Utilización de la Interpolación en el Método de Elementos Finitos

Transcripción

1 Utlzacón de la Interpolacón en el Método de Elementos Fntos Irla Mantlla úñez, Laura La Rosa Obando Laboratoro de Smulacón e Investgacón umérca, Facultad de Cencas Unversdad aconal de Ingenería E-mal: rlamn@unedupe, labosn@unedupe Recbdo el de octubre del ; aceptado el de dcembre del El Método de Elementos Fntos (MEF) es un método numérco avanzado que permte obtener una aproxmacón de la solucón de un problema de contorno, asocado a una ecuacón dferencal, ordnara o en dervadas parcales, bao certas condcones de frontera Este método consste báscamente, en aproxmar la solucón de un problema de frontera de clase C, por la solucón del problema equvalente planteado sobre un subespaco de dmensón fnta, lo cual caracterza e dentfca al MEF como esquema de Galerkn contnuo Usualmente la base de este espaco es generado por funcones lneales, que en el caso de meorar la precsón de la solucón se tendría que realzar un refnamento de malla, lo que conduce a la búsqueda de algortmos de convergenca rápda para la resolucón de grandes sstemas de ecuacones lneales El hecho de elevar el grado de las funcones de nterpolacón polnomal y contnuas a trozos, asocadas al subespaco respectvo a cada elemento, puede ser otra alternatva; en este sentdo, requere prevamente un análss del algortmo para meorar la precsón y el tempo de proceso computaconal Para ello, en el presente trabao se propone la construccón de una base del subespaco de aproxmacón con el MEF, utlzando una base de funcones Splne de tpo cúbco natural Para la evaluacón de este método, se ha expermentado sobre un problema de valores de contorno undmensonal, bao la condcón de frontera de tpo Drchlet no homogéneo Palabras claves: Galerkn, elementos fntos, funcones Splne cúbco natural The Method of Fnte Elements (MEF) t s an advanced numerc method that allows to obtan an approach of the soluton of a contour problem, assocated to a dfferental, ordnary equaton or n havng derved partal, under certan fronter condtons Ths method conssts bascally, n approachng the soluton of a problem of class fronter C, for the soluton of the equvalent problem outlned on a subespaco of fnte dmenson, that whch characterzes and t dentfes to the MEF lke outlne of contnuous Galerkn The base of ths space s usually generated by lneal functons that n the case of mprovng the precson of the soluton would have to be carred out a mesh refnement, what leads to the search of algorthms of quck convergence for the resoluton of bg systems of lneal equatons The fact of elevatng the grade of the functons of nterpolaton polnomal and contnuous to peces, assocated to the respectve subespaco to each element, t can be another alternatve; n ths sense, t requres an analyss of the algorthm prevously to mprove the precson and the tme of process computaconal For t, presently work ntends the constructon of a base of the approach subespaco wth the MEF, usng a base of functons Splne of natural cubc type For the evaluaton of ths method, t has been experenced on a problem of values of contour undmensonal, under the condton boundary of type non homogeneous Drchlet Keywords: Galerkn, fnte elements, functons Splne natural cubc Introduccón El Método de Galerkn es una técnca que proporcona el marco general para la aproxmacón de algunos problemas varaconales, en la práctca, se converte en un algortmo especal de dscretzacón, que medante la defncón de una combnacón lneal sobre un espaco de dmensón fnta, se le denomna, Método de Elementos Fntos, (MEF) Su aplcacón es muy mportante, por ser muy usual en la resolucón numérca de problemas de valores de frontera que con frecuenca se