8 problemes d optimització

Transcripción

1 8 problemes d optimitzció Problem De tots els ortoedres d àre de l bse cm i l sum de l longitud de totes les restes 0cm, determineu el de mjor àre Potpov Pàgin 5, problem 6 Problem Demostreu que de totes les piràmides qudrngulrs regulrs en què l sum de l ltur i l rest de l bse és constnt, el volum màxim l té l piràmide en què l cr lterl i l bse formen 5º Gúsiev 90 Problem L sum dels qudrts de totes les restes d un piràmide tringulr regulr és P Determineu l àre màxim d un cr lterl Gúsiev 9 Problem L bse de l piràmide MABCD és el qudrt ABCD MB és ltur de l piràmide Determineu el vlor mínim de l longitud de l rest MD si el volum de l piràmide és igul 9 cm Gúsiev, 9 Problem 5 En un con de genertriu constnt s inscrit un prism exgonl regulr, les restes del qul totes són iguls Determineu l ngle entre l genertriu i l bse del con fi que l àre de l superfície lterl del prism sig màxim Problem 6 En un esfer de rdi 6cm s inscrit un cilindre de volum màxim Determineu l proporció entre el volum del cilindre i l esfer

2 Problem 7 Un piràmide qudrngulr regulr l rest de l bse és i l ltur En l piràmide s inscrit un cilindre tl que l bse superior és tngent totes les cres i l bse inferior pertny l bse de l piràmide Determineu les mesures del cilindre de mjor volum Determineu el mjor volum Gúsiev 9 Problem 8 Un trpezi isòsceles té les digonls perpendiculrs Clculeu els vlors de l proporció del perímetre i l prl lel mitjn del trpezi

3 Problem De tots els ortoedres d àre de l bse cm i l sum de l longitud de totes les restes 0cm, determineu el de mjor àre Potpov Pàgin 5, problem 6 Sig l ortoedre ABCDEFGH de bse el rectngle ABCD i àre Sig AB, BC b, AE c L àre de l bse és: b L sum de l longitud de totes les restes és: + b + c 0 () L funció optimitzr és l àre de l ortoedre: S (,b,c) b + bc + c ( ) ( + c( b) ) S (,b,c) + De l expressió (): + b 5 c () L funció es trnsformri en: S(c) + c(5 c) ( ) ( c + 5c + ) S(c) 5 9 S(c) c S(c) c + 5 L igultt s ssoleix qun c b En quest cs 5 L solució del sistem és o + b 5 b mteix rectngle de l bse que dón el b L ortoedre d àre màxim s ssoleix qun les restes de l bse són l ltur 5 9 cm, l àre màxim és cm cm, cm i

4 Problem Demostreu que de totes les piràmides qudrngulrs regulrs en què l sum de l ltur i l rest de l bse és constnt, el volum màxim l té l piràmide en què l cr lterl i l bse formen 5º Gúsiev 90 Sig l pirmide qudrngulr regulr ABCDS de bse qudrd ABCD Sig O el centre de l bse Sig AB rest de l bse, OS ltur Per ipòtesi + k, k constnt El volum de l piràmide és: V(,) k V() (k ), > 0 Clculem l seu derivd: k V'() + k V '() 0, + 0 Resolent l equció: k k V "() + k k V " < 0, lesores, el màxim del volum s ssoleix qun Vegem que l ngle que form l cr lterl i l bse formen 5º qun Sig M el punt mig de l rest BC L ngle que form cr lterl i l rest és α OMS k k k k Si, k k OM tg α Alesores, α 5º OM k k

5 Problem L sum dels qudrts de totes les restes d un piràmide tringulr regulr és P Determineu l àre màxim d un cr lterl Gúsiev 9 Sig ABCD l piràmide tringulr de bse ABC tringle equilàter Sig AB rest de l bse Sig AD b rest lterl Per ipòtesi ( + b ) P Sig O el bricentre de l bse ABC Sig M el punt mig de l rest AB Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle AMC : CM Aplicnt l propiett del bricentre: CO CM, OM CM 6 Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle OD b Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle DM OD + 6 SM b + DM b L àre de l cr lterl ABD és: S(,b) P b b S() COD: DOM: P P 5 S(), > 0 P 5 L àre màxim s ssoleix en el màxim de l funció f() Derivem l funció f(): P f'() 5 f '() 0, P 5 0 P Resolent l equció: 5 P P P P P f"() 5 f " 5 < Alesores, el màxim s ssoleix qun L àre màxim és: S P 5 P P 5 P 5 5 P 5 P 5 0

