Transcripción

1 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo MTRICES. Definición: Un mtriz es un conjunto de números dispuestos en fils columns. Si h m fils n columns, l mtriz precerá sí: Donde: El elemento está situdo en l fil i en l column j. El número de fils columns mn recibe el nombre de dimensión de l mtriz. Si m=n se dice que l mtriz es cudrd de orden n. El número totl de elementos de l mtriz es mn. Dos mtrices son igules cundo tienen l mism dimensión los elementos que ocupn el mismo lugr coinciden en su vlor. Es un mtriz de tmño Se emplen los préntesis cudrdos con el fin de considerr l ordención rectngulr de números como un entidd.. Clses: Según l form de l mtriz, est puede ser: Mtriz fil: tiene un sol fil. L i ésim fil de es l mtriz de tmño n. Es decir: Mtriz column: tiene un sol column. L j ésim column de es l mtriz de tmño n.

2 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Mtriz cudrd: tiene el mismo número de fils que de columns. En un mtriz cudrd de orden n los elementos se denominn elementos digonles, se dice que formn l digonl principl de. L siguiente es un mtriz cudrd de orden Sus elementos digonles son: Mtriz rectngulr: L mtriz rectngulr tiene distinto número de fils que de columns, siendo su dimensión mn Mtriz trnspuest: dd un mtriz, se llm trnspuest de, se design por T, l mtriz que se obtiene cmbindo ls fils por ls columns. Es decir: si entonces l trnspuest de es l mtriz. Esto es, l trnspuest de se obtiene intercmbindo ls fils columns de, se denot por. Por lo tnto: Se: Entonces: El siguiente teorem resume ls propieddes básics de l trnspuest. Teorem Si c es un número rel son mtrices, entonces:

3 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Mtriz simétric: un mtriz cudrd es simétric si sus elementos cumplen que (los elementos de l digonl principl pueden tomr culquier vlor). Es decir:.por tnto es simétric: Obsérvese que un mtriz es simétric si solmente si es cudrd es simétric con respecto su digonl principl Sen: Entonces es simétric no es simétric. Mtriz ntisimétric: se llm sí tod mtriz cudrd que cumple que: (los elementos de l digonl principl son todos nulos). tendiendo los elementos, un mtriz puede ser: Mtriz nul: todos sus elementos son cero se denot por. Es decir: Mtriz digonl: Un mtriz cudrd se dice digonl si son nulos todos los elementos que no estén en l digonl principl; es decir:.. n, n ij si i j Mtriz esclr: es un mtriz digonl en l que los elementos de l digonl principl son igules.

4 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Mtriz Identidd o unidd: Mtriz cudrd tl que ij = i = j, ij = i j, es decir son nulos todos los elementos que no están en l digonl principl los elementos de l digonl principl son todos. I=.. Mtriz tringulr superior: En un mtriz tringulr superior los elementos situdos por debjo de l digonl principl son ceros. Son de l form: n n mn ij si i j Mtriz tringulr inferior: En un mtriz tringulr inferior los elementos situdos por encim de l digonl principl son ceros. Son de l form: m m mn ij si i j 9. Iguldd entre mtrices: Dos mtrices (del mismo tmño) son igules si todos los elementos correspondientes son igules, es decir: pr i=,,,m

5 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Hllr,,z,w si: z w 9 z w Solución: Por l definición de iguldd entre mtrices, tenemos: -=+ +9=- z+=z w-=w- Luego: Despejndo,,z,w en ls ecuciones nteriores, tenemos: =, = -, z =, w = - CTIVIDD DE SISTEMTIZCIÓN I. RESOLVER LS SIGUIENTES EJERCICIOS. Escrib eplícitmente l mtriz: = ( ij ), si ij = i + j, i =,,,. j =,,,,.. Escrib eplícitmente l mtriz: = ( ij ), si ij = (-) i + j, (i, j =,,,).. Si = ( ij ), en donde ij = (-) i + j, entonces escribir eplícitmente l mtriz.. Dds ls mtrices = ( ij ) = (b ij ) ; es decir: Describ eplícitmente l mtriz C = (c ij ), si c ij = i j b j j + b i j Donde: i, j =,,,.. Si:, entonces indicr:,,,,,. Si ls mtrices son igules determine e. ) b) 8 8. Hlle vlores de,b c, tles que: 8. Hlle si es posible, todos los vlores de cd incognit pr que cd un de ls siguientes igulddes se cumpl: )

