1. Notación y tabulación

Transcripción

1 Tema 2: Descrpcón Unvarante. otacón y tabulacón 2. Descrpcón gráfca 3. Descrpcón numérca. Momentos estadístcos. Meddas de poscón. Meddas de dspersón v. Varable tpfcada v. Meddas de forma v. Meddas de concentracón Tema 2

2 2.. otacón y Tabulacón Informacón = punto de partda del análss estadístco Tabulacón = ordenamento de la nformacón otacón de Varables Estadístcas y Atrbutos X, Y, Z... = Caracteres (VE y Atr.) que queremos estudar, 2,..., = modaldades de X y, y 2,..., y = modaldades de Y z, z 2,..., z = modaldades de Z es el número mámo de modaldades de un carácter Caso especal: Las VE Contnuas ( es nfnto) Clase = Intervalo que contene un número nfnto de posbles valores de la varable. Son ecluyentes y contenen todos los valores estentes. Clase -ésma: [e -, e ] Tema 2 2

3 Etremos de clase = valor nferor y superor de cada clase Marcas de clase = puntos ntermedos de cada clase c = (e - + e )/2 Ampltud de clase = tamaño de cada clase a = e e - Recorrdo = dferenca entre el mayor y el menor valor de la varable. Re = Ma () Mn () = e e 0 otacón de frecuencas Frecuenca Absoluta (n ) = úmero de veces que aparece la modaldad (o clase) -ésma. = número total de ndvduos estudados = n + n 2 + n n Tema 2 3

4 Frecuenca Relatva (f ) = Proporcón de ndvduos que presentan la modaldad (o clase) -ésma. f = n / La suma de frecuencas relatvas es gual a. = f = f + f f = Frecuenca Absoluta Acumulada ( ) = úmero de ndvduos que presentan la modaldad -ésma o nferor. = r= (OJO!! unca tene sentdo para atrbutos en escala nomnal) nr Tema 2 4

5 Frecuenca Relatva Acumulada (F ) = Proporcón de ndvduos que presentan la modaldad -ésma o nferor. F = La últma frecuenca relatva acumulada es gual a. F = = n + n n 2 = = Dstrbucón de frecuencas = pares de valores (modaldad, frecuenca) Tabulacón = colocacón en una tabla de los datos que defnen la dstrbucón de frecuencas. X n n n 2 n Tema 2 5 f f f f 2 F F 2 2 F F

6 Tema 2: Descrpcón Unvarante. otacón y tabulacón 2. Descrpcón gráfca 3. Descrpcón numérca. Momentos estadístcos. Meddas de poscón. Meddas de dspersón v. Varable tpfcada v. Meddas de forma v. Meddas de concentracón Tema 2 6

7 2.2. Descrpcón gráfca Descrpcón gráfca de Caracteres Cualtatvos Dagrama de sectores = Se reparten los 360º de una crcunferenca proporconalmente a las frecuencas absolutas. Dagrama de barras = Se coloca en ejes cartesanos las modaldades (en el eje X) y se levantan barras de gual base con la altura de la frecuenca. Pctograma = Se asgna un valor a una fgura. Se representa la dstrbucón de frecuencas en funcón de esa asgnacón. Tema 2 7

8 Descrpcón gráfca de Caracteres Cuanttatvos Dscretos Dagrama de barras = Se coloca en ejes cartesanos las modaldades (en el eje X) y se levantan líneas con la altura de la frecuenca. Analítcamente R f(): Funcón de cuantía f()= 0 f ; ; s s = Dagrama de escalera o Curva de acumulacón = Es la representacón gráfca de la epresón analítca [, F()= F(): Funcón de dstrbucón ) + ~ = F o F()= Tema 2 8

9 Descrpcón gráfca de Caracteres Cuanttatvos Contnuos Elementos propos de los caracteres cuanttatvos contnuos:. Clase, 2. Etremo de clase, 3. Marca de clase, 4. Ampltud de clase y 5. Recorrdo A estos elementos hay que añadr un nuevo concepto: 6. Frecuenca relatva (o absoluta) por undad de clase = Tambén se conoce como densdad de la clase. Consste en dvdr la frecuenca relatva (o absoluta) de la clase por el tamaño de la msma (a ). Densdad = f /a Hstograma de frecuencas = Se coloca en ejes cartesanos los etremos de clases (en el eje X) y se levantan barras (undas unas a otras) con la altura de la densdad del ntervalo. Tema 2 9

10 S se unen los puntos medos de las bases superores de los rectángulos se obtene el polígono de frecuencas. Epresón analítca del hstograma de frecuencas: f n S [ e -,e ), f()= ó f()= a a f(): funcón de densdad Polígono acumulatvo de frecuencas o Curva de acumulacón = Se obtene al unr con rectas cada par consecutvo de valores (e 0,0) (e,f ) (e 2, F 2 )...(e, F ) Epresón analítca: F(): funcón de dstrbucón f [e -,e) ~ F()= (-e- )+F(e- ) a ) F() es una funcón crecente 2) lm F() = 3) lm F() = 0 Tema 2 0

