LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL

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1 LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL POSGRADOS DE CIENCIAS DE LA TIERRA Y DE CIENCIA E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN UNAM AUTOR: ISMAEL HERRERA REVILLA 1

2 Basado en el Lbro Mathematcal Modelng n Scence and Engneerng: An Axomatc Approach Por Ismael Herrera y George F. Pnder 2

3 John Wley

4 LECCIÓN 3 MODELOS CLÁSICOS DE LA FÍSICA MACROSCÓPICA 4

5 CARACTERÍSTICAS GENERALES La teoría que se va a desarrollar es una teoría unfcada de sóldos y fludos; Ella consttuye la mecánca clásca de medos contnuos; Todos los sstemas de la mecánca clásca de medos contnuos son de una fase; Esta teoría se basa en cnco propedades extensvas. 5

6 EL MODELO GENERAL DE LOS SISTEMAS DE UNA FASE CONDICIONES DE BALANCE EN TÉRMINOS DE LAS PROPIEDADES INTENSIVAS 6

7 RECUERDE CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE UNA FASE Los modelos contnuos de una fase satsfacen la sguente hpótess: "En cada punto del espaco físco, hay una y sólo una partícula materal" Un cuerpo materal es un conjunto de partículas que en cada nstante ocupa un domno en el sentdo matemátco del espaco físco. En cada domno del espacío físco hay un cuerpo materal, y sólo uno Se usa la notacón B para el cuerpo materal, el cual en el tempo tocupa el domno B t del espaco físco 7

8 CARACTERIZACIÓN DE LOS MODELOS DE UNA FASE DE LA FÍSICA MACROSCÓPICA Cada sstema de una fase está caracterzado por : Una famla de propedades ntensvas 1,..., N 8

9 EL MODELO BÁSICO DE LA FÍSICA MACROSCÓPICA DE UNA FASE El modelo matemátco básco del sstema está consttudo por el sstema de ecuacones dferencales parcales (y de saltos) que se obtene al aplcar la ecuacón general de balance, expresada en térmnos de la propedad ntensva asocada, a cada uno de los membros de la famla de propedades extensvas 9

10 Las "ecuacones dferencales" t v g, 1,..., y las "condcones de salto" N v v n g, 1,..., N OBSERVACIÓN. Para sstemas de una fase sólo hay una velocdad de las partículas 10

11 MODELOS CLÁSICOS DE LA FÍSICA MACROSCÓPICA: Teoría unfcada de sóldos y fludos 11

12 PROPIEDADES EXTENSIVAS DE LA MECÁNICA CLÁSICA Masa Momento lneal Momento angular Energía cnétca Energía nterna 12

13 FAMILIA DE PROPIEDADES EXTENSIVAS Masa: M t x, t d x Momento lneal: Bt Momento angular: Energía cnétca: Energía nterna: M v a Bt v Bt 1 2 EC t 2 v d x Bt I M t x,t x,t d x t x d x Bt E t Ed x 13

14 FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS Densdad: x, t Densdad de momento lneal: Densdad de momento angular: Densdad de energía cnétca: Densdad de energía nterna: 1 2 U x,tv x,t x v v 2 14

15 RECORDATORIO ECUACIONES DE BALANCE 15

16 E t Bt dx de dt + Bt Bt t gdx ndx t t v g 16

17 LA MASA 17

18 M t, Bt x t d x x, t x, t 18

19 PRINCIPIO FÍSICO: CONSERVACIÓN DE MASA 19

20 LOS CUERPOS CONSERVAN LA MASA EN SU MOVIMIENTO dm t g x, t dx x, t ndx 0 dt Bt Bt LUEGO x t g x, t 0 y, 0 ASÍ QUE v t 0 20

21 MOMENTO LINEAL 21

22 EL PRINCIPIO FÍSICO QUE GOBIERNA EL BALANCE DE MOMENTO LINEAL 22

23 2A LEY DE NEWTON GENERALIZADA La rapdez de cambo del momento lneal de un cuerpo es gual a la fuerza total que se ejerce sobre el cuerpo 23