6 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo b) 9. Clculr l trnspuest de ls siguientes mtrices: ) b) c) d). Dds ls mtrices: = C ) Hllr l mtriz trspuest de, C. b) Tiene l mtriz C un nombre especil?. Se: l mtriz nul hllr,,z:. SUM Y DIFERENCI DE MTRICES. OPERCIONES CON MTRICES sumr Sólo se pueden mtrices del mismo orden. Pr ello se restr elementos que ocupn ls misms posiciones. Es decir: consideremos = ( ij ) = (b ij ) Entonces: + = ( ij + b ij ) sumn res tn los Sen: Entonces, ( ). PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MTRIZ. Pr multiplicr un mtriz por un número rel, se multiplic dicho número por todos cd uno de los elementos de l mtriz. Es decir, se: Є R = ( ij ) entonces:

7 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo. = (. ij ) se Entonces: 9. PRODUCTO DE MTRICES...- PRODUCTO DE UN FIL POR UN COLUMN...- PRODUCTO DE DOS MTRICES. Pr multiplicr ls mtrices h de cumplirse que el número de columns de l mtriz se igul l número de fils de l mtriz. Es decir, si es de orden mn, pr que el producto se posible, debe ser de orden np, l mtriz producto result de orden mp. Más breve: Cómo se multiplicn? mn. np = C mp El elemento c ij de l mtriz producto result de multiplicr l fil "i" de l mtriz por l column "j" de l mtriz, elemento elemento, luego, se sumn los productos sí obtenidos. revemente: c ij n k ik b kj Multiplicr ls mtrices Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 OSERVCIÓN: El producto de mtrices no tiene l propiedd conmuttiv. Es decir:. Dos mtrices son inverss si los productos.. son igules l mtriz unidd. Un mtriz es regulr si posee mtriz invers. l mtriz invers de, se l design por -

8 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo. DETERMINNTE DE UN MTRIZ Un determinnte es un número socido un mtriz cudrd (orden n n) formdo por l sum de n! productos. En cd producto interviene un elemento de cd fil un elemento de cd column. Vemos en concreto cómo se desrroll un:. DETERMINNTE DE º ORDEN: se desrrolln de l siguiente form: clculr el determinnte de l mtriz Solución: ( ). DETERMINNTE DE TERCER ORDEN: se desrrolln medinte l llmd regl de Srrus; es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8. CÁLCULO DE UN DETERMINNTE POR EL DJUNTO. Dd un mtriz cudrd, se llm menor complementrio del elemento ij l determinnte que result de suprimir en l mtriz l fil "i" l column "j" en ls que está el elemento en cuestión. Se design M ij o por ij. En l mtriz: = M M M etc. Y se llm djunto del elemento ij l menor con signo + si l sum de subíndices fil column es pr, o con signo - si dich sum es impr. Se design ij. Es decir:

9 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo ij = (-) i+j M ij sí, en l mtriz nterior, tenemos:. RNGO DE UN MTRIZ. Un líne, L, de un mtriz depende linelmente de sus prlels L, L,, L n, si eisten unos números reles,,, n tles que verificn l iguldd: En l mtriz: L fil segund depende linelmente de l primer, l column tercer depende linelmente de l primer column de l segund. Es decir: F = F C = C + C Por tnto el rngo de mtriz es Un conjunto de línes prlels de un mtriz es linelmente dependiente si l menos un de ells depende linelmente de ls restntes. Un conjunto de línes prlels de un mtriz es linelmente independiente si ningun de ells depende linelmente de ls restntes. En un mtriz, el número de fils linelmente independientes es igul l número de columns linelmente independientes. este número se le llm rngo de. Vemos cómo se clcul el rngo de un mtriz, con lgunos ejemplos: Clculr el rngo de l mtriz: El rngo es, pues se tiene: que ls tres fils ls tres columns son linelmente independientes. Clculr el rngo de l mtriz: El rngo es, pues se tiene: F = F + F, es ms F F son linelmente independientes entre sí.