11 Tema 2: Descrpcón Unvarante. otacón y tabulacón 2. Descrpcón gráfca 3. Descrpcón numérca. Momentos estadístcos. Meddas de poscón. Meddas de dspersón v. Varable tpfcada v. Meddas de forma v. Meddas de concentracón Tema 2

12 2.3. Descrpcón numérca: momentos estadístcos Def: Resultado de llevar a cabo operacones con la nformacón de la dstrbucón de frecuenca. ombre: momento de orden r con respecto al punto b mr, b= f b = ( ) r Tema 2 2

13 Momento con respecto al orgen (b=0): Se denomna momento no centrado, y se denota α r. El momento no centrado de orden uno (α ) se conoce con el nombre de meda. Momento con respecto a la meda (b=α ): Se denomna momento centrado, y se denota m r Tanto α 0 como m 0 frecuenca de X. r r,0 = α r = = m f ( α ) m = m = f r, α r = r valen, sea cual sea la dstrbucón de Tema 2 3

15 2.3. Descrpcón numérca: meddas de poscón Def: os nforman de cómo se stúan los ndvduos dentro de la dstrbucón. Se dstnguen 2 grupos:. Meddas de poscón central 2. Meddas de poscón no central Tema 2 5

16 . MEDIDAS DE POSICIÓ CETRAL: Meda Artmétca: X = n = = Propedades: a) n = f ( = - X )= 0 2 b) S = ( - Q ) f es mínma s Q = X c) S a todos los valores de una varable X le sumamos (multplcamos) una constante, la meda se ve ncrementada en (multplcada por) esa constante. Inconvenente. Perde representatvdad con los valores etremos Ventajas =. Usa todos los valores de la dstrbuc. 2. Fácl de calcular 3. Sempre este y es únca 4. Centro de gravedad Tema 2 6 f

17 Meda Geométrca: nln( ) n = G = = e = Se usa prncpalmente para promedar porcentajes, tasas, índces (cuando la varable presenta varacones acumulatvas). Inconvenentes. Sgnfcado estadístco menos ntutvo 2. Cómputo más dfícl 3. S hay algún =0, queda ndetermnada Ventajas. Utlza todos los valores de la dstrbucón 2. Es menos sensble que la meda artmétca a los valores etremos Tema 2 7

18 Meda Armónca: A = Se usa para promedar velocdades, tempos promedos, (cuando los datos venen en térmnos relatvos). = n Inconvenentes. S los valores son prómos a 0 es poco representatva 2. S hay algún =0, queda ndetermnada Ventajas. Utlza todos los valores de la dstrbucón 2. Se puede pasar a meda artmétca 3. A veces es más representatvo que la meda artmétca Tema 2 8

19 Fórmula de Foster: Este una fórmula genérca de la que etraer las meddas de poscón central estudadas hasta ahora: M(m) = m = m n S m = -: S m = 0: S m = : Obtenemos la meda armónca Obtenemos la meda geométrca Obtenemos la meda artmétca Además este una relacón entre las tres de manera que: A G Tema 2 9

20 Medana: Me = tal que F (, ) Es el valor (modaldad) de la varable que dvde a la dstrbucón en 2 partes guales, una vez que se haya ordenado de menor a mayor. Se dstnguen 2 casos: = 2 VE Dscreta. Este tal que F( )=/2 Me=. o este tal que F( )=/2 Me= tal que F( -h ) < /2 < F( +h ) VE Contnua Una vez determnado el "ntervalo medano", la medana se calculará de la sguente manera: a Me= e- n 2 Tema 2 20

21 2. MEDIDAS DE POSICIÓ O CETRAL: Moda: Es el valor (modaldad) de la varable que mayor frecuenca tene (más veces aparece). Mo = VE Dscreta r tal que nr> n o f > f r VE Contnua Mo = Z e-+ a Z + Z f f sendo : Z= - a a f f Z 2= - a a Tema 2 2

22 Cuantles: Valores de la dstrbucón que la dvden en partes guales (ntervalos con la msma proporcón de ndvduos). Según el número de partes en que la dvdan recben dstnto nombre. Se denota por: C r/ y es el valor que verfca F()=r/ CUARTILES Valores que dvden la dstrbucón en 4 partes guales. Cada una recoge el 25% (0'25) de los ndvduos Q, Q, Q VE Dscreta El valor que verfque F( )=r/4 (o un poco mayor) V.E. Contnua Determnar º cuál es la clase que contene al cuartl Q = e + r 4 4 Tema 2 22 r - n a

23 QUITILES Valores que dvden la dstrbucón en 5 partes guales. Cada una recoge el 20% (0'20) de los ndvduos Q, Q, Q, Q DECILES Valores que dvden la dstrbucón en 0 partes guales. Cada una recoge el 0% (0 0) de los ndvduos VE Dscreta El valor que verfque F( )=r/5 (o un poco mayor) V.E. Contnua Determnar º cuál es la clase que contene al quntl Q = e + r 5 r - 5 n a PERCETILES Valores que dvden la dstrbucón en 00 partes guales. Cada una recoge el % (0 0) de los ndvduos Tema 2 23