24 LA SEGUNDA LEY DE NEWTON d dt M t x, t dx q x, t dx g B t B t g q fuerza por undad de volumen fuerza por undad de superfce NOMENCLATURA. q Traccones T (tractons) g fuerzas de cuerpo (body forces) 24

25 LAS TRACCIONES Y LA MATRIZ DE ESFUERZOS 25

26 2a LEY DE NEWTON POR COMPONENTES d dt M g g t dx q x, t dx dx ndx, =1,2,3 B t B t B t B t g g, g. g q T, q q, q. q = T, T. T T = q n Donde,,

27 Defna la matrz de esfuerzos Entonces las ecuacones : T = n, = 1,2, son equvalentes a la ecuacón matrcal T n n1 T n n2 n T n n 3 27

28 Además escrbremos, =1,2,3 28

29 LAS FUERZAS DE CUERPO 29

30 , x, tb x, t FUERZAS DE CUERPO Frecuentemente se escrbe g x t En tal caso fuerza de cuerpo b masa EJEMPLOS: La gravedad b g ˆ (aceleracón de la gravedad) Fuerzas electromagnétcas 30

31 ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE DE MOMENTO LINEAL 31

32 Observacón: EL MOMENTO LINEAL ES UNA PROPIEDAD VECTORIAL Debdo a ello las ecuacones dferencales de balance se aplcan componente por componente 32

33 t + v = + g x,t v x,t x,t, 1,2,3 v t o + = + g = + b, 1, 2,3 v vv vv j j + = + b, j j t x x 1,2,3 33

34 ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOMENTO LINEAL Las ecuacones dferencales son v t vv b, 1,2,3 34

35 ECUACIONES DE MOMENTO LINEAL REDUCIDAS POR CONSERVACIÓN DE MASA 35

36 v Dv vv v v t Dt Dv D Dv v v, 1, 2,3 Dt Dt Dt Usando conservacón de masa se reducen a Dv b, 1,2,3 Dt De otra manera Dv b, con,, Dt O O v 1 j v j b j j t x x v 1 v v t v, 1,2,3 b 36

37 EJERCICIO: Demostrar que las ecuacones v Dt y t Dv vv b, 1,2,3 v v b, 1,2,3 Dv D v v b, 1,2,3 Dt Dt Son equvalentes. Además, las anterores son equvalentes a Dv b Dt v v v b t cuando hay conservacón de masa. Dé otras formas equvalenetes. 37

38 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA SÓLIDOS Y FLUIDOS Ecuacones Generales de Movmento Dv g Dt Estados estaconaros : 1 v v b Sstemas en reposo (equlbro) : b 38

39 Ecuacón de Balance de MOMENTO ANGULAR 39

40 Balance de momento angular Momento angular: M a t xv d x Bt d M dt a t x b d x xtd x B t B t d M dt a t xb d x x nd x B t B t 40

41 La Ecuacón de Balance del MOMENTO ANGULAR es equvalente a LA SIMETRÍA DEL TENSOR DE ESFUERZOS 41

42 La ecuacón de balance angular : d M dt a t xb d x x nd x B t se satface para todo cuerpo del sstema contnuo, s y sólo s (la demostracón está en el lbro), Es decr : j T = j B t 42

43 ENERGÍA 43

44 UNA RELACIÓN IMPORTANTE La ecuacón Dv g Dt Implca t v 2 v v v g v Su demostracón queda como ejercco 44

45 EL CONCEPTO DE TRABAJO La dferencal del trabajo dado por una fuerza es gual al producto nteror de la fuerza por la dferencal del desplazamento. En lo que sgue : W Trabajo 45

46 El Trabajo, W, dado por las fuerzas que actúan en un cuerpo, satsface : dw dt O sea dw dt Así : dw dt v Bt B t b v v Bt b v v : v Bt b dx n vdx dx dx 46