10 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Método de Guss: consiste en obtener un mtriz esclond plicndo trnsformciones que no ltern el rngo de un mtriz f f rng - rng - ( f f ) f f rng Pues es un mtriz esclond con dos fils no nuls, es decir que l mtriz tiene rngo MTRIZ INVERS DE UN MTRIZ CUDRD: Dd un mtriz cudrd de orden n se llm MTRIZ INVERS DE se denot por - l mtriz que verific: donde es l mtriz identidd. OSERVCIÓN: Si posee mtriz invers (demás se dice que es inversible o regulr). Si = no posee mtriz invers (se dice que es singulr).. Métodos de cálculo de l mtriz invers Método de djuntos: Método de Guss: Vemos un ejemplo. Solución: Clculr l invers de ( ) t d Lo hremos primero por el método clásico o método de djuntos, el que viene indicdo por l definición: l trspuest de l djunt dividid por el determinnte. Primero, clculmos el determinnte; si el determinnte es nulo, no eiste mtriz invers; si no es nulo, seguimos: Clculmos hor l mtriz djunt, sustituendo cd elemento por su djunto; clculmos primero los djuntos:

11 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo ) ( ) ( ) ( ) ( Luego: formmos l mtriz djunt: d Y finlmente hcemos l invers, trsponiendo l mtriz djunt dividid por el determinnte: t d ) ( hor lo hcemos por el método de Guss: Es conveniente, se hg por el método que se hg, comprobr l invers (multiplicd por l direct tiene que dr l identidd). Es decir:. MTRICES Y SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Sistem de ecuciones con dos vribles Considérese el siguiente sistem de dos ecuciones lineles: b b l representción mtricil de este sistem es X donde: es l mtriz de coeficientes,

12 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo X, es l mtriz de ls vribles b b, es l mtriz de ls constntes. Si det(), entonces, el vlor de l vrible se obtiene sí: s b b Obsérvese que (determinnte con respecto ) se obtiene reemplzndo l primer column de l mtriz por l mtriz, sistem. s det() es el determinnte del Pr clculr el vlor de l vrible se obtiene primero el determinnte con respecto ( ) remplzndo l segund column de l mtriz de coeficientes por l mtriz. Luego se divide este determinnte entre el determinnte del sistem: s b b Resolver el sistem 9 Solución: L representción mtricil del sistem es: 9 Entonces:

13 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Luego,,.. Sistem de ecuciones con tres vribles Consideremos el siguiente sistem de tres ecuciones lineles con tres incógnits: z 8 z z Este sistem se escribe en form mtricil como sigue: z de donde:, s s z z s 8 8 Luego,, z. Observe que,, z se obtienen reemplzndo sucesivmente l ª, ª ª column de l mtriz de coeficientes por l mtriz de ls 8 constntes:

14 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo CTIVIDD DE SISTEMTIZCIÓN I. RESOLVER LS SIGUIENTES EJERCICIOS:. Dds ls mtrices: Clculr: + ; ;.;.;.;.. Dds ls mtrices: Clculr: +, -,.,.,.,.,.. = ³.. Se considern ls mtrices: C Clculr:, +, C, C,,, -, -, C -. Clculr los siguientes determinntes de orden dos:. Clculr los siguientes determinntes de orden tres:. Clculr ls inverss de ls siguientes mtrices, si ls tuviern. ) b) c) 8 d) e) f) 9 8

15 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Resuelve l ecución + C =, siendo: C - - -, 8. Resuelve l ecución mtricil: + C = D, siendo:,, C D 9. Obtén ls mtrices X e Y que verifiquen los siguientes sistems mtriciles: ) Y X Y X b) Y X Y X c) Y X Y X d) 8 Y X 8 Y X e) Y X Y X. Clcul el djunto del elemento en: m p n n m p p n m. Hllr ls inverss de: C. Clcul los productos posibles entre ls mtrices: C,. Pr ls mtrices D C,,, reliz ls siguientes operciones: ) b).d c).c

