Calculo diferencial e Integral

Transcripción

1 Clculo diferencil e Integrl Mtemátic º Año Cód. 0-8 J u n C r l o s B u e B e t i n C t t n e o Dpto. de Mtemátic

2 Cálculo Diferencil e Integrl INTEGRAL INDEFINIDA. FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. Definición: Se llm función primitiv o ntiderivd de un función f () otr función P (), tl que pr todo perteneciente l dominio de f () se cumpl: P () = f(). Es decir: P () es un primitiv de f () P () = f() Dom (f) Así: P ()= P ()= P () = sen es un primitiv de f () = rcsen es un primitiv de f () = es un primitiv de f () = cos, pues ( ) cos pues sen ' =. ' pues ( rcsen ) ' =. =. PROBLEMAS DE APLICACIÓN ) Determin un primitiv de cd un de ls siguientes funciones y verific tu respuest por derivción: ) f () = e ) f () = c) f () = d) f () = sen + e) h() = + f) g) h) h() = ( ) + 6 t() = g() = (Sugerenci: Escriir g() = como g( ) = ) + ) Indic si cd un de ls siguientes firmciones es V (verdder) o F (fls). Justific tus respuests. ) Un primitiv de f () = + e, es P () = + e + π. 0 P O L I T E C N I C O

3 + ) Ls funciones F() = y G () = + log son primitivs de un mism función. c) Ls funciones F( ) = e ( e ) + ln y 6 G() = e + ln son primitivs de un mism función. Oservndo ls respuests del prolem nterior, notmos que eisten dos primitivs distints pr l mism función. Siempre eistirán dos? O hrá más de dos posiiliddes?. Si hy más, eistirá lgun relción entre ells? El siguiente teorem nos resuelve estos interrogntes. TEOREMA. En símolos: Oservción: Dos funciones P() y H() son primitivs de un mism función f(), en el intervlo (; ), si y sólo si dichs funciones difieren en un constnte rel. P() y H() son primitivs de f () en (; ) P() - H() = C; ( ; ) C R en el teorem hy un si y sólo si, por lo tnto tendremos que demostrr l id y l vuelt del mismo. P() es primitiv de f() en H() es primitiv de f() en ( ;) ( ;) () () () () P () = f() P () H () = 0 H () = f() ( P() H() ) = 0 P() H() = C con C R () Por definición de primitiv de un función. () Restndo miemro miemro. () L derivd de l rest es l rest de ls derivds. () L derivd de un función constnte es cero. () () Not: El teorem nterior nos permite firmr que si f () tiene un primitiv P (), en relidd tiene infinits primitivs, pero tles que dos culesquier de ells, difieren en un constnte rel C.- P O L I T E C N I C O

4 Cálculo Diferencil e Integrl Prolem resuelto Encuentr tres primitivs de l función f () = Resolución: Tres primitivs de l función f () = ' cos. cos podrín ser: P ()= sen + ; P ()= sen e y P ()= sen ' Y que: ( sen + ) = ( sen e ) = ( sen ) = cos INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN. Definición: ' Al conjunto de tods ls primitivs P() + C de f(), se lo llm integrl indefinid de f y se lo simoliz f () d (est epresión se lee «integrl de efe de equis diferencil de equis»). Es decir: En dich epresión, convenimos en llmr: [ P() + C ] f () d = P() + C ' = f() Símolo f () C d Nomre Símolo integrl. Función integrndo. Constnte de integrción. Indic l vrile en l cul se está integrndo. Oservciones: Resolver un integrl indefinid, consistirá en clculr el conjunto de tods ls primitivs de f (). Prolems resueltos Clcul ls siguientes integrles indefinids: e d Resolución: Puesto que un primitiv de f () = e es P() = e, entonces: e d e = + C. P O L I T E C N I C O

5 d Resolución: Un primitiv de f ( ) = es P( ) =, entonces: d = + C t d = + Resolución: Un primitiv de f ( ) es P ( ) = rctg, y como t es un constnte (pues l t vrile es ), entonces: d = t rctg + C. + Pr pensr: Justific l siguiente firmción: Prolem resuelto. L integrl indefinid represent un conjunto de funciones cuys gráfics constituyen un fmili de curvs prlels entre sí, lo lrgo del eje y Clcul l primitiv de f () = cuy gráfic pse por el punto A (0; ). Resolución: () d = + C 0 + C = C = P() = + () pues A (0; ) pertenece l gráfic de un de ls infinits funciones de l form + C. P O L I T E C N I C O