6 Problem L bse de l piràmide MABCD és el qudrt ABCD MB és ltur de l piràmide Determineu el vlor mínim de l longitud de l rest MD si el volum de l piràmide és igul 9 cm Gúsiev, 9 Solució : Sig AB, rest de l bse i MB, ltur El volum de l piràmide MABCD és: 9 7 Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle isòsceles BD Aplicnt el teorem de Pitgores l tringle rectngle MD MB + BD BDM: BAD : MD + Aplicnt l desigultt entre l mitjn ritmètic i geomètric de,, : MD + ( ) 7 7 L igultt s ssoleix qun és dir qun En quest cs 7, El mínim de l longitud de MD s ssoleix qun i l longitud mínim és: MD mín + Solució : Sig AB, rest de l bse i MB, ltur El volum de l piràmide MABCD és: 9 Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle isòsceles BAD : BD Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle BDM: MD MB + BD MD + L funció longitud de MD és: L (,) L () +, el màxim de l funció L() s ssoleix en el màxim de l funció 5 f () +, > 0 Derivem l funció: 5 f'() + f '() 0, Resolent l equció: f"() + f "() + > 0 9 Alesores el mínim s ssoleix qun, i l longitud mínim del segment és: MD mín +

7 Problem 5 En un con de genertriu constnt s inscrit un prism exgonl regulr, les restes del qul totes són iguls Determineu l ngle entre l genertriu i l bse del con fi que l àre de l superfície lterl del prism sig màxim Sig el con de diàmetre AB r i genertriu constnt BC g Sig α ABC Sig MN PN, rest i rdi de l exàgon L funció que volem mximitzr és l superfície lterl del prism S () 6 Alesores l àre serà màxim qun l rest del prism sig màxim Aplicnt rons trigonomètriques l tringle rectngle BOC OC g sin α Aplicnt rons trigonomètriques l tringle rectngle PC tgα PC OC MN g sin α tgα g sin α sinα π ( α) g, α + tgα 0,, funció optimitzr Derivem l funció: cosα(+ tgα) sinα '( α ) g cos α (+ tgα) tgα '( α ) 0, cos α (+ tgα) 0 cos α cos α ( + tgα) tgα 0 (+ tgα) tgα 0 + tg α tg α 0 NPC π α π " 0 π Alesores, el màxim de l àre lterl del prism s ssoleix qun α π g En quest cs les restes del prism mesuren, g + L àre lterl màxim és: g S màx 6 g

8 Problem 6 En un esfer de rdi 6cm s inscrit un cilindre de volum màxim Determineu l proporció entre el volum del cilindre i l esfer Resoldrem el problem per un esfer de rdi R Sig el cilindre de rdi PA r i ltur PQ inscrit en un esfer de centre O i rdi OA R Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle R r + APO: El volum del cilindre és: V(r, ) πr, r R V() πr, ] 0, R[ Funció volum del cilindre optimtzr Derivem l funció: V '() πr V '() 0, R 0 Resolent l equció: R Vc V "() π, V " π < Alesores R és un màxim reltiu estricte El volum màxim del cilindre s ssoleix qun R, r R i el volum màxim és: 6 Vmàx π R R π R 9 L proporció entre els volums del cilindre de volum màxim i l esfer és: V V màx esf π R 9 πr S V c màx màx π 6 69cm 57cm

9 Problem 7 Un piràmide qudrngulr regulr l rest de l bse és i l ltur En l piràmide s inscrit un cilindre tl que l bse superior és tngent totes les cres i l bse inferior pertny l bse de l piràmide Determineu les mesures del cilindre de mjor volum Determineu el mjor volum Gúsiev 9 Sig l piràmide ABCDS, de bse el qudrt ABCD de costt AB i ltur OS, on O és el centre de l bse Sig el cilindre de diàmetre de l bse MN r i centre Q, i ltur, OQ x Sig N l projecció de N sobre l bse ABCD Sig K el punt mig de l rest BC N'K r, QN r OK Els tringles rectngles SOK, NN ' K són semblnts Aplicnt el teorem de Tles: x x r r El volum del cilindre és: V(r, x) πr x π V (r) r r, r 0, Derivnt l funció: π V'(r) (r r ) V '(r) 0, si r r 0 Resolent l equció: r π π V"(r) ( 6r) V " 6 π < 0 Alesores, el màxim s ssoleix qun r Si r, lesores, x π El volum màxim del cilindre és Vmx 7

10 Problem 8 Un trpezi isòsceles té les digonls perpendiculrs Clculeu els vlors de l proporció del perímetre i l prl lel mitjn del trpezi Sig el trpezi ABCD mb AB i CD costts prl lels i AC i BD digonls perpendiculrs D C Sig O l intersecció de les digonls AO BO, OAB OBA 5º O Sig α DAC, 0º α 90º P Sig PQ l prl lel mitjn del trpezi: AB + CD PQ A Sig AB Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle isòsceles AOB: AO Aplicnt rons trigonomètriques l tringle rectngle AD BC, OD OC tgα cos α AOD: Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle isòsceles El perímetre del trpezi és: p AB + CD + AD tg + α + cos α L prl lel mitjn del trpezi és: AB + CD + tgα PQ L proporció del perímetre i l prl lel mitjn és: + tgα + + α + α tg p cos cosα PQ + tgα + tgα + cos α( + tgα) + sin α + cosα +, 5º α 90º sin(5º +α) p El mínim s ssoleix qun α 5º, + PQmínim COD: CD tgα p El màxim s ssoleix qun α 0º, 90º, + ' 88 PQ + màxim Q B