25 Se trata de estudar la representatvdad de una determnada medda de poscón central Estudar la separacón (=dspersón o varabldad) de los valores de la dstrbucón a esta medda Tpos: 2.3. Descrpcón numérca: meddas de dspersón Absolutas (no permten comparar dstrbucones) Relatvas (permten comparar dstrbucones) MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS Recorrdo o Rango Dferenca entre al mayor y el menor valor posble de la dstrbucón de una varable Re = X X Re = e e0 (VE dscreta) (VE contnua) Tema 2 25

26 Recorrdo Intercuartílco Dferenca entre el prmer y tercer cuartl de la sere. Dspersón del 50% de los ndvduos centrales R =Q3/4 - Q/4 Varanza Meda de las desvacones (de los valores a la meda artmétca) al cuadrado. S 2 2 = ( X - X ) f = S varanza grande desvacón grande gran dspersón UCA puede ser negatva Sumar una constante a la varable varanza no varía Multplcar una constante a la varable varanza queda multplcada por la constante AL CUADRADO. Tema 2 26

27 Desvacón Típca o Estándar Es la raíz cuadrada de la varanza Cuasvaranza Sˆ 2 n = ( -X) = 2 n S - = 2 = ( -X) f 2 ˆ S = S 2 - MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS Coefcente de Varacón de Pearson S Cuanto mayor el CV mayor es la desvacón CV= típca mayor es la dspersón peor sntetza X la nformacón la meda. Es admensonal; Permte comparar dstrbucones con medas y undades dstntas Incoherente cuando la meda vale cero; o nvarante ante cambos en la varable Tema 2 27

29 2.3. Descrpcón numérca: varable tpfcada Una varable está tpfcada o estandarzada cuando su meda vale cero y su varanza uno. Dada una varable X con meda defnmos la varable Z como Entonces Z es la varable tpfcada de X, ya que Meda (Z) = 0 Varanza (Z) = z = µ σ µ σ y desvacón típca. S Tema 2 29

31 2.3. Descrpcón numérca: meddas de forma MEDIDAS DE ASIMETRÍA Medante un gráfco se determna s la dstrbucón de frecuencas es o no smétrca. (Eje = meda artmétca) Mo = Me= Dstrbucón smétrca: Este el msmo número de valores (equdstantes 2 a 2 y con la msma frecuenca) a ambos lados del eje Dstrbucón asmétrca a la derecha: Tene mayor número de valores a la derecha que a la zquerda del eje Dstrbucón asmétrca a la zquerda: Tene mayor número de valores a la zquerda que a la derecha del eje Mo < Me < < Me < Mo Tema 2 3

32 Tema 2 32 Coefcente de Asmetría de Fsher γ = 0 m 3 = 0 Dstrbucón smétrca γ > 0 m 3 > 0 Dstrbucón asmétrca derecha γ < 0 m 3 < 0 Dstrbucón asmétrca zquerda Coefcente de Asmetría de Pearson A p = 0 Dstrbucón smétrca A p > 0 Dstrbucón asmétrca derecha A p < 0 Dstrbucón asmétrca zquerda ( ) ( ) = = = = n n S m γ p Mo A S =

33 MEDIDAS DE APUTAMIETO O CURTOSIS Estudan el grado de concentracón de los valores en torno a la meda artmétca. m4 γ = 3 = 4 S = 4 ( ) n = n ( ) γ 2 = 0 Mesocúrtca γ 2 > 0 Leptocúrtca γ 2 < 0 Platcúrtca Leptocúrtca Mesocúrtca Platcúrtca Tema

35 2.3. Descrpcón numérca: meddas de concentracón Tratan de ver el grado de gualdad en el reparto de los valores de una varable. Dos casos etremos: a. Concentracón máma (Mínma equdad): Un únco ndvduo posee el total de la varable. b. Concentracón mínma (Máma equdad): Todos los ndvduos poseen la msma cantdad de la varable. Para su estudo hay 2 meddas, una analítca y otra gráfca. Tema 2 35

36 ÍDICE DE GII Medda analítca o cuanttatva del grado de concentracón. I G ( p ) 00 q p = = = µ p q = 00 µ = ntt = µ t= p = proporcón de ndvduos con un valor que q = proporcón del total de la varable que se ha repartdo hasta Máma equdad (mínma concentracón): IG = 0 Mínma equdad (máma concentracón): IG = Tema 2 36

37 CURVA DE LOREZ Medda gráfca del grado de concentracón. En un eje cartesano representamos los pares de valores (p, q ) correspondentes a cada, una vez que la varable ha sdo prevamente ordenada de menor a mayor. 00 Q (%) Máma equdad Casos más desfavorables P (%) Tema 2 37