presentan en modelacones fenomenológcas de la Ingenería En el desarrollo de la formulacón varaconal, del problema dferencal, se ntroduce a medda que requere, la teoría funconal básca, de un modo que el lector tenga la facldad de comprender los obetvos del trabao Luego nos centraremos en la utlzacón del Método de Elementos Fntos para la búsqueda de una solucón del problema varaconal, el cual se formula a partr de un problema de contorno de tpo Drchlet, así tambén en la comparacón computaconal, de la aplcacón del Método con una base de funcones propuesta en el trabao para la generacón del espaco de elementos fntos aproxmador y la base usual en el espaco de gual dmensón Metodología Formulacón Varaconal Dado un conunto aberto (a, b) R, donde a, b son números reales sobre el que se ha planteado el sguente problema dferencal d du p( + q( u f ( () La varable desconocda y satsface las condcones de frontera u(a) u a, u(b) u b Al que se le denomna tambén problema de contorno clásco Asummos las sguentes afrmacones:

2 Sean p, q y f funcones contnuas sobre R, V L () un Espaco de Hlbert, de dmensón nfnta y denotemos por V al espaco dual de V, así tambén denotemos por a (, ):V V R una forma blneal de V y l V', una forma lneal S f L (), hacendo homogéneas a las condcones de frontera, es decr y a y b y multplcando por una funcón v del espaco de funcones nfntamente dferencables y de soporte compacto, entonces () se converte en: d du p( v + q( uv f ( v, para u V Aplcando una ntegracón por partes en esta ecuacón, y tenendo en cuenta las condcones de frontera; resulta la sguente ecuacón ntegral: [ ( u'( v'( q( u( ] p + f ( S asummos que a ( u, v) [ p ( u'( v'( + q( u( ] l (v) f ( donde se puede ver V es un espaco de Hlbert, a ( u, v) es una forma blneal acotada y V-elíptca (o coercva) de V, y l(v) una forma lneal acotada de V Entonces el problema clásco se reduce al sguente problema denomnado problema Varaconal, es decr: Hallar u V, que satsfaga la ecuacón varaconal a (u,v) l(v) v V () Se puede ver en [] que: a (, ) es una forma blneal acotada y V-elíptca o Coercva; es decr, M R, a (u,v) M u V v V u, v V C R, a (v, v) C v V v V Por el lema de Lax-Mlgram se puede ver en [3], que el problema varaconal () tene solucón únca En general, es mposble encontrar una funcón de forma explcta que represente a la solucón exacta del problema (), puesto que el espaco V es de dmensón nfnta Por tanto se plantea una forma de hallar una solucón aproxmada, es decr resolver un problema equvalente a () pero en un espaco de dmensón fnta Para ello consderaremos lo sguente: El método de Galerkn, dce que es posble suponer que la combnacón lneal defnda por u,, donde u ξ (3) es solucón aproxmada del problema (), así tambén que el conunto de funcones,, son lnealmente ndependentes y genera el espaco de dmensón fnta V, es decr, u V, es una sucesón de funcones que satsface la ecuacón varaconal a (u, v) l(v) v V () Por el prncpo del álgebra fundamental, se puede encontrar un subespaco de dmensón fnta V V Entonces el problema () proyectamos sobre V y extendendo las propedades menconadas anterormente para la forma blneal a (, ) y para la forma lneal l V', podemos extender tambén el Lema de Lax-Mlgram al problema dscreto Por tanto se puede predecr que exste solucón únca, que satsface la ecuacón varaconal del problema () Ahora para hallar esta solucón, asummos que la combnacón lneal (3), esta determnada por el conunto de funcones { } la cual es una base de V y que { ξ } es el conunto de componentes que defnen la solucón aproxmada en cada nodo, ambos térmnos son desconocdos hasta ahora Al reemplazar (3) en (), se obtene: a ( ξ, v) l(v) v V Según el método de Galerkn s se toma de la