Estadística Maestría en Finanzas Universidad del CEMA. Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Estadística Maestría en Finanzas Universidad del CEMA. Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri"

Dolores Quiroga Marín
hace 6 años
Vistas:

1 Estadística 2011 Maestría en Finanzas Universidad del CEMA Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri

2 Clase 1 1. Las Definiciones de Probabilidad 2. Variables Aleatorias 3. Función de Densidad de Probabilidad 4. La Relación de Independencia Estocástica 5. El Teorema de la Probabilidad Total 6. Momentos de una variable aleatoria

3 1. Las Definiciones de Probabilidad Definición Clásica: Si existe un fenómeno de resultado eventual, asociado a dicho fenómeno se podrá definir el conjunto (finito) de sus posibles resultados: Y w w w,,..., n 1 2 Sea A un evento en un espacio muestral, entonces P(A) será la probabilidad de dicho evento. La probabilidad de ocurrencia de un evento se mide entonces como la relación entre los resultados favorables (m) y los resultados posibles (n) p A m n

4 1. Las Definiciones de Probabilidad Definición Frecuencista: Absolutamente fundamentada en la experimentación, se trata de obtener una probabilidad de ocurrencia de A a partir de n observaciones del fenómeno Y lim n m n p A Definición Subjetivista: El observador, a partir de cierta información que posee del fenómeno bajo estudio, asigna una probabilidad de ocurrencia del mismo, de la forma: p A

5 1. Las Definiciones de Probabilidad El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina población, mientras que cada miembro de éste constituye un punto muestral. Por otro lado, un evento no es más que un subconjunto del espacio muestral antes definido.

6 2. Variables Aleatorias Definición: Función real de una partición del espacio muestral asociada a un fenómeno de comportamiento no-determinístico, formado por eventos que representan el conjunto de resultados posibles de dicho fenómeno particular. La teoría de las v.a. está dirigida al cálculo de sus probabilidades asociadas, px B p X wb p w X wb

7 2. Variables Aleatorias Las v.a. pueden ser tanto unidimensionales como multidimensionales. Aquí lo que hacemos es definir al espacio al que pertenecen. Las variables unidimensionales pertenecen a 1, mientras que las variables n-dimensionales pertenecen al espacio. También, las v.a. pueden ser discretas (adquieren solamente un número finito de valores) o continuas (puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de valores) n

8 2. Variables Aleatorias Para dar una definición estricta (unívoca) a una v.a., es necesario definir su dominio,, así como su función de probabilidades,. p X w x i Sin embargo no siempre es posible definir de forma estricta una v.a. Existe pues una definición débil, la cual se estructura a partir de ciertas medidas que caracterizan a la v.a.: posición, dispersión, asimetría, kurtosis, etc.

9 3. Función de Densidad de Probabilidad Sea X una v.a. discreta que toma valores diferentes, entonces la función f x para 1,2,..., P X xi i n 0 para x xi se denomina función de densidad de probabilidades discreta. Sea X una v.a. continua, entonces se dice que se satisfacen las siguientes condiciones: f b a x f 0 x dx 1 f x dx P a x b f x es la FDP de X si

10 3. Función de Densidad de Probabilidad Sean X y Y dos v.a. discretas. Entonces la función f x, y P X x, Y y 0 cuando X x y Y y se conoce como función de densidad de probabilidades conjunta discreta. f x, y En relación con, se denominan funciones de densidad de probabilidades marginales. Estas se obtienen de la siguiente manera: f x f x, y FDP marginal de X y f y f x, y FDP marginal de Y x f x y f y

11 3. Función de Densidad de Probabilidad Dado que nos va a interesar de ahora en más conocer el comportamiento de una variable condicional a los valores de otra u otras variables, podemos considerar la FDP condicional: Cómo podemos obtenerla? f x y P X x Y y x, y y f f x y FDP condicional de X f

12 4. La Relación de Independencia Estocástica X y Y son independientes X Y si, y sólo si, se verifica la relación: En general, para definir la relación de independencia utilizamos: p X x Y y p i j i F x y F x F y X, Y, X Y Por otro lado, teniendo un evento Z adicional, se dice que X y Y son condicionadamente independientes, supuesto un valor dado de Z si se verifica que: i j h i h p X x Y y Z z p X x Z z