6 Cálculo Diferencil e Integrl INTEGRALES INMEDIATAS. Se denomin integrles inmedits todos los resultdos otenidos en form direct, teniendo en cuent l definición de integrl indefinid y utilizndo l derivción de funciones elementles. L siguiente tl, llmd tl de integrles inmedits, muestr dichos resultdos, que serán necesrios prender si se pretende ser ágil en el cálculo de otrs integrles menos sencills. d = + C sen d = - cos + C n n+ d = + C, n - d sec d = tg C n + = + cos - d = d = ln + C = cosec d + d = - cotg C sen sen cos d = sen + C d = sec + C cos cos d = - cosec + C e d e C = + sen d = + C, > 0 y d = rc tg + C ln + - d = rcsen + C d = rccos + C - - Prolems resueltos. Clcul ls siguientes integrles: d Resolución: + d = + C = + + C d Resolución: d = -+ d = + C = C = + C d Resolución: d = d = d = + C = C = C P O L I T E C N I C O

7 d Resolución: d = + C ln Demuestr que: Resolución: d = ln + C ' Pr demostrr dich iguldd st con verificr que ( ln ) Sugerenci: utilizr pr derivr =. =. ( ln ) ' ' = = = = ln Oservción: si en lugr de tener ln, tuviérmos ln, l fórmul sólo d l primitiv > 0. Al operr con ln dominio de vlidez., función pr con derivd en todos los reles ecepto en 0, se tiene myor Demuestr que: + d = ln + C - Resolución: + Pr demostrr dich iguldd st con verificr que ln ' = -. P O L I T E C N I C O

8 Cálculo Diferencil e Integrl Sugerenci: utilizr pr derivr ' + ln = ln ' + = + + = ( + )( ) ( ) = = + + ( + )( ) = = ( ) + ( ) d + Por lo tnto, podemos concluir que: = ln + C - PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Not: En ls propieddes que se enuncin continución el símolo D signific derivd Propiedd Demostrción: f () ( ) d = P ( ) + C Si eiste f ( ) d D f ( ) d = f ( ) () () y() [ ] [ ] ( ) () Por eistir f ( ) d () L derivd de l sum es l sum de ls derivds. () P( ) es un primitiv de ( ) D P( ) = f ( ). D f ( ) d = D P( ) + C = D P( ) + D C = f ( ) f [ ] () C es un constnte D( C ) = 0. Ejemplo: D tg d = tg. Propiedd Si f es derivle Df ( ) d = f ( ) + C Demostrción: Derivndo el segundo miemro (f () es derivle) result: () () [ ( ) + ] = [ ( )] + ( ) = [ ( )] D f C D f D C D f función int egrndo 6 P O L I T E C N I C O

9 () L derivd de l sum es l sum de ls derivds. () C es un constnte D( C ) = 0. Ejemplo: D( tg ) d = tg + C Propiedd ( f ( ) g( ) ) d f ( ) d g( ) d con, Si eisten f ( ) d y g( ) d α ± β = α ± β α β R h Est propiedd es tn importnte que recie el nomre de Propiedd Linel de l Integrl Indefinid. Demostrción: Si l propiedd es ciert entonces strá pror que: D α f ( ) d ± β g( ) d = α f ( ) ± β g( ) h () () () D α f d ± β g d = D α f ( ) d ± D β g( ) d = αd f ( ) d ± β D g( ) d = α f ( ) ± β g( ) h () L derivd de l sum o diferenci es l sum o diferenci de ls derivds. () L derivd de un constnte por un función es l constnte por l derivd de l función. () Por l Propiedd. Ejemplo: ( - 6 ) = 6 sen d d sen d Csos prticulres pr est propiedd: Si β = 0 result D α f ( ) d = α f ( ). Si α = β = result D f ( ) d ± g( ) d = f ( ) ± g( ) MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN.. L integrción por descomposición es un método (más delnte estudiremos otros) que nos permite, por plicción de l Propiedd de l integrl indefinid nteriormente estudid, trnsformr un integrl complej en vris integrles más sencills. Vemos cómo plicmos este método en los siguientes: P O L I T E C N I C O 7

10 Cálculo Diferencil e Integrl Prolems resueltos. Clcul ls siguientes integrles: ( sen - + ) d Resolución: ( sen - + ) d = sen d - d + d = 0 = - cos + C - + (-) C + + C = 0 = - cos C- C +C C Oservción: De cuerdo lo visto en el ejemplo nterior, ls integrles serán concluids con un únic constnte C l finl, sin considerr ls operciones lgerics de constntes previs e + + d = + Resolución: e + + d = rc tg - e + ln + + C ( ) d = Resolución: ( ) d = ( + ) = + + C d = d d + d = ( ) d = Resolución: = ( ) d = ( + ) C d = 9 + d = - + d = Resolución: - + d = - - ( - + ) d = - ln + C 8 P O L I T E C N I C O

11 PROBLEMAS DE APLICACIÓN ) Anliz l vercidd o flsedd de ls siguientes firmciones colocndo V o F según correspond. Justific cd un de tus respuests: ) d = d ) d = d d d c) Si g () =, ls primitivs de g() son G() = + C d) Si f() = ( ), ls primitivs de f() son F() = ( ) + C e) Si h () = cos, ls primitivs de h() son H () = sen + C f) Si f() = + cos, ls primitivs de f() son F() = + sen + C g) Si g() = cos, ls primitivs de g() son G() = sen + C h) (sent t )dt = cos t t + C i) d = ln + C d = + j) ( ) ( ) C k) cos( )d = sen( ) + C l) f()f'()d = [ f() ] + C ) Clcul ls siguientes integrles indefinids: ) + ) d ( ) + d c) (cos + e ) d d) (8 + 8) d e) d f) ( ) d g) ( ) d h) ( + ) d i) + d P O L I T E C N I C O 9