msma base de V, se genera un problema dscreto equvalente a (), es decr: Hallar el conunto de funcones { ξ }, tales que satsface el sguente sstema de ecuacones: ξa(, ) l( );,,, n (5) Quere decr que medante el método de Galerkn se converte la ecuacón varaconal () en la forma de un sstema lneal de ecuacones algebracas (5) que podemos expresarlo en forma matrcal como: Aξ b (6) donde: ξ ( ξ ),,,, es el vector desconocdo y la matrz A ( a (, )) R, cuyos coefcentes resultan de operar la forma blneal sobre las funcones de base y en cada elemento de la malla En la teoría de Elastcdad la matrz A recbe el nombre de matrz de Rgdez y b ( l( )) R el de vector de cargas es decr de la forma:

3 a(, ) a(, ) a(, ) ξ l( ) a(, ) ξ l( ) Luego al resolver este sstema lneal de ecuacones algebracas se encuentra la solucón aproxmada del problema () La solucón u, es una aproxmacón de la solucón exacta u En la fnaldad de precsar meor la solucón, es lógco buscar una mayor aproxmacón, una alternatva es elegr muy grande, lo que equvale hacer un refnamento sobre Es decr buscar una sucesón de subespacos V V V n, y obtener la correspondente sucesón de solucones aproxmadas u,,,,n Pero con este procedmento sucede que tambén se ncrementaría el tamaño de la matrz de coefcentes del sstema, lo que conduce a un más alto coste el cálculo computaconal del sstema Otra alternatva es elegr óptmamente las funcones de base para el subespaco V, de dmensón fnta Este espaco es construdo por ntermedo de polnomos a trozos Generalmente con el método de Galerkn, se utlza los polnomos de nterpolacón lneal de tpo Lagrange, lo que lleva a la obtencón de subespacos lneales, asocados a dos nodos por elemento en cada elemento fnto de la malla defnda sobre A este esquema se conoce como método de Elementos Fntos de Galerkn lneal umércamente el método de elementos fntos es el más efcente para resolver problemas de valores de frontera, la ventaa es que permte elegr dferentes bases de aproxmacón, bao la condcón de que sus elementos deben satsfacer las propedades, de ser lnealmente ndependentes y generar el espaco solucón Anterormente vmos que el problema de valores de frontera se reduce a resolver un sstema lneal de ecuacones algebracas, cuya matrz de coefcentes es la matrz A, la cual es smétrca y defnda postva Los coefcentes de A uegan un rol esencal, tales es así que, s el número de condcón de A, es demasado grande, entonces es mposble encontrar drectamente una solucón drecta del sstema, la alternatva sería utlzar un método teratvo, lo que es otro nconvenente sumado a la dspersón de la matrz A Se dce que es dspersa, s la mayoría de sus entradas son ceros, en caso contraro, se dce que la matrz es densa La propedad de que la matrz sea dspersa, hace mas costosa el cálculo computaconal del sstema, s se puede observar el cálculo de cada entrada de la matrz nvolucra un domno de ntegracón y a veces puede resultar que esta es no acotada Otra forma de meorar este nconvenente es, s prevamente se realza un tratamento de la matrz, esto es utlzar un método de almacenamento de tpo perfl o almacenar los coefcentes no nulos en un tpo vector Generalmente s la matrz es muy dspersa el sstema es resuelto de manera más efcente utlzando un método teratvo Para obtener una matrz de rgdez óptma, tenemos que ser muy cudadosos con la eleccón del espaco de sus funcones de la base, para que pueda generar una matrz de tpo banda con un ancho óptmo Un espaco aproxmador de Elementos Fntos V h, donde h representa el espacado de cada elemento, es optmo s se optmza el grado de aproxmacón de las funcones de su base, en este trabao se propone elevar el grado de los polnomos a trozos, luego de generar el subespaco con esta base