13 4. La Relación de Independencia Estocástica Por último, tres eventos X, Y y Z son estocásticamente independientes si: P X Y Z P X P Y P Z P X Y P X P Y P X Z P X P Z P Y Z P Y P Z

14 5. Teorema de la Probabilidad Total Aplica cuando tratamos con eventos que son no excluyentes entre sí. El teorema aplicado a dos eventos determinados, X y Y: P X Y P X PY P X Y Extendiéndolo, en forma genérica: n n n n 1 1 i i i j i i1 i1 ij i1 P E P E P E E P E

15 6. Momentos de una variable aleatoria Definición: Es el valor esperado o promedio aritmético ponderado de una función de la variable aleatoria, elevada a un exponente real no-negativo (determinando éste el orden del momento): s s s s X X E X m X x df x x f x dx 1 1 Hay dos tipos de momentos: los absolutos, denotados por ms X los centrados (alrededor de cierta variable), denotados por s X., y

16 6.1. Valor esperado Caracteriza la posición de una variable aleatoria: i i 1 X E X x p m X m X i1 Entre sus propiedades tenemos que: El valor esperado de una constante es la constante misma: Siendo a y b constantes, E ax b ae X b Si X y Y son v.a. independientes, entonces E XY E X E Y Si g(x) es cualquier función de X, entonces E g X g X f xdx Siendo Z una v.a. multidimensional tal que Z X, tenemos que: i Por otro lado, si a Z la definimos de la siguiente manera, E Z E X ie X i i i E X xf x dx Otras medidas de posición: los cuartiles, la mediana y la moda. i E b b 1, 2,..., n n Z Xi E Z E X X X E X E X E X i, entonces:

17 6.2. La Varianza Es el momento centrado de segundo orden. Define una medida del grado de dispersión de los valores de la variable respecto a su media: 2 2 X X E X E X Del mismo se deriva el coeficiente de dispersión o desviación estándar : E X E X E X E X m2 X m X X 2 X 2 2

18 6.2. La Varianza Propiedades La varianza de una constante es cero. Si a y b son constantes, entonces, var Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces Combinando los últimos dos supuestos tenemos que, Sea Z una variable aleatoria n-dimensional, 2 2 n 2 Si en cambio, Z es definida como Z i independientes. Entonces verificamos que: 2 ax b a var X X Y X Y var var var ax by a 2 X b 2 Y var var var Z X X X n. Se verificará que: Z X 1 X 2... X n Xi 2 Xi, X j X i i1 ij, donde las n variables marginales son n n Z X1X 2... X n X i m X i m X i i1 i1

19 6.3. La Covarianza y el Coeficiente de Correlación A partir de los resultados que proporciona la desigualdad de Schwartz, se tiene que: 2 X, Y E X E X Y E Y E X E X E Y E Y X Y Quedan demostrados así los límites para el coeficiente de correlación lineal: XY, 1 X Y

20 6.3. La Covarianza y el Coeficiente de Correlación Propiedades Si X y Y son variables aleatorias independientes, su covarianza es cero, puesto que: X, Y cov X, Y E XY 0 Si hubiese también constantes involucradas, x E X E Y dado que E XY y x y x y x y cov a bx, c dy bd cov X, Y

6.4. Coeficiente de asimetría Resulta útil para

La medida de asimetría habitualmente utilizada es

21 6.4. Coeficiente de asimetría Resulta útil para medir el grado de concentración de los valores de la variable a la izquierda o a la derecha de su valor central. La medida de asimetría habitualmente utilizada es el momento centrado de tercer orden de la variable estandarizada: As X As X 0 As X 0 As X X X

La medida de kurtosis ampliamente aceptada es aquella que permite comparar una variable cualquiera con la

22 6.4. Coeficiente de Kurtosis Aquí se busca medir el apuntalamiento, o sea, qué tan alta o qué tan plana es la distribución de la variable aleatoria en cuestión. La medida de kurtosis ampliamente aceptada es aquella que permite comparar una variable cualquiera con la variable Normal, en lo que respecta al valor de probabilidad correspondiente al modo: K X X K 0 leptokúrtica 0 "probabilidad modal" igual de "apuntada" que la Normal 0 platokúrtica

23 FIN Me pueden escribir a: Las presentaciones estarán colgadas en:

Documentos relacionados

Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas

Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas Si disponemos de dos variables aleatorias podemos definir distribuciones bidimensionales de forma semejante al caso unidimensional. Para el caso