12 Cálculo Diferencil e Integrl j) y+ + y dy y k) d ) Determin: + ) g () si g'() = 8 y g () = 0. ) f () si f'() = e y f (0) =. c) h () si h' '() = + 8, h (0) = 8 y h () =. 6) Grfic tods ls funciones f ( ) tles que f '( ) = y () 8 f =. 7) Un prtícul se mueve en líne rect con velocidd v (t) = t y su posición inicil es s () = m. Determin su posición en función del tiempo s (t). 8) Un prtícul se mueve en líne rect y tiene celerción (t) = 6t +. Su velocidd inicil es v(0) = 6 cm/s. ) Encuentr l velocidd en función del tiempo, v(t) y clcul l velocidd medi entre t = s y t = s. ) Siendo que su posición inicil es s(0) = 9 cm, determin su posición s(t). 9) Determin, en cd cso, f() siendo que: ) f () es continu en su dominio; f (0) = y l siguiente gráfic es l de f '(). ) f () es continu en [0; ]; f(0) = y l siguiente gráfic es l de f '(). 0) Determin l función f() cuy gráfic ps por el punto A (, 6) y l pendiente de su rect tngente en cd punto ( ; f ()) está dd por l función g () = +. 0 P O L I T E C N I C O

13 ) Resolviendo ls integrles, demuestr ls siguientes igulddes. - ) sec + (+ ) d = tg + rctg + C t t ) t t e e (e + e ) dt = + t + C 7 c) ( z z)zdz = + C d) e) f) z z 7 7 y y dy = y + C 7 w + dw = w w + C w w + d = + rct g + C + y g) dy = y rctgy + C h) i) y + d = C d tg rctg C = + cos d = + + C 7 7 j) ( ) Diferencil de un función. Definición: Simólicmente: Se y = f ( ) derivle en el intervlo ( ; ) puntos ritrrios de ( ; ). Si y + son dos, llmremos diferencil de l función f ( ) y lo notremos df ( ), l producto de l derivd de f ( ) por un incremento de l vrile. dy = df ( ) = f '( ) () P O L I T E C N I C O

14 Cálculo Diferencil e Integrl Ejemplos: () sen f =, entonces df() = d( sen ) = cos g () =, entonces ( ) dg d ( ) = = h () =, entonces dh() = d = () Si reemplzmos () en (), result: dy = df ( ) = f '( ) = f '( ) d () Es decir, el diferencil de un función f ( ) es igul l producto de l derivd de l función por el diferencil de l vrile independiente. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. L ide que prece detrás de este método es reemplzr un integrl reltivmente complicd por un más sencill. Esto se llev co psndo de l vrile originl un nuev vrile uque es función de. El reto principl en l plicción del método de sustitución es pensr justmente, en un sustitución propid. Intent elegir u como lgun función en el integrndo cuyo diferencil tmién esté presente en dicho integrndo. Si no es posile esto escoge ucomo lgun prte complicd del integrndo. Encontrr l sustitución correct conllev lgo de rte. No es rro que l primer conjetur se erróne, si l suposición no funcion se dee intentr con otr. En generl este método se us siempre que tenemos un integrl de l form f g ( ) g '( ) d. Vemos que: Se h( ) f g ( ) =. El diferencil de h( ) es: { } { ( ) } [ ] ( ) d h ( ) = d f g = f g ' d Pero por l derivd de l función compuest result que: Entonces: { } { ( ) } ( ) ( ) [ ] ( ) Integrndo en todos los miemros: d h ( ) = d f g = f g ' d = f ' g g ' d { ( ) } = ' ( ) '( ) = ' ( ) ( ) d f g f g g d f g d g { ( ) } = ' ( ) '( ) = ' ( ) ( ) d f g f g g d f g d g P O L I T E C N I C O

15 Vemos entonces que: De tl mner que si llmmos g ( ) ( ) ( ) ( ) f ' g d g = f g + C = u concluimos que: f '( u) d ( u) = f ( u) + C En muchs ocsiones se nos presentrán integrles en ls que, teniendo en cuent ls epresiones nteriores y efectundo un oportun elección de l función g ( ), l mism resultrá fácilmente clculle. Pr logrr dicho ojetivo se present un posile estrtegi de resolución. Estrtegi de integrción por cmio de vrile o sustitución. Por inspección del integrndo elegimos un g ( ) que llmremos u, es decir g ( ) En muchos csos será l prte interior de un potenci, de un ríz, de un logritmo, etc. Rescriimos l integrl originl plnted, en términos de u. Recordndo que: Clculmos l integrl en u resultnte. Si = ( ) = ( ) = '( ) u g du d g g d Epresmos el resultdo otenido en l vrile inicil, sustituyendo u por g ( ). = u (sustitución). Oservciones: El procedimiento de selección de u depende de cd cso. Siempre se trtrá de simplificr l form de l función integrndo pr que l integrl originl pued ser trnsformd en un integrl inmedit de fácil resolución. Prolems resueltos: ( + ). d = u du 7 ( + ). d = u. = u.du = 8 + C = 0 u 8 + C = 0 8 ( + ) + C Sustitución + = u ( + ) = du d d = du du d = P O L I T E C N I C O