16 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo d) C.D e) T C f) D T T g) T h) D T D i) DD T. L siguiente tbl d el costo en soles de un lt de vegetles en tres diferentes supermercdos. lverjs fríjol míz Supermercdo Supermercdo Supermercdo Si un comprdor compr lts de lverjs, de fríjol de míz encuentre el costo totl en cd uno de los supermercdos por medio de multiplicción de mtrices. Rpt: Los costos en cd uno de los supermercdos son los siguientes: Supermercdo :.8 Supermercdo : 9. Supermercdo :.. Un fábric produce dos modelos de lvdors,, en tres terminciones: N, L S. Produce del modelo : uniddes en l terminción N, uniddes en l terminción L uniddes en l terminción S. Produce del modelo : uniddes en l terminción N, uniddes en l terminción L uniddes en l terminción S. L terminción N llev hors de tller hor de dministrción. L terminción L llev hors de tller. hors de dministrción. L terminción S llev hors de tller. hors de dministrción. ) Representr l informción en dos mtrices. b) Hllr un mtriz que eprese ls hors de tller de dministrción empleds pr cd uno de los modelos.. En los problems siguientes resuelv el sistem usndo determinntes ) b)

17 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo c) 8 z z z d) z z z 8 e) z z z f) z z z f) g) z z z GEOMETRI NLÍTIC ECUCIÓN DE L RECT. L FUNCIÓN LINEL L funciones lineles de ecuciones de l form = m, donde m es constnte de proporcionlidd, contienen dos vribles; sen e, ls cules son directmente proporcionles. Los puntos (representdos por pres ordendos), obtenidos de un tbl de doble entrd pr l función = m, con m, pertenecen un rect que contiene el punto (,). Vriciones de l pendiente Grfiquemos ls siguientes funciones =,, =,, =,, =. Y X -, - -, - -,,,, Observndo l gráfic podemos concluir lo siguiente:. Son rects que psn por el origen sus puntos se encuentrn en el er er cudrnte.. Cundo m se hce vrir en form creciente, nos dmos cuent que l rect form un ángulo gudo con el eje, tendiendo 9.. Cundo m se hce vrir en form decreciente, l rect form un ángulo gudo con el eje X, tendiendo cero hst confundirse con éste.

18 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo. El coeficiente m nos indic l vrición de proporcionlidd entre l vrible dependiente l vrible independiente. Grfiquemos hor = -, = -,; = -,; = -. Y X Observndo l gráfic podemos concluir lo siguiente:. Son rects que psn por el origen sus puntos se encuentrn en el do to cudrnte.. Cundo m se hce vrir en form creciente, nos dmos cuent que l rect form un ángulo obtuso con el eje, tendiendo 8.. Cundo m se hce vrir en form decreciente, l rect form un ángulo obtuso con el eje X, tendiendo 9 hst confundirse con el eje Y.. El coeficiente m nos indic l vrición de proporcionlidd entre l vrible dependiente l vrible independiente. Generlizndo, si e son ls coordends de un punto perteneciente un rect L que ps por el origen, entonces eiste m tl que = f() = m, denomind función linel.. Propieddes de l función linel En l función = m, m constnte, el conjunto de todos los vlores posibles pr se denomin dominio de l función, en este cso corresponde l conjunto de números reles (R). Si m=; = pr cd R, entonces es un función constnte se confunde con el eje X. Si m=, entonces = m. Si m >, entonces = m es un función creciente. demás, l rect L que represent l función = m con m>, form un ángulo gudo con el eje de ls. Si m<, entonces = m es un función decreciente. El vlor de m nos indic l orientción de l rect.. Concepto de Rect Un rect es l representción gráfic de un función de primer grdo. Tod función de l form = + b de IR en IR represent un líne rect. L l son ls vribles de l ecución, siendo l vrible independiente que puede tomr culquier vlor, mientrs que se llm vrible dependiente, que su vlor está determindo por el vlor que tome. Si un pr de vlores (,) pertenece l rect, se dice que ese punto stisfce l ecución.