de funcones, proceder con el método de Elementos Fntos a resolver el sguente problema: tales que Hallar u h V h a ( u h, v n ) l(v n ) v n V h (7) El problema de la estmacón del error al aproxmar con el Método de Elementos Fntos, se puede hacer medante la aplcacón del Lema de Céa, el cual consste en la estmacón de la sguente desgualdad: u - u h V c u- h u V donde h u es el nterpolante de u [3,] (u es la solucón exacta del problema en V de dmensón nfnta y u h solucón aproxmada del problema en el espaco de dmensón fnta) En el presente trabao proponemos desarrollar el método de Elementos Fntos de Galerkn para obtener la solucón aproxmada del problema (), elgendo como base los polnomos a trozos, es decr las funcones del espaco de aproxmacón, las funcones Splne de tpo Cúbco atural Para explcar en que consste este esquema de solucón, consderaremos el problema de valores de frontera elíptca con las condcones de frontera Drchlet homogéneas: d du p( + q( u f ( a x b (8) u(a) u(b) donde p C [a,b] y q, f C [a,b] Prmeramente convertremos este problema de valores de frontera en un problema varaconal equvalente Sea el domno de ntegracón (a, b) Consderemos el espaco de Sobolev, V H ( ) como el espaco para la formulacón del problema débl o varaconal Empezaremos multplcando la ecuacón dferencal de la expresón (8) por una funcón v V, luego en la ecuacón defnda sobre ; se tene la sguente gualdad: d du p( v + q( uv f ( v u V (9) Aplcando la ntegracón por partes se obtene una gualdad parecda a la del problema () Se puede ver [], que a (, ) es una forma blneal y l() es una forma lneal, del Lema de Lax Mlgram ambas satsfacen las condcones de exstenca y uncdad de solucón Ahora buscaremos la solucón: suponendo la solucón con una base de las funcones Splnes de cúbco natural aplcando el método de Galerkn en un espaco de dmensón fnta

4 Construccón de la base del espaco de solucón V h generado por un Splne cúbco natural Para, partconamos el domno [a, b] en partes: a x < x < < x b Los puntos x para, son llamados los nodos, y los elementos fntos son los subntervalos a los que denotaremos por I [x -,x ], para En este problema tomaremos, los valores de frontera dscretos, que satsfacen la condcón de Drchlet homogénea, es decr, en el nodo x y x la varable dependente u, toma el valor cero La longtud de espacado en cada elemento de la malla denotado por h x x - y por h Max h Generalmente se consdera la aproxmacón con el Método de Elementos Fntos en una malla unforme y con una base de funcones de tpo lneal En el presente trabao proponemos desarrollar este método para obtener la solucón, utlzando una base de funcones generado a partr de funcones de Splne Cúbco natural: Construmos la sguente funcón Splne S cúbco natural, tal que S es defnda en (, ), S C (, ) y S( [,] Entonces ésta resulta ser la funcón representada por: S( [( ( 6x + ( + ], [( ( 6x ], 3 3 [( ( ], 3 [( ], y gráfcamente puede verse en la fgura, x ; < x ; < x ; < x ; < x < x () x x S ( S( ) para cada,, n + h n+ S un conunto de funcones lnealmente Sendo { } n+ ndependentes Pero para que el conunto { } S verfque las condcones de frontera () (), es necesaro redefnr los S, S,, S n+, de modo que las funcones de base asocadas a S(, de (), se puede expresar por (, donde: x + h S ( S, ; h x + h S( S, ; h ( S (, n ; x ( n ) h S n ( S, n; h x ( n ) h S n+ ( S n + ; h () Con el Splne cúbco natural dado en () y para una partcón de n 9; el grafco resultante del conunto de n+ ( se presenta en la fgura funcones { } Fgura Fgura Para construr las funcones de la base, tomaremos a y b, es decr ( C [,], elegmos: un entero postvo natural n, defnendo h, los nodos están n + gualmente espacados Entonces x *h, para cada,, n + S asummos que los polnomos cúbcos que representen al Splne S( están dados por: Se puede observar en el gráfco que ( y ( son dferentes de cero solamente en x - x x + ; para cada,,, n + El espaco de solucones, en cada elemento fnto, está dado por: V h Span{,,, n+ }; a, ) [ p( '( '( + q( ( ( x ] ; (,,,, n +; y l( ) b ) f ( ( para,, n + La matrz resultante A, en esta base y de coefcentes a a(, ), calculada con el método de Elementos Fntos, es una matrz banda con un ancho de longtud