16 Cálculo Diferencil e Integrl I = d + t dt t + - I = = dt = - + t t + = t - ln t + + C == - ln t + dt = + + C Sustitución = t d = d t ( ) d = tdt I = du u + u w dw w dw I = = = w + w w + w - + w + dw = Sustitución u = w du = d w ( ) du = w dt = w - w + ln w + + C = u - u + ln u + + C PROBLEMAS DE APLICACIÓN ) Clcul ls siguiente integrles: + + d ) ( )( ) ) c) d) e) f) g) ln d log d 8 d d ( ) ( ) 8+ e d h) cos( ) sen i) e cos j) sen cos sen l) d e e d d d d k) cos d m) + e ( e ) d P O L I T E C N I C O

17 tg n) e sec d o) + p) ( + ) 00 d d q) tg d (Sugerenci: r) tg d s) sen cos d t) u) cos cos sen d sen d v) sen sen ( cos ) w) d + d ) y) z) d d + cos d + sen d + ) ) cc) dd) ee) ff) gg) ( ) 6ln ( ln ) + e hh) ii) + d + d rctg d d d sen tg = ) cos + rcsen d + d d (Sugerenci: reliz l división de polinomios.) P O L I T E C N I C O

18 Cálculo Diferencil e Integrl MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES. Este método se utiliz cundo l función integrndo viene dd por el producto (o el cociente l cul lo podemos trnsformr en producto) de dos funciones. Sen f ( ) y g( ) dos funciones derivles, entonces: Integrndo mos miemros oservmos que: ( ) ( ) ' = '( ) ( ) + ( ) '( ) f g f g f g ( ) ( ) ' = '( ) ( ) + ( ) '( ) ( ) ( ) ' = '( ) ( ) + ( ) '( ) ' f g d f g f g d f g d f g d f g d ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) f g d g d f f d g Resultndo l siguiente epresión, si despejmos un de ls integrles de l derech: ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) f d g f g g d f (*) En l plicción de este método es de vitl importnci l decud selección de f ( ) y d g ( ), puesto que su plicción conduce un nuev integrl, l cul deerá ser más sencill que l inicil. Otr form de epresr l ecución (*) serí: ( ) '( ) = ( ) ( ) ( ) '( ) f g d f g g f d En muchs ocsiones se presentn dos cminos, uno de los cules puede conducir un integrl más complicd que l originl, o un prolem de otr dificultd. Prolems resueltos I = e d I = e d = e - e d = f g' f g g f' I = ln. d e - e + C I = ln d = ln - = d f dg f g = ln - d = ln - + C = ln - + C df Cálculos uilires f() = f'() = g'() = e g() = e 6 P O L I T E C N I C O

19 I = rc tg d f dg d I = rc tg d = rc tg - = rc tg - ln + + C dg g f + df I = e d ( = = d e ) I e d = e - e d () f dg f g I = e d = e - e d = ( -) e + C () f dg Sustituyendo () en (), result: I I = e - ( -)e + C = ( + ) e + C I = sen e d I = sen e d = sen. d(e ) = e sen e cos d () f dg f g I I = cos e d = cos. d(e ) = cos e - e (-sen ) d = f dg f g () = e cos + e sen d = e cos + I I Sustituyendo () en (), result: I = sen e - cos e - I I = e (sen - cos ) + C e I = (sen - cos ) + C Concluyendo: Estos cinco ejemplos muestrn el universo de lo que puede suceder con l integrción por prtes.. Ejemplos ; y : plicmos l fórmul un únic vez y otenemos el resultdo.. Ejemplo : se dee plicr l fórmul vris veces consecutivmente. c. Ejemplo : se present l integrl que deemos clculr dentro del resultdo y qued plnted un ecución. P O L I T E C N I C O 7

20 Cálculo Diferencil e Integrl PROBLEMAS DE APLICACIÓN ) Resuelve ls siguientes integrles: ) 7 cos c) ln d) ln d e) ( ln ) f) e g) ln h) i) j) ln ( ) k) ( ) ) sen d d d d d d sen d cos d + d e d ) Demuestr ls siguientes igulddes, resolviendo l integrl: ) ) c) d) e) f) rcsen rcsen d = + + C + d = ln + C rctn d = rctn + rctn + C d = ( ) + ( ) + C d = ( ) + ( ) + C 6 6 d = rctn + C + 6 (ln sen cos ) sen d = + C ln + ln( ) + d = ln + + C sen(ln ) d = ln cos ln sen + c d = ln + C ( ) g) h) i) j) k) d = cos ( ) + cos ( ) + C sen cos Oservción: Pr demostrr ls igulddes del Prolem pueden plicrse culquier de los métodos de integrción estudidos hst el momento. 8 P O L I T E C N I C O

