COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO. 1º BACHILLERATO C Matemáticas EXAMEN DE LA UNIDAD: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

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1 COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO 1º BACHILLERATO COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO 1º BACHILLERATO C Matemáticas EXAMEN DE LA UNIDAD: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Factoriza los siguientes polinomios: a) + b) 4 +. Hallar el valor de m y n sabiendo que el polinomio n 6 + m es divisible entre +.. Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas. 5 + a) b) : Descompón en suma de fracciones simples: Desarrolla el siguiente binomio simplificando el resultado: ( ) 5

2 COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO 1º BACHILLERATO RECUPERACIÓN DE POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1. Factoriza los siguientes polinomios: a) b) El polinomio + a + b es múltiplo de + 1. Además, al dividirlo por 1 y por se obtiene el mismo resto. Halla a y b.. Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas. a) : b) Descompón en suma de fracciones simples: 6 5. Desarrolla el siguiente binomio simplificando el resultado: ( y) 4

3 COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO EXAMEN DE ECUACIONES Y SISTEMAS Resuelve Las siguientes ecuaciones: a) = 0 b) = 0. Resuelve por el método de Gauss y = 1 + 6y 5z = 4 + y z = 0. Resuelve: a) + 1 = 4 65 b) 4 log + log = log La edad de una madre es, en la actualidad, el triple que la de su hijo. La suma de las edades de padre, madre e hijo es 80 años, y dentro de 5 años, la suma de las edades de la madre y del hijo será 5 años más que la del padre. Cuántos años tienen el padre, la madre y el hijo en la actualidad? 5. Resuelve: b) 0 + a) ( ) ( )

4 COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO RECUPERACIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS Resuelve Las siguientes ecuaciones: a) + + = 6 b) = 0. Resuelve por el método de Gauss + y z = 6 y + 5z = 6 + y + z = 0. Resuelve: a) = 896 b) log log( 6) = 4. Hallar un número de dos cifras sabiendo que si lo sumamos con el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, obtenemos 66 y si lo multiplicamos por ese número, obtenemos Resuelve: b) < 1 9 a) ( 5)

5 EXAMEN DE LA UNIDAD : GRÁFICA DE FUNCIONES EJERCICIO 1 [ puntos] Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) f ( ) = ln b) f ( ) = 5 4 EJERCICIO [ puntos] Dadas las funciones: f ( ) = ln( ) Calcula: a) h() + g ( ) = h( ) = e f b) f g h(1) c) h g f () EJERCICIO 4 [5 puntos] Representa las siguientes funciones e indica sus propiedades: 4 a) y = log ( ) b) y = 5 ( + ) c) f() = sen() d) f() = e) f ( ) =

6 EXAMEN DE LA UNIDAD : GRÁFICA DE FUNCIONES EJERCICIO 1 [ puntos] Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) f ( ) = b) f ( ) = EJERCICIO [ puntos] Dadas las funciones: f ( ) = 4 g( ) = cos h ( ) = + 1 Calcula: a) f g h() b) h g() c) f f () EJERCICIO 4 [5 puntos] Representa las siguientes funciones e indica sus propiedades: a) y = ( ) b) y = ( + ) + c) f() = cos() d) f() = 4+ e) f ( ) = + 6

7 EXAMEN DE LA UNIDAD 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD Calcula los siguientes límites: 4 a) [1 5 puntos] lim 1 b) [1 5 puntos] lim + 1. Calcula los siguientes límites: lim 1+ a) [1 5 puntos] ( ) b) [1 5 puntos] lim 4 ( + + )( + 1) ( + + 1)( + + ). Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) [1 5 puntos] y = ( + 1)( 4) +1 b) [1 5 puntos] y = ln 1 4. [ 5 puntos] Calcula razonadamente en que puntos no es continua la siguiente función:, y = +, >

8 EXAMEN DE LA UNIDAD 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD Calcula los siguientes límites: a) [1 5 puntos] lim b) [1 5 puntos] + 5 lim 4. Calcula los siguientes límites: a) [1 5 puntos] lim 1+ + b) [1 5 puntos] lim Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) [1 5 puntos] y = + + b) [1 5 puntos] y = 4. [ 5 puntos] Calcula razonadamente en que puntos no es continua la siguiente función: + si 0 f ( ) = si 0 < < si > 1

9 EXAMEN DE LA UNIDAD 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD Calcula los siguientes límites: a) [1 5 puntos] lim 1 + b) [1 5 puntos] lim Calcula los siguientes límites: a) [1 5 puntos] lim( 1+ ) b) [1 5 puntos] lim +. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) [1 5 puntos] y = log + + b) [1 5 puntos] y = 4. [ 5 puntos] Sabiendo que la siguiente función es continua, calcula razonadamente a y b : f ( ) = e - 4a -1 + b si < si -1 < < 0 si 0

10 EXAMEN DE LA UNIDAD 5: DERIVADAS Ejercicio 1 Utilizando la definición de derivada en un punto, calcula la derivada de la siguientes funciones en los puntos que se indican. a) f ( ) = en = 4 b) f ( ) = + 1 en = - 1 Ejercicio Calcula las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal de las funciones del ejercicio 1en los puntos correspondientes. Ejercicio Utilizando la definición de función derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f ( ) = b) f ( ) = + 1 Ejercicio 4 Halla la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado: a) y = tg( ln ) + + b) f ( ) = Ejercicio 5. Halla la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado: y = cos a) ( ) b) f ( ) = log LA PUNTUACIÓN DE CADA EJERCICIO ES DE PUNTOS, SIENDO DE 1 PARA CADA APARTADO