5 máxmo de sete, para cualquer valor de n El sstema lneal de ecuacones que se obtene puede resolverse fáclmente por algún método drecto, por eemplo el método de Cholesky, (método utlzado en los resultados numércos) u otro para la solucón de este tpo de sstemas lneales con matrces banda 3 Resultados umércos Para los resultados numércos se plantea el sguente problema: -u''+ π u π sen( π x () u() u() Sea V H (,) {v H (,) \ )} subespaco de H (,) Para la formulacón débl utlzamos el espaco de funcones V, obtenéndose el problema débl o en su forma varaconal equvalente al problema (), el cual esta expresado por: Hallar u V tal que, ( u'( v'( + π u( ) Hacendo: π sen ( π ; v V a ( u, v) ( u'( v'( + π u( ) l (v) π sen ( π a ( u, v) l (v) (3) se puede ver fáclmente que V es un espaco de Hlbert, a (, ) es una forma blneal y acotada, l (v) es una forma lneal y acotada en V Además se puede ver que a (, ) V- élptca o coercva, con lo que del lema de Lax-Mlgram, se verfca que el problema (3) tene solucón únca Aplcando el Método de Elementos Fntos con los resultados propuestos en la seccón anteror para el problema n+ (8), con las funcones de base { ( )} x, asocadas a cada elemento y nodos x, x, x,, x n+ de la malla undmensonal Vemos que el Espaco de Elementos Fntos es: V h span { / } V, que medante el método de Galerkn, se genera el problema dscreto, el que consste en hallar: u h V h, tal que a (u h, v n ) l(v n ) v n V h ) por el Lema de Lax-Mlgram extenddo a cada elemento, exste solucón únca Por el Método de Galerkn, podemos suponer que u h es de la forma: u h ξ (5) susttuyendo (5) en (3), del problema () se obtene: ξa(, ) l( ),,, n (6) Luego podemos expresar el problema () en la forma de un sstema lneal: Aξ b (7) ξ ( ξ ) R, se obtene al resolver la ecuacón matrcal (7) Para comprobar la efcenca del método, se busca una funcón que satsfaga exactamente al problema dado, es decr probaremos que la funcón y( sen ( π x ), satsface al problema de valores de frontera: En efecto, susttuyendo esta funcón en () tenemos: d dy + π y π sen( π, x (8) y() y() donde : p (, q ( π, f ( π sen( π Entonces comparando la solucón exacta con la solucón aproxmada, para el caso de n 9 partcones; h /(n+), n+ nodos, se puede ver que el gráfco resultante en la fgura 3 Fgura 3 Las etapas que se ha segudo para programar los algortmos de solucón en el entorno de MATLAB, son las sguentes:

6 Preproceso Construccón de la malla sobre [, ] Ingreso de los datos: úmero de partcones n 9; obtenéndose automátcamente el número de nodos y el espacado de los elementos Construccón de las funcones, para p(, q( y f( y los valores de frontera, bao las condcones de contnudad Proceso c En esta etapa se calcula automátcamente lo sguente: Los coefcentes de la funcón Splne cúbco natural en cada elemento Las funcones de la base del espaco de aproxmacón a partr de una funcón Splne cúbco natural Los coefcentes de la matrz, generados por las formas lneal y blneal, asocados al par de funcones para la poscón respectvamente La solucón del sstema lneal de ecuacones algebracas con la matrz banda Se puede observar la densdad de los coefcentes de la matrz A, en forma banda en la fgura Tabla x Y aprox (x ) Y real (x ) Gráfcamente el error es presentado en la fgura 5 Fgura Postproceso En esta etapa se codfca los archvos para la presentacón de los resultados, medante la vsualzacón de gráfcos y tablas Vector c de coefcentes c de la supuesta solucón aproxmada Y aprox, es: Fgura 5 Se puede aprecar que al varar n; meor es la precsón ya que el error se reduce hasta llegar a un punto en que ésta se mantene cas constante; esto se puede observar en la sguente gráfca, fgura 6, para n 9 y n 8 y n 36