21 l) d = ln + C m) d ln = + C n) rctn d = rctn + rctn + C o) p) d = rcsen C + cos ( ) sen ( ) d = sen ( ) sen ( ) + C 9 LA INTEGRAL DEFINIDA. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE ÁREA. En l histori del desrrollo y del estudio del cálculo infinitesiml eisten dos prolems geométricos tn importntes que dieron origen numerosos ensyos teóricos y prácticos. Uno de ellos fue encontrr l ecución de l rect tngente un curv, prolem que desencdeno en l definición de derivd. Pero en este cpítulo nos dedicremos encontrr l solución l segundo prolem, el cul consiste en clculr el áre de figurs no convencionles. Definición: Oservción: Llmmos PARTICION de un intervlo [ ; ] P tl que P { }, l conjunto de puntos = = 0 ; ; ;... ; n = que verifique l relción = 0 < < <... < n =. Un prtición del intervlo [ ; ] determin un colección de suintervlos contenidos en [ ; ] Ejemplo: Un prtición del intervlo [ ; ] podrí ser. P = ; 0 ; ; ; ; y l colección de ; 0, 0 ;, ;, ; y ;. suintervlos determind por P serí [ ] [ ] [ ] En generl, indicremos [ ] determindos por l prticipción P. k ; un intervlo genérico de l colección de suintervlos k P O L I T E C N I C O 9

22 Cálculo Diferencil e Integrl Definición: Definición: Llmmos mplitud del intervlo [ ] =. k ; k k k k - Llmmos NORMA de l prtición P y l simolizremos δ l myor de tods ls mplitudes de todos los intervlos determindos por dich prtición. Es decir: PROBLEMAS DE APLICACIÓN δ = m k con k =,,,..., n ) Clcul l norm de cd un de ls siguientes prticiones del intervlo [ 0 ; ]: ) P = {0 ; ; ; ; } ) = c) = P {0 ; ; ;, ;,8 ; } P {0 ;, ; ; ; ; }. 6) Escrie un prtición del intervlo [ 0 ;] que teng l menos 8 elementos, y cuy norm se igul 0,. SUMA DE RIEMANN. Consideremos l función f :[ ; ] R. Efectuemos un prtición P del intervlo [ ; ] suintervlos y en cd [ k ; k ] uiquemos un punto h [ ; ]. Definición: k k k Llmmos Sum de Riemnn pr l función f ( ) correspondiente l prtición P l sum n f ( hk ) k. σ = k = en n Oservndo el gráfico de l págin siguiente, en el cul interpretremos l Sum de Riemnn, result: Oservciones: n k = ( ) ( ) σ = f ( h ) = A + -A + - A + A A k k n A ; A ; A An representn ls áres de los rectángulos que se muestrn en l figur. σ no es función de δ, y que dependerá de l prtición hech y de l elección de h k. 0 P O L I T E C N I C O

23 y A A n = 0 h A h h A... n- n = A h h n PROBLEMAS DE APLICACIÓN 7) Grfic l función f ( ) en el intervlo [ 0 ; ], interpret gráficmente el vlor de n σ = f ( h ) k = intervlo [ ] k k k ; k. ) f ( ) = ; P = {0 ; ; ; } ) f ( ) = ( ) ; P = {0 ; ; ; ; } y clcúllo en cd cso, considerndo h k como el punto medio del 8) Resuelve el prtdo () del ejercicio nterior pero considerndo h k l etremo derecho del intervlo [ ] k - ; FUNCIÓN INTEGRABLE. INTEGRAL DEFINIDA. Definición: k Se f ( ) un función definid en [ ; ], si lím f ( h ) δ 0 n k k k = σ decimos que f ( ) es integrle en [ ; ] integrl definid (o integrl de Riemnn) de f ( ) desde hst. eiste, y llmremos dicho límite En símolos: f ( ) d = lím f ( h ) δ 0 n k k k = σ P O L I T E C N I C O

24 Cálculo Diferencil e Integrl Llmremos : : etremo inferior de integrción. : etremo superior de integrción. : vrile de l integrl. f : función integrndo. [ ; ] Oservciones: : intervlo de integrción.. Se puede pror que si f ( ) es continu en [ ; ] (Teorem de Cuchy).. Si f ( ) es continu y no negtiv en [ ; ], es integrle en dicho intervlo, podemos encontrr un interpretción geométric de l integrl definid. Pr ello, reitermos pso pso l definición: P O L I T E C N I C O