19 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo El punto (,) stisfce l ecución = -, que l reemplzr qued = - lo que result verddero. Cd punto (,) que pertenece un rect se puede representr en un sistem de coordends IR IR, siendo el vlor de l bscis e el vlor de l ordend. (,) = (bscis, Ordend) El punto (-,) tiene por bscis - por ordend. L ecución de l rect puede ser representd en dos forms: Form Generl: + b + c = Form Principl: = m + n. Pendiente de un Rect En l ecución principl de l rect = m + n, el vlor de m corresponde l pendiente de l rect n es el coeficiente de posición. L pendiente permite obtener el grdo de inclinción que tiene un rect, mientrs que el coeficiente de posición señl el punto en que l rect interceptrá l eje de ls ordends. L ecución = + tiene pendiente coeficiente de posición, lo que indic que interceptrá l eje en el punto (,). OSERVCION: Cundo se tienen dos puntos culesquier (, ) (, ), l pendiente qued determind por el cociente entre l diferenci de ls ordends de dos puntos de ell l diferenci de ls bsciss de los mismos puntos, o se: m Un rect que es prlel l eje, tiene pendiente. En l ecución generl de l rect, l pendiente el coeficiente de posición quedn determindos por: m C n Demostrción: Trnsformemos l ecución generl de l rect en un ecución principl. + + C = + = -C = - - C C

20 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo C Donde se demuestrn los vlores de m n ntes ddo. Cuál es l pendiente el coeficiente de posición de l rect - + =? Solución: m = -/- = / n = -/- = ½. Ecución de l rect que ps por dos puntos Sen P(, ) Q(, ) dos puntos de un rect. En bse estos dos puntos conocidos de un rect, es posible determinr su ecución. Pr ello tomemos un tercer punto R(,), tmbién perteneciente l rect. Como P, Q R pertenecen l mism rect, se tiene que PQ PR deben tener l mism pendiente. O se: m PQ m PR Luego, l ecución de l rect que ps por dos puntos es: que tmbién se puede epresr como: ( ) Determin l ecución de l rect que ps por los puntos P(,) Q(,) Solución: - = =. Ecución de l rect ddo punto-pendiente L ecución de l rect que ps por dos puntos está determind por: Pero: m

21 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Luego: reemplzndo en l ecución nterior se obtiene: m Despejndo, obtenemos que: - = m( - ) Determin l ecución generl de l rect de pendiente - que ps por el punto (,- ). Solución: - = m( - ) - (-) = -( - ) + = - + Luego: l ecución pedid es: + - =. Rects Prlels, coincidentes perpendiculres Rects Prlels: Dos rects son prlels cundo sus pendientes son igules sus coeficientes de posición distintos, o se: L : = m + n L : = m + n, Entonces: L // L sí sólo si m = m Ls rects = + ; = - son prlels. Rects coincidentes: Dos rects son coincidentes cundo sus pendientes son igules sus coeficientes de posición igules, o se: L : = m + n L : = m + n, Entonces: L coincidente con L sí sólo si m = m n = n Rects perpendiculres: Dos rects son perpendiculres cundo el producto de sus pendientes es -, o se: L : = m + n L : = m + n, Entonces: L L sí sólo si m m = - L : = - + L : =, Entonces: L L que -, = -

22 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Escribir l ecución de ls rects l, m, n r indicds en l figur Solución: Pr l rect l, el intercepto con el eje es b =. demás: Luego: L ecución de l rect l es: = +. Pr l rect m, b = Por lo tnto: = - + es l ecución de l rect m. Tmbién pr l rect n, b = - l ecución de l rect n, tiene l form, = m -. Como el punto (, ) n, entonces stisfce su ecución, es decir, = m -, de donde m =. Por tnto: = - es l ecución de l rect n. Pr l rect r, se procede como se hizo pr l, obteniendo como ecución: = +. CIRCUNFERENCI Se llm circunferenci l lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. r P(,) C(,b)

