría analítica del plano y funciones Curso 5/6 Ejercicio Estudia la continuidad de la función f ( ) si + 4 si > f ( ) en el intervalo (, ]; en ese intervalo f ( ) es cociente de funciones continuas y por tanto es continua + salvo en los puntos donde se anula el denominador podemos asegurar que f es continua en,, ( ] Veamos que ocurre en f no eiste f es discontinua en ( )( ) + f ( ) ( ) + + f presenta una discontinuidad evitable en 4 f ( ) en el intervalo (, + ) ; en ese intervalo f ( ) es cociente de funciones continuas y por tanto es continua salvo en los puntos donde se anula el denominador Podemos asegurar que f es continua en, 4 4, + Veamos que ocurre en 4 f ( 4) R f ( ) es discontinua en 4 4 f ( ) presenta una discontinuidad ( )( 4) f ( ) de tipo infinito en ( )( 4) Nos queda estudiar la continuidad de la función en 6 f + 4 ( + )( ) ( )( 4) ( )( 4) 4 f y f ( ) + + f ( ) f Entonces f es continua en wwwjlmates [] Matemáticas I

4 Eamen de Geometría analítica del plano y funciones Curso 5/6 Ejercicio 4 De un rectángulo ABCD conocemos las coordenadas de dos vértices opuestos, A (,5) y ( 5, 4) ecuación de la recta que contiene a uno de los lados r + y C y la Encuentra las coordenadas de los otros dos vértices Escribe la ecuación de la circunferencia circunscrita al rectángulo R A; AB, AD, calcula las coordenadas que tendría el Si consideramos el sistema de referencia { } punto medio del lado CD en dicho sistema de referencia C 5, 4 está en r + y porque cumple su ecuación Llamamos r a la recta paralela a r que contiene al punto A r + y + k ; como A,5 r k k 7 r + y 7 Llamamos r y r a las rectas perpendiculares a r que pasan 4 por A y C respectivamente ( ) A,5 y 5 r r r y + u,, u r C 5, 4 5 y + 4 r4 r4 r4 y 9 u,, u r + y 7 + y r r4 : B ; r r : y 9 y ( 8, ) D (, ) wwwjlmates [4] Matemáticas I

5 Eamen de Geometría analítica del plano y funciones Curso 5/6 El centro de la circunferencia circunscrita al rectángulo se encuentra en el punto de corte de sus diagonales que es el punto medio del segmento AC Llamamos M al punto medio entre los vértices A y C ( 5, 4) A, M, M, C 7 9 El radio R AM ; AM, 5, 9 9 R + 4 La ecuación de la circunferencia es : 4 4y 8 4y y, desarrollando quedaría + En el sistema de referencia A AB AD el origen es el punto A y la base B AB AD R { ;, } {, } Las coordenadas de un punto cualquiera en ese sistema de referencia son las de su vector de posición Por tanto, si P es el punto medio del segmento CD, las coordenadas de P en R serán las del vector AP en la base B AB, AD { } Como AP AB + AD AP, en la base B P, en el sistema de referencia R Ejercicio 5 Estudia los intervalos en los que relativos de la función, si es que los tiene f + e es creciente o decreciente Localiza los etremos Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento o encontrar los máimos y mínimos de una función y f debemos analizar el signo de su función derivada f ( ) ( ) ( ) ( + + ) e f e f e e f e ( ) f ( + ) e wwwjlmates [5] Matemáticas I

6 Eamen de Geometría analítica del plano y funciones Curso 5/6 y cuando f, f puede tener puntos de máimo o mínimo, ;, En los puntos Dom f tales que f > la función f es creciente si f < la función f es decreciente f + + e + + ( + ) { },, Ahora debemos analizar el signo de f, para ello resolvemos la inecuación f ( ) e ( )( )( ) e > (, ) (, ) (, ) (, + ) ( ) ( ) ( + ) ( )( )( + ) + + (, ) (, ) f ( ) es creciente en (, ) (, ) (, ) (, ) f ( ) es decreciente en (, ) (, + ) ( para <, f es creciente y para >, f es decreciente) los puntos ( para < f es decreciente y para > f es creciente) en f ( ) tie ( para < f es creciente y para > f es decreciente) f > en los intervalos f < en los intervalos + f en en f tiene un máimo,, ne un mínimo,, en f tiene un máimo wwwjlmates [6] Matemáticas I

7 Eamen de Geometría analítica del plano y funciones Curso 5/6 Ejercicio 6 Dadas las funciones f ( ) y g ( ) Encuentra las funciones ( f g)( ) g ( ) Halla + +, se pide: g f y Calcula la función g ( ) Dibuja la gráfica de la función y f ( ) + f ( ), g ( ) g f g + f + + f g : g ( ) f ( g ( ) ) f g : f ( f g )( ) ( g f )( ) ( + ) ( f g )( ) + + f g f g g f : f g f g f : g ( ) + + g ( ) indet, separamos en dos fracciones ( ) ( ) + ( + ) + g ( ) g ( ) g ( ) f para representar la fun ción y nos basamos en la parábola y Cortes con los ejes : f ( ) si f ( ), eje OX y, eje OY y, Vértice : punto de tangente horizontal y y vértice, Eje de simetría Ahora f f si f < wwwjlmates [7] Matemáticas I