25 Podemos visulizr mejor l interpretción gráfic, mplindo un intervlo genérico k. Veremos que el áre del rectángulo ABCD es proimdmente igul l del sector dejo de l gráfic AEFD. B f F C E f(h k ) Oservemos que cundo δ tiende cero, k se proim k- y l se del rectángulo es cd vez más pequeñ y l proimción nomrd en el párrfo nterior es myor. CONCEPTO DE RECTANGULOIDE. Definición: A D k - h k k Llmmos RECTANGULOIDE R l conjunto de puntos del plno limitdos por ls verticles =, f, es decir: =, el eje y l gráfic de ( ) {( ; ) / 0 ( )} R = y y f Luego: f ( ) d = áre de R Si f ( ) > 0 [ ; ]. Prolem resuelto Resuelve, plicndo l definición, l integrl de f ( ) = c (constnte rel) e interpret geométricmente su resultdo pr c > 0: n n c d = lím c = c lím = c lím ( - ) = c ( - ) k k δ 0 δ 0 δ 0 k = k = P O L I T E C N I C O

26 Cálculo Diferencil e Integrl Si c > 0, l interpretción gráfic de l integrl nos dice que l mism es el áre del rectángulo de se y ltur c: PROBLEMA DE APLICACIÓN 9) Evlú cd integrl teniendo en cuent su interpretción en términos de áre: ) d ) c) ( + ) ( + ) d d 0) Teniendo en cuent l interpretción de l integrl en términos de áre, clcul un número que se myor que l integrl. ) ) d d PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. Linelidd Sen f y g integrles en el intervlo [ ; ], α R β R. n n n ( α f ± β g ) = lim α f ( h ) ± β g ( h ) = α lim f ( h ) ± β lim g ( h ) k k k k k k k δ 0 δ 0 δ 0 k = k = k = f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d [ α ± β ] = α ± β P O L I T E C N I C O

27 Como csos prticulres, se tienen: Aditividd ) Si β = 0 α f ( ) d = α f ( ) d ) Si α β ( ) Si eiste f ( ) d = = f ( ) ± g( ) d = f ( ) d ± g( ) d en I con { ; ; } c I ; entonces result: c f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d c Válid culquier se l posición reltiv de, y c. Comprción Si eiste f ( ) d y g( ) d result que: Si eiste f ( ) d en [ ; ] en el intervlo [ ; ] f ( ) d g( ) d y =, entonces result: y f ( ) g( ) en [ ; ], entonces f ( ) d = 0 Si eiste f ( ) d en [ ; ] PROBLEMAS DE APLICACIÓN ) Siendo que ) [ ( ) ( )] ) f ( ) d = 7 y que f g d f ( ) + g( ) d f ( ) d, entonces result: f ( ) d = f ( ) d g( ) d = clcul: P O L I T E C N I C O

28 Cálculo Diferencil e Integrl ) Escrie cd epresión como un únic integrl de l form f ( ) d. ) ) f ( ) d + f ( ) d 8 f ( ) d + f ( ) d 0 c) d) 0 6 f ( ) d f ( ) d + f ( ) d f ( ) d f ( ) d ) Siendo que ) ) c) 0 0 f ( ) d f ( ) d f ( ) d 0 f ( ) d = 0; f ( ) d = 7 y f ( ) d =, clcul: TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL. f es un función continu en el intervlo [ ; ] H) ( ) ; / ( ) ( ) T) c ( ) f = f c ( ) Como ( ) Demostrción: f es continu en [ ; ], por el. Teorem de Weierstrss, eiste un máimo (M) y un mínimo (m) solutos de ( ) decir: Por propiedd de comprción, result: Resolviendo l integrl, nos qued: Dividiendo miemro miemro por ( ) Como ( ) f es continu en [ ; ] f, y que Im f ( ) [ m ; M ] un vlor de ( ) [ ] m f ( ) M ; m d f ( ) d M d ( ) ( ) ( ) m f d M, otenemos: m f ( ) d M (*) f en [ ; ], es, por el Teorem del Vlor Intermedio, l epresión (*) dee ser =. Es decir: Teorem de Weierstrss. Si un función f ( ) es continu en un intervlo cerrdo y cotdo, entonces hy l menos dos puntos de sciss y pertenecientes l intervlo[ ; ] donde f ( ) lcnz vlores etremos solutos, es decir, lcnz un ;. máimo y un mínimo en [ ] 6 P O L I T E C N I C O

29 c f c = f d f d f c = ( ; ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Oservndo el siguiente gráfico podemos encontrr un interpretción del teorem nterior si ( ) ; : f es no negtiv en [ ] f () y f(c) c El áre del rectnguloide de f ( ) es igul l del rectángulo somredo de l mism se. PROBLEMA DE APLICACIÓN ) Si f ( ) es continu en [ ; ] y menos un vez en dicho intervlo. f ( ) d = 8, demuestr que f ( ) tom el vlor por lo FUNCION INTEGRAL. Definición: f integrle en [ ; ] y c [ ; ] f, un función tl que pr cd [ ; ] Se ( ) de ( ), llmmos FUNCIÓN INTEGRAL le hce corresponder el número f ( t) dt. Si llmmos con g( ) dich función result: c g :[ ; ] R / g( ) = f ( t) dt c P O L I T E C N I C O