11 RECUPERACIÓN DE LA UNIDAD 5: DERIVADAS Ejercicio 1 Utilizando la definición de derivada en un punto, calcula la derivada de la siguientes funciones en los puntos que se indican. a) f ( ) = + 1 en = b) f ( ) = en = Ejercicio Calcula las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal de las funciones del ejercicio 1en los puntos correspondientes. Ejercicio Utilizando la definición de función derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f ( ) = b) f ( ) = + 1 Ejercicio 4 Halla la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado: 4 a) y = Ln + 1 f ( ) = arctg b) ( ) Ejercicio 5. Halla la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado: e a) y = + b) f ( ) = ( cos ) 5 LA PUNTUACIÓN DE CADA EJERCICIO ES DE PUNTOS, SIENDO DE 1 PARA CADA APARTADO

12 UNIDAD 6: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Ejercicio 1. Sea f : R R la función definida por f ( ) =. (a) [1 punto Calcula las asíntotas (b) [1 punto] Determina la monotonía y los etremos (c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica Ejercicio. Sea f : R R la función definida por y = +. (a) [1 punto Estudia la monotonía y los etremos (b) [1 punto] Determina la curvatura y los puntos de infleión (c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica Ejercicio. [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. Cuáles son las dimensiones del prado de área máima que podemos cercar con 000 euros? Ejercicio 4. [ 5 puntos] Sea f : R R la función definida por f() = + a + b + c. Se sabe que un punto de infleión de la gráfica de f tiene abscisa = 1 y que f tiene un mínimo relativo en (, 9). Calcula a, b y c.

13 UNIDAD 6: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Ejercicio 1. Sea f : R R la función definida por f ( ) =. (a) [1 punto Calcula las asíntotas (b) [1 punto] Determina la monotonía y los etremos (c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica 4 Ejercicio. Sea f : R R la función definida por y = 4. (a) [1 punto Estudia la monotonía y los etremos (b) [1 punto] Determina la curvatura y los puntos de infleión (c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica Ejercicio. [ 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máima. Ejercicio 4. [ 5 puntos] Sea f : R R la función definida por f() = + a + b + c. Se sabe que tiene un máimo en = 0, un punto de infleión en = - 4 y pasa por el punto (1, 1). Calcula a, b y c

14 UNIDAD 6: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Ejercicio 1. Sea f : R R la función definida por f ( ) =. (a) [1 punto Calcula las asíntotas (b) [1 punto] Determina la monotonía y los etremos (c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica Ejercicio. Sea f : R R la función definida por y =. (a) [1 punto Estudia la monotonía y los etremos (b) [1 punto] Determina la curvatura y los puntos de infleión (c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica Ejercicio. [ 5 puntos] Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima. Ejercicio 4. [ 5 puntos] Sea f : R R la función definida por f() = + a + b + c. Se sabe que tiene un máimo en (0,) y un punto de infleión en (, 1). Calcula a, b y c

15 EXAMEN DE LA UNIDA 6: GEOMETRÍA ( puntos) Halla de todas las formas posibles, la ecuación de la recta que pasen por el punto P (,1) y es perpendicular a la recta y + = 0. ( puntos) Halla las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas. En el caso de que sean secantes calcula el ángulo que forman y el punto de corte: = 1+ t 4 a) r s = y + y = t b) r: y + = 0 s: + y +1 = 0. (1 punto) Dados los vectores = (,5) el vector u sea perpendicular al vector u y v = ( a, ) u + v, halla el valor de a para que 4. (1 punto) La recta 4-y=1 es la mediatriz del segmento AB. Halla las coordenadas del punto B, sabiendo que las del punto A son (1,0). 5. ( puntos) Los puntos B (-1,) y C (,-) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta + y = 15, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A y las ecuaciones de las tres rectas que contienen a los lados del triángulo. 6. ( punto) Halla la proyección del punto A(1, ) sobre la recta de ecuación = 1+ t r. y = t NOTA: LA MERA SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS NO PUNTÚA. ES IMPRESCINDIBLE APLICAR LOS CONOCIMIENTOS IMPARTIDOS EN ESTA UNIDAD PARA LLEGAR A LOS RESULTADOS

16 EXAMEN DE LA UNIDA 6: GEOMETRÍA ( puntos) Halla de todas las formas posibles, la ecuación de la recta que pasen = 1+ t por el punto P (,1) y es paralela a la recta r y = t. ( puntos) Halla las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas. En el caso de que sean paralelas calcula la distancia entre ellas: = t + y a) r s = y = t b) r: y + = 0 s: y = (1 punto) Dados los vectores = (,4) los vectores u y v formen un ángulo de 60º u y v = ( a, ) u y (,1 a). (1 punto) Dados los vectores = (,5) v = a que el vector u v sea paralelo al vector u + v, halla el valor de a para que, halla el valor de a para. ( puntos) Los puntos A (-1,) y B (,-), C y D son los vértices consecutivos de un rectángulo que tiene el vértice C en la recta y = 1. Calcular las coordenadas de los vértices C y D 4. ( punto) Halla el punto simétrico del punto A(1, ) respecto a la recta de ecuación r: y + 4= 0. NOTA: LA MERA SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS NO PUNTÚA. ES IMPRESCINDIBLE APLICAR LOS CONOCIMIENTOS IMPARTIDOS EN ESTA UNIDAD PARA LLEGAR A LOS RESULTADOS