Números Reales y Complejos

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1 Apéndce C Números Reales Complejos Ejerccos resueltos Halla los números reales que cumplen la condcón a a S a 0 : a a a 0 No este solucón S a < 0 : a a a a Halla todos los números r tales que r < a) S r 0 : r 0 r 5 r r 0 r < r, r < r < 5 b) S < 0 r : r ( r ) anteror, obtenemos Procedendo como en el apartado r, Los números que satsfacen la condcón estarán en alguno de los dos 5 ntervalos, luego pertenecerán a su unón Solucón: r, Resolver la necuacón >

2 a) > 0 ( > ) Al multplcar ambos membros por ( ), postvo, se mantene el sentdo de la desgualdad Entonces < > ( ) > 0 0 < 0 ( ) < 0 > 0 < 0 La prmera opcón no tene solucón La segunda da como resultado (0,) que cumple la hpótess hecha, > b) < 0 ( < ) Al multplcar ambos membros, por ( ) negatvo, camba el sentdo de la desgualdad Entonces, > 0 ( ) < > 0 ( ) > > 0 < De la prmera opcón resulta (, ) de la segunda (, 0) Los valores de que cumplen alguna de las opcones pertenecerán a la unón de los ntervalos, luego (, 0) (, ) Además debe cumplrse la hpótess < Luego nos queda (, ) En consecuenca, los valores de que cumplen la necuacón estarán en el ntervalo (, ) (0, ) Calcular: ( ) ( 8 5) 8 5 ( )( 5 ) ( )( ) 9 9 < 0 0 ( 0 0)( ) ( )( )

3 5 Calcula de modo que sea: a) real; b) magnaro puro Calculamos el cocente ( )( ) ( )( ) a) Para que sea un número real la parte magnara a de ser nula Por tanto 0 b) Para que sea magnaro puro la parte real ha de ser nula Por tanto 0 6 Calcula e para que ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ) ( El complejo anteror debe ser gual a 7 por lo que gualando partes reales partes magnaras, resulta: Resuelve la sguente ecuacón ± ± ± ± 8 Halla, para el complejo, módulo, conjugado e nverso Módulo: r 8 Conjugado: Inverso: ( )( ) 6 6 6

4 9 Calcula e de manera que ( )( ) ( ) Desarrollamos el producto de complejos ( ) ( )( ) Igualamos a contnuacón partes reales e magnaras entre sí resolvemos el sstema de ecuacones ± Para cada uno de los valores de obtendremos una solucón S S 0 Resuelve la ecuacón 0 0 ± ± Sea Entonces ( a b) a b ab a b a b 0 a) a b ab ab De a b 0 resulta a ± b S a b, la segunda condcón se converte en a que no tene sentdo pues a es un número real La otra opcón es a b, de donde dos de las cuatro solucones serán a a b ± ± Entonces b) Queda por resolver a b ab, para lo cual podemos repetr el proceso del apartado a) Pero por el Teorema Fundamental del Álgebra sabemos que esten en total cuatro solucones Como las dos a calculadas son complejas no conjugadas entre sí, las dos restantes serán las conjugadas de las anterores Por tanto las cuatro solucones son ± ±

5 5 Ejerccos propuestos (las solucones se encuentran al fnal) En los sguentes conjuntos, determnar el supremo el ínfmo, ndcando s concden con el mámo o mínmo respectvamente n a) A sendo n n b) B { / 5 6 < 0} sendo C 0, c) ( ) Halla los números reales que cumplen las sguentes condcones: a) a 5 b) a π a 0 Resuelve las necuacones: a) 5 b) < Halla el módulo, conjugado e nverso de cada uno de los sguentes complejos a) b) 5 5 Calcula las sguentes operacones con complejos: a) ( 5 7 ) (5 7) b) ( ) ( ) c) ( 5 ) ( ) d) ( 5 ) ( 5) e) ( ) : ( ) f) ( ) : ( ) g) ( ) 6 Calcula las sguentes potencas:

6 6 65 a) b) ( ) 79 5 c) 6 d) ( ) 7 7 e) 7 Dado un número complejo z, a) cuánto vale z z? b) S z z es un número real, qué se puede afrmar sobre z? 8 Halla para que el cocente ( ) : ( ) puro sea un número magnaro 9 Dados los números complejos m n, halla los valores que deben tener m n para que el producto de aquellos sea gual a 8 0 Comprueba que los números complejos verfcan la ecuacón 0 Halla todas las solucones reales complejas de las ecuacones: a) 7 b) c) La suma de dos números complejos es 6, el módulo del prmero es el del segundo 5 Halla estos complejos Halla los números complejos tales que su cuadrado es gual a su conjugado (ha cuatro solucones)

7 7 Solucones a los ejerccos propuestos a) Sup (A) A no tene mámo Inf (B) / Concde con el mínmo b) Sup (B) B no tene mámo Inf (B) B no tene mínmo c) Sup (C) C no tene mámo Inf (C) 0 C no tene mínmo 9 a) Dos solucones: a ; a b) Dos solucones: a a π ; a) (, 9] [, ) b), a) z ; z ; z b) z 5; z 5; z a) 0 8 e) 7 7 b) f) c) g) 8 d) 9 a) d) b) e) c) a) Re( z ) b) Que es nulo

8 8 9 Dos solucones: m ; n m ; n a) ± 7 b) ± c) ± 6 5 Dos solucones:,, z 0, z, z, z

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