30 Cálculo Diferencil e Integrl Oservción: L función g( ) depende de l vrile, que es el etremo superior de l integrl, por tl motivo l función integrl tmién se l llm función de etremo superior de integrción. Si f ( ) es continu no negtiv, se puede hllr un interpretción geométric de g( ), como el áre del rectnguloide de f ( ) limitdo por sends verticles en c y en con c < : y f(t) g() c t TEOREMA FUNDAMENTA DEL CÁLCULO INTEGRAL. Enunciemos y demostremos el Primer Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl. f continu en [ ; ] H) ( ). : ; / ( ) ( ) T) g [ ] R g = f t dt es derivle en ( ; ) Demostrción: Pr demostrr que ( ) función en un punto: c g es derivle ( ; ) ( ) g + g( ) g ( ) = lim 0 y g ( ) = f ( )., recordemos l definición de derivd de un Reemplzndo en g( ) = f ( t) dt, y clculndo por seprdo pr fcilitr l escritur del límite g otenemos: c ( ) c + () + () c f ( c*) ( + ) ( ) + () + c () g = g + g( ) = f ( t) dt f ( t) dt = f ( t) dt + f ( t) dt = c c c f ( t) dt + f ( t) dt = f ( t) dt = f ( c*) P O L I T E C N I C O

31 Luego, podemos escriir l epresión ( ) de l siguiente mner: g f ( c*) g ( ) = lim = lim = f ( ) 0 0 c* En conclusión g ( ) eiste y es igul f ( ). () Permutndo etremos de integrción. () Propiedd conmuttiv. () Propiedd de ditividd. () Teorem del Vlor Medio, donde c * está comprendido entre y +. PROBLEMAS DE APLICACIÓN ) Aplic el Teorem Fundmentl del Cálculo pr derivr ls siguientes funciones: ) 0 g() = (t - ) dt ) g() = cos(z ) dz c) 7 g() = (cos(u ) + u ) du ) Si F() cos(t ) dt =, clcul F(), F () y F (0). t 6) Si F() = g(t) dt y = + g(t) m dm clcul F (). REGLA DE BARROW O SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL En cálculo integrl, l Regl de Brrow o Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl es un propiedd de ls funciones continus que permite clculr fácilmente el vlor de l integrl definid prtir de culquier de ls primitivs de l función. Recie su nomre en honor l mtemático inglés Isc Brrow. Enunciemos y demostremos el Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl. f continu en [ ; ] H) ( ) y g( ) f ( t) dt = primitiv de ( ) f. T) f ( t) dt = P( ) P( ), siendo P un primitiv culquier de f ( ). Demostrción: Teniendo en cuent por hipótesis que g( ) = f ( t) dtes un primitiv de f ( ), puede epresrse de P O L I T E C N I C O

32 Cálculo Diferencil e Integrl l siguiente mner:, con ( ) g( ) = f ( t) dt = P( ) + C Si Si P un primitiv culquier de f ( ). = g( ) = f ( t) dt = P( ) + C = 0 C = P( ) () () = g( ) = f ( t) dt = P( ) + C f ( t) dt = P( ) P( ) = P( ) Es decir: f ( t) dt = P( ) P( ) = P( ) Prolem resuelto. Resuelve ls siguientes integrles definids: d = = 0 = π 0 0 π π cos d = sen = sen - sen 0 = 0 0 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 7) Clcul ls siguientes integrles definids: ) ) c) d) t ( t - ) dt 0 - y dy d d d π + ln d d + 6 π e) 0 f) g) h) e - 8) Si '( ) 0 e d. f es continu en [ ; ], demuestr que f ( ) f '( ) d = [ f ( ) ] [ f ( ) ] P O L I T E C N I C O

33 9) Determin un función f ( ) y un vlor de l constnte de tl mner que: 0) Determin l epresión de P() si: ) Suponiendo que 0 f() d = 6; 0 ) f () d = ) c) f() d = f() d = f ( t) dt = sen 0 ' '' P() = f(0) + f (0) + f (0) y f() d = y f() d =, hll: dt f() = + t 0. ) Si un función f () es tl que f() d C. f() pr todo > 0, clcul un número C tl que APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. AREAS PLANAS. Áres de rectnguloides. En el siguiente cpítulo estudiremos los diferentes csos pr clculr áres de rectnguloides. Primer cso: Si f () es un función continu y no negtiv en [; ], result: y f A A = f()d Segundo cso: Si f () es un función continu y no positiv en [ ; ]. Definimos llí g() = - f(), siendo que ls gráfics de g y de f serán simétrics respecto del eje y determinrán rectnguloides de igul áre A. P O L I T E C N I C O