23 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Donde: Elevndo l cudrdo obtenemos l ecución Si desrrollmos: relizmos estos cmbios: Obtenemos otr form de escribir l ecución: Donde el centro es: el rdio cumple l relción: ECUCIÓN REDUCID DE L CIRCUNFERENCI Si el centro de l circunferenci coincide con el origen de coordends l ecución qued reducid : Escribir l ecución de l circunferenci de centro (, ) rdio. Solución: Tenemos: Dd l circunferenci de ecución =, hllr el centro el rdio. Solución: Tenemos: Entonces: CTIVIDDES DE SISTEMTIZCION I. Resolver los siguientes ejercicios.. Clculr el punto medio distnci de los siguientes pres ordendos: ) P (,) P (,) b) P (,8) P (,) c) P (,) P (,). Hllr l distnci entre los puntos P (, -8) P (, ). Sen P (-, ) P (, ) dos puntos en el plno. Determine ls coordends del punto medio l distnci.. Hll l ecución de l rect que ps por los puntos (,) (,). Dd l rect +-=, escribe ls distints forms que conozcs. El punto (,) pertenece l rect? el punto (,-)?. Sen dos rects r s dds por sus ecuciones generles: r: + + C = s: ' + ' + C' =

24 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo Si ==C=, qué vlores tienen que tomr ', ' C' pr que ls rects sen prlels? Si ==C=, qué vlores tienen que tomr ', ' C' pr que ls rects sen coincidentes? Si ==C=, qué vlores tienen que tomr ', ' C' pr que ls rects sen perpendiculres? Si ==C= '=, '= C'= cuál es el punto de corte?. Qué condición tienen que verificr los coeficientes pr que ls rects sen prlels? Y pr que sen coincidentes? Y perpendiculres? Hll l posición reltiv de ls rects, + - = m - + = según los vlores de m. 8. Demostrr que los puntos (-,-),(,-9) (,) son los vértices de un triángulo isósceles clculr el perímetro de dicho triángulo. 9. Demostrr que los puntos (,),(,),(-,-) (-,-) son vértices de un rectángulo: clculr luego su perímetro, áre l longitud de cd un de sus distncis.. Usndo l form generl, determine l ecución de l rect que ps por los puntos P (-, -) P (, ).Encontrr l longitud l pendiente de los segmentos de rect que une cd pr de puntos: ) (, -) (9, ) b) (, -) (-, 9) c) (8, -) (-, ) d) (, -8) (-, 8). Demostrr que los puntos (, ), (, ) C(-, ) son los vértices de un triángulo isósceles.. Si l pendiente de l rect que une los puntos: ) (X, -),, (, ) es, encontrr X. b) (, -),, (, Y ) es /, encontrr Y.. Demostrr que el triángulo cuos vértices son los puntos: ) O(, ), (9, ) (, ) es rectángulo. b) b. (8, -), (-, ) C(, -) es rectángulo.. Encontrr l ecución de l rect que psndo por el punto de intersección de = con - + =, se perpendiculr + + =. Encontrr l ecución de l rect que ps por el punto (, ) cu pendiente es.. En cd uno de los siguientes csos, encuentre l ecución de l fmili de rects que cumple l condición dd: ) Pendiente -. b) Intercepto con el eje X en. c) Intercepto con en. d) Psn por el punto (-, ). e) Prlels l rect: - + =. f) Perpendiculres l rect - + = 8. Encuentre l ecución de l rect que: ) ps por l intersección de ls rects: - + = + - = contiene l origen. b) Ps por l intersección de - + = ; + = tiene intercepto con el eje. c) Ps por l intersección de - = ; = cort el primer cudrnte determinndo un triángulo de áre. d) Ps por el punto de intersección de - =, - = dist uniddes del origen. 9. Encuentre l ecución de l circunferenci de centro en C(-, ) rdio.. L ecución: :, represent un circunferenci. Determine su centro C(h, k) su rdio r.. Clculr l distnci de cd un rects de rects los puntos indicdos: e) + - = ; (-,) f) - + = ; (,) g) - -9 = ; (-,)