7 Tabla Error Y aprox (x )- Y real (x ) Fgura 7 Para la comparacón tomemos n 9; es decr, el msmo tamaño de la malla unforme con h /(n+) y numero de nodos; como en el caso utlzado en la aproxmacón con el Splne cúbco natural Para el caso lneal dado en (8) y para un n 9; gráfcamente se pueden ver el conunto de funcones de base lneal { } n (, en la fgura 8 Fgura 6 Para hacer una comparacón con el método de elementos fntos de Galerkn lneal, se ha consderado la msma malla sobre [,], es decr como nodos los puntos x, x,,x n, x n+, tales que, x < x < < x n < x n+ Tomando h x - - x, para,,, n, elegmos las funcones de base (, (,, n ( lneales expresadas por:, x x ( x x ), x x x h ( (9) ( x +, x x x+ h, x+ x para cada,,, n, donde n es el número de partcones, elgendo las funcones dadas en (8), para las funcones de base, que gráfcamente una de ellas, se puede observar en la fgura 7 Fgura 8 y ) ote que ( (x son dferentes de cero solamente para x - x x + ; la matrz resultante A, con el espaco de aproxmacón V h Span{,, n }; es una matrz trdagonal, como se puede ver es menos densa que con la base descrta anterormente, se puede observar en la fgura 9

8 Tabla 3 x Y real (x ) Y aprox (x ) Fgura 9 Comparando la solucón real o exacta, con la solucón aproxmada para el caso de n 9, en el caso de una base lneal tenemos una polgonal, ver la fgura Tabla Error Y aprox (x )- Y real (x ) Conclusones Fgura Cuyo gráfco del error esta dado en la fgura : Fgura Con el Lema de Céa, la estmacón del error se ha calculado en ambos casos y nos permte hacer una comparacón de la efcenca del esquema propuesto de solucón S comparamos con las dos bases de aproxmacón realzadas (aproxmacón Splne Cúbco natural y lneal respectvamente) sobre el msmo número de elementos, la solucón obtenda con el Método de elementos fntos de Galerkn - Splne Cúbco atural, es mas precsa a la solucón real o exacta, que con el método de elementos fntos de Galerkn Lneal Esto se puede observar meor en el gráfco del error S queremos obtener el msmo error con ambas bases, se requere hacer un refnamento en el caso lneal, lo cual no es convenente por el alto costo computaconal del proceso Según las experencas numércas realzadas en base a la smulacón del problema dado, se puede ver que el método es efcente para resolver problemas de valores de frontera del tpo homogéneo y es posble aplcar tambén en el caso no homogéneo

9 En el caso de que no se conozca la solucón exacta el grado de aproxmacón es del orden: y( ( O( h ) La ventaa de este método es que con un pequeño refnamento de la malla, el error dsmnuye pero al aumentar el refnamento se observa que el error tende a un valor constante y muy pequeño Para este problema de prueba, el valor estmado del error está alrededor de -5 Rchard I Burden, J Douglas Fares Análss umérco, (985) Kendal Atknson, Wemn Han Theoretcal umercal Analyss - A Functonal Analyss Framework, Sprnger () 3 Davd Kncad, Ward cheney Análss umérco Las Matemátcas del Cálculo Centfco, Adsson- Wesley (99) OAxelsson,VABarker Fnte Element soluton of boundary value problems - theory and computaton, Academc Press Inc(98) 5 Golub, Gene Howard; Ortega James M Scentfc Computng and Dfferencal Equatons: An ntroducton to numercal Methods (99)