34 Cálculo Diferencil e Integrl Entonces: A = g() d = - f() d = f() d Es decir: y g A A = f() d f Tercer cso: Este cso es el más generl, es cundo f () es continu en [;], nulándose un número finito de veces y siendo en lgunos intervlos positiv y en otros negtiv. Pr clculr el áre A de todos los rectnguloides, utilizremos los csos nteriores en form conjunt: y A' A'' c f A''' d c A = A' + A'' +A''' = f + f + d f c Prolems resueltos. Сlcul el áre ryd en cd cso: f ( ) = y ( ) 7 6 A = 7+6 d= +6 = 6 6 y 6 P O L I T E C N I C O

35 En el siguiente cso conviene pensr en función de y. y A f()= y 6 A = y dy = = 0 0 Un ejemplo más generl. Se = en el intervlo [ ; ] f ( ). 0 0 ( ) ( ) ( ) A + A + A = d + d + d = = + + = P O L I T E C N I C O 7

36 Cálculo Diferencil e Integrl ÁREA DE DOMINIOS NORMALES. Definición: Dds f () y g(), continus en [ ; ] tl que f() g() [ ; ], se llm DOMINIO NORMAL DEL PLANO reltivo f (), g (), de se [ ; ], l conjunto de puntos del plno limitdo por ls rects = ; = y ls gráfics de f () y g (). En símolos: D = {(; y) / f() y g() } Llmremos : f (): función minornte g (): función myornte Ahor nos interes clculr el áre A de D. Pr ello tendremos en cuent los siguientes csos. Primer cso: Pr 0 g () f (), es decir ms funciones no negtivs. A = f () d - g () d = (f -g)() d 8 P O L I T E C N I C O

37 Segundo cso: Ls funciones pueden encontrrse en culquier lugr del plno. Por el Teorem de Weierstrss, l ser f () continu en [ ; ], dee tener mínimo soluto m: y g A f m Definiendo dos nuevs funciones en [ ; ]: f* () = f () + m y g*() = g + m. Ls misms resultn tener sus gráfics idéntics ls originles trsldds verticlmente hci rri m uniddes. En consecuenci ms funciones sí definids, estrán sore el eje o tocándolo como mínimo: y g* A f * Ahor podemos plicr ls conclusiones del primer cso: [ ] [ ] A = g* () - f* () d = g + m - (f + m ) d = g ()-f () d P O L I T E C N I C O 9

38 Cálculo Diferencil e Integrl Es decir, independientemente de l uicción de ls gráfics en el plno, result: Prolems resueltos. Clcul el áre ryd en cd cso: A = ( ) ( ) A = [ ] g () - f () d + d = d = - = 0 º º A Aquí conviene considerr como función de y: y y y 0 A = y + dy = + y = 6 º 0 A 0 P O L I T E C N I C O

39 PROBLEMAS DE APLICACIÓN ) Clcul, utilizndo integrción, el áre del triángulo en cd cso: ) Sus vértices son los puntos (-; ) ;(;-) y (; ). ) Limitdo por l rect y = + ; el eje de ls y l rect verticl =. ) Clcul el áre de l región limitd por l práol y = ; l tngente ell en ( ; ) y el eje. ) Trz l región limitd por ls curvs dds y clcul su áre: ) y = I I ; y = con 0. ) y = e ; y = e - ; = - ; =. 6) Determin el áre encerrd por l práol ( ) puntos (- ; -) y ( ; ). 7) Determin el áre limitd por ls siguientes curvs: ) ) y = + y por l cuerd que une los y = ³ - y = c) = y² y = d) y² = + 6 y = - y = ln y = - + y = P O L I T E C N I C O

40 Cálculo Diferencil e Integrl e) f) 8) Clcul los vlores de c pr que el áre de l región cotd por ls práols y = c ; y = c se 76. P O L I T E C N I C O

41 Te proponemos relices ls siguientes ctividdes pr utoevlur tu prendizje del tem. ) Resuelve ls siguientes integrles: ) ln d = ) d = 6 c) cos d = sen + tg d) d = cos d e) = ) L función f ( ) = + tiene infinits primitivs que difieren en un constnte. Cuál de ests funciones tom el vlor 8 pr =? Rt: F( ) = + +. ) Hll un función cuy derivd se f ( ) = 7 + y que se nule pr =. 7 Rt: F( ) = +. 6 ) Hll l función G( ) tl que G ( ) = 6 + ; G (0) = y G () = 0. Rt: G( ) = + +. ) Dd l función f ( ) 6 = hll l primitiv que ps por el punto A ( ; ). Rt: F ( ) =. 6) Resuelve ls siguientes integrles definids: ln e e ) d Rt: π. 0 e + π ) d Rt: 0 Sugerenci: Consider = sen t. 7) Dd ) F ( π ). ) sen t dt F( ) =, clcul: π F '. F '' 0. c) ( ) 0 8) Clcul el áre de l región del plno limitd por ls curvs f ( ) = + y g =. ( ) P O L I T E C N I C O

42 Cálculo Diferencil e Integrl P O L I T E C N I C O