25 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo h) = ; (-,) i) - - = ; (-,-) j) -+= ; (-,). Determin ls coordends del centro del rdio de ls circunferencis:. Clcul l ecución de l circunferenci que tiene su centro en (,-) es tngente l eje de bsciss.. Clcul l ecución de l circunferenci que tiene su centro en (-, ) es tngente l eje de ordends.. Clcul l ecución de l circunferenci que tiene su centro en el punto de intersección de l rects + + =, + + =, su rdio es igul.. Hllr l ecución de l circunferenci concéntric con l ecución, que ps por el punto (-,).. Hllr l ecución de l circunferenci circunscrit l triángulo de vértices: (, ), (, ), C(, ). 8. Los etremos del diámetro de un circunferenci son los puntos (-,) (,). Cuál es l ecución de est circunferenci? L PROL Prábol: Es el conjunto de todos los puntos contenidos en el plno crtesino, tles que su distnci un punto fijo F, llmdo foco, es igul su distnci un rect fij L, llmd directriz, es decir: En l figur: PF P L P F Elementos de l Prábol L D G P L' k k h h-p p V h p E F h+p C H Foco: En l figur es el punto F. Directriz: Rect L. Vértice: Es punto de l prábol más cercno l directriz. En l figur es V(h, k), donde h k son ls coordends del vértice. Distnci del vértice l foco: p Eje de simetrí. Es l rect que contiene l foco l vértice, en l figur es L. Cuerd: Es el segmento que une dos puntos de l prábol. Ejem. En l figur: GH Cuerd Focl: Es un cuerd que ps por el foco. En l figur, DE. Ldo recto: Es l cuerd focl perpendiculr l eje de simetrí, en l figur: C. L longitud de l cuerd focl es el cuádruplo de l distnci del vértice l foco.

26 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo C p Rdio focl: es l distnci de un punto de l prábol l foco. En l figur PF. Si el vértice de l prábol es V(h, k) su eje focl prlelo l eje l prábol se bre hci l derech, tenemos: Ecución de l directriz: = h p Ecución del eje de simetrí: = k Coordends de : (h + p, k + p) Coordends de C: C (h + p, k p) Coordends del foco: F (h + p, k) Ecución de l prábol: Eje de simetrí prlelo l eje X L P(,) L' k V(h,k) p p F h Form ordinri de l ecución de l prábol: ( k) p( h) Form generl de l ecución de l prábol: D E F Ejecutndo l ecución en su form ordinri: k + k p + ph = k p + k + ph = comprándol con l form generl, se tiene que: D k E p F K ph Cso Especil: Cundo el vértice está en el origen de coordends, es l form cnónic de l Ecución. Ecución cnónic: p (,) CTIVIDDES DE SISTEMTIZCION. Hllr l ecución de l prábol con foco(; ) directriz D: + =. ) = b) = c) = d) = e) =. Hllr l ecución de l prábol con V(; ) foco F = ( ; ). ) = 8 b) = 8 c) = 8 d) = /8 e) = 8. Hllr l ecución de l prábol que tiene su eje focl prlelo l eje Y que ps por (,), (,), ) + = b) + = c) + = d) + + = e) =.

27 Wlter Orlndo Gonzles Cicedo. Hllr l ecución de l prábol de vértice en el origen de coordends directriz de l rect: = ) = b) = c) = d) = e) =. Un depósito de gu tiene sección trnsversl prbólic, cundo el nivel del gu lcnz un ltur de u su ncho mide u; cundo el nivel del gu desciende hst l mitd, su nuevo ncho del nivel del gu es: ) b) c) d) 9 e).. El cble C tiene l form de un prábol. Si el punto más bjo del cble est m del suelo, clcule l ecución de l prábol: m C 8 ) = b) = 8 c) = d) = 8 e) =. Ls rects tngentes en los puntos P=( ; ); Q( ; ) de l prábol G: = p, se intersectn en un punto T. Hlle ls coordends de T ), p, p b), p c), p d), p e) 8. Encontrr l ecución de l prábol que stisfce ls condiciones dds:. F(, ), V(, ) b. F(, ), V(-, ) c. F(, ), directriz: = d. V(-, ), eje focl verticl, l prábol ps por el punto (, ) 9. Cd un de ls ecuciones descrits continución corresponden prábols. Loclizr el vértice, el foco, l ecución de l directriz, ecución del eje focl, l ecución de l tngente en el vértice = b = c. + + = d =