47 CONCEPTOS BÁSICOS DE ENERGÍA 47

48 Los cuerpos contenen energía en varas formas. Ellas son: energía cnétca (tambén llamada energía mecánca) y energía nterna (tambén llamada calor). Cuando el estado de los cuerpos evolucona, como cuando están en movmento, hay ntercambo de estas dos formas de la energía, transformándose una en la otra. Además, ambas formas de energía consttuyen propedades extensvas; la "energía total" es la suma de las dos. 48

49 LAS DIVERSAS CLASES DE ENERGÍA La energía cnétca, la energía nterna y la energía total se defnen respectvamente por: E K t Bt 1 2 v 2 d x E I t Bt Ud x t t t E E E K I 49

50 BALANCE DE ENERGÍA CINÉTICA 50

51 PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A LA ENERGÍA CINÉTICA Propedad ntensva: 1 2 v 2 K energía cnétca undad de volumen 51

52 PRINCIPIO FÍSICO (Empírco) El cambo de E K, es debdo al trabajo dado por las fuerzas que actúan en el cuerpo y la transformacón de energía nterna en cnétca : O sea de dt K b vdx n Bt Bt vdx B t g dx K I de dt K dw dt Bt g dx K I 52

53 El Teorema de Reynolds OBSERVACIÓN 2 con K = v 2, y la ecuacón t 2 mplcan de dt K dek K t Bt K v d x dt t 2 2 v 2 v v v b v dw = v b v dx : vdx Bt dt Bt 53

54 EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CALOR g dx : vdx I B t K B t 54

55 BALANCE DE ENERGÍA INTERNA 55

56 LA ENERGÍA INTERNA La energía nterna, es una propedad extensva: E La propedad ntensva asocada es: Luego: U I U t Bt I Ud x energía nterna undad de volumen energía nterna undad de masa 56

57 BALANCE DE ENERGÍA INTERNA I E t Ud x Bt dei t I + I h g K d x q nd x h q g K d x dt B t B t B t I U U h q gk = Uv v U t t Usando Se obtene I K I g g =0 que mplca g : v K I K DU h q : v Dt 57

58 RESUMEN 58

59 MASA v t 0 MOMENTO LINEAL Dv b Dt MOMENTO ANGULAR T 59

60 ENERGÍA ENERGÍA CINÉTICA 2 1 Dv v b b v v : v 2 Dt ENERGÍA INTERNA DU h q : v Dt ENERGÍA TOTAL 2 1 Dv DU v b b v v h q 2 Dt Dt EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CALOR g K I : v 60

61 CONCEPTOS BÁSICOS DE TERMODINÁMICA 61

62 CONCEPTOS BÁSICOS DE TERMODINÁMICA 1 DU Dt 1 1 q h : v Caso en que la matrz de esfuerzos es presón pura, o estado sotrópco de esfuerzos: p j p j v v v : v j p j p p x x x j j v Estado sotrópco de esfuerzos mplca DU 1 p q h v Dt 62

63 CONCEPTOS BÁSICOS DE TERODINÁMICA 2 Conservacón de masa mplca v= 1 D Dt DU Dt 1 q h p D 2 Dt El volumen específco es: V 1. Así: DU Dt 1 q h p DV Dt Cuando es adabátco: q 0: y h0. Así: DU Dt p DV Dt 0 63

64 MODELO PARA EL TRANSPORTE DE CALOR 1 DU D 1 p q h Dt Dt T U T Procesos sobárcos:,. Ecuacón para la tempertura. Ejemplo: 1 nrt p c p T t 1 v T q h du c p nr and q k T H dt 64

65 65 MODELO PARA EL TRANSPORTE DE CALOR 2 c T Caso Isotrópco c T Caso Isotrópco Homogéneo p H p H T T k h t T T k h t y v v c Caso Isotrópco, Homogéneo y en reposo c H p H p T h T k T t T h k T t v

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